21_Kuzmenko_2.doc Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 132 Кузьменко А.Г. Хмельницкий национальный университет, Украина БЕЗРАЗМЕРНАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПРИВЕДЕННОГО РАДИУСА В ТРИБОТЕХНИКЕ 1. Представление решения герцевской задачи для шара на плоскости в безразмерном виде 1.1. Формулы в размерном виде Для определение радиуса площадки контакта a , максимального контактного давления 0d по площадке контакта, и сближения шара и плоскости 0U , в соответствии с решением Герца для случая, когда материалы шара и плоскости одинаковы, в [ ]2 приведены следующие формулы: 3/13/1 )()(109,1 E QR C E QR a a== , (1) 31 2 2 0 31 2 2 0 3880 / d / ) R QE (C) R QE (,d = , (2) 31 2 2 31 2 2 0 2311 / u / ) RE Q (C) RE Q (,U == . (3) 1.2. Процедура обезразмеривания В соответствии с основными положениями теории подобия и размерностей любая зависимость определяемой величины (в данном случае )(QREa , )(d 0 ΕQR , )(0 ΕQRU может быть представлена в виде критериального уравнения или зависимости безразмерной определяемой величины )d(a, 00U от безразмерных комплексов из определяющих величин ERQ ,, . В случае если известно решение задачи в размерном виде типа (1), (2), (3) безразмерные ком- плексы или критерии получают интуитивно путем деления левых и правых частей в формулах на раз- мерные величины так, чтобы получить безразмерные. В соответствии с этим положением: 1) в формуле (1) для радиуса площадки контакта разделив левую и правую части на радиус R (мм), имеющий размерность длины, мм, имеем: 3/1 23 3/1 )()()( ER Q C ER QR C E QR R C R a aa a === . (4) В результате слева имеем безразмерный комплекс aП : RaПa /= , мм/мм . (4, а) Справа имеем безразмерный комплекс 1П : 2 1 / RQП Ε= 2 2 ммкгс ммкгс ⋅ ⋅ . (5) Подставляя (4), (5) в (1), получаем безразмерное критериальное уравнение или выражение в виде: 3/1 1ΠCΠ aa = ; (6) 2) В формуле (2) левую и правую части разделим на модуль упругости E , в результате имеем PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 133 ) ΕR Q (C) R QΕ ( Ε C Ε σ σ /σ 2 31 2 2 0 == , (7) где слева безразмерный комплекс == E d Пd 0 0 кгс мм мм кгс 2 2 ⋅ [ ]1 , (8) Справа в скобках в (7) имеем безразмерный комплекс 1Π , == 21 ER Q П 2 2 ммкгс ммкгс ⋅ ⋅ [ ]1 , (9) Подставляя (8) и (9) в (2), получаем его безразмерное выражение в виде: 1/3 1σσ ΠCΠ 0= , (10) 3) в формуле (3) левую и правую части разделяем на радиус R 3142 2 31 2 2 0 0 0 / u /u ) RE Q (C) RE Q ( R C R U == , (11) где слева безразмерный комплекс ⋅= R U Пu 0 0 [ ]1 мм мм ; (12) справа в скобках имеем безразмерный комплекс == RE Q П 2 2 2 [ ]1мм мм кгс кгс 4 4 4 2 ⋅ ; (13) подставляем (12) и (13) в (3) получаем безразразмерное выражение для сближения 31 20 / uu ПCП = . (14) Таким образом, все зависимости основных параметров контактных давлений 0σ , радиуса пло- щадки контакта a , сближение 0U получены в безразмерной форме: 31 1 / aa ПCП = (15) 31 100 / dd ПCП = (16) 31 200 / uu ПCП = (17) 2. Преимущества безразмерной формы представления зависимостей 2.1. Компактность и простота аналитического представления 1) Зависимости облегчают анализ влияния разных факторов на определения параметров; 2) В частности интересно, что отношение критериев подобия давлений и радиуса площадки кон- такта - величина постоянная: 00 d a d а C C П П = (18) или по (1), (2) E R C C d a d a ⋅= 00 (19) Что указывает на обобщенную линейность зависимости от радиуса площадки контактных осей давления. 3) Из безразмерных соотношений (15), (16) следует всеобщий кубический характер зависимо- стей параметров контакта от безразмерных компонентов 1П и 2П . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 134 2.2. Облегчение процедуры определения размерных параметров через безразмерные 1) при определении радиуса площадки контакта сначала строится кубическая зависимость (15) в виде одной кубической кривой; 2) для конкретной задачи определяетса безразмерный параметр 1П ; 3) по (15) определяется параметр aП ; 4) по зависимости (4 )a определяетса радиус площадки контакта: aRПa = (20) 2.3. Аналогичным образом определяются величины максимального контактного давления 00 σ =σ RП (21) и величины сближения 00 u RПU = (22) 3. Размерные и безразмерные выражения для определения приведенного радиуса 3.1 Схема контакта тел двоякой кривизны В соответствии с методом приведенного радиуса [3] контакт двух тел двоякой кривизны (рис.1). Рис. 1 – схема двух тел двоякой кривизны: 1 – первое тело; 2 – второе тело; I – первая главная плоскость симметрии II – вторая главная плоскость симметрии По схеме рис. 1 индексируются радиусы jiR , в которых первый индекс соответствует номеру тела; j − второй индекс соответствует номеру главной плоскости симметрии. 3.2. Размерные формулы для приведенного радиуса ∗R определяются из выражений 21 21 /)R(RR ∗∗∗ ⋅= , (23) ) 111 12111 RR ( R ±±= ∗ , (24) ) 111 22122 RR ( R ±±= ∗ . (25) Знак «+» ставится для выпуклых поверхностей, знак «–» соответствует вогнутым поверхностям . 3.3. Безразмерное представление приведенного радиуса 1) в качестве базового возьмем радиус 11R ; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Безразмерная форма решения контактных задач методом приведенного радиуса в триботехнике Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 4 135 2) слева и справа в (24) умножив на 11R , имеем )1 12 1111 1 R R ( R R ±±= ∗ (26) или вводя обозначение безразмерного радиуса ∗1R в первой плоскости )1 1 12 11 1 R R ( R ±±= ∗ ; (26, а) 3) аналогично получаем выражение для второго безразмерного радиуса ) 22 11 12 11 2 11 R R R R ( R R ±±= ∗ (27) ) 1 22 11 12 11 2 R R R R ( R ±±= ∗ ; (27, а) 4) умножив в (23) справа и слева на 11R , получаем 21 2 11 1 1111 /) R R R R ( R R ∗∗ ∗ ⋅= ; (28) 5) в итоге имеем выражение для безразмерного приведенного радиуса 2/1 21 111 ) RR ( R ∗∗∗ ⋅= (29) или 2/1 21 ) ∗∗ ∗ ⋅= RR(R (30) 3.4 Главный вывод из приведенных рассуждений о безразмерном радиусе заключается в сле- дующем: Метод приведенного радиуса соответствует основным положениям теории подобия и размерно- стей чем подтверждается его научная обоснованность. Выводы 1. В работе предложена безразмерная критериальная форма решения задачи о контакте шара и плоскости. 2 Предложена безразмерная форма решения задач о контакте тел двоякой кривизны методом обобщенного приведенного радиуса 3. Показано, что метод приведенного радиуса соответствует основным положениям теории по- добия и размерностей, что является его научным обоснованием Литература 1. Расчеты на прочность в машиностроении / под.ред. Пономарьова С.Д. том II.–M.:Машгиз, 1958.– 974 с. 2. Писаренко Г.С., Яковлев В.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов – Ки- ев: Наукова думка, 1988. – 734 с. 3. Кузьменко А.Г. Развитие методов контактной трибомеханике. – Хмельницкий: ХНУ, 2010. – 270 с. Надійшла 21.11.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com