14_Kuzmenko.doc Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 89 Кузьменко А.Г. Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина E-mail: tribosenator@gmail.com КОНТАКТНАЯ МЕХАНИКА СДВИГА СЖАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ. МЕТОДИКА И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ УДК 621.891 В соответствии с теоретическим решением задачи о сдвиге сжатых поверхностей вариационным экспери- ментальным методом разработана методика и анализ её практического использования. На основании анализа экспо- ненциальной функции распределения напряжений трения по сжатым поверхностям предложен механизм трения скольжения при сдвиге. Выполнен методический пример эксперимента по определению функций распределения на- пряжений трения при сдвиге поверхности поролона. На основе анализа решений предложена модель влияния на из- нос амплитуды реверсивных скольжений при фреттинг износе. Повышенный фреттинг износ при малых амплитудах объzсняется концентрацией напряжений трения в начальной части контакта. Ключевые слова: взаимодействие поверхностей, вариационно-экспериментальный метод (ВЭМ), сдвиг, фреттинг износ. 1. Методика практического использования решения контактной задачи ВЭМτ [1] 1.1. Исходные данные и диаграмма сдвига 1) расчетная схема: рассматривается сдвиг сжатых поверхностей; для простоты полагаем пло- щадку контакта прямоугольной; 2) поверхности введены в соприкосновение, а затем сжимаются общей силой Q до номинального давления σ в контакте; 3) нижний образец жестко закрепляется, ак- верхнему плавно прикладывается сдвигающая сила F, по мене вырастания силы F верхний образец постепен- но смещается на величину х; 4) смещение происходит на малую величину, и имеет две составляющих: упругую линейную и нели- нейную от пластичности или от взаимного проскальзы- вания; указанным признакам соответствует перемеще- ние именуемое предварительным смещением; 5) после достижения максимального перемещения maxx нагрузка F плавно уменьшается до нуля при этом фиксируется перемещение разгрузки; 6) зависимость суммарной силы сдвига оси перемещения имеет название диаграммы сдвига ( ) F х (рис. 2). Рис. 2 – График диаграммы сдвига 1.2. Функция напряжений трения ( ) хх иτ = τ определение ее параметров 1) в соответствии с решением [1] функция напряжений трения ( )хτ имеет вид: Рис. 1 – Схема сдвига двух сжатых поверхностей PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com mailto:tribosenator@gmail.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 90 0 , nt x e −τ = τ (1.1) где 0 τ − максимальные напряжения трения в точке 0,х = параметр функции ( )xτ ; n – показатель степени экспоненциальной функции распределения напряжений трения; 2) параметр 0τ из [1] определяется по формуле: 0 , nF B ∞τ = (1.2) где ( )F F x∞ = → ∞ предельные значения интегральной силы трения при х → ∞ или при скольжении верхней подвижной поверхности как целого; в первом приближении F F x x∞ = =( )maxxx = ; 3) величина В ровна поперечному размеру площадки контакта; для прямоугольной площадки контакта с площадкою Аа: max , Aa B x = (1.3) 4) величина n определяется из соотношения: 1 . n x x = (1.4) 5) величина nх определяется по графику диаграммы сдвига путем следующих построений (рис. 3); Рис. 3 – Схема определения величины xn а) в начале координат приводится касательная к графику диаграммы сдвига; б) из точки А с координатами maxx , ∞F приводится линия параллельно оси х до пересечения с касательной в точке В; в) из точки В опускается перпендикуляр на ось х до пересечения в точке С; г) расстояния ОС определяемое в мм равно искаемой величине nх ; ;nОС х= этим построением заканчивается определение величин, ходящих в форму функций касательных напряжений ( )хτ по (1.1). 1.3. Качественный анализ функциисдвиговых напряжений 0( ) , ntx e−τ = τ 1) при ( ) 00 , ;х х= τ = τ 2) при ( ) , 0;х х→∞ τ → 3) точка 0х = соответствует началу сдвига верхней плоскости как жесткого на деформируемом тонном контактном слое. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 91 Рис. 4 – Графики функций F(x) и τ(x) 2. Связь механизма трения с видом функции ( )хτ 2.1. Понятие краевой микродислокации 1) в основе методов описания состояний, свойств и процессов в физике металлов лежит понятие дислокации или несовершенства кристалла [2]; 2) простейшим видом дислокации в металлах является сдвиг части поверхности по нормам к по- верхности. Область несовершенства кристалла вокруг края плоскости сдвига называется краевой дисло- кацией; 3) на границе плоскости сдвига краевой дислокации внутри кристалла находится область разме- ром от двух до десяти атомов, обладающие особыми свойствами; особенность этой области состоит в способности перемещаться внутрь кристалла независимо от окружающих область атомов; 4) Этот процесс перемещения области дислокации без значительных дополнительных усилий на большие расстояния и выходить на противоположную плоскость кристалла называют скольжением краевой дислокации. При этом сдвиг распространяется постепенно; в каждый момент времени в нем участвуют не все атомы по плоскости сдвига, а только те, которые находятся в области дислокации; про- исходит поочередное эстафетное перемещение атомов на расстояния меньшие атомного; в результате че- го дислокация скользит на большие расстояния через весь кристалл; 5) важно, что для поддержания этого процесса необходимо касательные напряжения несравнен- но меньшие чем предельные напряжения сдвига. 2.2. Понятие о механизме действии краевой макродислокации при трении скольжения 1) Из рассмотрения графики функции ( )хτ следует, что в точке 0х = действуют наибольшие касательные напряжения трения; возможно, что эти напряжения превышают предел текучести материала контактного слоя: ( 0) ;Txτ = ≥ τ ; (1.5) 2) под действием силы ( )F x при выполнении условия (1.5) в зоне границы поверхностей про- изойдет локальный сдвиг 1х∆ части верхней поверхности относительно нижней; будем называть этот локальный сдвиг макродислокацией, возникающей в контакте поверхностей; 3) появление сдвига 1х∆ приводит к уменьшению площади контакта поверхностей Аа на вели- чину 1Aa x B∆ = ∆ : 1 1 ;Aa Aa x B= − ∆ ; (1.6) 4) оставляя функции ( )F x и ( )хτ прежними в результате из (1.6) имеем увеличения напряжения трения в точке: 2 1 1, х х х= − ∆ на величину: 2 1 ( )F x Aa =∆τ . (1.7) 5) на последующих шагах сдвига 2 3, ....х х∆ ∆ процесс повторяется до выхода макро дислокации на противоположную грань, что означает сдвиг верхней поверхности относительно нижней на величину .х∆ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 92 2.3. Выводи по п. 1 п. 2 1) контактной задачи о сдвиге и определении функций ( )хτ методом ВЭДτ позволяет опреде- лить функцию распределения напряжений трения ( ) ;хτ 2) функция напряжений ( )хτ имеет ярко выражений экстремум в точке 0х = со значением 0τ = τmaxτ ; 3) напряжения maxτ в точке 0х = вызывает микросдвиг ,х∆ который можно рассматривать как краевую макродислокацию в области контакта поверхностей; 4) появление микросдвига или макродислокации приводит к уменьшению площадки контакта при неизменной силе ( )F x что вызывает рост касательных напряжений в точке 10 х+ ∆ и появление новых перемещений до точки 0 2 ;х+ ∆ 5) таков механизм дискретного эстафетного перемещения поверхностей без приложения всей полной силы ( )F x одновременно; 6) подчеркнем, что такой механизм удается описать при использовании решения задачи о сдвиге ВЭМτ − методом. 3. Сдвиг сжатого поролона как методический пример использования метода 3.1. Расчетная схема и исходные данные методики эксперимента Рис. 3.1 – Схема эксперимента 1 – корпус; 2 – образец поролон; 3 – динамометр; 4 – основание; 5 – индикатор Таблица 3.1 Результаты испытания W F, кг х, мм τ(х), кг/см2 1 0,84 0,7 0,033 2 1,0 0,9 - 3 1,2 0,11 0,017 4 1,42 0,2 - 5 1,86 0,23 0,037 6 2,4 0,39 0,0043 Исходные данные 1) В = 70 мм; 2) F∞ = 2,4 кг; 3) maxx = 39 мм. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 93 3.2. Обработка результатов испытания Определение величин входящих в формулу (1.2): 0 , nF B ∞τ = 1) величина максимальной силы трения F∞ определяется по графику диаграммы сдвига рис 3.2; F∞ = 2,4 кг; 2) величина В = 70 мм, задана; 3) для определения величины n: 1 , n n x = при определении nх делаются построения по рис. 3.2: 18,0=nx мм, далее 6,518,0/1 ==n 1/мм; 4) итоговый расчет 0τ : 0 5, 6 2, 4 0, 033 70 ⋅ τ = = кг/мм2; 5) функция напряжения трения: 0, 39х = 5,6 20 0, 033 / , nx xе e кг мм− −τ = τ = кг/мм2; (1.8) 5,6 0,39 2( 0, 39) 0, 033 0, 043 / ,х e кг мм− ⋅τ = = = кг/мм 2; 0,11х = 5,6 0,11 20, 033 0, 017 / .e− ⋅τ = = кг/мм2. 4. Сдвиг круговой площадки трения* для Стали 45 на 40 мкм 4.1. Исходные данные: 1) круговая площадка с площадью Аa = 16,9 мм2; d = 4,11 мм; 2) материал поверхностей ШХ15; 3) нагрузка нормальная N = 40 кг; Давление N/Аa = 40/16,9 = 2,37 кг/мм2. 4.2. Результаты измерений (по данным аспиранта ХНУ В. Кускова): 1) измерения перемещений сдвига с точностью до 1 мкм и соответствующих сил результаты приведены в табл. 4.1: Таблица 4.1 N = 40 кг N = 30 кг № п/п x, мм F(x), кг x, мм τ(х), кг/мм2 1 0 0 0 66,5 2 0,01 2,4 0,01 35 3 0,02 3,5 0,02 18,48 4 0,03 4,2 0,03 9,7 5 0,04 4,4 0,04 5,1 Результаты измерений нанесены на график диаграммы сдвига рис 4.1 4.3. Обработка результатов измерений, диаграммы сдвига В соответствии с методикой изложенной в п. 1 выполняются следующие действия направленные на определение параметров 0 , nτ функции распределения напряжений трения. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 94 0( ) , nxx e−τ = τ (4.1) 1) путем графического построения находим по рис. 4.1 вспомогательную величину 315·10nx −= мм; 2) по формуле (1.4) находим показатель степени n: 3 3 1 1 0, 067 10 15, 6 10 ; n n x − ⋅ ⋅ = = = ; (4.2) 3) по графику максимальное сдвиговое усилие: 4, 2F∞ = кг; 4) ширина площадки контакта: 1/ 216, 9 4,11( )B = = мм; 5) максимальное касательное напряжение определяется по (1.2): 0 6, 064 4, 2 66, 5 4,11 n F B ∞ ⋅⋅τ = = = кг/мм2; (4.3) 6) напряжение трения с учетом (4.2) и (4.3) определяется по (4.1) из выражения: 3(6,064 10 )( ) 66, 5 ,xx e− ⋅τ = ⋅ ; (4.4) 7. Результаты расчетов ( )хτ при разных х приведены в табл. 4.1 и на графике рис. 4.1. 6,4( ) 66, 5 ,xx e−τ = ⋅ . (4.5) Рис. 4.1 – Диаграмма сдвига 4.4. Работа трения (энергия): 1) по определению: max 0 ,( ) x E F x dx= ∫ (4.6) 2) при ( ) 1 ,( )nxF x F e−∞= − (4.7) ( ) max max 0 1 1 xx nx nx o E F e dx F x e n − − ∞ ∞  = − = − ⋅ − ∫ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 95 max 0 max 1 1 0nxE F x e e n n − ∞      = − ⋅ − − ⋅    − −     max max max 1 1 1 max nx n x E e E x n x − ∞ ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ ( )max max max 1 1 1 ,nx E e E x n x − ∞ = + − ⋅ ⋅ (4.8) При 1 15 n = max 40,x = 15 40 max 15 1 1 , 40 E e E x − ∞ +   = −  ⋅   max 1 0, 375 0, 313 1 0,117 0, 883,( ) E F x∞ −= + ⋅ − = = ⋅ max 0, 883.( )E F x∞= ⋅ ⋅ Работа трения может быть мерой напряжённости сопряжения при трении и фреттинг-износе. 4.5. Оценка влияния амплитуды на фреттинг износ 1. При малых амплитудах смещений поверхностей большей повреждаемости подвергается на- чальный (левый) участок контакта, в котором как найдено в решении, касательные напряжения могут быть в несколько раз больше, чем на остальной части контакта при равном пути трения. 2. Используя модель изнашивания в форме: m w wu K S= ⋅ σ ⋅ . (4.10) С учетом трения по Кулону f τ σ = имеем: m w w mu K Sf τ = ⋅ ⋅ . (4.11) 3. Если принять для одной пары трения величины wK , , ,m f S, f , S постоянными, то влияние ам- плитуды смещений можно выразить через износ (4.11). При 1m = : 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) w w u x u x δ τ = δ = δ τ = δ . (4.12) 4. Например (с учетом табл. 4.1) при δ1 = x = 0,01 мм; δ2 = х = 0,04 мм по (4.12) отношение из- носов будет: 1 1 2 2 0, 01 35 7 0, 04 5,1 ( ) ( ) w w мм мм u u δ = = = δ = раз. Фреттинг износ при амплитуде δ1 = 10 мкм больше износа при δ2 = 40 мкм в 7 раз. 5. Сдвиг плоских стыков направляющих станков по [3] 5.1. Условия испытаний: 1. Измерения ( )F x для диаграммы сдвига выполнена на натуральных направляющих скольже- ния станков. 2. При нормальном давлении σ = = =3,5 кг/см2 = 0,035 кг/мм2 без смазки и со смазкой; 3. Площадь контакта 51 см2 = 5100 мм2. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 96 5.2. Результаты испытаний представлены в табл. 5.1 и на рисунке рис. 5.1 Таблица 5.1 Без смазки Со смазкой № п/п х, мкм х · 10-3, мм F(x), кг τ(х), кг/мм2 х, мкм F(x), кг τ(х), кг/мм2 0 - - 1587 - - 1478 1 0,05 - 6,1 - 0,1 6,1 - 2 0,1 - 12,2 - 0,13 12,2 - 3 0,2 - 18,4 - 0,25 18,4 - 4 0,32 - 24,5 - 0,36 24,5 - 5 0,55 - 30,6 - 1,0 28,5 - 6 0,7 0 33,6 91 - - 36,5 Рис. 5.1 графики функций F(x): 1 – без смазки; 2 – со смазкой 5.3. Обработка результатов испытаний: 1) определение максимального касательного напряжения производится по(4.3): 0 ; n F B ∞⋅τ = по (5.1) 2) при площади контакта В1 = 51 см2, В2 = 225 см2 величину В определяем как для площади квадрата: 1/ 2 1 5100 71, 4( )B = = мм; 2В 1/ 2 1 22500 150( )B = = мм. 5.3.1. Сдвиг без смазки 1) по табл. 5.1 F∞ = 30,6 кг; 2) по графику в соответствии с графическим способом определения находим nx = 0,27 мкм = 0,27 · 10 -3 мм соответственно: 3 3 1 1 3, 7 10 0, 27 10n n x − ⋅ ⋅ = = = 1/мм; 3) определяем 0τ при В1 = 71,4 мм: 3 0 1 10 30, 6 1587 0, 27 71, 4 ( ) ⋅ ⋅ τ = = кг/мм2; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 97 4) определим 0τ при В2 = 150 мм: 3 0 2 10 30, 6 755 0, 27 150 ( ) ⋅ ⋅ τ = = кг/мм2; 5) распределение ( )хτ : 33,7 101587 ,( ) xx e− ⋅ ⋅τ = ⋅ (5.2) при 30, 7·10х −= мм: 3 3,7 /0,7 2,860, 7 10 1587 1587 91( ) e e− − −⋅τ = ⋅ = ⋅ = кг/мм2. 5.3.2. Сдвиг со смазкой 1) по табл. 5.1 F∞ = 28,5 кг; 2) по графику в соответствии с графическим способом определения находим nx = 0,27 мкм = 0,27·10-3 мм соответственно: 3 3 1 1 3, 7 10 0, 27 10n n x − ⋅ ⋅ = = = 1/мм. 1) определяем 0τ при 1В = 71,4 мм: 3 0 10 28, 5 1478 0, 27 71, 4⋅ ⋅ τ = = кг/мм2; 2) распределение ( )хτ : 33,7 101478 ,( ) xx e− ⋅ ⋅τ = ⋅ (5.2) при 31·10х −= мм, 3 3,7 /11 10 1478 36, 5( ) e− −⋅τ = ⋅ = кг/мм2. Выводы 1. В соответствии с теоретическим решением задачи о сдвиге сжатых поверхностей вариацион- но-экспериментальным методом (ВЭМτ) [1] разработана методика и анализ её практического использо- вания, решения. 2. На основании анализа экспоненциальной функции распределения напряжений трения по сжа- тым поверхностям при трении; предложен механизм трения скольжения при сдвиге; (механизм подобен скольжению дислокаций в физике металлов). 3. Выполнен методический пример эксперимента по определению функций распределения на- пряжений трения при сдвиге поверхности поролона. 4. В качестве примера реального практического применения решения ВЭМτ выполнен экспери- мент по сдвигу кругового контакта из Стали 45. 5. На основе анализа решений предложена модель объясняющая влияние на износ амплитуды реверсивных скольжений при фреттинг износе. Повышенный фреттинг износ при малых амплитудах объесняется концентрацией напряжений трения в начальной части контакта. 6. Выполнен анализ касательных напряжений трения в направляющих станков по данным Леви- ной З.М. [3]. Литература 1. Кузьменко А.Г. Вариационно-экспериментальный метод в контактной механике сдвиговых перемещений и напряжений // Проблемы трибологии. – 2013. – № 1. – С. 144 - 153. 2. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. – М.: Металлургия, 1975. – 208 с. 3. Решетов Д.Н., Левина З.М. Контактная жесткость машин. – М.: Машиностроение, 1971. Поступила в редакцію 24.04.2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Контактная механика сдвига сжатых поверхностей. Методика и примеры расчетов Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 2 98 Kuzmenko A.G. Contact mechanics of change of the compressed surfaces. Method and examples of calcula- tions. In accordance with the theoretical decision of task about the change of the compressed surfaces a varia- tion experimental method is develop a method and analysis of its practical use. On the basis of analysis of expo- nential function of distributing of tensions of friction on the compressed surfaces the mechanism of sliding fric- tion is offered at a change.The methodical example of experiment on determination of functions of distributing of tensions of friction is executed at the change of surface of foam rubber. On the basis of analysis of decisions the model of influence on the wear of amplitude of the reversible sliding is offered at fretting wear. Enhanceable fretting wear at small amplitudes is explained the concentration of tensions of friction in initial part of contact. Keywords: co-operation of surfaces, variation - experimental method, change, fretting wear. References 1. Kuz'menko A.G. Variacionno-jeksperimental'nyj metod v kontaktnoj mehanike sdvigovyh peremeshhenij i naprjazhenij, Problemy tribologii. 2013. No 1. pp. 144 - 153. 2. Novikov I.I. Defekty kristallicheskogo stroenija metallov. M.: Metallurgija, 1975. 208 p. 3. Reshetov D.N., Levina Z.M. Kontaktnaja zhestkost' mashin. M. Mashinostroenie, 1971. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com