16_Gavrilov.doc Анализ эффективности работы гидравлического выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 86 Гаврилов С.А. Национальный университет кораблестроения имени адм. Макарова, г. Николаев, Украина АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ВЫРАВНИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С РАЗГРУЖАЮЩИМИ СИЛЬФОНАМИ Введение В работе [1] построена математическая модель динамических характеристик упорных подшип- ников скольжения (УПС) с гидравлическим выравнивающим устройством (ГВУ) с разгружающими сильфонами при торцовых биениях гребня, получена система нелинейных алгебраических уравнений в комплексных амплитудах и предложен ее численный метод решения. Однако при определенных допу- щениях, не оказывающих заметного влияния на окончательные результаты расчетов, решение этой сис- темы уравнений может быть выполнено и аналитическим методом. В связи с этим представляется акту- альным получение аналитического решения данной задачи, проведение и анализ расчетов на конкретном примере по полученному решению и подтверждение его адекватности экспериментальным путем. Целью настоящей работы является получение аналитического решения динамической задачи об эффективности работы ГВУ с разгружающими сильфонами при торцовых биениях гребня, проведение и анализ расчетов на конкретном примере по полученному решению и подтверждение его адекватности экспериментальным путем. Аналитическое решение поставленной задачи получено в предположении, что подушки одина- ково нагружены статическими усилиями, а торцовые биения носят гармонический характер. Это предпо- ложение для ГВУ с разгружающими сильфонами всегда выполняется, так как коэффициент жесткости сильфона не менее чем на порядок меньше динамической жесткости масляной пленки подушки [2]. Этот результат подтверждается также расчетами на примере компрессора высокого давления ГТД М-70. Экспериментальные исследования проведены на стенде, подробно описанном в работе [2]. В процессе экспериментальных исследований измерялись толщина и перегрев масляной пленки подушки. Измерения проводились автоматизированным измерительным комплексом [3]. Показано, что теория и опыт хорошо согласуются друг с другом, а ГВУ с разгружающими силь- фонами надежно защищает масляную пленку от вибрационного разрушения и обеспечивает ее работу в режиме, весьма близком к статическому. Аналитический метод решения уравнений возмущенного движения УПС с ГВУ с разгружающими сильфонами Расчетная схема системы УПС с ГВУ с разгружающими сильфонами представлена на рис. 1. Рис. 1 – Расчетная схема УПС с ГВУ с разгружающими сильфонами В ней, в отличие от работы [1], перегородки для дросселирования смазки в рабочей камере от- сутствуют, как оказывающие вредное влияние на эффективность работы ГВУ [2]. Поэтому возмущенные уравнения движения УПС с ГВУ с разгружающими сильфонами можно на основании работы [1] запи- сать в виде: ( ) ( )[ ]∑∑∑ === −+−−=η+η+η ппп 111 ξξ z i iiiiii z i i z i i xkxkkkM жджд &&&&& ; (1) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ эффективности работы гидравлического выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 87 ( ) ( ) сжд Spcxxkxkxm iiiiiiiii −−η+−−η+−−= ξξ &&&&& ; (2) iiii νkVpp ρ3 4 1 π =−− ; (3) iii xSqq &с1 =− − ; (4) iii xS S & к с 1 =ν−ν − ( п,1 zi = ), (5) где M , m – соответственно массы ротора и подушки; η – осевое перемещение ротора; ikж , ikд – соответственно коэффициенты эффективной упругости и демпфирования масляной пленки i-й подушки; ix – перемещение основания сильфона под точкой опоры i-й подушки из положения статиче- ского равновесия; iξ – торцовое биение гребня под точкой опоры i-й подушки; c – коэффициент жесткости сильфона; ip – нестационарная составляющяя среднего давления жидкости в сильфоне ГВУ под точкой опоры i-й подушки; сS – эффективная площадь сильфона; ρ – плотность жидкости; k – коэффициент местных потерь, обусловленных внезапными сужениями, расширениями и по- воротами потока жидкости в ГВУ; iV – амплитуда вынужденных колебаний средней алгебраической скорости жидкости в сечении i-го участка рабочего канала камеры ГВУ; iν – средняя скорость среды по живому сечению i-го участка рабочего канала камеры ГВУ; iq – средний объемный расход жидкости по живому сечению i-го участка рабочего канала каме- ры ГВУ; кS – площадь проходного сечения рабочего канала камеры ГВУ. Точка обозначает производную по времени. Будем считать, что осевая нагрузка, действующая на подшипник, одинаково распределена по подушкам. При таком распределении осевой нагрузки по подушкам коэффициенты эффективной упруго- сти ikж и демпфирования ikд масляных пленок подушек являются одинаковыми [2]. Поэтому уравнение (1) системы (1) - (5) имеет нулевое решение η =0 (правая часть уравнения (1) равна нулю) при равномер- ном расположении по окружности подушек подшипника и его можно исключить из данной системы. Оставшуюся систему уравнений (2) - (5) будем решать методом комплексных амплитуд. Согласно этому методу характер изменения параметров системы “гребень-пленка-подушка- ГВУ” при гармонических торцовых биениях гребня запишем в виде tj ii eXx ω= ~ ; )(г ~ itj i eA γ−ω=ξ ; tj ii ePp ω= ~ ; tjii eVv ω= ~ , (6) где j – мнимая единица. Волнистая линия обозначает комплексную амплитуду. Подставляя (6) в (2) - (5), получим систему алгебраических уравнений в комплексных амплиту- дах для определения динамических характеристик УПС с ГВУ: ii jj iii PSXceAkeAjkXkXjkXm ii ~~~~~~~ сгжгджд 2 −−+ω+−ω−=ω− γ−γ− ; (7) iiii VkVPP ~ ρ π3 4~~ 1 =−− ; (8) iii XjS S VV ~~~ к с 1 ω=− − ( )п,1 zi = . (9) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ эффективности работы гидравлического выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 88 Заметим, что в системе уравнений (7)-(9) модули комплексных амплитуд одноименных парамет- ров системы являются одинаковыми. Поэтому положим в формуле (9): п 2 ~~ 1 z j eVV ii π =− . Тогда получим следующее выражение для комплексной амплитуды iV ~ : i z j i X e j S S V ~ 1 ~ п 2 к с π − ω = . Модуль этой амплитуды рассчитывается по формуле: ii CXV = , (10) где п к с 2 cos12 z S S C π − ω = . Теперь положим в формуле (8) п 2 ~~ 1 z j ePP ii π =− . Тогда будем иметь следующее выражение для комплексной амплитуды iP ~ : iii XWVP ~~ = , (11) где 22 к с п1 3 4         − ωρ π −= π z j e kj S S W . Далее, подставляя найденные выражения (10) и (11) для iV и iP ~ в уравнения (7), получим: ( )( ) ( ) ijii eAkjkXCXjDBckjkm γ−+ω=−+++ω+ω− гжджд2 ~~ . (12) Теперь находим квадраты модулей левой и правой частей этого равенства. Тогда получим сле- дующее уравнение для определения амплитуды перемещений основания сильфона iX (для оснований всех сильфонов одна и та же) в зависимости от амплитуды колебаний гребня гA : ( ) ( )[ ] ( )[ ] 2г2д2ж22д2ж2 AkkXDCXkCBXckm iii ω+=−ω++++ω− , (13) где 22 к 2 с 3 4 ba bk S S B + ωρ π = ; 22 к 2 с 3 4 ba ak S S D + ωρ π = ; пп 4 cos 2 cos21 zz a π + π −= ; пп 4 sin 2 sin2 zz b π − π = . Уравнение (13) после соответствующих преобразований представим в виде: 01 2 2 3 3 4 4 =+++ aXaXaXa iii , (14) где 22224 CBCDa += ; mBCkDCBCkBCca 2 дж3 2222 ω−ω−+= ; 2жж 2 д 2 ж 2244 2 222 kсkckmkmcma +++ω+ω−ω−ω= ; ( ) 2г2ж2д21 Akka +ω= . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ эффективности работы гидравлического выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 89 Полученное уравнение (14) является уравнением четвертой степени относительно неизвестной величины iX . Решение этого уравнения, как известно из курса высшей алгебры, выражается через его коэффициенты и сводится по методу Феррари к решению вспомогательного кубического уравнения, корни которого определяются по формуле Кардано [4]. Решение уравнения (14) также может быть полу- чено численно с привлечением современных вычислительных средств. Теперь найдем выражение для амплитуды вынужденных колебаний толщины масляной пленки под точкой опоры подушки. Представим амплитуду колебаний толщины масляной пленки под точкой опоры i-й подушки в комплексной форме: ijii eAXH γ−= -г ~~~ . (15) Выразим iX ~ из уравнения (12) через г ~ A и подставим в (15). Тогда получим после соответст- вующих преобразований для амплитуды колебаний толщины масляной пленки под точкой опоры i-й по- душки следующую формулу: ( ) ( ) ( ) ( ) г2д 2 ж 2 222 A DCXkCBXckm DCXCBXcm H ii ii i −ω++++ω− +−−ω = . (16) Анализ полученных результатов Расчеты проводились для упорного подшипника скольжения с ГВУ с разгружающими сильфо- нами судового ГТД М-70 со следующими исходными данными: угловая частота вращения ротора ω = 1477 рад/с; m = 75 г; число подушек пz = 12; статическая нагрузка на подушку стN = 1250 Н; ко- эффициент жесткости каждого сильфона c = 5,4 МН/м [5]; масло газотурбинное ГОСТ 10289-79. Рис. 2 – Влияние амплитуды торцовых биений гребня гA на отношение стhH По результатам проведенных расчетов построена графическая зависимость отношения амплиту- ды H вынужденных колебаний толщины масляной пленки к ее статической толщине стh под точкой опоры подушки от амплитуды гA торцовых биений гребня (рис. 2). Из графика видно, что отношение стhH при значениях гA = 60 мкм не превышает 7 %. Поэтому можно считать, что ГВУ с разгружаю- щими сильфонами обеспечивает надежную защиту масляной пленки от вибрационного разрушения. Этот результат подтверждается также экспериментальными данными, представленными в работе [6]. Расчетное значение по формуле (16) для амплитуды вынужденных колебаний толщины масляной пленки под точкой опоры подушки составляет 0,35 мкм, а экспериментальное значение – около 0,5 мкм и находится в диапазоне погрешности измерений. Как видно, расхождение между ними составляет около 30 %, что подтверждает адекватность математической модели и полученных расчетных формул. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Анализ эффективности работы гидравлического выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 90 Выводы 1. На базе известной математической модели получено аналитическое решение и выполнен ана- лиз эффективности работы ГВУ с разгружающими сильфонами с учетом потерь энергии в тракте замк- нутой полости рабочей камеры ГВУ. 2. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что ГВУ с разгружающими силь- фонами обеспечивает работу масляной пленки УПС в режиме, незначительно отличающемся от статиче- ского, при торцовых биениях гребня. Вследствие этого торцы сильфонов ГВУ колеблются с амплитуда- ми, весьма близкими к амплитуде торцовых биений гребня. Литература 1. Хлопенко Н.Я. Динамика упорного подшипника скольжения при дисбалансах ротора, враща- ющегося в упругих опорах / Н.Я. Хлопенко, Д.Ю. Шарейко // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2008. – № 3. – С. 67-72. 2. Романовский Г.Ф. Динамика упорных подшипников скольжения судовых турбомашин: Моно- графия. / Г.Ф. Романовский, Н.Я. Хлопенко – Николаев: НУК, 2007. – 140 с. 3. Хлопенко Н.Я. Автоматизированный измерительный комплекс для мониторинга рабочих про- цессов в упорных подшипниках скольжения судовых турбомашин / Н.Я. Хлопенко, С.А. Гаврилов // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2007. – № 1. – С. 18-22. 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М.: Наука, 1975. − 432 с. 5. Хлопенко Н.Я. Циклическая прочность и жесткость сильфонов выравнивающего устройства упорного подшипника / Н.Я. Хлопенко, С.А. Гаврилов // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2009. – № 2. – С. 58-61. 6. Хлопенко Н.Я. Экспериментальные исследования эффективности работы выравнивающего устройства с разгружающими сильфонами / Н.Я. Хлопенко, С.А. Гаврилов // Судовые энергетические установки. – Одесса: ОНМА, 2010. – № 24. – С. 61-68. Надійшла 30.03.2011 Ч И Т А Й Т Е журнал “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” во всемирной сети I N T E R N E T ! http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.tup.km.ua/science/journals/tribology/ http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com