2_Chernec.doc Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 11 Чернець М.В., *,** Жидик В.Б.* * Дрогобицький державний педагогічний університет ім. Івана Франка, м. Дрогобич, Україна, ** Люблінський політехнічний інститут, м. Люблін, Польща УЗАГАЛЬНЕНА КУМУЛЯЦІЙНА МОДЕЛЬ КІНЕТИКИ ЗНОШУВАННЯ ПІДШИПНИКА КОВЗАННЯ. ЧАСТИНА 1. ЛІНІЙНА І КУМУЛЯЦІЙНА МОДЕЛЬ Підшипники ковзання знаходять достатньо широке застосування у сучасному машинобудуванні. В літературі відомо розв’язки трибоконтактних задач для такої триботехнічної системи [1 - 7]. Вони, од- нак, здебільшого носять спрощений характер і внаслідок цього мають обмежене застосування в інженерній практиці як розрахункові методи трибосистем ковзання. Зокрема не враховувався вплив малої технологічної некруглості вала і втулки на довговічність підшипника. На основі відомої моделі дослідження кінетики зношування при терті ковзання [1] частково вирішено задачу врахування некруглості втулки на довговічність і зношування підшипників ковзання [8, 10, 11, 16 та ін.] з валом ко- лового перерізу. В подальшому розроблено трибокінетичну кумуляційну модель зношування, яка дозволяє враховувати збурення форми контурів обох деталей підшипника [12]. Зокрема за цією моделлю отримано [12 - 14] розв’язки трибоконтактних задач для випадку однообластевого контакту вала з втул- кою при різнотипному ограненні їх контурів. Нижче розглянуто модифікацію цієї моделі для випадку реалізації змішаного (одно-дво-однообластевого) контакту. 1. Постановка трибоконтактної задачі Розрахункову схему підшипника ковзання, де виступає одно-дво-однообластевий контакт співдотичних тіл, подано на рис. 1 (симетричний двообластевий співдотик). Рис. 1 – Розрахункова схема підшипника ковзання із збуренням контурів співдотичних тіл Вал 2 і втулка 1 мають малу початкову некруглість (овальність, тригранність, чотиригранність) k kRδ << , де k – нумерація тіл. Зокрема на рис. 1 подано елементи з овальністю контурів. Відповідно 111 RR ′−=δ , 222 RR −′=δ , а 1 1R a= – велика піввісь отвору у втулці, 1 1R b′ = – його мала піввісь, 2 2R a′ = – велика піввісь контуру перерізу вала, 2 2R b= – його мала піввісь. У підшипнику наявний радіальний зазор 1 2 0R Rε = − > . Силова взаємодія у підшипнику відбувається під впливом радіальної зосередженої сили N , прикладеної до диска 2. Пружні властивості тіл є різними. При повороті вала 2 реалізується одно – дво- однообластевий контакт (симетричний або несиметричний ). У випадку симетричного двообластевого співдотику (рис. 1) в областях контакту 1 2 22W W R= = γ виникатимуть контактні тиски. Максимальних значень ( ),p λ δ вони досягатимуть по лінії дії сил 1 2N N N / cos= = λ( )λcos2 як складових навантаження N . Кут початкового співдотику 2λ є невідомим і для його визначення розроблено відповідні методи [15]. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 12 При несимметричному двообластевому співдотику сили 1 2N N≠ , кути 1 2λ ≠ λ , кути контакту 1 22 2γ ≠ γ , тиски ( ) ( )1 2, ,p pλ δ ≠ λ δ і їх величини пов’язані із кутом повороту 2α вала. Однообластевий симетричний контакт тіл буде у випадку їх розташування як показано на рис. 2. Рис. 2 – Симетричний однообластевий співдотик Для однообластевого симетричного контакту 2 0α = параметри, що його описують це: кут контакту 02 δα , максимальний контактний тиск ( )0,p δ , область контакту 0 22W Rδ= α , навантаження N . При цьому в міру зростання 2α виникатиме спочатку несиметричний однообластевий контакт, а в певний момент – несиметричний двообластевий контакт. Вал обертається з кутовою швидкістю const2 =ω , а під впливом навантаження в області контакту виникає сила тертя, що зумовлює зношування вала і втулки. Зносостійкість матеріалів вала і втулки є неоднаковою. Завдання дослідження полягають у визначенні: - кута однообластевого контакту ( )0 0 22 2δ δα = α α ; - максимальних контактних тисків ( )2 ,p α δ при симетричному і несиметричному однообластевому контакті; - кута початкового співдотику 2λ при симетричному двообластевому контакті; - сил 1 2N N= при симетричному двообластевому контакті; - сил ( ) ( )1 2 2 2,N Nα α при двообластевому несиметричному контакті; - кутів двообластевого несиметричного контакту ( )22 k ;γ α - максимальних контактних тисків ( ) ( )1 2 2 2, , ,p pα δ α δ у зонах двообластевого несиметрич- ного контакту; - кутів однообластевого трибоконтакту ( )0 0 22 2h hδ δα = α α ; - трибоконтактних тисків ( )2 , ,p hα δ при однообластевому контакті; - кутів двообластевого трибоконтакту ( )22 2k h k hδ δγ = γ α ; - трибоконтактних тисків ( ) ( )1 2 2 2, , , , ,p h p hα δ α δ при двообластевому несиметричному контакті; - лінійних зношувань кожного з елементів трибосистеми (вала по контуру, втулки в зонах співдотику) в кожній взаємодії на заданому кутовому переміщенні 2∆α вала та після заданого числа 2n його обертів; - довговічності Т трибосистеми після 2n обертів вала. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 13 2. Трибокінетична лінійна модель зношування Базова лінійна модель трибоконтактної взаємодії, на базі якої формується узагальнена кумуляційна модель зношування, є такою [1]: - система диференціальних рівнянь зношування: ( ) ( ) ( )1 11 21 2 2 1 1 , , dh dh v dt v dt − −= Φ τ Φ τ = Φ τ , (1) v – швидкість ковзання; 1 2,h h – лінійні зношування елементів трибосистеми; t – час зношування; ( )Φ τ – базовий параметр моделі – характеристична функція зносостійкості матеріалів трибо- пари для прийнятих умов зношування; L vt= – шлях тертя; - питома сила тертя τ : fp,τ = , (2) де f – коефіцієнт тертя ковзання; - експериментальна величина характеристичної функції ( )i iΦ τ зносостійкості матеріалів: ( )i i i iL / hΦ τ = , (3) де ih – лінійне зношування зразків встановлюється експериментально при величині питомої сили тертя іτ ; - апроксимаційне співвідношення функції зносостійкості матеріалів: ( ) ( ) 0 0 k k m k k k m k B τ Φ τ = τ − τ , k = 1; 2, (4) де 0, ,k k kB m τ – характеристики зносостійкості матеріалів у трибопарі за заданих умов. Рівняння для визначення контактного тиску для випадків симетричного однообластевого і дво- областевого контакту має вигляд: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) max max max min min min 1 3 4 1 2 1 2 min max2 ctg , , cos , cos 2 1 , / , , 2 2 k p d k p d k p d D D p dp d R α α α α α α α − θ ′ α δ θ − α δ α − α α δ α α = δ δε   ′= − − α − α = α α ≤ α ≤ α ε ε  ∫ ∫ ∫ % % % % % % %% %% % % % % % % % % % (5) - однообластевий контакт: δδδ α≤α≤α−α≤θ≤θ≤α≤θ=θα=α 000 ~,0,~0, ~ ,~ ; - двообластевий контакт: α = λ + α% , θ = λ + θ% , 0 ≤ α ≤ θ%% , 0 ≤ θ ≤ γ% , 1 2γ ≤ α ≤ γ% , ( ) ( )( )1 11 2 0 00 5, , δ δγ = λ ± β − α ; 1 2 1 1 1 2 2 1 11 8 k G R G R  + κ + κ = +  π   , 13 1 1 1 8 k G R + κ = π , 14 1 1 2 2 1 1 2 k G R G R  κ = +  π   , 3 4κ = − µ ; 2R R= , де µ,G – модуль зсуву і коефіцієнт Пуасона матеріалів; ( ) ( )1 2D , Dα α – характеристики некруглості контурів отвору і вала. Для наближеного розв'язку рівняння (5) контактної задачі використовується метод колокації [1]. Найбільш простим є використання точки колокації δα=α 05,0 ~ (однообластевий контакт) и γ=α 5,0~ (двообластевий контакт). В цьому випадку функція контактного тиску для обох видів контакту прийнята у вигляді: ( ) 2 20, tg tg 2 2 p E δδ δ α α α δ ≈ ε − , (6) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 14 ( ) 2 2, tg tg 2 2 p Eδ δ γ α − λ λ δ ≈ ε − % , (7) де ReE / 4 ~ cos 24 α =δ , δδ Σε=ε ; ( ) ( )1 21 1 2 21 2 2 D D ,δ δ δ Σ = − α − α ε ε , 1 20, 0, 90 ,180 , 270 , 360α = α = o o o o – симетричний контакт; ( ) ( )1 21 1 2 21 2 2 D Dδ δ δ Σ = − α − α ε ε , 1 0α = , 20 360< α < o – несиметричний контакт; ZEEe /4 214 = , ( )( ) ( )( ) 122211 1111 EEZ µ+κ++µ+κ+= ; ( )µ+= 1/2GE – модуль Юнга матеріалу. Найбільший максимальний контактний тиск ( )δα ,2p при однообластевому контакті буде при 02 =α , а при двообластевому симетричному контакті він буде в двох точках Р1 і Р2 (рис. 1), розташо- ваних під кутом λ2 . Відповідно: ( ) ( )0 22 , tg 2 p E δδ δ α α α δ ≈ ε – однообластевий контакт, (8) ( ) ( )22 , tg 2 kp Eδ δ γ α α δ ≈ ε – двообластевий контакт. (9) Невідомий півкут контакту ( )0 2δα α або ( )2kγ α обчислюється з врахуванням виду функції ( )δα ,2p з умови рівноваги сил, прикладених до вала: 4 )( sin4 2022 αα επ= δδδERN – однообластевий контакт, (10) 4 )( sin4 2221 λγ επ== δδERNN – двообластевий симетричний контакт, (11) де 1 2 / 2cosN N N= = λ ; ( )22 1 2 24 sin 4 kN N R Eδ δ γ α ≠ = π ε – двообластевий несиметричний контакт, (12) де 2 2 1 sin(90 ) sin(180 2 ) N α + λ − α = − λ o o , 2 2 2 sin( 90 ) sin(180 2 ) N α − + λ + α = − λ o o . (13) Трибоконтактні тиски визначаються так [10]: ( ) ( ) ( )2 2 2p , ,h p , p ,hα δ = α δ + α , (14) де ( )2 ,p hα – зміна тиску внаслідок зношування. Згідно [10] вона описується функцією: ( ) ( )0 22 , tg 2 h h hp h E δα αα = ε , (15) ( ) ( )22 , tg 2 k h h hp h E δγ αα = ε , (16) де ( ) ( )0 2 22 2 4 4cos / , cos /4 4 h k h h hE e R E e R δ δα α γ α= = . Півкут трибоконтакту ( )0 2hδα α чи ( )2k hδγ α визначається з умов типу (10, 12), а саме: ( ) ( )0 2224 sin 4 h h hN R E E δ δ δ α α = π ε + ε , (17) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 15 ( ) ( ) ( )221 2 24 sin 4 k h h hN N R E E δ δ δ γ α = π ε + ε , (18) де ( )( k )h k t kh K h ;′ε = ± ± ; тут “+”, коли у результаті зношування елементу тиск зростає, а “-“ – коли спадає; 1 2 1h h / h′ = , 2 1 2h h / h′ = – відносні зношування; tK – коефіцієнт взаємного перекриття; ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 21 12 1 10 20 21 1 2 2 20 10 0 0 mm tmm B h K , B τ τ − τΦ τ ′ = = Φ τ τ τ − τ ; ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 12 21 2 20 10 12 2 1 1 10 20 0 0 mm tmm B h K ; B τ τ − τΦ τ ′ = = Φ τ τ τ − τ , де ( ) ( ) ( )δαδα=τ ,;,0 22 pfp – згідно (8), (9). Після інтегрування системи трибокінетичних рівнянь (1) з врахуванням залежностей (2), (4), (8), (9), (14), (15) отримано рівняння довговічності підшипника для випадку вала колового перерізу: ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }110 00 01 k kk m mmk ko k k k k hk h k k t B t h S vS m K −−τ  = − τ − τ − τ − τ + Σ    Σ − , (19) де ( )2h hS fp ,h / ;= α ε ; ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 1 2 2 0, ; 1,t t t tK h K h K K /δ′ ′Σ = − + Σ = − = = α π (вал колового перерізу). Звідси 1 1 1 k k m k km k k h k k L H t h H S L − ∗−  − = −  Σ    , (20) де ( ) ( )0 01 0k km k k k h k k t k kL B vS m K ,H= τ − Σ = τ − τ, ( )0 01 0 k k k k h k k t k kL B vS m K , H= τ − Σ = τ − τ . 3. Трибокінетична кумуляційна модель зношування Оскільки некруглість вала призводить до того, що параметри початкового контакту – максимальні контактні тиски ( )0 2 ,p α δ і півкут контакту ( )0 0 2δ δα = α α , трибоконтакту – ( )0 2 , ,p hα δ і 0 hδα , а також лінійні зношування вала і втулки будуть функціями його кута повороту 2α , то лінійна модель зношування безпосередньо не може бути застосована для дослідження кінетики зношування. З цією метою розроблено [12] кумуляційну модель зношування, яка базується на інтервально-дискретній взаємодії елементів підшипників ковзання на певній вибраній області трибокон- такту 2∆α . Відповідно поінтервальні величини зношування 21 h α та 22h α співдотичних деталей підшипника розраховуються за формулою виду (20): 2 2 2 1 11 k k m k km k k h k k L H t h H S L − α ∗− α α  ′′−  = − Σ    , (21) де ( ) 2 0 2 0k k H α = τ α − τ – у першому оберті вала; ( ) 2 0 2 2 0k k H ,nα = τ α − τ – в наступних n2 обертах; ( ) ( )0 2 2 , ;fpτ α = α δ ( ) ( )0 2 2 2 2, , , , ;n fp n hτ α = α δ ( ) ( )1 2 1t tK K= = . Час "t∗ інтервальної трибоконтактної взаємодії на переміщенні 2∆α PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 16 2 2 2360 " Lt v n∗ ′ ∆α = ∆α = , (22) де 22 360L R /′ = π – шлях тертя ковзання при повороті вала на 1º; 2 2v R= ω – швидкість ковзання; 2 2 2/ 30,n nω = π – кількість обертів вала за хвилину. При визначенні 0 hδα за рівнянням (17) та k hδγ за рівнянням (18) слід параметр hε обчислювати так: 21 1 1 j h h αε = Σ∑ . (23) Однак у виразах (15, 16) належить приймати 21 1h h h α′ε ≡ ε = Σ . Кількість інтервалів взаємодії за оберт вала 2360 /j = ∆α o . Трибоконтактні тиски в 1-ому оберті вала на кожному j-му інтервалі при його зношуванні обчи- слюються наступним чином: ( ) ( ) ( )0 2 0 2 2 0 2 2 1 1 , , , , j jp h p p h −α δ = α − ∆α δ + α − ∆α∑ , (24) де ( )0 2 2 ,p α − ∆α δ та ( )0 2 2 , jp hα − ∆α обчислюються для кожного j-го інтервалу за (8), (9) та (15, 16). В усіх наступних обертах вала трибоконтактні тиски встановлюють так: ( ) ( ) ( )0 2 2 0 2 2 0 2 2 2, , , 2 , , 2 , ,p n h p n h p n hα δ = π + α δ = π + α − ∆α δ +   + ( ) 2 0 2 2 2 1 1 2 , jn jp n h − π + α − ∆α ∑ . (25) Зношування деталей підшипника протягом одного оберту обчислюється наступним чином: ( ) ( ) 01 1 1 1 1 1 j h h α = = ∑ (в точці α = 0), (26) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2h hα α= (в точках 2α = 0, 2 2, 2 ,∆α ∆α ..., 360 o ). (27) а, відповідно, після 2n обертів вала ( ) ( ) 2 2 2 01 1 1 1 jn n nh h α = = ∑ , (28) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 1 n n nh hα α= ∑ . (29) Час роботи Т підшипника: 2T jt n∗′′= (сек). (30) Література 1. Андрейкив А.Е., Чернец М.В. Оценка контактного взаимодействия трущихся деталей машин. – К.: Наукова думка, 1991. – 160 с. 2. Горячева И.Г., Добычин Н.М. Контактные задачи в трибологии. – М.:Машиностроение, 1988. – 256 с. 3. Коваленко Е.В. К расчету изнашивания сопряжения вал – втулка // ММТ. – 1982. - № 6. – С. 66-72. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Узагальнена кумуляційна модель кінетики зношування підшипника ковзання. Частина 1. Лінійна і кумуляційна модель Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2012, № 4 17 4. Кравчук А.С., Чигарев А.В. Механика контактного взаимодействия тел с круговыми граница- ми. - Минск: Технопринт, 2000. – 198 с. 5. Крагельский И.В., Добычин Н.М., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. – М.: Машиностроение, 1977. – 526 с. 6. Кузьменко А.Г. Методи розрахунків на зношування та надійність.–Хмельницький:ТУП, 2002.– 151 с. 7. Теплый М.И. Определение контактных параметров и износа в цилиндрических опорах сколь- жения // Трение и износ. – 1987. -№ 6. – С. 895-902. 8. Чернец М.В. К вопросу об оценке долговечности цилиндрических трибосистем скольжения с границами, близкими к круговым // Трение и износ. – 1996. -№ 3. – С.340-344. 9. Чернець М.В., Луцишин Р.М. Про один метод контактної міцності циліндричних спряжень з малим збуренням контурів // Проблеми трибології. – 1997. -№ 2. – С.80-87. 10. Чернець М., Пашечко М., Невчас А. Методи прогнозування та підвищення зносостійкості триботехнічних систем ковзання. У 3-х тoмах. – Дрогобич: Коло, 2001. 11. Чернець М.В. Методологія оцінки характеристик контакту та прогнозування довговічності циліндричних трибосистем ковзання // Проблеми трибології. – 2000. - №1. – С. 14-22. 12. Чернець М.В., Лєбєдєва Н.М. Оцінка кінетики зношування трибосистем ковзання при наявності овальності контурів їх елементів за кумуляційною моделлю // Проблеми трибології. – 2005. - №4. – С. 114-120. 13. Чернець М., Андрейків О., Лєбєдєва Н. Дослідження впливу складного огранення деталей підшипника ковзання на параметри контактної та трибоконтактної взаємодії // Проблеми трибології. – 2007. – №4. – С. 50-54. 14. Чернець М.В., Андрейків О.Є., Лєбєдєва Н.М., Жидик В.Б. Модель оцінки зношування і довговічності підшипника ковзання за малої некруглості // ФХММ. – 2009. – №2. – С. 121-129. 15. Чернець М.В. Контактна задача для циліндричного з’єднання з технологічним ограненням контурів деталей // ФХММ. – 2009. – №6. – С. 93-99. 16. Czerniec M. Wytrzymałość stykowo – tarciowa oraz trwałość tribotechnicznych systemów ślizgowych. – Lublin: Wyd. Politechniki Lubelskiej, 2000. – 490 s. Надійшла 04.09.2012 Ч И Т А Й Т Е журнал “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” во всемирной сети I N T E R N E T ! http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com