20_Romanuk.doc Регулярна оптимальна стратегія проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження на N-колонну … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 111 Романюк В.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна РЕГУЛЯРНА ОПТИМАЛЬНА СТРАТЕГІЯ ПРОЕКТУВАЛЬНИКА У МОДЕЛІ ДІЇ НОРМОВАНОГО ОДИНИЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ НА N -КОЛОННУ БУДІВЕЛЬНУ КОНСТРУКЦІЮ-ОПОРУ Вступ і постановка проблеми дослідження На сьогодні одна з фундаментальних моделей оптимального використання будівельних ресурсів в конструкціях-опорах як антагоністична модель дії нормованого одиничного навантаження (МДНОН) [1] на двоколонну будівельну конструкцію узагальнена для триколонної опори [2, 3]. У цих моделях мі- німізується максимальний дисбаланс відношень стискаючих зусиль до квадратів площ поперечних пере- різів. Розглянуті моделі можна узагальнити для N -колонної конструкції-опори, де . Крім того, якщо брати відношення довільних степенів стискаючих зусиль і площ поперечних перерізів, то бу- де змодельовано узагальнену проблему усунення N часткових невизначеностей за допомогою мініміза- ції максимального дисбалансу. Аналіз останніх досліджень й окреслення невирішеного питання Узагальнена проблема усунення N часткових невизначеностей за допомогою мінімізації мак- симального дисбалансу, частинним випадком якої буде МДНОН на N -колонну конструкцію-опору, по- лягає у знаходженні оптимальної стратегії другого гравця (проектувальника) в антагоністичній грі з яд- ром як гіперповерхнею [4] ( ) ( )1 2 1 1 2 1, , , , ; , , ,N NT T x x x y y y− −= =X Y K K 1 1 1 1 111 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 max , , , , max , 1 1 m mN N Nk kmmm m jk kN n n n n n nN N N j j k k k k x x xxx x y y y y y y − − − = =− − − − = = =           − −                 = α = α              − −                    ∑ ∑ ∑ ∑ K (1) з параметром 0α > й 0m > , 0n > на паралелепіпеді [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; N N N N j k j j k k j k j k X Y a b a b − − − − = = = =               × = × = × ⊂                      ∏ ∏ ∏ ∏x Y , (2) де точка (3) є чистою стратегією першого гравця (стискаюче зусилля в МДНОН), точка (4) є чистою стратегією другого гравця (площа поперечного перерізу в МДНОН), причому виконані умови ( ); 0; 1j j jX a b = ⊂  1, 1j N∀ = − , [ ] ( ); 0; 1k k kY a b= ⊂ 1, 1k N∀ = − , (5) 1 1 1 N N k k x x − = = − ∑ , 1 1 1 N N k k y y − = = − ∑ , (6) 1, 1k N∀ = − , (7) k ka b< , 0ka > , 1kb < 1, 1k N∀ = − , 1 1 1 N k k b − = <∑ . (8) Звісно, умови (7) і (8) є взаємопов’язаними, серед яких легко визначити зайву [4]. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Регулярна оптимальна стратегія проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження на N-колонну … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 112 Формулювання мети дослідження узагальненої проблеми усунення невизначеностей Необхідно знайти оптимальну поведінку проектувальника в МДНОН на N -колонну конструк- цію-опору як оптимальну стратегію другого гравця у грі з ядром (1) на паралелепіпеді (2) за умов (5) – (8). Така оптимальна поведінка стане методом усунення N часткових невизначеностей за допомогою узагальненого принципу мінімізації максимального дисбалансу. Теорема про обґрунтування опуклості гри з ядром (1) на паралелепіпеді (2) Теорема 1. Антагоністична гра з ядром (1) з параметром 0α > й 0m > , 0n > на паралелепі- педі (2) за умов (5) - (8) є опуклою. Доведення. Умовою опуклості цієї гри є виконання нерівностей j jy Y∀ ∈ та l lx X∀ ∈ при 1, 1j N= − та 1, 1l N= − , 1, 1i N= − . (9) Маємо можливі ненульові значення перших частинних похідних (майже скрізь): ( ) 1, m i n i i nx T y y + ∂ = −α ∂ X Y або ( ) 1 1 11 1 1 , 1 mN k k nN i k k n x T y y − = +− =   −  ∂  = α ∂   −     ∑ ∑ X Y 1, 1i N∀ = − . (10) Зі співвідношень (10) слідують можливі ненульові значення для других частинних похідних (майже скрізь): ( ) ( ) 2 2 1 1 , m i n i i n n x T y y + +∂ = α ∂ X Y або ( ) ( ) 1 2 1 22 1 1 1 1 , 1 mN k k nN i k k n n x T y y − = +− =   + −  ∂  = α ∂   −     ∑ ∑ X Y 1, 1i N∀ = − . (11) Усі чисельники і знаменники дробів під знаком максимуму в (11) є додатними, звідки майже скрізь випливає (9). На нуль-вимірних множинах, де ядро (1) не є диференційовним, його перші частинні похідні (10) “стрибають” з меншого значення у більше, тому і там (9) виконано. Теорему доведено. Теорема про єдину чисту оптимальну стратегію проектувальника в опуклій грі з ядром (1) на паралелепіпеді (2) Теорема 2. В опуклій грі з ядром (1) з параметром 0α > й 0m > , 0n > на паралелепіпеді (2) за умов (5) - (8) другий гравець (проектувальник) має єдину чисту оптимальну стратегію: (12) з компонентами * 1 1 1 1 1 m n j j m nN N m n k k k k b y b a − − = = =   + −     ∑ ∑ 1, 1j N∀ = − (13) при виконаних умовах належностей 1 1 1 1 ; 1 m n j j jm nN N m n k k k k b a b b a − − = =  ∈     + −     ∑ ∑ 1, 1j N∀ = − . (14) Доведення. Оскільки за Теоремою 1 досліджувана гра є опуклою, то у ній за відомою теоремою про оптимальні стратегії другого гравця в опуклій грі проектувальник має (можливо, єдину) чисту опти- мальну стратегію (12), котра знаходиться за принципом мінімаксу [1, 2, 4]. Маємо PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Регулярна оптимальна стратегія проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження на N-колонну … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 113 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 1 1 1 max , max , max max , 1 N N N j j j j j j j j mN N km j k n nN jX a b a b j k k x x T T y y − − − = = = − − = −    ∈ ∈ ∈    = =       −         = = α =         ∏ ∏ ∏ −           ∑ ∑ X X X X Y X Y 1 1 1 1 1 1; ;1 1 1 max max , max 1 N j j j j j j mN N km j k nn Nx a b j a bj k k x x y y − = − − = − ∈   ∈  = =       −            = α =            ∏  −          ∑ ∑ X 1 1 1 1 111 2 1 1 1 2 11 1 1 1 1 max , max , , , , 1 1 m mN N N k km mm m j k kN n n n n n nN N j Nj k k k k a a b bb b y y y y y y − − − = =− − − −= = =           − −                 = α = α              − −                    ∑ ∑ ∑ ∑ K , (15) ( ) [ ] ( ) 1 11 1 1 11 1 ; ; min max , min max , N NN N k k kj j j k kj j Y a bX a b T T − −− − = == =  ∈ ∈∈ ∈           = =       ∏ ∏∏ ∏     Y YX X X Y X Y [ ] ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1* ; 1 *1 1 1 1 1 min max , max , 1 1 N k k k m mN N N N k km m j jk k n n n nN N a b j j j j k k k k a a b b y y y y − = − − − − = = − − ∈ = = = =           − −                   = α = α               ∏  − −                    ∑ ∑ ∑ ∑ Y *v    =    . (16) Оптимальне значення гри *v у (16) досягається на таких { } 1* 1 N j j y − = , що ( ) 1 1 * 1* * 1 1 1 mN km j k n nN j k k a b v y y − = − =   −    = α = α   −     ∑ ∑ 1, 1j N∀ = − . (17) Із (17) отримуємо 1 * * nm j j b y v   = α     1, 1j N∀ = − , 1 1 1 1* *1 1 1 nmN kN k k k a y v − − = =     −    − = α     ∑ ∑ , (18) 1 1 11 1 1 1* * * *1 1 1 1 1 1 nmN n kN N N m j k j k j k j a b y y v v − − − − = = = =     −      + − = = α + α =         ∑ ∑ ∑ ∑ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Регулярна оптимальна стратегія проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження на N-колонну … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 114 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 * * 1 1 m n m nN N N N m n m n j k k k j k k kn n n n b a b a v v − − − − = = = =     + − + −          = α = α ∑ ∑ ∑ ∑ , (19) ( ) 1 1 1 1 * 1 1 1 m nN N n n m n k k k k v b a − − = =     = α + −      ∑ ∑ , (20) 1 1 * 1 1 1 nm nN N m n k k k k v b a − − = =     = α + −      ∑ ∑ , (21) 1 * * nm j j b y v   = α =     1 1 11 1 1 11 1 11 n m m n j j n m nm n N NN N m nm n k kk k k kk k b b b ab a − −− − = == =        = α =        + −  α + −             ∑ ∑∑ ∑ 1, 1j N∀ = − . (22) Звичайно, виведене (13) через (17) — (22) має місце тільки при (14), адже має бути виконано (12), тобто [ ] 1 * 1 ; N k k k a b − = ∈∏Y обов’язково. Теорему доведено. Висновок і перспективи подальших досліджень дії нормованого одиничного навантаження За (13) відбуватиметься не тільки відповідний розподіл будівельних ресурсів виготовлення N призматичних колон конструкції-опори [1, 2], а й усунення N часткових невизначеностей [4] за допомо- гою узагальненого принципу мінімізації максимального дисбалансу у формі гіперповерхні (1) з парамет- ром 0α > й 0m > , 0n > на паралелепіпеді (2) за умов (5) - (8). У подальших дослідженнях щодо дії нормованого одиничного навантаження слід узагальнювати метод визначення компонент у (12), які за (13) можуть називатися регулярними, як і сама оптимальна стратегія. Таке узагальнення стосуватиметься випадків виходу частини компонент вектора (12) за границі відповідних областей { } 1 1 ; N j j j a b − =    . Література 1. Романюк В. В. Модель визначення оптимального рішення проектувальника у задачі про роз- рахунок повздовжньої стійкості двох елементів будівельної конструкції при дії на них нормованого стис- каючого зусилля / В. В. Романюк // Проблеми трибології. – 2010. – № 1. – С. 42-56. 2. Романюк В. В. Моделювання дії нормованого одиничного навантаження на три колони одна- кової висоти у будівельній конструкції і знаходження оптимальної площі кожної опори / В. В. Романюк // Проблеми трибології. – 2010. – № 3. – С. 18-25. 3. Романюк В. В. Доведення тверджень для моделі дії нормованого одиничного навантаження на три колони однакової висоти у будівельній конструкції / В. В. Романюк // Проблеми трибології. – 2010. – № 4. – С. 72-81. 4. Романюк В. В. Модель усунення часткових невизначеностей імовірнісного типу як мінімізація максимального дисбалансу // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наукових праць. Комп’ютерні системи та компоненти. – Чернівці: ЧНУ, 2011. Надійшла 14.04.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com