7_Matnyak.doc Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 43 Матняк С.В. ДОВЕДЕННЯ СПРАВЕДЛИВОСТІ ГІПОТЕЗИ РІМАНА УДК 511.3 В статті дається доведення справедливості гіпотези Рімана за допомогою скінченних показникових функціональних рядів і скінченних показникових фукціональних прогресій. Ключові слова: гіпотеза Рімана, гіпотеза Мертенса, функція Мeбіуса, скінченний показниковий функціональний ряд, скінченна показникова функціональна прогресія. Вступ Гіпотеза Рімана про розподіл нулів дзета-функції Рімана була сформульована Бернхардом Ріма- ном в 1859 році. В той же час, оскільки не існує простої закономірності, яка описує розподіл простих чисел серед натуральних, Ріман знайшов, що кількість простих чисел, які не перевищують x , позначаються )(xπ , виражаються через розподіл нетривіальних нулів дзета-функції. Велика кількість тверджень про розподіл простих чисел, в тому числі про обчислювальні складності деяких цілочислових алгоритмів, доведені в припущенні правильності гіпотези Рімана. В 1896 році Адамар і Валлє-Пуссен незалежно довели, що нулі дзета-функції не можуть лежати на прямих 0)Re( =x і 1)Re( =x . В 1900 році Давід Гільберт включив гіпотезу Рімана в список 23 невирішених проблем, як час- тину восьмої проблеми, разом з гіпотезою Гольдбаха. В 1914 році Харді довів, що на критичній лінії знаходиться нескінчено багато нулів, а пізніше разом з Літлвудом дав нижню оцінку долі нулів, які лежать на критичній лінії, яку потім покращували різні математики. Тітчмарш і Ворос в 1987 році показали, що дзета-функція може бути розкладена в добуток через свої нетривіальні нулі в розклад Адамара. На 2004 рік перевірено більше 1013 перших нулів. В статті до- водиться теорема про правильність гіпотези Рімана для дзета-функції. Постановка проблеми (Гіпотеза Рімана) Всі нетривіальні нулі дзета-функції мають дійсну частину рівну 2 1 =σ . Дзета-функція Рімана )(sς визначена для всіх комплексних 1≠s і має нулі у від'ємних парних ... ,6,4,2 −−−=s . Із функціонального рівняння: ( ) ( ) ( )ssГss ss −ς⋅−⋅⋅π⋅π⋅=ς − 11 2 sin2 1 і явного виразу ∑ ∞ = µ = ς 1 )( )( 1 n sn n x при 1Re > випливає, що всі інші нулі, які називаються "нетривіальними", знаходяться в полосі 1Re0 << симетрично відносно так званої "критичної лінії" it+ 2 1 , Rt ∈ . Роз'язання. Для підтвердження гіпотези Рімана дамо означення і доведемо наступні теореми. Означення 1. Вираз [ ] ∑ = ++++= n k nk xuxuxuxuxu 1 ][ 1 3 1 2 11 )(...)()()()( (1) називається скінченним показниковим функціональним рядом відносно зміної показника степення k 1 , де [ ]{ }nk ,...,3,2,1= . Означення 2. Прогресії виду: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xqxaxqxaxqxaxa x⋅⋅⋅ ,...,,, 2 (2) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 44 називаються скінченними показниковими функціональними прогресіями, якщо в них перший член ( )xa є функцією від x або дорівнює 1, а знаменик ( )xq є функцією зміної xx 1 . Теорема 1. Якщо множина натуральних чисел { }nkN n ,...,,...,2,1=+ є об'єднання підмножин 654321 ,,,,, MMMMMM і ці підмножини попарно неперетинаються і мають відповідно по uvtsrm ,,,,, елементів, то кількістю елементів множини 654321 MMMMMMN n ∪∪∪∪∪= + буде рівною: uvtsrmn +++++= . Доведення. Теорема доводиться аналогічно теоремі 7.11 [1, ст. 50]. Теорема 2. ( ) ( )∑ ∞ = µ= 1k knM в ряді ( ) ( ) ∑ ∞ = µ = ς 1 1 n sn n s дорівнює ( ) nnM 5,2< . Доведення. Нехай число ( )nNN = є кількість елементів множини натуральних чисел { }nN n ,...,3,2,1=+ . Натуральний ряд +nN кладається: з простих чисел, кількість яких позначимо че- рез )(nПП = ; з натуральних чисел, які діляться на mp з часткою 1 при 2≥m , кількість яких по- значимо через ( )nKK = ; з натуральних чисел, які діляться на mp з часткою відмінною від 1 при 2≥m , кількість яких позначимо через ( )nКК кк = ;з чисел, які розкладаються на добуток парної кількості множників, позначимо кількість цих чисел через )(nTT nn = , а кількість чисел, які розклада- ються на добуток непарної кількості простих чисел, позначимо через ( )nTT нн = . Тоді, кількість нату- ральних чисел N множини натуральних чисел +nN , відповідно до теореми 1 дорівнює: КKТТПN кнn +++++= 1 . (3) Кількість натуральних чисел )(nK наближено запишемо у вигляді скінченого показникового функціонального ряду, позначивши його через )(1 nf , тоді: [ ]nn k k nnnnnnf ++++== ∑ = ...)( 43 2 1 1 . (4) Означення 3. Натуральними числами, які перекриваються, називаються числа скінченного показ- никового функціонального ряду (4), в якому вони зустрічаються більше одного разу. Позначимо, що nN = і [ ]nn 11 = Функція )()(1 nKnf > , тому що у функцію крім чисел )(nK входять і числа, які перекриваються. Означення 4. Дві нескінченно великі функції ( )nf і ( )nϕ , які не дорівнюють одна одній ( ) ( )nnf ϕ≠ , називаються еквівалентними, якщо ( ) ( ) 1lim = ϕ∞→ n nf n при ( ) 0≠ϕ n . Скінченний показниковий функціональний ряд (4) апроксимуємо сумою скінченної показникової функціональної прогресії: 2 13211 1 ...1 nnnnn nnnn +++++=         ϕ . (5) Скінченний показниковий функціональний ряд (4) і сума скінченної функціональної прогресії (5) еквівалентні, тому що: ( ) 1 1... ...1 lim ...1 ... limlim 2 12 2 11 2 1 2 11 2 1 4 1 2 1 3 1 2 121 3 1 1 1 0 =         ++++         ++++ = ++++ +++ =         ϕ = −−− −−− ∞→∞→∞→ nn n n nn n n n n nnnn nnnn nnn nnn n nf k . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 45 Оскільки, n k nn >2 1 , де 2 n k < і 0 2 <− n k знайдемо суму скінченної показникової функціональної прогресії (5) з nnq 1 = . Тоді ( ) ( )         − −⋅ = 1 1 11 nn na NS , при 1=a маємо ( ) ( )         − − = 1 1 11 nn n NS . При ∞→n ( ) ∞→NS1 . Порівняємо функцію ( )NS1 з функцією ( ) Nnf = . Знайдемо ( ) ( )nS nf n 1 lim ∞→ . Для цього обчисли- мо         − 1 1 nn при ∞→n . Проведемо заміну 2tn = , звідки nt = і тоді будемо мати: 4 111 2 44 111 nt ttt ttt =<         +⋅         −=         − оскільки, 1lim = ∞→ n n n . Застосовуючи до функцій ( )nf і ( )nS1 результати одержані в [2, ст. 67] і беручи до уваги те, що функції ( )nf і ( )nS1 визначенні на інтервалі [ ]n,1 будемо мати: ( ) ( ) 2 2 lim 1 1 lim 1 1 lim 11 1 1 == − < − − == ∞→∞→∞→ n n n n n n n nS nf k n n n n n , отже, 21 1 , запишемо, що: ( ) ( ) ( )nKnKnf n+≈1 . (9) Підставляємо значення функції ( )nf1 (9) в (8), одержимо: ( ) ( ) ( )( ) 02 <+⋅− nKnKnN n . Використовуючи твердження 1, одержимо: ( ) ( ) 0 4 5 2 <      +⋅− nnKnN . Звідки знаходимо, що: ( ) ( ) nnKnN 2 5 2 <⋅− . Підставляючи замість N його значення з (3), одержимо: nKКТТП кnн 5,21 <−++++ . (10) Для повного доведення теореми розглянемо наступний скінченний показниковий ункціональний ряд: ( ) [ ] n n k k nnnnnf 1 6 1 5 1 5 1 3 ... +++== ∑ = , (11) де [ ]{ }nk ,...,7,6,5= . Скінченний функціональний ряд (11) замінимо еквівалентною сумою функціональної прогресії: 6 1211 3 ...1 nnnn nnn ++++=        ϕ . (12) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 47 Суму функціональної прогресії (12) запишемо у вигляді ( ) 1 1 1 6 1 3 − − = nn n NS і порівняємо n із ( )NS3 : ( ) ∞=⋅<         −⋅ ⋅ < − − == ∞→∞→∞→ 6 1 4 1 6 1 4 1 2 1 1 6 1 3 3 lim4 1 4 lim 1 1 lim n n nn n n n n nS n k nn n n . Тоді 43543 1 3 2 nnnnnnnnK n ++<++++         ϕ< , отже 435,45,21 nnnKnКТТП кнn ++<+<++++ . Тоді можна записати, що відповідно до властивостей функції Мебіуса [4, ст. 1]: ( ) nТПT нn 5,21 <+−+ . Тому ( ) nnM 5,2< . (13) Теорема доведена. Із виразу 6 [5,ст.117] ( )                 Ω= 2 1 xnM маємо, що ( ) 2 1 nnM > . Отже, можна записати, що: ( ) 1lim > ∞→ n nM n . В теоремі 2 доводиться, що верхня і нижня межа значень функції 1 2 ( ) lim n M n n →∞ дорівнює: ( ) 5,2suplim < ∞→ n nM n і ( ) 1inflim > ∞→ n nM n відповідно. Твердження 2. ε+ < 2 1 5,2 nn при ∞→n . Доведення. Відповідно до теореми 54 [5, cт. 114] маємо ( )        = ε+ 2 1 nOnM . Порівнюючи зна- чення ( ) ( )nOnM 5,2= з ( )        = ε+ 2 1 nOnM , запишемо, що 02 1 5,2 ε+ = nn при ∞→n . Звідки зна- ходимо, що nln 5,2ln 0 =ε при ∞→n 00 →ε . Тому можна вважати, що 0ε>ε , де ε −будь–яке мале число. І звідси маємо, що 02 1 5,2 ε+ < nn при ∞→n . Твердження 2 доведено. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 48 Теорема 3. Ряд ( ) ( ) ∑ ∞ = µ = ς 1 1 n sn n s збіжний при 2 1 2 1 >ε+=σ і ( ) nnM 5,2< , де ε довільно мале число. Наслідок теореми 3 (Гіпотеза Рімана). Всі нетривіальні нулі дзета- функції мають дійсну части- ну рівну 2 1 =σ . Доведення. Необхідною і достатньою умовою справедливості гіпотези Рімана є збіжність ряду ( ) ( ) ∑ ∞ = µ = ς 1 1 n sn n s при 2 1 >σ [5, ст. 114]. Знаходимо збіжність ряду, коли ( ) ( )nOnM 5,2= 2 1 =σ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = =         + −⋅= −− ==       ξ 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 111 2 1 1 n n n nn nM n nMnM n nM ( ) ( ) ( ) ( ) ∞→==≤           +⋅ −+ = ∑∑ ∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = 11 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 5,2 2 5,2 2 1 1 nn nn nnn n nn nM nn nn nM ‒ ряд розбіжний. А при 2 1 2 1 >ε+=σ маємо: ( ) − ε ⋅= ε =≤≤=       ε+ς ∫∑∑ ∞ ε+ ∞ = ε+ ∞ = ε+ 1 25,1 2 5,21 2 5,21 2 5,2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 dnnn n nM nn ряд збіжний, де ε ‒ будь-яке мале число. Отже, ряд ( )∑ ∞ = −⋅µ 1n snn збігається рівномірно при 2 1 2 1 >ε+=σ , а оскільки він представляє функцію ( )sς 1 при 1>σ , то за теоремою аналітичного продовження , він представляє її також і при 1 2 1 ≤σ< . Тому гіпотеза Рімана справедлива. Теорема доведена. Література 1. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел, ч.1. Числа. Учеб. пособие для студентов физ. – мат.фак‒ тов пед. ин-тов. – М.: " Просвещение", 1974. ‒ 383 с. 2. Фихтенгольц Γ.Μ.. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.:"Наука", 1969.– 607 с. 3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высш. школа, 1979. – 559 с. 4. A.M. Odlyzko and Herman te Riele. Disproof of the Mertens Conjeture. Jornal fur die reine und angewandte Mathematik. 357. (1985) pp. 138-160. 5. Титчмарш Е.К. Дзета‒ функция Римана. – М.: ИЛ, 1947. – 154с. Поступила в редакцію 26.03.2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Доведення справедливості гіпотези Рімана Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 49 Matnyak S.V. Proof of the correctness of the Piemann's hypothesis. The paper provides proof of the Rimann's conjecture. The results of the works of A. M. Odlyzko and H. te Riile "Disproof of the Conjecture", which gives a disproof of the hypothesis Mertens, using to prove the Riemann's hypothesis. This paper introduces new finite series of exponential function, which is determined by the number of even. The number of multiple natural numbers compared with the amount of the functional progression and faund is their numerical value. The paper introduces new concepts in analytic number thery as "natural numbers thah overlap". Also, a theorem proved, which gives a more accurate result for "notrivial zeros" than the Riemann's hypothesis. Key words: Riemann's hypothesis, hypothesis of Mertens, function of Möbius, finite exponential functional series, finite exponential functional progression. References 1. Ljapin E.S., Evseev A.E. Algebra i teorija chisel, ch.1. Chisla. Ucheb. posobie dlja studentov fiz. mat. fak‒tov ped. in-tov. M. Prosveshhenie, 1974. 383 p. 2. Fihtengol'c Γ.Μ.. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischislenija. T. 1. M."Nauka", 1969. 607 p. 3. Kulikov L. Ja. Algebra i teorija chisel. Ucheb. posobie dlja pedagogicheskih institutov. M.: Vyssh. shkola, 1979. 559 p. 4. Odlyzko A.M., Herman te Riele. Disproof of the Mertens Conjeture. Jornal fur die reine und ange- wandte Mathematik. 357. (1985) pp. 138-160. 5.E.K. Titchmarsh. Dzeta ‒funkcija Rimana. M. 1947. 154p. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com