2_Fastovec.doc Математичне моделювання фретингового зношування спряження вала з підшипником кочення Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 3 13 Фастовець П.М. Національний науковий центр “Інститут механізації та електрифікації сільського господарства” (ННЦ “ІМЕСГ”) МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФРЕТИНГОВОГО ЗНОШУВАННЯ СПРЯЖЕННЯ ВАЛА З ПІДШИПНИКОМ КОЧЕННЯ Проблема В конструкціях сільськогосподарських машин найбільш поширеними є рухомі і нерухомі спря- ження (від 70 до 95 %) [1]. Зокрема доля нерухомих за рахунок тертя спряжень, до яких відносяться спряження типу “вал-підшипник кочення”, становить близько 35 %. Зношування цих спряжень спричи- няє поступові відмови вузлів машин, наслідки яких усувають під час ремонту. З метою прогнозування обсягів ремонтного виробництва і підвищення його ефективності важливо знати ресурс підшипникових вузлів. Аналіз останніх досліджень і публікацій Стосовно фретингового зношування циліндричних поверхонь у спряженнях “вал-підшипник ко- чення” отримано значний обсяг експериментальних даних. Результати мікрометражних досліджень сис- тематизували проф. Молодик М.В. і проф. Кряжков В.М. і встановили, що знос поверхонь валів, які спряжені з підшипниками кочення, знаходиться у межах від 0,02 мм до 0,04 мм, а внутрішніх поверхонь кілець підшипників кочення, які спряжені з поверхнями валів, - від 0,04 мм до 0,05 мм [1, 2]. Зношування цих поверхонь відбувається внаслідок фретинг-корозії, а при появі зазору – внаслідок окиснювання. Статистичні дослідження зносу підшипникових вузлів в трансмісії трактора Т-150К були вико- нані проф. Кухтовим В.Г. [3]. Експериментальні залежності зносу вh посадочних поверхонь валів під пі- дшипники кочення від наробітку t підшипникового вузла він апроксимував степеневими функціями із врахуванням зносу за період припрацювання: htah vв ∆+⋅= , (1) де α і ν – експериментальні коефіцієнти; h∆ – знос за період припрацювання, мм. Для коефіцієнтів α і ν проф. Кухтов В.Г. отримав такі значення: коефіцієнт α знаходився в межах від 0,45 ⋅ 10-10 до 0,78 ⋅ 10-2 , коефіцієнт ν – від 0,20 до 2,09, параметр h∆ становив 0,001 мм. В інтервалі наробітку від 3,0 тис. до 10,0 тис. мотогодин середньозважена швидкість зношування знаходи- лась у межах від 0,2 ⋅ 10-5 мм/год до 0,4 ⋅ 10-5 мм/год. На основі цих результатів було запропоновано ви- конувати попередній розрахунок зносостійкості посадочних поверхонь валів на стадії проектування. Але отримані залежності не розкривають вплив фізико-механічних властивостей (твердості і ко- ефіцієнта тертя) контактуючих поверхонь і параметрів кінематики (амплітуди і частоти мікропереміщень контактуючих поверхонь) спряження, а тому мають обмежене застосування. Таким чином, незважаючи на значний обсяг експериментальних даних стосовно фретингового зношування циліндричних поверхонь у спряженнях “вал-підшипник кочення”, розрахункові формули для визначення динаміки зношування практично відсутні. Для пласких поверхонь вже відомі розрахун- кові формули. Наприклад, для розрахунку зносу трибоконтакту двох пласких сталевих поверхонь при фретингу Стоуерс Н. і Рабінович Е. запропонували формулу [4], яка містить мінімально можливе число експериментальних коефіцієнтів: NV pA kh n FF 3 2µ = , (2) де Fh – знос при фретингу, м; Fk – коефіцієнт фретингового зношування, безрозм.; µ – коефіцієнт тертя, відн. од.; n = 4; p – контактний тиск, Па; A – амплітуда мікропереміщень (фретинга), м; HV – твердість по Вікерсу, Па. Формула (2) справедлива для амплітуди мікропереміщень, яка знаходиться у межах від 0,025 мм до 0,75 мм, і призначена для розрахунку зносу одиничного трибоконтакту, а не спряження, та для плас- ких, а не циліндричних поверхонь. Також вона не враховує число циклів і частоту мікропереміщень, а тому не дає можливості розраховувати залежність зносу від тривалості роботи спряження. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Математичне моделювання фретингового зношування спряження вала з підшипником кочення Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 3 14 Мета досліджень подальший розвиток знань стосовно динаміки фретингового зношування не- рухомого за рахунок тертя спряження двох циліндричних поверхонь шляхом встановлення закономірно- сті зношування. Результати досліджень Для моделювання динаміки фретингового зношування нерухомого за рахунок тертя спряження посадочної поверхні вала з внутрішнім кільцем підшипника кочення було зроблено декілька допущень. По-перше, це відсутність відносного макропровертання кільця підшипника і посадочної поверхні вала, які спочатку були спряжені беззазорно, але після періоду припрацювання з’явився мікрозазор. Згідно з другим допущенням знос поверхонь по діаметру відбувається за рахунок зношування в окремому трибо- контакті між зовнішньою поверхнею вала і внутрішньою поверхнею внутрішнього кільця підшипника. В процесі роботи підшипникового вузла цей трибоконтакт дискретно переміщується по колу під дією на- вантажень та вібрацій. Для конкретного спряження число таких переміщень (трибоконтактів) є постій- ною величиною. По-третє, це те, що в кожному такому трибоконтакті відбувається фретингове зношу- вання і величини зносу в усіх трибоконтактах однакові, тобто трибоконтакти рівноцінні між собою. На підставі зроблених допущень та у відповідності до закону зношування, встановленого проф. Крагельським І.В. [5], було прийнято у якості моделі зношування одиничного трибоконтакту таке дифе- ренціальне рівняння: m тр тр kp ds dh = , (3) де трdh – величина приросту зносу обох поверхонь в трибоконтакті за час трdt , протягом якого приріст шляху тертя в трибоконтакті відповідає величині трds , м; k і m – параметри закону зношування трибоконтакту, ( )m1Па− і безрозм.; p – контактний тиск в трибоконтакті між циліндричними поверхнями, Па. Щоб перейти від моделі зношування одиничного трибоконтакту до моделі зношування спряжен- ня, врахували, що згідно з другим і третім допущенням, по-перше, знос спряження по діаметру ch дорів- нює подвійному зносу в трибоконтакті трh : трc hh 2= . (4) По-друге, час зношування спряження ct зв’язаний з часом зношування одного трибоконтакту трt таким співвідношенням: трc tnt ⋅= , (5) де n – число трибоконтактів для конкретного спряження, шт. Приріст шляху тертя трds в трибоконтакті за досить малий інтервал часу трdt визначали за формулою: тртр dtAds ⋅ω= 2 , (6) де A – амплітуда відносних мікропереміщень поверхонь у трибоконтакті, м; ω – частота мікропереміщень у трибоконтакті, с-1. Після диференціювання співвідношень (4) і (5) та із врахуванням співвідношення (6), формула (3) набула такого виду: m с с kp n A dt dh ω = 4 . (7) Формула (7) була прийнята у якості математичної моделі фретингового зношування нерухомого за рахунок тертя спряження посадочної поверхні вала з внутрішнім кільцем підшипника кочення. Вона встановлює залежність миттєвої швидкості зношування спряження (миттєвої швидкості зміни радіально- го зазору в спряженні) від кінематичних параметрів ( A , ω , n ) спряження, контактного тиску p і фізи- ко-механічних властивостей контактуючих поверхонь, які визначають величину параметрів k і m . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Математичне моделювання фретингового зношування спряження вала з підшипником кочення Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 3 15 Щоб розв’язати диференціальне рівняння (7), врахували, що при постійному навантаженні кон- тактний тиск є функцією зносу, тому що змінюються радіуси контактуючих поверхонь і, відповідно, площа їх контактування. Для контактного тиску p в трибоконтакті між циліндричними поверхнями ва- ла і кільця підшипника при їх внутрішньому дотиканні було використано формулу проф. Харача Г.М. [6], яка набула, після відповідних перетворень, такий вид: ( ) ( )( )тр pтр hRRl Fh p −∆+⋅Θπ +∆ = 11 , (8) де ∆ – початкова різниця радіусів циліндричних поверхонь (наприклад, після періоду припра- цювання або після використання деталей, які вже були у роботі і мають допустимий знос поверхонь), м; трh – знос трибоконтакту циліндричних поверхонь, м; pF – радіальна сила (реакція опори), що діє в спряженні, Н; Θ – постійна Кірхгофа, Па-1, яку визначають за формулою: 2 2 2 1 2 1 μ1μ1 EE − + − =Θ ; ,1E ,2E і 21 , µµ – модулі пружності і коефіцієнти Пуассона контактуючих тіл, Па і відн. од.; l – ширина посадочної поверхні під підшипник, м; 1R – початковий радіус циліндричної поверхні вала, м. Розглянемо частковий випадок, коли параметр m = 2. Тоді із врахуванням формули (8) диференціальне рівняння (7) набуло виду: ( ) ( ) ( )тр тр с с hR h Rl F n kA dt dh − +∆ ∆+Θπ × ω = 11 p4 . (9) Врахувавши, що згідно із співвідношенням (4) стр hh 5,0= , а також, що початковий радіальний зазор у спряженні ∆=∆ 2p і початковий діаметр вала 11 2RD = , після інтегрування отримали розв’язок рівняння (9): ( ) ( )         −        ∆ +∆+ ⋅ω ∆+⋅Θπ = с p с p p p с h h D FkA Dnl t 1ln 8 1 1 . (10) Постійну інтегрування знайшли із початкової умови ( ) 00 =сh . Формула (10) зв’язує наробіток спряження і величину фретингового зносу спряження (радіаль- ного зазору) після періоду припрацювання в залежності від початкових розмірних ( , ,1 lD ∆ р) і кінема- тичних ( A , ω , n ) параметрів спряження, радіального навантаження ( pF ) і фізико-механічних власти- востей контактуючих поверхонь ( Θ , k ). Перевірку адекватності математичної моделі фретингового зношування спряження “вал-кільце підшипника кочення”, яка описується закономірністю (7) і залежністю (10), виконали на прикладі роботи спряження вала первинного і підшипника 313 коробки передач трактора Т-150К. Для цього спряження відомі значення величини радіальної сили і початкового радіального зазору після періоду припрацюван- ня та залежність зносу посадочної поверхні вала від наробітку, які визначені проф. В.Г. Кухтовим на основі ек- спериментальних досліджень [4]: 001,0105,1 04,16 +⋅⋅= − св th , (11) де вh – знос посадочної поверхні первинного вала по діаметру під підшипник 313, мм; ct – наробіток спряження, мотогод. Вихідні дані для розрахунків наведені в таблиці. Конструктивні параметри спряження ( lD ,1 ) визначили за даними конструкторської документації заводу-виготовлювача. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Математичне моделювання фретингового зношування спряження вала з підшипником кочення Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 3 16 Таблиця Вихідні дані для розрахунків динаміки зношування спряження вала первинного і підшипника 313 коробки передач трактора Т-150К Назва показника і одиниці вимірювання Умовне позначення Числове значення Номінальний діаметр циліндричної поверхні вала, мм 1D 65,0 Ширина посадочної поверхні, мм; l 33,0 Частота обертання вала, с-1 ω 35,0 Радіальна сила, кН pF 4,72 Початковий радіальний зазор у спря- женні після періоду припрацювання, мм ∆ р 0,002 Амплітуда фретинга, мм A 0,02 Параметр закону зношування в трибоконтакті, 10-15 Па-1 k 4,9 Постійна Кірхгофа, 10-12 Па-1 Θ 9,1 Число трибоконтактів, шт. n 30 В розрахунках зробили допущення, згідно з яким частота мікропереміщень у трибоконтакті дорівнює частоті обертання вала ω . Значення амплітуди фретинга розрахували за допомогою методу екстраполяції в процесі аналітичних досліджень залежності (10), керуючись умовою узгодженості між розрахунковими і експериментальними значеннями зносу. Постійну величину Θ розрахували для моду- лів пружності == 21 EE 2,1·10 11 Па і коефіцієнтів Пуассона =µ=µ 21 0,3. Параметр k закону зношу- вання в трибоконтакті загартованої конструкційної сталі і підшипникової сталі марки ШХ15 та число трибоконтактів n визначені згідно з результатами експериментальних досліджень. Розрахунки динаміки зношування спряження ( )thc за формулою (10) виконували методом іте- рацій за допомогою програмного забезпечення “MathCAD”. Крок ітерацій становив =∆ ch 0,001 мм. Знос вh посадочної поверхні вала під підшипник кочення визначали із врахуванням співвідношення, яке було встановлене на підставі результатів випробувань на фретингове зношування одиничного трибоконтакту: cв hh ⋅= 57,0 . (12) В результаті розрахунків отримали залежності зносу спряження (радіального зазору) та зносу по діаметру посадочної поверхні первинного вала (із врахуванням співвідношення (12)) під підшипник 313 від наробітку спряження (рис. 1). 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 hс, hв, мм tс, мотогод 1 2 3 tр рt̂ Рис. 1 – Залежності зносу від наробітку спряження: 1, 3 – розрахункові залежності зносу посадочної поверхні вала (hв) і спряження (hc); 2 – відома залежність зносу посадочної поверхні вала (hв), яка описується формулою (11) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Математичне моделювання фретингового зношування спряження вала з підшипником кочення Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 3 17 Розрахункові залежності апроксимували степеневими функціями: 002,01022,3 76,19 +⋅⋅= − сс th , (13) 001,01081,1 76,19 +⋅⋅= − св th . (14) Розбіжність між розрахунковою (14) та відомою залежностями вh ( ct ) оцінили на підставі порі- вняння значень ресурсу. Врахувавши, що допустимий знос посадочної поверхні первинного вала під пі- дшипник 313 становить 0,02 мм, значення ресурсу, визначене за допомогою емпіричної залежності (11), становить pt = 8,81 тис. мотогодин, а прогнозоване значення ресурсу, визначене за допомогою теорети- чної залежності (14), становить =рt̂ 9,74 тис. мотогодин. Відносна різниця між значеннями ресурсу не перевищує 10 %, що є допустимим для виробів масового обслуговування. Крім цього розрахункове зна- чення допустимого радіального зазору в даному спряженні, визначене за допомогою теоретичної залежності (13), становить 0,036 мм, що відповідає технічними вимогами на капітальний ре- монт трактора Т-150К. Таким чином, розроблену модель можна вважати адекватною. Висновки Розрахунки зносу спряження “вал-підшипник кочення” від його наробітку, які виконані на осно- ві розробленої моделі, показали, що розрахункові залежності адекватно описуються степеневими функ- ціями. Їх порівняння із відомими експериментальними результатами досліджень динаміки зношування посадочної поверхні первинного вала під підшипник 313 в коробці передач трактора Т-150К підтвердили адекватність моделі зношування для амплітуди фретинга 0,02 мм і початкового радіального зазору в спряженні після періоду припрацювання 0,002 мм: відносна похибка між розрахунковим значенням ре- сурсу і значенням ресурсу, визначеним на основі експериментальних досліджень, не перевищує 10 %, що є допустимим для виробів масового обслуговування. Результати досліджень можуть бути застосовані для оцінки гарантованого гамма-відсоткового ре- сурсу відремонтованих підшипникових вузлів машин як одного з основних показників якості їх ремонту. Перспективи подальших розробок у даному напрямку полягають у розширенні бази даних стосовно закономірностей і залежностей зношування підшипникових вузлів та в експериментальному визначенні амплітуди і частоти фретинга. Література 1. Молодык Н. В. Восстановление деталей машин. Справочник / Н.В. Молодык, А. С.Зенкин. – М.: Машиностроение, 1989. – 480 с. 2. Кряжков В. М. Надежность и качество сельскохозяйственной техники / В.М. Кряжков. – М.: Агропромиздат, 1989. – 335 с. 3. Стоуерс Н.Е. Механизм фреттинг-износа / Н.Е. Стоуерс, Е. Рабинович // Проблемы трения и смазки. – 1973. – № 1. – С. 73-79. 4. Кухтов В. Г. Долговечность деталей шасси колесных тракторов / В.Г.Кухтов – Харьков: ХНАДУ, 2004. – 292 с. 5. Крагельский И. В. Основы расчетов на трение и износ / И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. – М.: Машиностроение, 1977. – 526 с. 6. Блюмен А. В. Расчетная оценка интенсивности изнашивания и ресурса сопряжения вал-втулка с обратной парой трения / А.В. Блюмен, Г.М. Харач, Д. Г. Эфрос // Вестник машиностроения. – 1976. – № 2. – С. 29-32. Надійшла 06.04.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com