17_Kuzmenko.doc Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 106 Кузьменко А.Г. Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина ВСЕОБЩИЙ ЗАКОН ПЕРИОДИЧНОСТИ КАТАСТРОФ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ЧАСТЬ 2. НЕЛИНЕЙНОСТЬ СИСТЕМ – СЛЕДСТВИЕ ИХ НЕОДНОРОДНОСТИ Окружающая нас материя статистически неоднородна, а процессы, протекающие в материи не- линейные. Это в значительной мере относится к конструкционным материалам, из которых изготавли- ваются машины и другие изделия. В данной работе развивается мысль о том, что одной из главных причин нелинейности процес- сов деформирования и изнашивания является статистическая неоднородность свойств материалов и их поверхностей. Здесь доказывается, что нелинейность процессов деформирования и изнашивания есть следствие статистической неоднородности структуры материала. 1. Механика пластического деформирования 1.1. Детерминированная модель 10. Представим себе один макро образец, состоящий из системы одинаково деформируемых микро стержней. Это простейшая структурная модель сплошной среды. Примем, что каждый из стерж- ней обладает свойствами идеального упруго-пластического материала с одним и тем же модулем упруго- сти, но разными пределами текучести. Напряженно-деформированное состояние статистически неопределимой системы стержней опи- сывается следующими соотношениями [1]: 1) условие равновесия: ∑ = σ=σ= N k kk ssQ 1 ; ∑= kss ; (1.1.1) или ∑ ∑ >σ=<σ=σ=σ kkkkk gss 1 , (1.1.2) где −σ kk s, напряжение и площадь сечения k - го стержня; −σ среднее напряженное в макро - стержне при его общем сечении s ; −N число микро – стержней; −= ssg k / весовые коэффициенты; −>σ< k осреднение; 2) условие совместимости деформаций: ε=ε k , Nk ,1= , (1.1.3) где −ε k текущая деформация в −k ом стержне; −ε средняя деформация макро-стержня; 3) физические соотношения: kkk pr +=ε , E r kk σ = , при при 0 0 k k k T k k k T p p ≥ σ = σ   ≤ σ = −σ  , (1.1.6) где −kk pr , упругая и пластическая составляющие деформации; −E модуль упругости материала; −kp скорость пластической деформации. 20. Дальнейшее рассмотрение для наглядности выполним на примере системы, состоящей из трех стержней (рис. 1) с разными пределами текучести: 2 13T Tσ = σ , 3 19T Tσ = σ . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 107 2 3 3 3 2 1 σ σ σ 321 Q Q σ ε T T T а б Рис. 1 – Схема нагружения (а) и диаграммы растяжения микро-стержней (б) Весовые коэффициенты 1 2 30, 6 0, 3 0,1; ;g g g= = = . Теперь представим себе процесс деформирования этой системы из трех стержней. Диаграмма процесса будет состоять из трех участков (рис. 2). ε ε 3ε 21ε 1 σ ' 1,8 σ' 2,4 σ σ σ IIIIII T T T B Рис. 2 – Диаграмма деформирования системы трех стержней На первом участке все стержни деформируются упруго, деформации и напряжения в них одинаковы: 1 1 1 k k k k N k k E E E E g  σ = ε  σ =< σ >=< ε >= ε < >= ε = σ     < >= =     ∑ . (1.1.7) Переход от участка I к участку II происходит при появлении текучести в первом стержне: 1 /T Eε = σ . Приращение напряжений σδ и деформаций εδ на втором участке принимают значения: 3 2 1 1 2 1 0, 4( ) ( )kk k k g E g g E g E = δσ =< δσ >= δσ = δε + = δε − = δε∑ . Следовательно, на втором участке появляется модуль упрочнения равный: 11 0, 4( ) II TE E g E= − = . Переход оси второго участка к третьему происходит при достижении предела текучести во вто- ром стержне, при этом: 3 3 3 3 1 21 0,1( ) k g E g E g g Eδσ =< δσ >= δσ = δε = δε − − = δε . Модуль упрочнения на этом ІІІ участке: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 108 1 21 0,1( ) III TE E g g E δσ = = − − = δε . Равновесие системы наступает при достижении предела текучести в третьем стержне: 3 /T Eε = σ , при этом в системе возникают предельные напряжения: ∑ = σ>=σ=<σ N k k k T k Tв g 1 , (1.1.8) при этом: 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 0, 6 3 0, 3 9 0,1 2, 4( ) ( )B T T T T T Tg g g ⋅ + ⋅ + ⋅σ = σ σ + σ + σ = σ = σ . В дальнейшем удобно пользоваться безразмерным коэффициентом: /kk T Bz = σ σ . (1.1.9) В результате рассмотрения трехстержневой системы мы получим кусочно-линейную диаграмму растяжения макростержня. При неограниченном увеличении числа микростержней при соответственном уменьшении их сечений кусочно-линейная функция стремится к монотонной нелинейной функции. 1.2. Случайное распределение пределов текучести 10. Распределение пределов текучести может быть представлено в виде функции плотности рас- пределения вероятностей предела текучести ( ) ( )kTy y z y= = σ . При этом ( )y a dz есть относительное число микроэлементов (аналог, ранее использовавшийся весовой характеристики) со значением z в ин- тервале dzaza +<< . В этом случае формула осреднения (1.1.2) принимает вид [2]: 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )z y z dz z dP z ∞ σ =< σ >= σ = σ∫ ∫% % % , (1.2.1) где ( )dP z − интегральное распределение: 0 ( ) ( ) z P z y x dx= ∫ , (1.2.2) или 0 1( ) [ ( )] z f z P x dx= −∫ . (1.2.3) По смыслу ( )P a − относительный вес микроэлементов, у которых значение параметра z не превышает заданного значения a . 20. Между функцией плотности распределения вероятностей безразмерного предела текучести ( )f z : / Bz E= ε σ , и функцией диаграммы деформирования в соответствии с рассматриваемой моделью существует одно- значная связь. При некоторой деформации одна группа (IІ) элементов работает за пределами текучести, другая группа элементов работает в упругой области. На графиках (рис. 3) граница обозначена *z : * / Bz E= ε σ . (1.2.4) Используя формулу осреднения (1.2.1), получаем: * 1 * ( ) 1 1( ) [ ( )]T BP z d d E E EdP z E P z E P d d   σ σ ε = = = = − = −   ε ε σ   ∫ % . (1.2.5) Интегрируя последнее выражение по деформации, получаем уравнение кривой деформирования моделируемого материала: / 1 1[ ( )] ( / ) BE B B BE d P d f E ε σ σ σ = ε = σ − α α = σ ε σ∫ ∫ . (1.2.6) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 109 σ III y z z z z Рис. 3 – Функция распределения вероятностей пределов текучести (а); и функция диаграммы напряжений и пределов текучести (б) Разделив левую и правую части на E , имеем ( / )E rσ = : ( ) ( / )в вr F f EE σ = ε = ε σ . (1.2.7) С одной стороны это диаграмма деформирования ( )E ε , а с другой в нее входит функция ( )f z − распределение параметров z (пределов текучести). Коэффициент подобия равен: /в вr Е= σ . (1.2.8) Существование простой связи между кривой деформирования ( )EFσ = ε и функцией ( )f z значительно упрощает идентификацию модели (ее отождествление с конкретным материалом). Получив из опыта диаграмму деформирования ( )σ = σ ε , следует: 1) представив ее в виде функции ( )r F= ε , разделив все ординаты на модуль E ; 2) найти максимальное значение ординаты – величины вr ; 3) разделить все абсциссы и ординаты на эту величину. В результате получаем функцию ( )f z , характеризующую в соотношениях структурной модели микронеоднородность моделируемого материала: ( ) ( ) в E f z F= ε σ . (1.2.9) Таким образом, материал характеризуется двумя координатами E и вσ и одной функцией ( )f z , получаемой из опыта. Интегральная функция распределения пределов текучести определяются по зависимости, следующей из выражения (1.2.3): 1 ( ) ( ) дf z P z дz = − . (1.2.10) Плотность распределения: 2 2 ( ) ( ) д f z y z дz − . (1.2.11) 1.3. Определение параметров распределения по диаграмме деформирования Этот подход впервые рассмотрен в 1953 г. Афанасьевым Н.Н. в книге [2]. Пусть ( )y z − кривая частостей пределов текучести. Если все зерна получают удлинение / Eε = σ , то напряжение, действующее в отдельных зернах, будет изменяться согласно рис. 4. б а PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 110 B σ σ * σ = σ σ σ σ = I II σ*σ A y (z) z zТ к к Т е c b е r b Рис. 4 − Связь диаграммы и распределения Действительно группы зерен, соответствующие кривой частот и лежащие правее AB , получают удлинение * /z E> , −*z их предел текучести, поэтому они несут напряжение, равное их пределу теку- чести. Зерна левее AB нагружены ниже своего предела текучести, поэтому действующее в них напря- жения будет Eε=σ . Среднее напряжение образца: 0 0 ( ) ( ) ( ) y z zdz y z dz y z dz σ ∞ σ ∞ + σ σ = ∫ ∫ ∫ , (1.3.1) или, принимая путем выбора параметров уравнения: 0 1( )y z dz ∞ =∫ , получаем: 0 ( ) ( )y z zdz y z dz σ ∞ σ σ = + σ∫ ∫ , (1.3.2) или при ε=σ E , 0 ( ) ( ) E y z zdz E y z dz ε ∞ σ σ = + ε∫ ∫ . (1.3.3) Дифференцируя дважды выражение (1.3.3) по εd , имеем: ( ) ( ) ( ) E д Ey E E E e z dz E Ey E д ∞ ε σ = ε ε + − ε ⋅ ε ε ∫ , 2 2 2 ( ) д E y E д σ = − ε ε , или 2 2 2 1 ( ) д y z E д σ− = ε . (1.3.4) Таким образом, уравнение частостей распределения пределов текучести в зернах является вто- рой производной от уравнения кривой диаграммы растяжения. Теперь найдем связь интегральной функции распределения и диаграммы деформирования. Ин- тегрируя выражение (1.3.2) по частям, имеем: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z zdz y z dz z y z dz y z dz y z dz σ ∞ σ ∞ σσ σ σ σ = + σ = − + σ∫ ∫ ∫ ∫ , PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 111 0 ( )P z dz σ σ = σ − ∫ , (1.3.5) где ( ) ( )P z y z dz= ∫ . (1.3.6) Интегральная функция распределения: 1 ( ) d P d σ = − σ ε , или 1[ ( )] d E P E d σ = − ε ε , (1.3.7) 1 1( ) d P E E d σ ε = − ε . (1.3.8) ε zEε Eε д(Eε) дp y(z)= z y(z) 1- дσд(Eε) д(Eε) дσ д(Eε) дf (Eε) p (ε) f (ε) σ Eε f (Eε) σ Рис. 5 – Схема построения функции распределения Таким образом, для получения интегральной функции распределения по диаграмме деформиро- вания необходимо: 1) построить диаграмму деформирования: (рис. 5, а, 5, б); 2) построить диаграмму производных по ε (рис. 5, в); а б в г д PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 112 3) разделить на E все ординаты; 4) пронормировать диаграмму производных, разделив все ординаты на maxσ ; 5) построить интегральную функцию распределения по зависимости (1.3.8), вычтя из единицы функцию п. 4) (рис. 5, г); 6) продифференцировать интегральную функцию и получить плотность распределения вероят- ностей предела текучести микроэлементов (рис. 5, д). Заметим, что при практическом определении параметров функции плотности распределения ве- роятностей предела текучести необходимо выполнять основное требование, предъявляемое к функциям плотности распределения: 1( )y z dz ∞ −∞ =∫ . (1.3.9) При аналитическом определении параметров распределения условие (1.3.9) рассматривается со- вместно с описанной выше процедурой. 2. Изнашивание неоднородной поверхности 2.1. Детерминированная модель 10. Приработка в узлах трения – сложный процесс самоорганизации в сопряжениях. Общий ме- ханизм этого процесса складывается из целого ряда простых механизмов. Среди них наиболее изучен- ными являются: 1) рельефная приспосабливаемость – выравнивание неровностей до равновесного со- стояния; 2) структурная приспосабливаемость – изменение структуры к менее энергоемкой; 3) выравни- вание распределения давлений; 4) возникновение благоприятного режима смазывания; 5) переходный процесс окисления и восстановления до достижения стабильного уровня и др. Очевидно, что одним из главных направлений развития трибологии в ближайшие годы будет изучение и моделирование процессов самоорганизации при трении и износе. Среди базовых вопросов в этом изучении является разработка принципов построения иерархии моделей, так как каждая модель бо- лее высокого уровня в иерархии представляет собой упорядочение, самоорганизацию. 20. В качестве простейшего примера рассмотрим образец, состоящий из трех стержней. Пусть зависимость интенсивности весового износа стержня от времени имеет вид кусочно-линейной функции, график которой представлен на рис. 6. Уравнение имеет вид: τ сkτ0 I дкс нI дк I д Рис. 6 – Зависимость от времени величины интенсивности весового износа к- го стержня при при ( ) , , c H gk gk H gk gk ck ck с gk gk ck I I I I I I  − = τ + τ < τ τ  = τ > τ , (2.1.1) где −HgkI начальная интенсивность весового износа −k го стержня; −cgkI интенсивность весового износа −k го стержня, соответствующая периоду установивше- гося изнашивания (стационарная интенсивность изнашивания); −τ ck длительность периода при работки. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 113 Полагаем следующие соотношения: const=HgkI , 0 const c H gk gk ck I I k t − = = τ , 1, 3,c k = , (2.1.2) т.е. будем считать, что неоднородность триботехнических свойств стержней характеризуется лишь раз- личием стационарных интенсивностей изнашивания или, то же самое, периодов приработки. Пусть в рассмотренном примере: 1 3 1 23 2, c c c c g g g gI I I I= = , где − c g c g c g III 321 ,, стационарные ин- тенсивности изнашивания 1-го, 2-го, 3-го стержней соответственно: 1 1 0, 2/g A Aα α= = , 2 2 0, 5/g A Aα α= = , 3 3 0, 3/g A Aα α= = , где −αααα AAAA ,,, 321 номинальные площади контакта 1-го, 2-го, 3-го стержней и образца в целом соответственно. На первом этапе (в период времени 1cτ<τ ) интенсивность изнашивания образца изменится на величину gIδ при изменении времени на величину δτ=δδτ 0: kI g ; тангенс угла наклона интенсивно- сти изнашивания на первом участке 0/ kIk g =δτδ= . I н I I τ τ τ τ gс Ig1 g2 g3 Ig с с с c4 c2 c3 K 0 ττττ I нI Ig g g1 g1 g1 с с с 0,73I 0,63I 00,8K 0 0,3K0 c4 c2 c3 Рис. 7 – Зависимость от времени величины интенсивности весового износа 1, 2, 3 - го стержней Рис. 8 – Зависимость от времени интенсивности изнашивания образца, состоящего из трех элементов В момент времени 1cτ=τ в первом стержне заканчивается период приработки и начинается пе- риод установившегося изнашивания при этом имеем следующие соотношения: const11 == c gg II , 0Iδ = . На втором этапе 1 2( )c cτ < τ < τ , 00, 8gI kδ = δτ , 00, 8k k= , 1 33 c c g g gI I I= = . В момент време- ни 2cτ=τ , const11 == c gg II , const22 == c gg II , 1 2 0g gI Iδ = δ = . На третьем этапе 2 3( )c cτ < τ < τ , 00, 3gI kδ = δτ , 00, 3k k= , 1 30, 73 2, 2 c c g g gI I I= = . В мо- мент времени 3cτ=τ , const11 == c gg II , const22 == c gg II , const33 == c gg II , 1 2 3 0g g gI I Iδ = δ = δ = . На четвертом этапе 3( )cτ > τ , 0gIδ = , 0k = , 1 30, 63 1, 9 c c g g gI I I= = . Зависимость интенсивности изнашивания образца, состоящего из трех стержней, представлена на рис. 8. В качественном отношении полученная зависимость интенсивности изнашивания образца, пред- ставленного в виде системы стержней (рис. 17.8), соответствует реальной. 2.2. Вероятностная модель При неограниченном увеличении числа стержней распределение стационарных интенсивностей изнашивания может быть определено с помощью функции распределения плотности вероятностей ин- тенсивности изнашивания ( )cgy y I= (рис. 9). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 114 Если длительность процесса изнашивания составляет τ , то интенсивность изнашивания отдель- ных стержней будет изменяться согласно рис. 9. Для группы стержней, стационарные интенсивности из- нашивания которых лежат левее АБ, период приработки закончился, поэтому их интенсивность изнаши- вания соответствует стационарной. Для группы стержней, стационарные интенсивности изнашивания которых лежат правее АБ, период приработки еще не закончился, поэтому их интенсивность измерения определяется первой формулой зависимости (2.1.1). *τ τ Б A сy (I )g Рис. 9 – Функция плотности вероятности стационарных интенсивностей изнашивания Средняя интенсивность изнашивания образца: 0 ( ) ( ) ( ) I c c c c c g g g g g I g c c g g I y I I dI I y I dI I y I dI ∞ ∞ + = ∫ ∫ ∫ . (2.1.3) или, принимая путем выбора параметров уравнения 0 1( )c cg gy I dI ∞ =∫ , получаем: 0 ( ) ( ) I c c c c c g g g g g g I I y I I dI I y I dI ∞ = +∫ ∫ . (2.1.4) Дифференцируя дважды по τ с учетом выражения (2.1.1), получаем: 2 2 02 ( ) g c g д I k y I д = − τ . (2.1.5) Таким образом, функция плотности вероятности стационарных интенсивностей изнашивания стержней является второй производной от уравнения зависимости интенсивности изнашивания образца от времени: 2 2 2 0 1 ( ) gcg д I y I k д = − τ . (2.1.6) Теперь найдем связь интегральной функции распределения стационарных интенсивностей из- нашивания стержней и зависимости интенсивности изнашивания образца от времени. Проинтегрировав выражение (2.1.4) по частям, продифференцировав его по τд и сделав неко- торые другие несложные математические преобразования, получим: 0 1 ( ) 1 gcg д I I I k д = − τ , (2.1.7) где ( )cgP I − интегральная функция распределения стационарных интенсивностей изнашивания стержней. Таким образом, полученные соотношения позволяют по известной зависимости интенсивности изнашивания образца получить интегральную и дифференциальную функции распределения стационар- ных интенсивностей изнашивания и, наоборот, по известному распределению триботехнических свойств образца построить зависимость интенсивности изнашивания от времени. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 115 3. Обобщение закономерности до общего закона 10. В этой связи представляется важным следующие утверждение на уровне теоремы: всякая не- линейность в большом, т.е. в модели более высокого уровня, является отражением статистической не- однородности в малом, т.е. в моделях более низкого уровня. Действительно. Пусть задано некоторое свойство σ материального ( −n мерного) пространства или системы в форме детерминированной (для простоты) функции одной переменной ε (фактора) типа: ( , )Tfσ = ε σ , (2.1.1) где −σT параметр функции. Если представить это пространство (систему), состоящим из дискретных элементов, то анало- гичное свойство каждого элемента системы представимо в виде интегральной функции распределения вероятностей P параметра ( )äT Pσ по элементам системы. При этом интегральная функция распределе- ния связана с функцией ( , )Tf ε σ линейными преобразованиями. В частности, эти функции могут сов- падать с точностью до константы: ( ) ( , )дT TP Efσ = ε σ . (2.1.2) Известны примеры построения моделей на основе этого подхода в механике деформируемых тел [1]. Ниже такой подход распространяется на одну из задач трибологии. При этом принимается, что при- работка есть следствие усреднения интенсивностей изнашивания по элементам поверхности трения. Ве- личина интенсивности весового износа определяется зависимостью: / ( )g TPI G A Lα= ∆ , (2.1.3) где −∆G вес изношенного материала; −αA номинальная площадь контакта; −TPL путь трения. Представим образец, испытываемый на износ, в виде системы n стержней, т.е. интенсивность весового износа образца (системы) является математическим ожиданием интенсивно- сти весового износа стержней (элементов). dkg II = . (2.1.4) 20. На основе сказанного может быть сформулировано обобщение зависимости нелинейности от неоднородности в механике в форме закона: нелинейность процессов пластического деформирования, изнашивания (и других процессов в механике) является следствием статистической неоднородности структуры материала и вероятностной природы механических и трибологических свойств. Можно предположить, что этот закон распространяется на другие виды процессов в физике, хи- мии, термодинамике, биофизике, экономике, социологии и т.д.: нелинейность процессов в дискретных и сплошных системах, как правило, является следствием неоднородности характерных свойств элементов системы. 30. В 1884 г. Ле-Шателье, а затем в 1887 г. Браун сформировали следующий общий принцип [6, с. 346]: внешнее воздействие, выводящее систему из состояния термодинамического равновесия, вызы- вает в системе процессы стремящиеся ослабить эффект воздействия. Это качественная закономерность в открытых системах не определяет раскрытия сущности про- текающих процессов и не дает ее математических моделей. Синергетика − наука об общих законах самоорганизации, получившая развитие за последние 20 – 30 лет устанавливает экспериментально факты самоорганизации и общие математические методы опи- сания этих процессов. Описания основываются на теориях устойчивости, фазовых переходах и т.д. Сущность этих закономерностей состоит в том, что при внешних воздействиях на систему воз- можны различные равновесные состояния. Возрастание уровня внешних воздействий сопровождается процессом изменения внутреннего параметра системы. В случае пластического деформирования траектория процесса − это диаграмма на грузка - пере- мещение 0( )Q u в случае износа − зависимость интенсивности от времени ( )I τ . В данной работе нами устанавливается нелинейность переходного процесса в случае, если де- формируемый или изнашиваемый материал имеет статистическую неоднородность механических или трибологических свойств. При этом нелинейность процесса определяется видом функции плотности рас- пределения вероятностей свойств. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Всеобщий закон периодичности катастроф в нелинейных ... . Часть 2. Нелинейность систем – следствие их неоднородности Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 3 116 Полученные результаты нам представляются важными для понимания причин нелинейности процессов в механике. Выводы по части 2 1. При пластическом деформировании сплошной среды зависимость напряжений от деформаций представляется в виде нелинейной функции диаграммы деформирования. Ранее в работах [1, 2] была показана возможная однозначная связь функции распределения веро- ятности предела текучести в материале с нелинейной формой диаграммы деформирования материала. В данной работе на основе указанной связи предлагается методика определения параметров функций распределения вероятностей неоднородностей. 2. При изнашивании поверхностей, как правило, имеется нелинейный участок зависимости изно- са от пути трения, именуемый приработкой. В данной работе в развитие [3] показано, что между нелинейной зависимостью и функцией рас- пределения вероятностей интенсивности износа существует однозначная зависимость. Предложена общая методика определения параметров функции распределения вероятностей ин- тенсивности износа по кривой приработки. 3. Зависимость нелинейности от неоднородности можно считать достаточно общим законом для механики, физики, химии и процессов в других научных областях. Литература 1. Гохфельд Д.А. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружени- ях / Д.А. Гохфельд, О.С. Саадаков. – М.: Машиностроение, 1984. – 256 с. 2. Афанасьев Н.Н. Статистическая теория усталостной прочности металлов. – К.: АН УССР, 1953. – 123 с. 3. Кузьменко А.Г. Нелинейность в моделях высокого уровня как следствие статистической не- однородности в моделях низкого уровня / Динамика, прочность и надежность транспортных машин / А.Г. Кузьменко, Г.С. Калда, А.А. Пасечник – Брянск: БИТМ, 1994. – С. 121-126. 4. Климонтович Н.Ю. Без формул в синергетике. − Минск: высшая школа. − 1986. − 228 с. 5. Синергетика и фракталы в материаловедении / В.С. Иванова, А.С. Баландин, И.Ж. Бутенин, А.А. Оксогоев. − М.: Наука. − 1994. − 383 с. 6. Физический энциклопедический журнал. − М.: Советская энциклопедия. − 1984. − 944 с. Надійшла 30.07.2012 Ч И Т А Й Т Е журнал “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” во всемирной сети I N T E R N E T ! http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com