19_Kuzmenko.doc Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 135 Кузьменко А.Г. Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина ПУТЬ ТРЕНИЯ КАК БАЗОВОЕ ПОНЯТИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИИ КОНТАКТИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ УДК 621.891 Дано определение пути трения для случая трибосистемы двух контактирующих поверхностей для случая, когда одна из поверхностей подвижна, другая неподвижна. Процедура определения и сущность величин пути тре- ния показаны на примере дискретного контакта микровыступов и на примере контакта континуальных поверхно- стей. Приведены примеры практического определения путем трения для разных пар трения. Показано, что эффекты разного износа пар трения в разными коэффициентами взаимного перекрытия можно объяснить разными путями трения для контактирующих поверхностей. Показано, что эффект влияния прямой либо обратной пары на износ также объясняется разной величиной пути трения в одном и другом случаях. Ключевые слова: путь трения, дискретный контакт, износ, пара трения, коэффициент перекрытия. Введение 10. При рассмотрении процессов трения и изнашивания поверхностей различают следующие ос- новные факторы или характеристики в контакте: I. Силовые характеристики; 1) контактное давление σ или сила, приходящаяся на единицу площади; 2) касательное напряжение τ или сила трения на единице площади контакта. ІІ. Кинетические или геометрические характеристики сопряжения: 1) размеры пло- щадки контакта; 2) глубина вдавливания; 3) предварительное смещение; 4) проскальзывание или взаим- ное смещение контактирующих точек; 5) суммарная величина взаимного проскальзывания носит назва- ние путь трения ( s ) контактирующих точек. 20. Особо важную роль играет путь трения в моделях изнашивания сопряжений. Так простейшая модель изнашивания в дифференциальной форме имеет вид: mw w du k ds = σ , (1) где wu − износ; s − путь трения; ,wk m − параметры модели; σ − контактное давление; wdu ds − безразмерная величина интенсивность изнашивания. В интегральной форме модель изнашивания имеет вид: m w wu k s= σ . (2) Таким образом, очевидно, что в простейшей модели главными факторами являются давление σ и путь трения s . В связи с этим точность определения величины износа зависит от определения давле- ния и пути трения. 30. Для определения контактного давления в механике твердого деформируемого тела создан специальный раздел – контактная механика. В пределах этого раздела, начиная от работ Г.Герца созданы десятки методов решения контактных задач по определению параметров в контакте: давления, размеров площадки и т.д. В частности нами разработаны следующие методы решения контактных задач: 1) метод алгеб- раических уравнений [4]; 2) метод подобия или приведенного радиуса [5]; 3) вариационно- экспериментальный метод решения задач пластичности [6]; 4) метод решения квазигерцевских задач [5] и д.р. В тоже время методам определения пути трения в теории и практике уделяется явно недостаточ- но внимания. На устранение этого недостатка и направлена данная работа. 1. Кинематика сдвига и трения в дискретном контакте 1.1. Уровни, схема и этапы формирования 1.1.1. Уровни контакта. Традиционно различают по масштабу и размерам площадок контакта следующие уровни: 1) номинальный контакт и номинальная площадь контакта aA площадь проекции контактной (опорной) части тела на плоскость направления скольжения; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 136 2) контурная площадь контакта cA площадь контакта образованная вследствие волнистости по- верхности; контурная площадь располагается на номинальной так, что cA < aA ; 3) фактическая площадь контакта rA − площадь образованная при взаимодействии на поверхно- стях микронеровностей или шероховатостей; 4) физическая или нано площадь (или нано область) контакта HA площадь контакта в зоне взаи- модействия атомов контактирующих тел. 1.1.2. Этапы формирования развития и разрушения контакта 1) формирование площадей контакта под действием нормальной нагрузки N на весь контакт и нормальных давлений на единицах площади контакта это нормальный контакт; 2) при разовом приложении касательной силы T площади контакта на всех уровнях изменяются (увеличивается) для упругого контакта на 3%, для пластического на 11-85%; 3) при длительном приложении силы T происходит сдвиг или взаимное проскальзывание по- верхностей: (3.1) при упругом контакте сдвиг сопровождения утрясет волной перед подвижной поверх- ностью; (3.2) при пластическом контакта возможен пластический сдвиг или микрорезание; (3.3) при глу- боком пластическом деформировании возможно схватывание и вырывы пластической поверхности; 4) при многократном приложении касательной силы T (4.1) при упругом контакте происходит изнашивание по усталостному механизму с образованием трещины; (4.2) при пластическом деформиро- вании изнашивание по механизму микропластического удаления частиц поверхности. 1.2. Взаимное проскальзывание микровыступов при сдвиге тел 1 и 2 1.2.1. Единичный выступ на системе выступов 1) схема взаимодействия и обозначения (рис. 1.1); Рис. 1.1 – Схема сдвига в контакте дискретных микронеровностей 2) обозначения: 1 – подвижное тело 1; 2 – неподвижное тело 2; 11 1... na a положения неровностей подвижного тела 1; 11 1... nв в положения неровностей неподвижного тела 2; ∆ расстояние площадки кон- такта для выступа 11a ; 3) при сдвиге тела 1 на шаг неровностей ∆ : путь трения для выступа 11 1a s− = ∆ ; путь трения для выступа второго тела 11в 2 112s a= ; 4) при сдвиге тела 2 на 2x = ∆ 1 2s = ∆ ; 1 112s a= ; 5) при сдвиге тела 2 на x n= ∆ 1s n= ∆ ; 1 112s a= . 1.2.2. Проскальзывание континуальных поверхностей 1.2 при подвижном теле 1 с малой пло- щадки 1) схема сдвига (рис. 1.2); 2) обозначения: 1 подвижное тело с ограниченным участком с размером в направлении движе- ния 2a ; 2x − перемещение тела 1 в положение II; 3x − перемещение тела 1 в положение II; 11 21,a a положение точек 1a и 2a при 0x = ; 12 22,a a тоже при 2 13, 23;x x a a= − при 3x x= ; 3) путь трения контактных точек для тела 1: 12 22 2( ) ( )s a s a x= = ; 4) путь трения для контактных точек тела 2: 11 21 12 22 13 23( ) 0, ( ) 0; ( ) 2 ; ( ) 0; ( ) 2 ; ( ) 0s в s в s в a s в s в a s в= = = = = = . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 137 Рис. 1.2 – Схема сдвига разных по площади дискретно континуальных поверхностей при теле 1 подвижном 1.2.3. Проскальзывание континуальных поверхностей 1.2 при подвижном теле 2 с большей пло- щадкой 1) схема (рис. 1.3); Рис. 1.3 – Схема сдвига тела большей площади 2) пути трения: 13 23 12 22 11 21( , ) ( , ) ( , ) 2 ;s в в s в в s в в a= = = 12 22 2 13 23 3( , ) ; ( , ) .s a a x s a a x= = 2. Определение (дефиниция) понятия путь трения 2.1. Схема контакта 10. Рассмотрим кинематическое взаимодействие плоскости двух тел рис. 1: 1) подвижное, тело 2 неподвижное; при этом тело 1 меньше площадки контакта; 2) при этом площадь возможной контактной поверхности подвижного тела 1, 1A меньше воз- можной площади поверхности контакта тела 2, 2 1 2,A A A< (рис. 1.4). Рис. 1.4 – Схема для объяснения понятия путь трения 20. Прежде чем давать определение понятия путь трения заметим, что путь трения для контакт- ных точек поверхности в значительной степени зависит: 1) от подвижности или неподвижности тела; 2) от соотношения площадей контакта 1 2/A A , а точнее от размеров площадей контакта в на- правлении сдвига контактирующих тел; 3) очевидно, что путь трения зависит от размера площадки контакта, которую можно опреде- лить, только пользуясь методами контактной механики; 4) на износ влияет не только путь трения, s например по (1.2), но и скорость скольжения v , ко- торую можно определить зная путь трения ds v dt = ; 5) температура трения также определяется через путь трения и работу трения. 2.2. Определения (дефиниции) Определение 1. Путь трения для точек контактной поверхности тела 1 равен пути, который про- ходят контактные точки поверхности тела 2 по контактным точкам поверхности тела 1. Пример 1: 1) при смещении тела 1 на расстояние 2l путь трения для точки 11a 11 2 2( )s a l= (рис. 1.4); PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 138 2) для точки 11в при этом 11 2 1( )s в l l= − ; 3) при смещении тела 1 в положение 1.3 путь трения для точки 11a до положения 13 будет равен 11 13 3( )s a a l→ = , а для точки 11в 11 13 3 1( )s в в l l→ = + . Определение 2. Путь трения для контактных точек тела 2 равен пути, который проходят кон- тактные точки тела 1 по контактным точкам тела 2. Пример 2. 1) при перемещении тела 1 в положение 1.2 путь трения для точки 1в 1( ) 0s в = ; а для точки 2в 2 1( )s в l= ; 2) при перемещении тела 1 в положение 1.3 путь трения для точек 22a и 22в 22 22 1( , )s a в l= , т.е. ширине тела 1. Замечание: в определениях тело 1 подвижное тело 2 неподвижное при этом 1 2A A> . Если на- оборот тело 1 подвижное 2 неподвижное, то в определениях необходимо заменить номера тел и обра- щать внимание на размеры площадей. Сущность понятий лучше усваивается на примерах сопряжений, к рассмотрению которых мы переходим в следующем подразделе. 2.3. Примеры практического определения величины пути трения 2.3.1. Систематизация пар трения по геометрии и кинематике 2.3.2. Примеры: 1) SP − шар плоскость, поступательное движение шара 2 площадках, контакта 2a : 1) путь трения 1s для контактных точек шара 1s x= ; 2) путь трения 2s для контактных точек плоскости 2 2s a= . 2. 2 SP F ϕ : шар-плоскость, вращательное движение шара на угол ϕ или 2 ntπ , где n об/мин, t мин., 1 22 , 2s Rnt s a= π = ; 3. 2 1 R F : цилиндр-плоскость поступательного x движение плоскости, площадка контакта 2a , путь трения 1 2, 2s x s a= = . 3. Коэффициент взаимного перекрытия взK и путь трения s . 3.1. Определение понятия взK 1) пусть поверхность тела 1 с площадью трения 1aA скользит по поверхности тела 2, образуя для тела 2 площадь поверхности износа 2aA (рис. 3.1); Рис. 3.1 – Схема к объяснению понятия взK 2) по Крагельскому И.В. [1] коэффициент взаимного перекрытия представляет собой отношение площадей трения контактирующей пары трения то есть; 1 2 a вз a A K A = , при этом: 1) как правило, меньшая площадь делится на большую; 2) в определении [1] также не указыва- ется какая поверхность движения, а какая неподвижна; 3) понятие взK было впервые введено Чичинадзе А.В. [7] в 1954 году в диссертации по темпера- турным полям при трении и в дальнейшем использовалось более 50 лет при оценках теплонапряженно- сти узлов трения и рекомендовалось к использованию во многих монографиях и справочниках; 4) еще на ранней стадии использования отличалось, что более точно определять, взK принимая в (3.1) не номинальные а контурные площади трения поверхностей; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 139 5) в исследованиях работоспособности таких узлов трения как тормоза и фрикционные муфты взK использовались как конструкционный фактор, влияющий на теплонапряженность; 6) количественный моделей описывающих это влияние в литературе нами не найдено; 7) в связи с этим здесь нами дается некоторая простая модель влияния взK на теплонапряжен- ность пары трения. В основе этой модели лежит использование более частных понятий о пути трения контактирующих поверхностей. 3.2. Распределение тепловых потоков и взK 3.2.1. Количество тепла при выделяющемся трении 1) основным физическим эффектом при трении является выделение тепла. При этом выделение тепла TPQ пропорционально работе сил трения TPA : TP TP TPQ kA kF s= = , (3.1) где TPF − сила трения; TPF fN= , (3.2) f − коэффициент трения; N − номинальная сила в контакте; TPS − путь трения скольжения; k − коэффициент пропорциональности; (3.2) → (3.1) ⇒ ; TPQ kfNs= . (3.3) 3.2.2. Уточнение определения коэффициента взаимного перекрытия Пусть тело 1: 1) контактирует с поверхностью тела 2 по площадке площадью 1A ; 2) скользит по поверхности тела 2, оставляя след от контакта; площадь этого следа будем называть площадь трения второго тела 2A ; 3) коэффициентом взаимного перекрытия взK называют отклонение площадей трения первого и второго тел: 1 2 вз A K A = , (3.4) 3) по определению п.2 путь трения для подвижного тела 1, 1s будет равен размеру площадки 2A по направлению скольжения: 1 1s x= ; 4) путь 2s трения для контактных точек неподвижного тела равен размеру площади 1A в на- правлении скольжения: 2 2s a= ; (3.5) 5) с учетом п.3) и 4) выражение (3.4) приобретает вид: 2 1 1 2 вз sв a K вx s = = , (3.5) т.е. взK равен отношению пути трения тела 2 к пути трения скольжения тела 1. 3.2.3. Влияние теплопроводности λ и температуропроводности α на распределение тепловых потоков 1) обозначим через 1Q и 2Q количество тепла, которые может пропустить контактная граница поверхностей трения. В соответствии с общей теорией теплопроводности [2] тепловые потоки 1Q и 2Q находятся в следующем соотношении: 1/ 2 1 1 2 2 2 1 Q a Q a  λ =   λ   , (3.6) где 1 2,λ λ теплопроводности, 1 2,a a температуропроводности тел 1 и 2; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 140 3.2.4. Согласование образования и отвода тепла из контакта 1) в соответствии с (3.3) количество тепла 1 2, TP TPQ Q при трении тел 1 и 2 определяется соот- ношением: 1 1 TPQ kfNs= , (3.7) 2 2 TPQ kfNs= ; (3.8) 2) будем полагать, что отношение количества тепла отведенного первым IQ и вторым IIQ те- лами пропорционально образованному по (3.7), (3.8) теплу и возможностями отводить это тепло по (3.6): 1 1 2 2 TP I TP II Q Q Q Q Q Q = ; (3.9) 3) (3.6), (3.7), (3.8) → (3.9) ⇒ 1/ 2 1 1 2 2 2 1 I II Q s a Q s a  λ =   λ   ; (3.10) 4) или с учетом (3.5): 1/ 2 1 2 2 1 1I II вз Q a Q a K  λ =   λ   . (3.11) Связь износа контактирующих поверхностей с взK . 1) износ подвижного тела 1 при пути трения 1 1s x= : 1 1 1 1 m w wu k s= σ ; (3.12) 2) износ подвижного тела 2 при пути трения 2 2s a= : 2 2 2 2 m w wu k s= σ ; (3.13) 3) отношение износа тел 1 и 2: 1 1 1 1 2 2 2 2 m w w m w w u k s u k s σ = σ , (3.14) или 1 1 2 2 w w u s c u s = , (3.15) где 1 1 2 2 m w m w k c k σ = σ ; 4) учитывая, что 2 1 вз s K s = из (3.15) имеем: 5) 1 2 w w вз u c u K = . (3.16) Таким образом, отношение износа первого и второго тел обратно пропорционально коэффици- енту взаимного перекрытия. 3.3. взK , путь трения, скорость скольжения и продолжительность контакта 3.3.1. Скорости скольжения и взK 1) полученные ранее соотношения в связи тепловых потоков и износа с путем трения и взK лег- ко представить как выражения этих процессов через скорости проскальзывания 2) коэффициент взаимного перекрытия в скоростях скольжения имеет вид 1 2 вз s K s = , 1 1 2 2 / вз dt ds dt v K ds v ′ = = , (3.17) где 1 2,v v − скорости скольжении для тела 1 и тела 2. 3) с учетом (3.17) можно представить выражение для отношения износов (3.16). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 141 3.3.2. Продолжительность контакта kt 1) если известны скорости скольжения для 1 и 2 тела: 1 1 2 2/ , /v ds dt v ds dt= = , (3.18) то продолжительность контакта kt из (3.18) определяется выражением: 1 2 1 2 1 2 ,k k v v dt dt ds ds = = ; (3.19) 2) например при 1 50v = мм/с, 1 100s = мм, то 1 500мм 10с 50мм/сk dt = = ; 3) если площадка контакта 2 2 0, 2s a= = мм, 2 10v = мм/м, то 2 2 0, 2мм 2 10 с 10мм/сk t −∆ = = ⋅ ; 4) необходимость в определении продолжительности контакта возникает в частности, при рас- смотрении релаксационных процессов в контакте. 4. Путь трения и взK в прямых и обратных парах трения 4.1. Определения 1) прямой парой трения будем называть сопряжение, в котором подвижное тело 1 имеет площадь трения 1A существенно больше, чем площадь трения неподвижного тела 2A : 1 2A A>> в прямой паре 2 1s s>> ; 2) обратной парой трения будем называть сопряжение, в котором соответственно в подвижном теле 1 1 2A A<< , 2 1s s>> ; 3) коэффициент взаимного перекрытия в прямой паре трения: 1 1 2 2 1првз s A K s A = < , (4.1) в обратной паре трения: 1 1 2 2 1обрвз A s K A s = = > . (4.2) Таблица Схема и характеристика ППТ прямых пар трения, ОПТ обратных пар трения Схема 1 2,A A 1 2,s s взK ППТ 1 2 2A R B= π , 2 1 02A R B= ϕ 1 12s R= , 2 22s R= π 1 2 2 1 0 пр вз A R K A R π = = ϕ , 2 1 1вз s K s = > ОПТ 1 1 0 2A R B= ϕ , 2 22A R B= π 1 12s R= π , 2 12s R= π 1 01 2 2 вз RA K A R ϕ = = π , 1 2 np вз x K a = > ППГ 1 A xB= , 2 2A aB= 1s x= , 2 2s a= 1 2 np вз x K a = > , ОПТ 1 A aB= , 2A xB= 1s x= , 2 2s a= 2 1обрвз a K ч = < , ППТ - 1s x= , 2 2s a= - ОПТ - 1s x= , 2 2s a= - PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 142 4.2. Коэффициент кинематической реверсивности пары трения 4.1.1. Введение термина и понятия 1) из предыдущего рассмотрения очевидна качественная общность понятия коэффициента вза- имного перекрытия и понятий прямая и обратная пары трения; 2) поставим задачу установить количественную связь между этими понятиями; 3) в таблице 2 приведены примеры расчетных схем и определения площадей 1 2,A A и путей 1 2,s s трения для прямых и обратных пар цилиндр-втулка и шар плоскость; 4) в таблице также приведены соотношения для прямых и обратных пар трения, определенные в соответствии с определениями; 5) из анализа приведенных соотношений следует, что для прямых пар трения 1npвзK > , а для об- ратных пар трения 1npвзK < ; 6) для обоснованности выбора прямых или обратных пар трения необходимо анализировать пути трения в соответствующих парах. Выводы 1. Путь трения скольжения – одна из пяти главных характеристик пары поверхностей трения и узлов трения машин, определяющих их износ: давление σ , путь трения s , скорость скольжения v , тем- пература T 0С, вид и характер смазки. 2. Дано определение пути трения 1 2,s s для случая трибосистемы двух 1, 2F F контактирую- щих поверхностей для случая, когда одна из поверхностей (например 1F ) подвижна, другая 2F непод- вижна. 2.1. Процедура определения и сущность величин 1 2,s s показаны: 1) на примере дискретного контакта микровыступов (1.2.1); 2) на примере контакта континуальных поверхностей (п. 1.2.2). 2.2. Главная особенность понятия пути терния состоит в том, что эти величины различны для двух поверхностей пары трения: 1) путь трения 1s для контактных точек поверхности тела 1 равен пути трения, который прохо- дят контактные точки тела 2 по контактным точкам поверхности тела 1; 2) и несимметрично путь трения 2s для контактных точек поверхности тела 2 равен пути, кото- рый проходят контактные точки тела 1 по контактным точкам поверхности тела 2. 2.3. Приведены примеры практического определения путем трения для разных пар трения (п.3) 3. Показано, что эффекты разного износа пар трения в разными коэффициентами взаимного пе- рекрытия взK можно объяснить разными путями трения для контактирующих поверхностей. 4. Показано, что эффект влияния прямой либо обратной пары на износ также объясняется разной величиной пути трения в одном и другом случаях. 5. С целью установления связи пути трения с коэффициентом взаимного перекрытия взK и ко- эффициентом прямой и обратной пары взK и взK приведена таблица 2. 6. Установлено, что в прямых парах трения 1npвзK > и в обратных парах трения 1взK < . Литература 1. Крагельский И.В. Трение и износ. – М.: Машиностроение, 1968. – 480 с. 2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с. 3. Войтов В.А. Моделирование процессов трения и изнашивания в трибологических гидромашин как основа решения задач проектирования / дис. д.т.н. – Харьков: ХИЛ ВВСУ, 1997. – 322 с. 4. Кузьменко А.Г. Метод алгебраических уравнений в контактной механике. – Хмельницкий, ХНУ. – 2006. – 448 с. 5. Кузьменко А.Г. Развитие методов контактной трибомеханики. – Хмельницкий: ХНУ, 2010. 6. Кузьменко А.Г. Пластический контакт. Вариационно-экспериментальный метод. – Хмельниц- кий: ХНУ, 2009. 7. Чичинадзе А.В. Исследование температурных полей некоторых узлов сухого трения, диссер- тация, ИМАШ АН СССР, 1954. Поступила в редакцію 22.02.2013 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Путь трения как базовое понятие и характеристика при проскальзывании контактирующих поверхностей Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2013, № 1 143 Kuzmenko A.G. Way of friction as a base concept and description at slipping of contacting surfaces. Given determination of way of friction for the case of tribosystem of two contacting surfaces for a case, when one of surfaces is mobile, other is immobile. Procedure of determination and essence of sizes of way of friction is rotined on the example of discrete contact mikroburries and on the example of contact of continuous surfaces. The examples of practical determination are resulted by a friction for the different pair of friction. It is rotined that effects of different wear of pair of friction in it is possible to explain the different coefficients of the mutual ceiling by the different ways of friction for contacting surfaces. It is rotined that the effect of influence of direct or reverse pair on a wear is also explained different in size ways of friction in one and by a friend cases. Keywords: way of friction, discrete contact, wear, pair of friction, ceiling coefficient. References 1.. Kragel'skij I.V. Trenie i iznos, Mashinostroenie, 1968, 480 p. 2. Lykov A.V. Teorija teploprovodnosti, Vysshaja shkola, 1967, 600 p. 3. Vojtov V.A. Modelirovanie processov trenija i iznashivanija v tribologicheskih gidromashin kak osnova reshenija zadach proektirovanija, Har'kov, HIL VVSU, 1997, 322 p. 4. Kuz'menko A.G. Metod algebraicheskih uravnenij v kontaktnoj mehanike, Hmel'nickij, HNU, 2006, 448 p. 5. Kuz'menko A.G. Razvitie metodov kontaktnoj tribomehaniki, Hmel'nickij, HNU, 2010. 6. Kuz'menko A.G. Plasticheskij kontakt. Variacionno-jeksperimental'nyj metod, Hmel'nickij, HNU, 2009. 7. Chichinadze A.V. Issledovanie temperaturnyh polej nekotoryh uzlov suhogo trenija, dissertacija, IMASh AN SSSR, 1954. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com