20_Artemchuk.doc Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 121 Артемчук В.В. Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна, (ДІІТ), Україна ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЗНОСУ З УТОЧНЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ Вступ, постановка проблеми Досвід експлуатації механічної частини рухомого складу показав, що основною причиною від- мов та несправностей її елементів є знос та пошкодження контактних поверхонь деталей. У загальному випадку тертя спостерігається при контакті двох тіл і русі одного відносно іншого. В результаті зношен- ня деталей можуть виникати неприйнятні для експлуатації наслідки, наприклад, вібрації, биття, пору- шення герметичності та режиму змащування, втрата міцності з’єднання для спряжень з гарантованим на- тягом. Знос, який супроводжується пошкодженнями робочої поверхні деталей такими, як риски, задири, глибинні вириви та інші, зменшує втомну міцність та може приводити до руйнування. Узагальнюючи наведене вище, можна зробити висновок, що в результаті підвищеного зносу порушується конструктивна взаємодія деталей у вузлах, при цьому можуть виникати значні додаткові навантаження та напруження і стати причиною аварійних руйнувань [1 - 5]. Важливою проблемою пов’язаною із зношуванням є визначення контактного напруження конта- ктуючих деталей. Суттєву практичну цінність мають розв’язання контактних задач теорії пружності для циліндричних тіл, які складають теоретичну основу розрахунку валів, підшипників, шарнірних з'єднань та з'єднань з натягом [5 - 9]. Підкреслимо, що властивості контакту суттєво впливають на процеси зно- шування внаслідок його дискретності, тобто контактування поверхонь відбувається на окремих ділянках нерівностей, які і утворюють фактичну площу контакту. Таким чином, враховуючи тісний зв’язок між зносом та контактною взаємодією поверхонь деталей, постає необхідність рішення контактних задач з урахуванням зносу і при цьому враховуючи геометричні параметри деталей, характеристики та власти- вості їх поверхонь [5, 6, 7, 10]. Розв’язуванню задач контактної механіки присвячено роботи багатьох науковців. Зокрема, до- слідження контактних задач теорії пружності для тіл з круговими межами виконані за допомогою аналі- тичних методів [5, 6]. Значно розширити можливості аналізу напруженого стану в зоні контакту дозво- ляють чисельні методи [6]. Але недоліком використання аналітичних методів є громіздкість математич- ного апарату [5, 11], необхідність використання потужних ЕОМ, а також похибки розрахунків при пев- них спрощеннях та припущеннях. Метою даної роботи є отримання рішень поставлених задач з відносною простотою їх практич- ної реалізації, з достатньою точністю та з використанням при цьому ЕОМ середнього рівня. З певним ступенем точності тертя підрозділяють на три класи: тертя ковзання, тертя кочення і тертя вертіння. Залежно від того, який вид тертя матиме місце фізико-хімічні і геометричні наслідки будуть різ- ними, не дивлячись на те, що початкові умови є однаковими при одному і тому ж часі взаємодії. Цей факт визначає різні напрацювання, при яких визначається втрата працездатності даної пари. 1. Експлуатаційні властивості поверхонь. Слідуючи роботі [12] відзначимо наступні експлуатаційні властивості контактуючих поверхонь: - відхилення форми; - хвилястість; - шорсткість; - мікрошорсткість. Перераховані властивості поверхонь деталей певною мірою є умовними. Дані властивості відображають різні механізми їх виникнення, вимо- ги експлуатації і вимірювальної апаратури. Необхідно відзначити механічні властивості, які визначаються наступними параметрами: - тов- щина поверхневого шару; - мікротвердість; - наклеп; - залишкове напруження. Фізико-хімічними властивостями поверхневого шару є: - адсорбційна здатність; - структура і хі- мічний склад поверхневого шару; - корозійна стійкість. Експлуатаційні властивості поверхні деталі залежать так само від теплофізичних властивостей шарів, параметрів кристалічної решітки, густини дислокацій, наявності мікротріщин і т.д. 2. Основні механізми зношування. Під зношуванням або зносом розуміють руйнування і відділення часток з поверхні твердого тіла, а також зміну розмірів і форми тіла в процесі деформацій при контактній взаємодії. Як відомо, процес зношування розбивають на основні три групи: - механічне зношування; - мо- лекулярно-механічне зношування; - корозійно-механічне зношування. У реальних умовах часто має міс- це одночасна дія декількох механізмів зносу. Виділити, які механізми мають місце в тому або іншому випадку вельми непросте завдання, тому для кількісної характеристики зносу поверхні вводять таке по- няття, як «середня інтенсивність зносу». 3. Кількісні характеристики поверхні тертя. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 122 Оскільки поверхня контакту пари тертя не буває абсолютно гладкою і при розгляді аналогічних пар, що працюють в однакових умовах, мають різні мікронерівності, які утворюють шорсткість, то має місце невизначеність і однією з можливостей її кількісного опису є залежність ( ), ,z f x y= ω , де ω – елементарна подія з множини Ω . Таким чином, z є випадковою поверхнею, а при фіксованому ω (конкретна пара тертя) дану поверхню можна розглядати, як реалізацію випадкової функції. Якнайповнішою кількісною характерис- тикою випадкової функції є набір кінцевомірних розподілів ймовірностей. На практиці обмежуються гаусовськими випадковими полями. Дані поля досить добре описують поверхні отримані, наприклад, електроосадженням [13]. У разі, коли поле є ізотропним, то усереднювання за площею можна замінити усереднюванням по якому-небудь перетину поля [14]. Параметри та характеристики шорсткості широко відомі, тому в ро- боті не представлені. 4. Зміна форми поверхні при зносі. Пов'яжемо з тілом, яке піддається зносу систему координат oxyz . Нехай у момент часу поверх- ня, яка піддається зносу, має вигляд ( ), , , 0F x y z t = . У момент часу t t+ ∆ поверхня приймає вигляд (пунктирна лінія). Нехай точка tM буде на по- верхні у момент часу t , а у момент часу t t+ ∆ вона займає деяке положення t tM +∆ . Вектор 0 t tM M +∆ uuuuuuuuur паралельний нормалі до поверхні ( ), , , 0F x y z t = (рис. 1). t tM +∆ tM Рис. 1 – Геометричне представлення процесу зносу Визначення. Вектор 0 0 lim t t t M M t + ∆ ∆ → γ = ∆ uuuuuuuuur r являє собою швидкість зношування. Зауважимо, що вектор γ r відмінний від нуля тільки в області контакту. У загальному випадку він залежить від параметрів мікронерівностей (шорсткості) і контактного тиску, виду тертя (ковзання, ко- чення або вертіння), температури поверхневих шарів і т.д. Зауважимо, що у момент часу t t+ ∆ , координати точки t tM +∆ будуть являти собою ( ) ( )x t t x t x+ ∆ = + ∆ ; ( ) ( )y t t y t y+ ∆ = + ∆ , ( ) ( )z t t z t z+ ∆ = + ∆ , де ( ), ( ), ( )x t y t z t - координати точки tM . Розкладаючи в ряд ( ) ( ) ( )( ), , , 0F x t x y t y z t z t t+ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = по x∆ , y∆ , z∆ та t∆ отримаємо ( ), , , 0F F F Ft x y z o x y z t t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ де ( ), , ,o x y z t∆ ∆ ∆ ∆ – доданки, порядок малості яких другий і вище. Поділивши на t∆ і спрямувавши t∆ до нуля приходимо до рівняння 0x y z F F F F v v v t x y z ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ , PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 123 де ,,x y zv v v – відповідні компоненти швидкості руху точки tM . Оскільки напрям t t tM M +∆ uuuuuuuur паралельний вектору нормалі до поверхні ( ) ( ) ( )( ), , , 0F x t y t z t t = , то вектор ( ),,x y zv v v v= r буде введеним вектором γ r і тоді отримане рі- вняння можна записати у вигляді 0 F F t n ∂ ∂ + γ = ∂ ∂ r , (1) де γ r – абсолютна величина швидкості зносу; ( ),F n F n ∂ = ∇ ∂ – проекція градієнта F∇ на нормаль. Рівняння (1) є основним в теорії зносу, яке дозволяє при заданому значенні ( )0 0 0, , , 0 0F x y z = і швидкості зносу γ = γ r визначати еволюцію поверхні зносу. На це рівняння можна подивитися і з іншої точки зору: якщо яким-небудь чином отримана зале- жність ( ), , , 0F x y z t = , то з цього рівняння можна визначати швидкість зносу γ . Знос при ковзанні. Знос при ковзанні розглянемо на прикладі пари нерухомого вкладиша і валу, що обертається (рис. 2). R R i+ ϕ Рис. 2 – Пара «нерухомий вкладиш – вал», що обертається Вважаємо, що при 0t = внутрішня поверхня вкладиша має форму кругового циліндра. При 0t > унаслідок контакту валу і вкладиша і відносного ковзання їх поверхні зазнають зміну. Якщо по- значити через ( ),i tϕ - знос вкладиша, то тоді поверхня вкладиша у будь-який момент часу є ( ) ( )( )22 2, , , 0F x y t x y R i t= + − + ϕ = де R – початковий радіус вкладиша. Зв'язок між декартовими координатами ,x y і полярним кутом ϕ буде наступний : x arctg y ϕ = , а похідні від ϕ по x і y рівні 2 2 y x x y ∂ϕ = ∂ + ; 2 2 x y x y ∂ϕ = − ∂ + , які необхідні для обчислення градієнта від F . ( )( ) ( ) ( ) 2 22 2 , 2 2 2 2 F i i i y x R i t x R i x R i x x x x y ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ = − + ϕ = − + ⋅ = − + ⋅ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ + . Аналогічно обчислюємо ( ) 2 22 2 F i x y R i y x y ∂ ∂ = + + ⋅ ∂ ∂ϕ + . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 124 Тоді ( ) ( ) 2 22 2 1 2 1 F F F i R i n x y R i    ∂ ∂ ∂ ∂  = − + = − + +    ∂ ∂ ∂ ∂ϕ  +    , а оскільки ( )2F iR i t t ∂ ∂ = + ∂ ∂ , то, підставивши в рівняння (1) отримаємо: ( ) 2 2 1 1 0 i i t R i  ∂ ∂ − γ + = ∂ ∂ϕ+   , (2) звідки швидкість зносу γ буде рівна ( ) 2 2 1 1 i t i R i ∂ ∂γ =  ∂ +  ∂ϕ+   . (3) Рівняння (2) при відомій швидкості зносу γ за заданих початкових умов дозволяє визначити знос як функцію часу і кута ϕ . Співвідношення (3) дозволяє по наявній залежності ( ),i tϕ визначати швидкість зносу. Іншими словами рівняння (3) є визначальним при обробці експериментальних даних. Тепер розглянемо знос валу, рівняння поверхні якого у будь-який момент часу буде ( ) ( )( )22 2, , , 0x y t x y R i tΦ = + − − ψ =% %% % % % , де система координат oxyz%% % пов'язана з валом і вісь z направлена по осі валу, а ( ),i tψ% – є знос валу (рис. 3). 0′ ψ x% y% Рис. 3 – До зносу валу Формально для валу, аналогічно як і для вкладиша маємо ( ) 2 2 1 1 0 i i t R i  ∂ ∂ − γ + = ∂ ∂ψ − % % % % % , (4) де R% – початковий радіус валу. З певним ступенем точності, через симетрію валу по куту ψ , витікає, що знос валу ( ),i tψ% від кута ψ не залежить. З даного положення виходить, що: 0 i∂ = ∂ψ % , тоді рівняння (4) приймає вигляд: i t ∂ = γ ∂ % % . (5) Спільно з рівнянням (2) маємо систему для опису пари «вкладиш – вал». PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 125 Дана система містить дві функції ( ),i tϕ і ( )i t% , тоді при відомих γ і γ% за початкових умов приходимо ( )0 0i =% ; ( ), 0 0i ϕ = (6) до замкнутої моделі зносу пари «вкладиш – вал». Швидкості зносу γ і γ% суттєво залежать від властивості поверхонь вкладиша і валу, а також навантаження, під яким знаходиться дана пара. Останнє значною мірою визначає їх контактну взаємодію. Перш за все, знайдемо область контакту вкладиша і валу. Припускатимемо, що нерівності на поверхні тіл в околиці вершин або впадин можна описувати у вигляді параболоїда 2 , 1 ij i j i j z x x = = χ∑ , (6) де ijχ – двомірний симетричний тензор, що характеризує кривизну поверхні в точці контакту, а площина перпендикулярна нормалі в цій точці прийнята за площину 1 2ox x . Аналогічно записується і рівняння для другого тіла 2 , 1 ij ij i j z x = ′ ′= χ∑ . (7) Рівняння (6) відноситимемо до нерівності валу, а (7) для вкладиша. Для кожного з тіл z - координату будемо відлічувати в глиб тіла (рис. 4). z′ z′zu′ z zu Рис. 4 – Контакт опуклих нерівностей Оскільки відбувається стиснення прикладеними силами, то тіла зближуються на деяку малу від- стань h . Поблизу точки зіткнення на поверхні тіл виникає втискування, і тіла стикатимуться по деякій області. Позначимо через zu і zu′ – компоненти векторів зсуву валу і вкладиша відповідно, тоді пови- нна виконуватися умова (рис. 4) z zz u z u h′ ′+ + + = . (8) Скористаємося уявленням z і z′ у вигляді (6) і (7), тоді (8) приймає вигляд ( ) 2 , 1 ij ij i j z z i j x x u u h = ′ ′χ +χ + + =∑ . (9) Вибираючи осі 1x і 2x так, щоб тензор ij ij′χ + χ був приведений до головних осей, отримає- мо: 2 2 1 2 z zAx Bx u u h′+ + + = (10) де A і B пов'язані з радіусами кривизни 1R , 2R , 1R′ , 2R′ наступними співвідношеннями PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 126 ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 2 A B R R R R + = + + + ′ ′ ; ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 cos 2A B R R R R R R R R         − = − + − + − − ϕ       ′ ′ ′ ′        , де кут ϕ є кут між тими нормальними перетинами, в яких радіуси кривизни рівні 1R і 1R′ . Якщо ),( 21 xxσ тиск між обома стисненими тілами в точках їх зіткнення, то зв'язок між zu , zu′ та ),( 21 xxσ описується співвідношеннями [15]: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 ,1 , ; ,1 , , z z x y u x x dxdy E r x y u x x dxdy E r σ− µ = π σ′− µ ′ = ′π ∫∫ ∫∫ (11) де інтеграція здійснюється по області контакту ( ) ( )2 21 2r x x x y= − + − ; µ , ′µ , E , E ′ - коефіцієнти Пуассона і модулі розтягування матеріалів валу і вкладиша ві- дповідно. З (11) витікає: ( ) ( ) 2 2 1 1 z z Eu u E ′− µ = ′ ′− µ , тобто дане відношення є постійним і визначається пружними властивостями валу і вкладиша. У роботі [12] показано, що в рамках пружних деформацій, область контакту є еліпс: 2 2 1 2 2 2 1 x x a b + = , напіввісі, якого a , b і зближення h визначаються із співвідношень ( ) ( )2 20 PD d h a b ∞ ξ = π + ξ + ξ ξ ∫ ; ( ) ( ) ( )2 2 20 PD d A a a b ∞ ξ = π + ξ + ξ + ξ ξ ∫ ; ( ) ( ) ( )2 2 20 PD d B b a b ∞ ξ = π + ξ + ξ + ξ ξ ∫ , (12) де P –повна сила, що здавлює тіла. 2 23 1 1 4 D E E ′ − µ − µ = + ′  . Розподіл напружень в області контакту є ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 3 , 1 2 x xP x x ab a b σ = − − π , (13) максимальне значення, якого дорівнює: max 3 2 P ab σ = π . (14) Для того, щоб скористатися залежностями (13), (14) необхідно знати напіввісі a і b , знайдені з (12). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 127 У співвідношеннях (12) покладемо: b a α = . Тоді значення a визначається з рівняння: ( )3 1 JA B J α = α    α  , де ( ) ( ) ( ) ( )20 1 1 du J u u u u ∞ α = + + α + ∫ . (15) Зробивши заміну змінної інтегрування: 2u tg= ϕ , інтеграл (15) буде мати вигляд: ( ) 22 2 2 2 0 cos 2 cos sin J d π ϕ α = ϕ α ϕ + ϕ ∫ . (16) Відзначимо прості властивості інтеграла (16): 1. ( )0J = +∞ ; ( )1 2 J π = ; ( ) 0J ∞ = ; 2. ( ) 0J ′ α < при 0α > . Тобто якісний характер ( )J α буде таким, як на рис. 5. ( )J α 2 π α1 Рис. 5 – Залежність ( )J α Заради стислості доведення цих співвідношень в даній роботі не наведено. Всі ці дослідження нам необхідні для вирішення рівняння: ( )A F B = α , (17) де ( ) ( )3 1 J F J α α = α    α  . Крім того, має місце ( ) 0F ′ α > ; ( ) 0F ′′ α > ; на рис. 6 представлена залежність ( )F α при [ ]0,10α ∈ . Всі ці розгляди дозволяють стверджувати, що рівняння (17) має єдине рішення. Нехай *α є рішенням рівняння (17), тоді напівосі еліпса контакту будуть ( ) 1 1* 3 33 Ja D p A α = ⋅ π ; 1 13 * 3 3 1 J b D p B    α = ⋅ π , а максимальне контактне напруження складе: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 128 ( ) 1 3 2 1 3 3 max * * 3 2 1 A B D p J J −     ⋅ σ =    π α   α   . (18) ( )F α α Рис. 6 – Залежність ( )F α Отримане співвідношення підказує, що максимальне контактне напруження можна представити у вигляді: ( ) ( ) 1 3 max 1 1 2 1 2 2, , , , , ,c f R R R R f E E p′ ′ ′ ′σ = ⋅ ⋅ µ µ ⋅ , де c - постійна; ( ) ( ) 1 3 1 1 2 1 2 * * , , , 1 A B f R R R R J J     ⋅ ′ ′ =    π α ⋅   α   ; ( ) 2 2 2 3 2 3 1 1 , , , 4 f E E E E − ′ − µ − µ ′ ′µ µ = + ′  ; 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 cos 2 16 A B R R R R R R R R R R R R             ⋅ = + + + − − + − + − − ϕ          ′ ′ ′ ′ ′ ′           Зауважимо, що отримані співвідношення справедливі для пружного контакту і коли центри кри- визни розташовані усередині відповідних тіл. У разі, коли опуклість одного тіла входить в западину іншого тіла, то для западини обидві кри- визни треба брати із знаком мінус. Розглянемо випадок, коли западина в околиці точки контакту з опуклістю другого тіла можуть бути описані кульовою поверхнею (рис. 7). Рис. 7 – Контакт двох шорстких поверхонь Нехай R – радіус внутрішньої кулі, а R′ - радіус западини, тоді 1 2R R R= = , 1 2R R R′ ′ ′= = . В цьому випадку маємо ( ) 2 22 A B R R + = − ′ ; ( )24 0A B− = , звідки отримуємо 1 1 1 2 A B R R   = = − ′  , оскільки кривизна западини від’ємна, тому що центр знаходиться поза тілом западини. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 129 В цьому випадку область контакту є круг радіусу: 1 1 3 3 RRa b p D R R ′  = =  ′ −  . Максимальне контактне напруження визначиться по формулі: 2 13 3 max 3 3 2 2 p RR D p ab R R −′  σ = = ⋅ ′π π −  . У роботі [16] виконаний аналіз різного виду нерівностей і встановлено, що в більшості випадків нерівності мають сферичну форму, тому надалі виходитимемо з даного припущення і вважаємо, що ві- домі параметри мікрогеометрії. У загальному випадку залежно від мікрогеометрії поверхні контакту, фізико-механічних власти- востей і знімаючого зусилля розрізняють наступні види контакту: пружний, еластичний, пластичний із зміцненням і пружнопластичний. У роботі [17] приводиться умова, коли має місце пружний контакт: max cq νσ ≤ , де ( ) ( ) 1 2 22 1 2 1 max 1 0.2 2.4 1c HBrb q B HB R E ν ν ν + ν ν    − µ   = ⋅ ⋅ ν ⋅ ν − ⋅ ⋅ ⋅        ; , bν – параметри опорної кривої профілю; r – радіус сферичної нерівності; maxR – максималь- на висота мікронерівностей; HB – твердість по Брінеллю; E - модуль пружності; µ - коефіцієнт Пуас- сона; ( ) ( ) ( )1 2.5 1 1.5 B Γ ⋅ Γ ν − = Γ ν + ; де ( )xΓ – гамма-функція. Контактна деформація при пружному контакті визначається виразом ( ) 2 2 1 1 1 22 2max max max 2 1 r h R K bE R ν+ ν   π σ − µ    = ⋅         , де ( ) ( ) 1 1.5 Kν Γ ν + = Γ ν + . Пластичний контакт має місце при контактному тиску [17]: ( ) 1 2 2 max max 1 0.5 5.4c HBrb q HB R E ν ν ν Γ ν    − µ   σ ≥ = ⋅ ⋅        , а контактна деформація дорівнює: 1 max maxh R b HB ν  σ =     . У разі, коли має місце: maxc cq q ν Γ< σ < , то говорять, що має місце пружнопластичний контакт, а деформація є: 1 max maxh R b HB ν σ  =  α ⋅ ⋅  , де α – коефіцієнт, залежний від твердості і співвідношення кроків нерівностей по середній лінії профілю і середньої висоти нерівностей m z S R . При пластичній деформації із зміцненням для сферичної моделі нерівностей деформація дорів- нює: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 130 1 max max max 22 v m m y r h R H K b R +   σ  =    ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅    , де 1 2 v m = − , v – показник в ступені закону Майера; yH - максимальна твердість по Майеру; K - коефіцієнт, залежний від ν . У роботі [18] затверджується, що при деякому тиску, коли всі виступи увійдуть до контакту, па- раметри опорної кривої змінюються. Це наступить, якщо контактна деформація рівна або більша ніж 1 1 max 1 Hh R b υ−   =  υ  . У цій ситуації величину деформації необхідно визначати по формулі: ( ) ( )( ) 12 2 / 3 2 33 max max 2 1 1 3 3 1 max 3 1 1r h R bE R ν ν−   ⋅ σ ⋅ − µ ⋅ ν − = +   ν  , для пружного контакту, а для пластичного: ( )( ) ( )( ) 1 1 maxmax 1 1 1 bR h HB b ν− ν ν−   σ ⋅ ν = ⋅ + − ν  α ⋅ ν   . Наведені формули мають обмежене застосування, і область їх застосування визначається віднос- ним зближенням, тобто коли має місце: max 0.44 h R ε = ≤ . Проте, якщо контурний тиск перевищує межу пластичності, то не всі мікронерівності деформу- ються пластично і в роботі [19] пропонується дві величини ( ) 2 225.4 1n HB h r E   = ⋅ − µ     ; ( ) 2 222.4 1y HB h r E   = ⋅ − µ     , по яким можна судити про характер деформації i-той нерівності: - якщо i yh h< , то має місце пружна деформація; - якщо y i nh h h≤ < , то має місце пружно-пластична деформація; - якщо n ih h≤ , то має місце пластична деформація, де ih - втиснення для i-тої нерівності. І тоді для ненасиченого контакту, нормальне навантаження прикладене до контактуючих повер- хонь, визначиться за формулою 0 y n y n iy r iyn r in rN N dn N dn N dn ε−ε ε −εε ε−ε ε −ε = + +∫ ∫ ∫ , (19) де iyN , iynN , inN - нормальні навантаження, що викликають пружні, пружно-пластичні дефор- мації; rdn – число нерівностей з однаковим зближенням; max y y h R ε = ; max n n h R ε = . Співвідношення (19) дозволяє визначити значення контактної деформації ε . Зауважимо ще раз, що співвідношення (19) справедливе для ненасичених контактів, коли: nε < ε , PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Побудова математичної моделі зносу з уточненими параметрами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 131 де nε - деформація насиченого контакту, яка ≈ 0.44. Висновки 1. Для тривимірної взаємодії отримано диференціальне рівняння поверхонь зносу контактуючої пари. 2. У класичному завданні пружної взаємодії двох тіл запропонована методика розрахунку пара- метрів площі контакту і параметрів деформації з використанням спеціального інтеграла ( )J α , де α - відношення напівосей еліпса в задачі Герца. 3. Досліджені властивості інтеграла ( )J α і отримано взаємозв'язок даного інтеграла з парамет- рами квадратичної форми приведеної до головних осей суми тензорів поверхні контакту. Перспективи. Даний розгляд в подальшому дозволить сформулювати уточнені вимоги до техно- логій відновлення (ремонту) зношених деталей покриттями, а також для кожного виду тертя визначити вимоги до фізико-хімічних властивостей контактуючих тіл, щоб напрацювання до моменту втрати праце- здатності було якомога більше. Література 1. Гриб В.В. Решение триботехнических задач численными методами. - М.: Наука, 1982.-112 с. 2. Любарский И.М., Палатник Л.С. Металлофизика трения. - М.: Металлургия, 1976. -176 с. 3. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. - М.:Машиностроение, 1986.-216 с. 4. Пелех Б.Л., Максимук А.В., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций. - Киев: Наук. Дум., 1988. - 280 с. 5. Теплый М.И. Контактные задачи для тел с круговыми границами. - Львов: Выща школа, 1980. - 176 с. 6. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М: Мир, 1989. - 510 с. 7. Кузьменко А.Г. Метод алгебраических уравнений в контактной механике: монография / А.Г. Кузьменко. – Хмельницкий: ХНУ, 2006. – 448 с. 8. Кузьменко А.Г. Теоретическая и экспериментальная трибология. В 12 т. Т. ІІ. Пластический контакт. Вариационно-экспериментальный метод: монография / А.Г. Кузьменко. – Хмельницкий: ХНУ, 2009. – 359 с. 9. Кузьменко А.Г. Теоретическая и экспериментальная трибология. В 12 т. Т. ІІІ. Развитие мето- дов контактной трибомеханики: монография / А.Г. Кузьменко. – Хмельницкий: ХНУ, 2010. – 270 с. 10. Гриб В.В. Решение триботехнических задач численными методами. - М.: Наука, 1982.-112 с. 11. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными граница- ми. -М.: Наука:Физматлит, 1995. - 351 с. 12. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения. – М.: Наука, 1990. – 280 с. 13. Гнусин Н.П., Коварский М.Я. Шероховатость электроосажденных поверхностей. – Новоси- бирск: Наука, 1970. – 231 с. 14. Лукьянов В.С., Рудзит Я.А. Параметры шероховатости поверхности. – М.: Издательство стандартов, 1979. – 162 с. 15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1965. – 203 с. 16. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. – М.: Наука, 1970. – 226 с. 17. Трение, изнашивание и смазка: Справочник в 2 кн. – М.: Машиностроение, 1978. кн. 1 – 400 с. 18. Михин Н.М., Крагельский И.В. Изменение площади касания твердых тел при значительном сближении. – Доклады АН СССР, 1967, т. 176, № 6, с. 1285 – 1287. 19. Крагельский И.В., Михин Н.М. Узлы трения машин: Справочник. – М.: Машиностроение, 1984. – 400 с. Надійшла 20.11.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com