5_Kuzaev.doc Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 27 Кузяев И.М., Анисимов В.Н. Государственное высшее учебное заведение «Украинский государственный химико- технологический университет», г. Днепропетровск, Украина АНАЛИЗ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ Введение Подшипники скольжения используются в качестве опор или направляющих в различных ма- шинных агрегатах, где трение происходит при скольжении сопряжённых поверхностей. При этом следу- ет различать два основных типа подшипников скольжения: радиальные и упорные. Первый тип с конст- руктивной точки зрения представляет собой корпус, в котором выполнено цилиндрическое отверстие, предназначенное для монтажа вкладыша или втулки из антифрикционного материала. При этом может быть также предусмотрено смазывающее устройство для подшипников, работающих в режиме жидкост- ного трения. В данном случае между валом и отверстием втулки подшипника имеется зазор, который за- полнен смазочным материалом, позволяющий свободно вращаться валу. Принято различать три основ- ных режима смазки подшипников скольжения: первый – граничный; второй – полужидкостной; третий – жидкостной. Первый режим является малоэффективным видом смазки, потому что происходит контакт большого количества микронеровностей. Для второго режима смазывания имеется контакт микронеров- ностей в ограниченном количестве точек. В случае осуществлении третьего режима контакта микроне- ровностей не происходит. В последнее время все большее значение приобретают подшипники скольжения с использовани- ем самосмазывающихся материалов. Подшипники скольжения и направляющие, которые функциониру- ют без дополнительной смазки, представляют собой значительный потенциал для оптимизации при про- ектировании, эксплуатации и модернизации различных типов оборудования во всех отраслях промыш- ленности. При этом одновременно можно добиться ощутимой экономии производства. Расчёт зазора подшипника, работающего в режиме разделения поверхностей трения смазочным слоем, производится на основе гидродинамической теории смазки. До настоящего времени выполнено множество экспериментальных и теоретических исследований в этом направлении и написано большое количество работ, среди которых можно выделить такие: [1 - 13]. Разработанные математические модели достаточно адекватно описывают процессы в том случае, когда отсутствуют значительные температур- ные градиенты в зоне контакта. Однако такие режимы характерны для функционирования подшипнико- вых узлов при незначительных скоростях и давлениях. При этом температурные градиенты значительно возрастают в случае использования вкладышей из полимерных композитов, вследствие значительно меньшей величины коэффициента теплопроводности в сравнении с металлическими вкладышами. Принцип функционирования подшипников скольжения с самосмазывающимися материалами основан на том, что при скольжении образуются частицы микро-абразива, которые высвобождают твер- дую смазку из слоя скольжения, запрессованную и внедренную в материал скольжения. В результате создается достаточно прочная пленка твердой смазки на сопрягаемых поверхностях. Истирание этой пленки скольжения, обусловленное, например, высокой скоростью движения или сторонними частица- ми, как правило, вызывает повышенный износ, что приводит к высвобождению очередной порции сухой твердой смазки, а это, в свою очередь, вызывает восстановление смазывающей пленки. Данный процесс особую ценность имеет при функционировании оборудования в тяжелых условиях работы. Наибольшее распространение получили подшипники скольжения со сферической и цилиндри- ческой формой исполнения, формы исполнения которых представлены на рис. 1. а б Рис. 1 – Форма исполнения подшипников скольжения: а – сферическая; б – цилиндрическая с внутренним уплотнением PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 28 Постановка проблемы Для описания неизотермических процессов, происходящих в узле подшипника скольжения ци- линдрической формы без смазки, представим рабочий элемент согласно схеме, показанной на рис. 2. На схеме, представленной на рис. 2, предполагается, что вал 3 вращается с частотой 0N . При этом линейная скорость вала cV определяется из следующей зависимости: 02 NRV vc ⋅⋅π⋅= . (1) Рис. 2 – Расчетная схема для моделирования тепловых процессов в подшипниках скольжения: 1 – вкладыш (втулка); 2 – корпус; 3 – вал Чтобы выполнить анализ тепловых полей для данной схемы, введем следующие допущения: со- ставляющую переноса тепла за счет теплопроводности будем учитывать только вдоль оси r ; тепловое поле осесимметрично относительно координаты ϕ , т.е. имеем 0/ =ϕ∂∂T . Тогда будет справедливо следующее дифференциальное уравнение при описании температурного поля для втулки, т.е. для слоя 1 на рис. 2:       ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅⋅λ= ∂ ∂ ⋅⋅ρ 2 1 2 1 1 1 11 ),(),(1),( r trT r trT rt trT Сp , (2) где 1 – индекс, характеризующий параметры втулки 1 (далее индексы 2 и 3 будут обозначать со- ответственно корпус 2 и вал 3); ρ – плотность; pC , λ – коэффициенты соответственно теплоемкости и теплопроводности. Для уравнения (2) следует иметь два граничных условия по координате r и начальное условие по времени t . Для втулки 1 на внутренней границе, вследствие наличия сил трения между ней и валом 3, сле- дует принять температурное условие второго рода, которое можно представить следующим образом: vqr T = ∂ ∂ ⋅λ 11 при vRr = , (3) где vq – тепловой поток на границе раздела, который можно записать так: [ ]),(),( 113 thRTtRTh PfVq vvv v cvcv −−⋅ λ −⋅⋅= , (4) где vf – коэффициент трения между втулкой и поверхностью вала; cP – давление, развиваемое на границе контакта. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 29 Аналогично на наружной границе втулки 1 будем иметь: nqr T = ∂ ∂ ⋅λ 11 при nRr = , (5) где [ ]),(),( 112 thRTtRTh q cvn v n +−⋅ λ −= . (4, а) Решение тепловой задачи методом интегрального преобразования Лапласа Для решения уравнения (2) воспользуемся методикой, разработанной в работах [14 - 25] на базе интегрального преобразования Лапласа [26, 27]. Выполняя преобразование по времени t , получим опе- раторный аналог в виде: 1 1 1 1 2 1 2 1 a T T a s dr dT rdr Td nL LL −=⋅−⋅+ , (6) где LT1 – изображение температуры ),(1 trT ; s – переменная Лапласа; nT – начальная температура рассматриваемого элемента; 1a – коэффициент температуропроводности. Решение уравнения (6) имеет следующий вид [28]:         ⋅⋅⋅+        ⋅⋅⋅+= ri a s YCri a s JC s T T nL 1 02 1 011 , (7) где 0J , 0Y – функции Бесселя первого рода нулевого порядка; i – мнимая единица; 1C и 2C – константы интегрирования. Чтобы определить константы интегрирования, следует записать граничные условия в оператор- ном виде. При этом операторные аналоги граничных условий согласно с выражениями (3) и (5) будут иметь вид (пренебрегая при этом величиной δ в сравнении с vR ): s q dr dT v L =⋅λ 11 при vRr = ; (8) s q dr dT n L =⋅λ 11 при nRr = . (9) Подставляя граничные условия (8) и (9) в (7), определяем константы интегрирования. После чего выражение для определения температурного поля во втулке 1 для изображения будет иметь вид: )( ),(2 )( ),(1 1 1 1 1 1 sB rsA s a is q sB rsA s a is q s T T nvnL ⋅⋅ ⋅λ⋅ +⋅⋅ ⋅λ⋅ += , (10) где         ⋅⋅⋅        ⋅⋅−        ⋅⋅⋅        ⋅⋅= ri a s JRi a s Yri a s YRi a s JrsA nn 1 0 1 1 1 0 1 1),(1 ;         ⋅⋅⋅        ⋅⋅−        ⋅⋅⋅        ⋅⋅= ri a s YRi a s Jri a s JRi a s YrsA vv 1 0 1 1 1 0 1 1),(2 ;         ⋅⋅⋅        ⋅⋅−        ⋅⋅⋅        ⋅⋅= nvvn Ria s JRi a s YRi a s JRi a s YsB 1 1 1 1 1 1 1 1)( . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 30 Чтобы найти выражение для распределения температурного поля во втулке в оригинале, необхо- димо определить оригинал каждого из трех членов в правой части уравнения (10). При этом второй и третий члены умножим и разделим на комплекс ( is ⋅ ), после чего получаем: )( ),(2 )( ),(1 1 2 1 1 2 1 1 sB rsAisa s q sB rsAisa s q s T T nvnL ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅λ − ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅λ −= . (11) Для первого члена имеем: n n T s T → . (12) Чтобы определить оригиналы второго и третьего членов, следует предварительно представить их как произведение двух функций, а именно (на примере второго члена): )(2)(1 )( ),(11 2 1 ss sB rsAisa s q v Φ⋅Φ= ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅λ , (13) где 2 1 1)(1 s aq s v ⋅λ ⋅ =Φ ; )( ),(1 )(2 sB rsAis s ⋅⋅ =Φ . При записи третьего члена необходимо vq заменить на nq . Для определения оригинала правой части соотношения (13) следует воспользоваться теоремой умножения (теоремой Бореля), что в общем виде можно представить таким образом: ∫ ττϕ⋅τ−ϕ→Φ⋅Φ t dtss 0 )(2)(1)(2)(1 , (14) где )(2),(1 tt ϕϕ – оригиналы соответственно изображений )(2),(1 ss ΦΦ . Оригинал )(1 tϕ имеет вид: t aq s aq vv ⋅ λ ⋅ → ⋅λ ⋅ 1 1 2 1 1 . (15) Оригинал )(2 tϕ можно определить, используя вторую теорему разложения в виде: ∑ ∞ = τ⋅⋅ ⋅⋅ → ⋅⋅ 1 )exp( )( ),(1 )( ),(1 k k k kk s sdB rsAis sB rsAis , (16) где kss sB ds d sdB k = = )()( ; ks – полюсы. Полюсы в данном случае можно представить так: 2 2 1       ⋅= i P R a s k v k , (17) где kP – нули для kss sB =)( . С учетом (14) и (16) имеем: ( )∫∑ ττ⋅⋅τ−⋅ ⋅⋅ ⋅ λ ⋅ →Φ⋅Φ ∞ = t k k k kkv dst sdB rsAisaq ss 011 1 )exp( )( ),(1 )(2)(1 . (18) Окончательно оригинал для выражения (11) будет иметь вид: ∑∑ ∞ = ∞ = Ψ⋅ ⋅ ⋅ λ ⋅−Ψ⋅ ⋅ ⋅ λ ⋅−= 1 2 11 2 1 1 )( )(22 )( )(12 ),( k k kk kv n k k kk kv vn tZnP rKR qt ZnP rKR qTtrT , (19) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 31 где kk k k ZnZnP Zn 21 2 −⋅= ; ( ) ( ) ( ) ( )nvkkknvkk RPJPYPJRPYZn ⋅⋅−⋅⋅= 11111 ; ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )nvkkknvk nvkkknvknvk RPJPYPJRPY RPJPYPJRPYRZn ⋅⋅−⋅⋅+ +⋅⋅−⋅⋅⋅= 1001 01102 ; )()()()()(1 0101 vknvkvknvkk RrPJRPYRrPYRPJrK ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= ; )()()()()(2 0101 vkkvkkk RrPYPJRrPJPYrK ⋅⋅−⋅⋅= ; ( ) 1exp)( −⋅+⋅−=Ψ tKttKtt kkk . С учетом соотношений (4) и (4а) в уравнении (19) на данном этапе значения температур на гра- ницах ),( tRT v и ),( tRT n неизвестны. Чтобы их найти, следует записать систему уравнений, получен- ную из формулы (19) при подстановке в нее граничных значений vRr = и nRr = . Тогда в матричной форме данную систему можно представить так:       =      ×      1 0 1,10,1 1,00,0 V V MM MM T T nc vv , (20) где ),( tRTT vvv = , ),( tRTT nnc = ; )( 2 1 1 1 3 0,0 tKvh R M v v ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −= , )( 2 2 1 2 1,0 tKvh R M c v ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −= ; )( 2 1 1 3 0,1 tKnh R M v v ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −= , )( 2 1 2 1 2 1,1 tKnh R M c v ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −= ; )( 2 )( 2)(2 1 1 3 2 1 2 1 1 0 tKvh RT tKv h RTtKvRPfV TV v vvv c vncvcvc n ⋅λ⋅ λ⋅⋅⋅ −⋅ λ⋅ λ⋅⋅⋅ − λ ⋅⋅⋅⋅⋅ −= ; )( 2 )( 2)(2 1 1 3 2 1 2 1 1 1 tKnh RT tKn h RTtKnRPfV TV v vvv c vncvcvc n ⋅λ⋅ λ⋅⋅⋅ −⋅ λ⋅ λ⋅⋅⋅ − λ ⋅⋅⋅⋅⋅ −= ; ∑ ∞ = ⋅ Ψ⋅ = 1 1 )()(1 )( k kk kvk ZnP tRK tKv , ∑ ∞ = ⋅ Ψ⋅ = 1 2 )()(2 )( k kk kvk ZnP tRK tKv ; ∑ ∞ = ⋅ Ψ⋅ = 1 1 )()(1 )( k kk knk ZnP tRK tKn , ∑ ∞ = ⋅ Ψ⋅ = 1 2 )()(2 )( k kk knk ZnP tRK tKn . В результате изменения температурного поля по объему тела будут изменяться и его характери- стики в той или иной мере. Наиболее сильное температурное влияние при этом сказывается на коэффи- циенте трения, изменение которого влечет и перераспределение ряда параметров. Наиболее важными из этих параметров являются следующие: износ поверхности контакта, контактное давление и напряженное состояние в теле вкладыша. При наличии перепада температур в цилиндрической втулке температурные напряжения можно рассчитать по следующим формулам [29]: ( ) ( )                     ⋅ ⋅ + +     ⋅−     ⋅ ⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ v nvn n n v v v n vn R R r RR r R R r R R R R RR TTE rr ln lnln ln)1(2 )( 2 22 22 22 21 ; (21) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 32 ( ) ( )                     ⋅ ⋅ − −      −⋅−      −⋅ ⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ v nvn v v n n v n vn R R r RR r R R r R R R R RR TTE rt ln 1ln1ln ln)1(2 )( 2 22 22 22 21 ; (22) ( ) ( )             −⋅−      −⋅⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ r R R r R R R R RR TTE rz vv n n v n vn 2 1ln 2 1ln ln)1(2 )( 22 22 21 , (23) где )(rrσ , )(rtσ и )(rzσ – соответственно радиальные, кольцевые и осевые напряжения; 1T и 2T – температуры соответственно на внутренней и наружной поверхностях втулки 1; α – коэффициент линейного расширения; E – модуль упругости; µ – коэффициент Пуассона. Для того чтобы выполнить расчет по приведенным формулам, следует знать основные характе- ристики материала. Наиболее часто в качестве материала втулки используется полиамид ПА-6 и его композиты. В табл. 1 приведены основные физико-механические свойства полиамида ПА 6 210/310 по ОСТ 6-06-С9-93. Таблица 1 Физико-механические свойства полиамида ПА 6 210/310 по ОСТ 6-06-С9-93 № п\п Наименование показателя Значение 1 Плотность, кг/м3 1,13 - 1,14 2 Температура плавления, °С 217 - 219 3 Разрушающее напряжение при растяжении, МПа 65 - 75 4 Относительное удлинение при разрыве, %, не менее 70 5 Коэффициент теплопроводности при комнатной температуре 0,27 - 0,28 6 Средний коэффициент линейного теплового расширения 10-5 1/К в интервале температур: от -70 °С до + 20 °С; от 20 °С до 160 °С 1 - 8 8 - 10 7 Изгибающее напряжение при величине прогиба, равной 1,5 толщины образца, МПа 25 - 30 8 Износ по сетке, мм3 (м·см2) 1,5 - 2,0 9 Коэффициент трения по стали 0,15 - 0,25 10 Модуль упругости при растяжении, МПа 1500 - 1600 11 Модуль упругости при изгибе, МПа 1400 - 1600 12 Предел текучести при растяжении, МПа, не менее 65 13 Ударная вязкость, кДж/м 2: без надреза; с надрезом 100 - 120 5 - 10 14 Предел текучести при сжатии, МПа - 15 Напряжение при деформации сжатия 25 %, МПа 90 - 100 16 Твердость вдавливания шарика, МПа, не менее 100 17 Теплостойкость по Вика, °С при нагрузке 9,8 Н 205 - 215 18 Усадка, % 0,7 - 1,2 19 Прочность при разрыве, МПа 50 20 Деформационная теплостойкость при 1,8 МПа, °С 50 21 Усталостная прочность при 106 циклов (при 50 Гц), МПа 15 - 25 22 Динамический модуль Юнга, МПа 2200 Одной из основных характеристик при прочностных расчетах является коэффициент Пуассона, который согласно с [30] для полиамида равен µ = 0,33. Следует, однако, заметить, что для вязкоупругих материалов, каковым и является полиамид, имеет место временная зависимость не только коэффициента Пуассона, но и других прочностных характеристик [16, 31]. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 33 На рис. 3 представлены графики зависимости модуля упругости для полиамида ПА-6 и его ком- позитов [32]. Как видно из графиков на рис. 3, наполнитель значительно повышает модуль упругости, а нано- материал приводит к стабилизации функциональной зависимости модуля упругости от температуры. Рис. 3 – Зависимость модуля упругости от температуры: —●— – чистый ПА-6; —■— – композит ПА-6 с 40% стекловолокна; —▲— – композит ПА-6 с 4% нанопластинок силиката Реализация разработанной математической модели Реализация разработанной математической модели осуществлялась на базе пакета MathCad. Полная программа составлена из отдельных программных блоков, которые представляют собой последо- вательно выполняемые расчетные части. Экспериментальные данные для аппроксимации коэффициента трения и теплофизических характеристик взяты из справочника [33]. Программный блок 1: определение нулей kP для kss sB =)( mmRn 5.22:= mmRv 20:= v n nv R R R =: 125.1=nvR 610..1.0,0:=ks )(1)(1)(1)(1:)( knvkkknvk sRJsYsJsRYsB ⋅⋅−⋅⋅= а б Рис. 4 – Графики для предварительного определения нулей Pk: а – начальный участок; б – конечный участок P kP PaPaBrootP PPa kfor PP k k k π⋅⋅+← ← ← ∈ π⋅←= + 8)2(1 )),(( 1 34..0 81: 1 0 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 34 3.2515.2261.2019.1758.15067.12553.1004.7527.5015.250 9876543210 =TP Программный блок 2: аппроксимация трибологических и теплофизических характеристик 6..0:=ii 10..0:=jj 6 6 6 6 6 6 6 6 1010473 109448 108423 107398 104373 103348 102323 101298 : ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =TPM 4.0427.0464.05.06.0618.0624.063.0 48.051.055.061.074.0793.0846.09.0 6.0667.0734.08.091.002.11.12.1 71.079.086.093.005.119.121.131.1 8.092.0014.105.114.123.129.135.1 85.089.094.004.114.124.13.136.1 78.0827.0874.092.005.1133.116.118.1 6.0629.0658.0667.0738.0745.0764.077.0 :=ef ),(: eTP fMpsplinefv = PaPaPaP 666 1010..102,101:1 ⋅⋅⋅= KKKT 473..308,298:1 =             = 1 1 ,,,int:)1,1( P T fMfverpPTf eTP а б Рис. 5 – Аппроксимирующие кривые для коэффициента трения: а – в зависимости от температуры при разных уровнях давления: ─ × ─ – P1 = 1 МПа, ─ + ─ – P1 = 4 МПа, ─ □ ─ – P1 = 7 МПа, ─ ◊ ─ – P1 = 10 МПа; б – в зависимости от давления при разных уровнях температуры: ─ × ─ – T1 = 298 K, ── – T1 = 353 K, ─ □ ─ – T1 = 413 K, ─ о ─ – T1 = 473 K PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 35 KTe ⋅= 503493483473463423398373348323: Kkg J C pe ⋅ ⋅= 2740273635563300311927862714255423662103: ( )TpeTpi CTelsplineC ,:= KKKT 503..328,323:= ( )TCTeCerpTC TpeTpip ,,,int:)( = KTe ⋅= 473463453443433423398373348323: Km W e ⋅ ⋅=λ 2.021.0218.0224.023.0235.0245.026.027.028.0: ( )TeTi Telspline λ=λ ,: KKKT 473..324,323:= ( )TTeerpT TeTi ,,,int:)( λλ=λ KTe ⋅= 513493473453433413393353313293: 3 925102710651078109611101120113411521157: m kg e ⋅=ρ ( )TeTi Telspline ρ=ρ ,: KKKT 503..298,293:= ( )TTeerpT TeTi ,,,int:)( ρρ=ρ )()( )( :)( TTC T Ta p ρ⋅ λ = а б в г Рис. 6 – Аппроксимирующие кривые для теплофизических характеристик в зависимости от температуры: а – коэффициент теплоемкости; б – коэффициент теплопроводности; в – плотность; г – коэффициент температуропроводности PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 36 Программный блок 3: определение распределения температур в полимерной втулке на базе уравнения (19) mmhc 15:= mmhv 5:= cnnc hRR +=: vvvv hRR −=: KTn 300:= KTnc 310:= KTvv 320:= st 30:max = 31 1065: m kg ⋅=ρ Kkg J C p ⋅ ⋅⋅= 31 107.2: Km W ⋅ ⋅=λ 25.0:1 Km W ⋅ ⋅=λ 5.46:2 23 : λ=λ 11 1 1 : ρ⋅ λ = pC a 8:=im 20:=jm im RR dr vn − =: jm t dt max:= imi ..0:= jmj ..0:= idrRr vi ⋅+=: jdtt j ⋅=: 35:=kk kkk ..0:= ( ) ( ) ( ) ( )nvkkknvkk RPJPYPJRPYZn ⋅⋅−⋅⋅= 1111:1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )nvkkknvk nvkkknvknvk RPJPYPJRPY RPJPYPJRPYRZn ⋅⋅−⋅⋅+ ⋅⋅−⋅⋅⋅= 1001 ...0110:2 kk k k ZnZnP Zn 21 2 : −⋅= ( ) 2 2 1: v k k R Pa Kt ⋅ = ( ) ( )              ⋅⋅⋅⋅−      ⋅⋅⋅= v i kknvk v i knvkik R r PPJRPY R r PYRPJK 0101:1 , ( ) ( )              ⋅⋅⋅−      ⋅⋅= v i kkk v i kkik R r PPYPJ R r PJPYK 0101:2 , ( ) 1exp:, −⋅+⋅−=Ψ jkjkjk tKttKt PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 37 ∑ ⋅ Ψ⋅ = k kk jkjk ji ZnP K F 2 ,, , )( 2 :2 ∑ ⋅ Ψ⋅ = k kk jkjk ji ZnP K F 2 ,, , )( 1 :1 1 0 2: −⋅= sN 02: NRV vc ⋅⋅π⋅= s m V c 251.0= PaPc 610:= =:1T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 ...1 20 1 001 10..0 2 ,0 0 , 222 222 2 1 2 22 1 2121 ..1 1 ..0 , , 1 2 , 1 3 1, , , 11 1 1 1 0 1 31 1 22 1 11 1 1 31 1 22 1 11 0 2 1 2 1,11 1 3 0,1 2 1 2 1,01 1 3 0,0 ,2,1,02,01 0, 11 0 T F R h TKTim otherwiseF R h TKT PfVTT imiifKTimT iifKTT ifor ff fPaPTff KTgrTimKTgrT VMlsolveTgr h KnR T h KnR T KnRPfV TV h KvR T h KvR T KvRPfV TV Kn h R MKn h R M Kv h R MKv h R M FKnFKnFKvFKv jmjfor TT imifor PaPKTff ji v c ncj ji v v vvj cjvcnji jji jji jvjv jvcjjv jj v v vv c v nc vcjvc n v v vv c v nc vcjvc n c v v v c v v v jimjimjj ni cnv ⋅ λ ⋅ ⋅ −⋅⋅λ + ⋅ λ ⋅ ⋅      −⋅⋅λ −⋅⋅−← =⋅← =⋅← ∈ + ←⊕⋅← ⋅←⊕⋅← ← λ⋅ λ⋅⋅⋅ ⋅− λ⋅ λ⋅⋅⋅ ⋅− λ ⋅⋅⋅⋅⋅ −← λ⋅ λ⋅⋅⋅ ⋅− λ⋅ λ⋅⋅⋅ ⋅− λ ⋅⋅⋅⋅⋅ −← ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −←⊕⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −← ⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −←⊕⋅ λ⋅ λ⋅⋅ −← ←⊕←⊕←⊕← ∈ ← ∈ ⋅⋅← − −− −− − − −− ( )[ ]〉〈= 01 1: TTmeanT KT 747.3521 = ( )[ ]〉〈= 82 1: TTmeanT KT 561.3092 = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 38 Рис. 7 – Распределение температурного поля во втулке при частоте вращения вала N0: = 2 c-1 и контактном давлении Pc: = 1 МПа а б Рис. 8 – Распределение температурного поля во времени на поверхности контакта втулки и вала: а – N0: = 2 c-1: ── – Pс: = 1 МПа, ─ о ─ – Pс: = 1,5 МПа, ─ □ ─ – Pс: = 2 МПа; б – Pс: = 1,1 МПа: ── – N0: = 1 c-1, ─ ◊ ─ – N0: = 3 c-1; ─ × ─ – N0: = 5 c-1 Программный блок 4: определение температурных напряжений в полимерной втулке по уравнениям (21) - (23) 15109: −− ⋅⋅=α K PaE ⋅⋅= 91035.2: 33.0:=µ idrRr vi ⋅+=: ( ) ( ) ( ) ( )               ⋅ ⋅ +      ⋅−      ⋅⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ v n i vn i n n i v v v n vn i R R r RR r R R r R R R R RR TTE r lnlnln ln12 : 2 22 22 22 21 ( ) ( ) ( ) ( )               ⋅ ⋅ −              −⋅−              −⋅⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ v n i vn i v v i n n v n vn i R R r RR r R R r R R R R RR TTE t lnln1ln1 ln12 : 2 22 22 22 21 ( ) ( ) ( )                       ⋅−⋅−              ⋅−⋅⋅       ⋅−⋅µ−⋅ −⋅⋅α =σ i v v i n n v n vn i r R R r R R R R RR TTE z ln21ln21 ln12 : 22 22 21 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 39 а б в Рис. 9 – Распределение температурных напряжений по радиусу втулки: а – радиальные; б – кольцевые; в – осевые Выводы 1. Получена математическая модель для анализа распределения температурного поля во втулке (вкладыше) подшипников скольжения, работающих в режиме без смазки. 2. Разработаны программные блоки на базе математического пакета Mathcad для моделирования температурных процессов в рабочих элементах подшипников скольжения с целью оптимизации режимов работы в соответствии с трибологическими и теплофизическими характеристиками, а также геометриче- скими параметрами рабочих элементов. 3. Представлена методика аппроксимации экспериментальных данных с целью дальнейшего их использования при расчетах тепловых процессов и напряженно-деформированного состояния элементов машин. 4. Как видно из результатов, приведенных в программных блоках, при определенных соотноше- ниях геометрических и технологических параметров могут возникать существенные диссипативные вы- деления, которые в значительной степени повышают уровень температурного поля в объеме рабочих элементов. При этом неверное соотношение параметров может привести к термодеструкционным про- цессам. Литература 1. Чернавский С.А. Подшипники скольжения. – М.: ГНТИМЛ., 1963. – 243 с. 2. Подшипники скольжения. Расчет, проектирование, смазка / Н. Типей, В.Н. Константинеску, Ал. Ника, О. Бице. – Бухарест: ИАРНР, 1964. – 457 с. 3. Богданов О.И., Дьяченко С.К. Расчет опор скольжения. – К.: Техніка, 1966. – 241 с. 4. Карасик И.И. Прирабатываемость материалов для подшипников скольжения. – М.: Наука, 1978. – 136 с. 5. Костецкий Б.И., Натансон М.Э., Бершадский Л.И. Механохимические процессы при гранич- ном трении. – М.: Наука, 1972. – 170 с. 6. Воронков Б. Д. Подшипники сухого трения. – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.; Машиностроение. 1979. – 224 с 7. Галахов М.А., Бурмистров А.Н. Расчет подшипниковых узлов. – М.: Машиностроение, 1988. – 272 с. 8. Савин, Л.А., Соломин О.В Моделирование роторных систем с подшипниками жидкостного трения. – М.: Машиностроение, 2006. – 444 с. 9. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. – М.; Физматлит. 2001. – 672 с. 19. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. – М.: Наука, 1980. – 303 с. 11. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. – М.: Машиностроение, 1988. – 256 с. 12. Теория и проектирование опор роторов авиационных ГТД. / Балякин В.Б., Жильников Е.П., Самсонов В.Н. и др. – Самара: Самарск. гос. авиац. ун-т, 2007. 253 с. 13. Романовский Г.Ф., Кирюхин А.Л., Воробьев Ю.М. Термогидродинамический расчет ради- альных подшипников скольжения судовых пропульсивных комплексов в неспецификационных эксплуа- тационных условиях // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2009. – № 3(53). – С. 62-71. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ температурных процессов в подшипниках скольжения с учетом трения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 1 40 14. Кузяєв І.М. Моделювання неізотермічних процесів в робочому об’ємі черв’ячних насосів для аномально в’язких рідин // Вопросы химии и химической технологии. – 2002. – № 2. – С. 107-112. 15. Кузяев И.М. Математическое моделирование процессов в зоне дозирования одночервячных машин // Вопросы химии и химической технологии. – 2007. – № 3. – C. 151-172. 16. Кузяєв І.М. Механіка та реологія полімерів: навч. посібн. [для студ. вищ. навч. закл.]. – Дніпропетровськ: УДХТУ, 2002. – 386 с. 17. Кузяев И.М. Разработка программного пакета в системе Мathcad для оптимизационного про- ектирования и моделирования работы экструзионных агрегатов // Plastics Processing Technology Summit, 2004. – Xi’an: China. – 2004. – P. 68 - 78. 18. Кузяев И.М. Интенсификация процессов тепломассопереноса в рабочем канале червячных машин при переработке неньютоновских полимерных жидкостей // Промышленная теплотехника. – 2004. – Т. 26, № 1. – С. 25-31. 19. Кузяев И.М. Моделирование процессов плавления в одночервячных машинах при нежестком каркасе твердой пробки // Вопросы химии и химической технологии. – 2008. – № 3. – С. 103-111. 20. Кузяев И.М. Анализ взаимосвязи между коэффициентами трения и давлением с учетом тем- пературного поля при транспортировке материалов в винтовом канале червячных машин // Трение и из- нос. – 2002. – Т.23, № 2. – С. 154-159. 21. Кузяев И.М. Анализ диссипативных процессов, развивающихся в пространстве между вра- щающимся и неподвижным дисками, с учетом внутреннего и внешнего трения // Трение и износ. – 2002. – Т. 23, №6. – С. 635-639. 22. Кузяев И.М. Оптимизация структуры пористых материалов // Вопросы химии и химической технологии. – 2005. – № 6. – C. 143-146. 23. Кузяев И.М. Влияние динамического поведения газовых пузырей на степень разделения на- ноагрегатов при получении пористых полимерных нанокомпозитов // Вопросы химии и химической тех- нологии. – 2006. – № 3. – C. 83-89. 24. Кузяев И.М. Обоснование и построение базовой теории для разделения наноагрегатов при получении полимерных нанокомпозитов // Вопросы химии и химической технологии. – 2008. – №5. – С. 157-165. 25. Кузяєв І.М. Моделювання роботи та проектування екструзійних агрегатів з розробкою еле- ментів САПР. – Дніпропетровськ: ДВНЗ УДХТУ, 2008. – 474 с. 26. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с. 27. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: Наука., 1974. – 544 с. 28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям; пер. с нем. С.Ф. Фомина. – М.: Наука, 1976. – 576 с. 29. Кантарович З.Б. Основы расчета химических машин и аппаратов. – М.: ГНТИМЛ., 1960. – 743 с. 30. Козлов Н.А., Митрофанов А.Д. Физика полимеров: [учеб. пособие]. – Владимир: Владим. гос. ун-т; 2001. – 345 с. 31. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из поли- мерных материалов. – М.: Машиностроение, 1983. – 239 с. 32. Akkapeddi M.K. Glass Fiber Reinforced Polyamide-6 Nanocomposites // Polymer Composites. – 2000. – Vol.21, №4. – С. 576-585. 33. Теплофизические и реологические характеристики и коэффициенты трения наполненных термопластов. Справочник / Пахаренко В.А., Зверлин В.Г.,. Привалко В.П и др. – К., Наука, 1983. – 280 с. Надійшла 23.12.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com