22_Kuzmenko.doc Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 117 Кузьменко А.Г. Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ КОНТАКТНОЙ ТРИБОМЕХАНИКИ 1. Общая структура системы методов расчетно-экспериментальной оценки износа (РЭМОИ) [2] 1.1. В теории систем основной признак системы состоит в том, что система элементов обладает свойствами, которыми не обладает ни один из элементов. Это, в частности, то, что в марксистской фило- софии называли законом перехода количества в качество. Каждый метод в отдельности решает свою задачу в развитии системы. Разные методы, собранные в систему решают другие задачи принципиально отличные от частных задач, решаемых разными методами. Главная цель в этой части трибологии состоит в том, чтобы иметь методологию достоверного прогнозирования износа узлов трения при использовании системы экспериментов и при использовании подсистемы теоретических методов, как основы расчетно-экспериментальной оценки износа этих узлов трения. 1.2. Система разрабатываемых методов, обеспечивающих достижение цели, условно разделяется на три основных подсистемы, а по последовательности применения на четыре этапа [2]. Этап 1. Разработка методов решения контактных задач, без учета износа. Эти методы необ- ходимы для расчетно-экспериментальной оценки условий работы узла трения в начальной стадии его ра- боты: давления, размеров площадки контакта, нормального и касательного перемещения (пути трения). Знание условий работы необходимо для выполнения последующего этапа – экспериментального изучения закономерностей изнашивания в этих условиях путем проведения испытаний. Этап 2. Разработка теоретических основ проведения испытаний на износ с эффективным оп- ределением параметров моделей изнашивания. Известные методы испытаний с определением пара- метров статически неустойчивы и требуют проведения большого количества образцов на протяжении значительного времени. Методы испытаний, разрабатываемые нами направлены на устранение этих не- достатков. Разрабатываемые методы испытаний основаны на методах решения контактных задач, с учетом износа модельных сопряжений. Этап 3. Разработка методов решения контактных задач, с учетом износа для реальных сопря- жений в узлах трения. Реализация этих методов является теоретической основой расчетов на износ узлов трения машин. При этом обязательным компонентом расчетов является использование параметров моде- лей изнашивания, полученных на втором этапе реализации общей методики. Этап 4. Разработка методов вероятного определения износа или оценки надежности узлов трения. В износе, еще больше чем в усталости, детерминированные расчеты, или расчеты по среднему, носят грубо оценочный характер. Для представления реальной картины поведения узла в эксплуатации обязательными являются оценки вероятности состояний, как частных реализаций общих процессов. Только комплексное использование всех этапов дает возможность достоверно оценить эффектив- ность применения той или иной технологии повышения износостойкости узла трения и машины вцелом. В соответствии с этой концепцией нами в течение ряда лет ведется разработка прикладных, то есть не обязательно строгих и высокоточных и легко реализуемых на практике методов. 2. Систематизация объектов, задач и методов трибомеханики [9] 2.1. Другим базовым принципом системного анализа является наличие систематизации или классификации объектов, задач и методов в изучаемой области. Нами предложена именно такая систематизация применительно к контактной трибомеханике SIS-KТM. Следует подчеркнуть, что контактная трибомеханика по нашему глубокому убеждению явля- ется основой общей трибологии. Поэтому предлагаемая систематизация является основной составной ча- стью систематизации объектов, задач и методов в трибологии. 2.2. Признаки систематизации: 1) Основной первой частью SIS-KТM является систематизация геометрических форм контак- тирующих тел. Систематизация сопряжений формируется как сочетания по две разных геометрических форм поверхности. 2) При систематизации свойств материала тел и контакта в точке учтены: 1) деформационные свойства материала элемента; 2) степень неоднородности материала поверхности; 3) остаточные напряже- ния; 4) величина деформаций и перемещений; 5) свойств третьего элемента (третьего тела); 6) свойств ок- ружающей среды; 7) условия скольжения в точке; 8) условия изнашивания в точке (модель изнашивания). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 118 3) Силовые нагрузки систематизированны по следующим признакам: 1) виды нагрузок; 2) скорость приложения нагрузок; 3) цикличность нагружения. 4) Кинематические условия взаимодействия контактирующих тел разделяются с учетом: 1) вида движения подвижного элемента; 2) вида закрепления подвижного элемента. 5) Тепловые условия контактирования различаются по: 1) граничным условиям тепловой зада- чи; 2) условиям теплообразования и распределения тепла в контакте. 6) Важной частью является систематизация по форме постановки краевых контактных задач: 1) тип, размерность задачи; 2) вид системы координат; 3) вид дифференциальных уравнений равновесия; 4) вид условий сплошности; 5) вид физических уравнений основных элементов; 6) вид физических урав- нений третьего тела; 7) постановка задачи с помощью функций Грина; 8) вариационная постановка кон- тактных задач; 9) форма постановки задачи: прямая, обратная, оптимизационная; 10) форма разрешаю- щих уравнений. 7) Методы решения контактных задач с определением давлений и размеров площадки контак- та (рассматриваются в этой главе подробно). 8) Методы решения краевых задач с определением напряженного состояния в зоне контакта. 9) Численные, экспериментальные и приближенные методы определения приближенного состояния. 10) Конечные результаты и форма их представления: 1) искомые параметры по площадке контакта: а) механические параметры; b) термодинамические и энергетические параметры; с) трибологические параметры; 2) искомые параметры в зоне контакта (на глубине); 3) форма представ- ления результатов. 2.3. Предложенная систематизация объектов, задач и методов контактной трибомеханики необ- ходима для развития этой отрасли знаний в следующих направлениях. 1) Первое главное направление – это системный поиск новых нерешенных задач. Поиск осу- ществляется путем перебора разных сочетаний признаков задачи: геометрических, силовых, кинематиче- ских и т.д. В частности разные задачи могут решаться разными методами. Количество нерешенных за- дач, определяемых этим методом перебора на несколько порядков превышает количество известных ре- шенных задач. 2) Другим базовым направлением использования систематизации является разработка эксперт- ных систем, предназначенных для оценки уровня и новизны решаемых задач, то есть распознающих смысл задач. Наличие достаточно полной систематизации в любой заданной области науки является необхо- димым начальным условием для создания информационных поисков систем. Такие системы должны уметь распознавать научные тексты и их принципиальную новизну. Расширенная систематизация позво- ляет сформировать достаточно полный образ публикуемой задачи. Процедура распознавания образа за- дачи выполняется путем сравнения с образами известных задач. Из приведенных рассуждений следует, что создавать автоматизированные поисковые системы, распознающие смысл и новизну задач, можно только имея расширенные систематизации в конкретной области. Это могут делать только глубокие профессионалы в этой области. Иными словами просто набор программистов и лингвистов не могут создавать информационную экспертную систему с распознаванием смысла. Нужен еще высокий профессионал в изучаемой области. 3. Метод Герца [9] 3.1. Решение Г.Герца контактной задачи для тел сферической формы, выполненное 130 лет на- зад, является отправной точкой в развитии методов контактной механики, источник, из которого начала бить струя идей и результатов, превращаясь в мощную реку по названием контактная механика. Новые идеи рождаются всегда на стыке двух наук: для Герца это была электродинамика и про- блема твердости и прочности контакта в механике. Как видим совершенно разные области: механика твердого тела и электричество. Совсем молодой (23 года), но исключительно оригинальный и острый ум Генриха Герца увидел, что поля взаимодействия электростатических сферических зарядов и механическое поле напряже- ний в контакте сферических тел – подобны. Этого допущения было достаточно, чтобы определить вид функции давлений в механическом контакте. Все дальнейшее было делом математической техники. Герц показал, что найденное эллипсои- дальное распределение соответствует гравитационному потенциалу, то есть соответствует механике кон- такта. Все последующие работы А.Н.Динника, С.П.Тимощенко, И.Я.Штаермана, Б.С.Ковальского и др. подтверждали, доказовали или использовали допущения Герца об эллипсодиальном распределении давлений. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 119 Изначальный метод Герца можно назвать эвристическим, то есть основанным на интуиции, ас- социациях, аналогиях и озарениях, как конечном этапе в этой цепи. 3.2. Последующие наши исследования результатов решения Герца привели к выводу, что в по- давляющем большинстве случаев контакта в справочной литературе отсутствуют расчетные формулы. В связи с этим были проанализированы соотношения для определения геометрических параметров в кон- такте и выделены основные. Затем на основании предложенной систематизации сопряжений тел двоякой кривизны выписаны для каждого случая выражения для кривизн и сумм кривизн и вспомагательных па- раметров A и B . В итоге стали возможны расчеты параметров контакта для всех возможных сопряжений тел двоякой кривизны. 3.3. Особенности применения решения для герцевского контакта состоят в следующем: 1) Применение герцевских формул требует использования таблиц, по которым для каждого вида сопряжения определяются необходимые четыре коэффициента. 2) Герцевские формулы применимы только в случаях, когда размеры площадки контакта хотя бы на два порядка меньше размеров контактирующих тел. Это резко ограничивает количество практически важных задач, для которых необходимо иметь решение и производить расчеты. 3) Герцевское решение дает возможность рассчитывать только упругий контакт при малых де- формациях. На снятие этих особенностей и ограничений в контакте были направлены последующие иссле- дования. 4. Метод подобия или метод приведенного радиуса (МП-метод) [9] Этот метод возник из желания иметь метод, в котором не требуется определять некоторые до- полнительно коэффициенты по таблицам – наличие таблиц затрудняет выполнение расчетов на компью- тере, например, с помощью MathCad. 4.1. Сущность МП-метода заключается в следующей гипотезе: если в герцевские формулы для сопряжения шар-плоскость подставить некоторый эквивалентный приведенный радиус, отражающий особенности сопряжения, то можно получить результаты близко соответствующие расчетам по Герцу. Приведенный радиус был получен из двух условий эквивалентности: 1) площадь контакта при эллиптической площадке контакта равна площади контакта при тех же условиях в контакте шара и плос- кости (круговая площадка); 2) величины сближения в контакте тел двоякой кривизны и в контакте шара и плоскости в равных условиях – одинаковы. Реализация предложенного метода и сравнение его с решением Герца показали, что степень сов- падения результатов приемлема для практических расчетов. 4.2. С целью удобства практических расчетов была выполнена систематизация задач для тел двоякой кривизны и для каждого случая получены выражения для приведенного радиуса соответст- вующего сопряжения. Таким образом, по методу приведенного радиуса расчеты ведутся для любых со- пряжений тел двоякой кривизны по одним формулам, при использовании соответствующего приведен- ного радиуса и без применения таблиц коэффициентов. 4.3. В методе эквивалентного приведенного радиуса этот радиус по существу соответствует кри- терию подобия в методе подобия и размерностей. Что бы это стало очевидным достаточно формулы Герца для контакта шара и плоскости представить в безразмерном виде. Например, формулу для сближения 1/ 32 0 2 * * 0,8253 Q u R E   =     можно представить в безразмерном виде 1/ 32 0 1 4 2 1 * 1 * 0,8253 u R Q R R R E   =     или 1/ 3 , ξ 0, 8253 П П П 3 1 2   = ξ =    , где 2 0 * 1 2 3 4 2 1 1 1 * ; ; ; u R Q П П П R R R E = = = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 120 1R – один из радиусов сопряжения; *R – приведенный радиус. Таким образом, точность предложенного метода находится в пределах точности общей тео- рии подобия и размерностей. 5. Квазигерцевский контакт (QH-метод) [9] 5.1. Квазигерцевским мы называем контакт, в котором один размер площадки контакта по гер- цевски мал, а второй размер – велик, то есть соизмерим с размерами тела. В случае квазигерцевского контакта расчет параметров контакта по герцевским формулам может дать результаты не совпадающие с действительностью. Для решения квазигерцевских задач предложен новый метод (QH-метод), сущность которого реализуется следующими этапами. Покажем этапы на примере. 1. Постановка задачи, для шара и желоба без зазора, состоит из уравнения равновесия: ( )0 0 14 , cos ; a Q R x d dx ϕ = σ ϕ ϕ ϕ∫ ∫ (5.1) и уравнения сплошности в контакте: 0 00 cos .u uϕ = ϕ (5.2) 2. Идея решения базируется на следующих допущениях: 1) функция распределения контактных давлений в направлении малого размера площадки кон- такта принимается эллиптической в форме: ( ) ( )( ) 1/ 22 0, 1 / ,x x aϕσ ϕ = σ − (5.3) при этом максимальное давление и размер площадки определяется и принимается по формулам Герца для цилиндра на плоскости: 1/ 2 0 1 0, 5642 ,n Q lRϕ   σ =   η  (5.4) 1/ 2 11,131 , nQa R lϕ   = η    (5.5) где 2 1 . 2 a u R ϕ ϕ = (5.6) 3. Вывод разрешающего уравнения строится следующим образом: 1) определяя /nQ l из (5.5) и подставляя в (5.4) получаем выражение давления через размер площадки контакта aϕ 0 ;2 a R ϕ ϕσ = η (5.7) 2) с помощью соотношений (5.2) и (5.6) находим для любого ϕ -го сечения зависимость текуще- го размера площадки aϕ от максимального 0a ( )1/ 20 cos ;a aϕ = ϕ (5.8) 3) подставляя (5.8) в (5.7), получаем связь максимального давления 0ϕσ и наибольшего размера площадки контакта 0a ( )1/ 20 0 cos ; 2 a Rϕ ϕ σ = η (5.9) 4) следующий шаг в наибольшей мере отражает сущность метода: представление искомой функ- ции в виде произведения известной функции вдоль малого размера площадки на неизвестную функцию распределения давлений вдоль большего размера площадки. Подставляя (5.8) и (5.9) в (5.3), имеем выражение функции давлений через наибольший размер площадки контакта: ( ) ( ) 1/ 21/ 2 2 0 2 0 cos , 1 ; 2 cos a x x R a ϕ   σ ϕ = −  η ϕ  (5.10) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 121 5) окончательно разрешающееся уравнение получаем, подставив (5.10) в (5.1): ( ) 0 1/ 22 1/ 2 2 0 00 0 cos 1 ; 2 cos a Q x a a ϕϕ  η = ϕ −  ϕ  ∫ ∫ (5.11) учитывая, что в безразмерном контакте 0 / 2ϕ = π , имеем уравнение относительно размера 0a площад- ки контакта. 4. После интегрирования и преобразований получаем решение в форме: 1) для размера площадки: 1/ 2 0 2 8 ;a Q = η π  (5.12) 2) для максимального давления из (5.9), с учетом (5.12), имеем: 1/ 2 00 2 2 1 8 . 2 Q R   σ =  π η  (5.13) 5.2. При выполнении QH- методом более сложных задач, например с зазором, неизбежно прихо- дится додумывать ходы, необходимые для получения замкнутого решения. В результате в пятой главе QH-методом получены решения для следующих задач: 1) контакт шара и желоба с малым зазором и с натягом; 2) контакт шара и желоба на поверхности цилиндра с малым зазором; 3) контакт цилиндра и желоба на внешней поверхности цилиндра с малым зазором; 4) перекос осей цилиндров при внешнем контакте этих цилиндров. 5.3. Анализ процедуры метода показывает, что QH-метод можно рассматривать как специаль- ный случай известного в математике метода разделения переменных. Похожесть на метод разделения здесь состоит в том, что сомножители содержат разные коорди- наты. Особенность, однако, состоит в том, что эти координаты связаны между собой заданной функцией. Вместе с тем QH-метод носит универсальный характер и может быть использован для описания контактного взаимодействия в разных случаях подшипников качения и зубчатых передач с внутренним зацеплением типа Новикова, червячных и глобоидных передач и т.д. 6. Метод подобия в контактных задачах с износом (МПw – метод) [9] 6.1. Шар-плоскость 1. Постановка задачи. В контакте шара с плоскостью при наличии износа, в условиях допуще- ния о равномерном распределении давлений в любой момент процесса, состоит из трех уравнений: - равновесия: ( ) ( )2 , Q s a s σ = π ; (6.1) - сплошности в контакте: ( ) ( )2 0 2w a s u s R = ; (6.2) - соотношения модели установившегося износа: .mw w du k ds = σ (6.3) 2. Прямая задача или задача определения размеров площадки контакта при известных парамет- рах модели изнашивания ,wk m сводится к дифференциальному уравнению и имеет решение: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 / .mm wa s Rk m Q s+ = + π (6.4) 3. Обратная задача или задача определения параметров ,wk m модели изнашивания при из- вестной из эксперимента зависимости площадки контакта от пути трения в виде степенной функции: ( ) ,a s csβ= (6.5) имеет вид 1 2 , 2 m − β = β (6.6) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 122 ( ) 2 2 . / m w m c k R Q + β = π (6.7) 6.2. Показано, что для контакта тел двоякой кривизны с износом – постановка и решение за- дачи описывается уравнениями по форме совпадающими с уравнениями (6.1) - (6.7). Для получения дей- ствительных уравнений и решения достаточно в соотношения, содержащие реальный радиус шара под- ставить приведенный эквивалентный радиус: 2 * 11 21 12 22 1 1 1 1 1 , R R R R R     = + +        (6.8) полученный из условий равенства площадей контакта и максимального износа. 6.3. Точность результатов, получаемых при использовании метода приведенного радиуса соот- ветствует точности метода теории подобия и размерностей. Умножив слева и справа (6.8) на 211R имеем критерий подобия 1 11 */П R R= : 2 11 11 11 11 * 21 12 22 1 , R R R R R R R R       = + +            (6.9) ( ) ( )21 2 3 41 ,П П П П= + + (6.10) где 2 11 21 3 11 12 4 11 22/ ; / ; /П R R П R R П R R= = = критериальное уравнение подобия для раз- мера площадки контакта можно получить из (7.4) в виде: ( ) ( ) 2 2 * 11 11 11 11 / 2 2 , m m w m k QRa s m R R R R + π  = +    (6.11) где 1 11 */П R R= является одним из критериев подобия. 7 Квазигерцевский контакт в задачах с износом (QHw-метод) [9] 7.1. QHw-метод решения контактной задачи с учетом износа обобщается после рассмотрения примера: качение неизнашиваемого тора по изнашиваемому цилиндру с образованием желоба. Основное допущение состоит в том, что б площадка контакта в начале axbu при износе имеет прямоугольную фор- му с размерами a в× . Это допущение соответствует усреднению давлений по площадке контакта. В соответствии с допущением постановка задачи об износе цилиндра складывается, как обычно, из соотношений: - условия равновесия: ( ) ( ) ( )4 Q s a s в s σ = ; (7.1) - условия сплошности в контакте: ( )2 0 32 w a s u R = ; (7.2) - соотношения модели изнашивания: ( ) ( ).w mw du s k s ds = σ (7.3) 7.2. В соответствии с общей идеей QH-метода в направлении малого размера площадки контакта 2в распределение давления принимается по Герцу (контакт параллельных цилиндров), а в направлении большего размера площадки функция давлений определяется из выполненного решения. По Герцу размер в площадки контакта в направлении качения определяется по зависимости: 1/ 2 ; 1,128 .2 npQRBв B a   = =  η  (7.4) Из рассмотрения соотношений (7.1) - (7.3) задача сводится к обыкновенному дифференциально- му уравнению вида: ( )3 / 4 . m w m m k R Q da a a в ds = (7.5) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 123 После подстановки (7.5) в (7.4) получаем окончательное дифференциальное уравнение задачи: 1 2 3 ,4 m m w Q da k R a B ds +  =    (7.6) из решения, которого находим выражение для определения размера a площадки контакта: 2 2 3 2 ,2 2 mm w Q m a k R s B +     = +        (7.7) и далее определяется максимальное давление в контакте: . 4 Q B a σ = (7.8) Такова схема решения задачи с учетом износа для квазигерцевского контакта. С использованием этой схемы решается также обратная задача с определением параметров ,wk m модели изнашивания при известной из эксперимента функции ( )a s . 7.3. Этим методом решены задачи с износом для: 1) тора и полого циліндра; 2) при качении с проскальзыванием выпуклого изнашиваемого конического тора по выпуклому изнашиваемому вращаю- щемуся цилиндру; 3) тоже по полому цилиндру; 4) износ выпуклого цилиндра при качении с проскаль- зыванием шара; 5) износ шаром желоба на выпуклом вращающемся цилиндре. Выполненные решения обратных задач являются теоретической основой: 1) методов испытаний на износ шара по желобу с определением параметров моделей изнашивания; 2) методов расчетного оп- ределения износа шарикоподшипников. 8. Метод алгебраических уравнений в контактной механике [3] 10. Традиционно контактная задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода типа: ( ) ( ) ( )' ' ' 0 . a x k x x dx u xσ − =∫ (8.1) В результате вся традиционная теория решения контактных задач это прикладная теория реше- ния интегральных уравнений. Главная особенность уравнений Фредгольма неустойчивость их решения. Еще И.Я.Штаерман [4] обратил внимание на то, что, если учитывать деформации локального слоя поверхности (например, шероховатости), то уравнение контактной задачи сводится к уравнению Фредгольма второго рода: ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 0 , a k x x k x x dx u xσ + λ σ − =∫ (8.2) решение которого устойчиво. Если деформации тел пренебрежимо малы по сравнению с деформациями поверхностного слоя, то интегральное уравнение (8.2) вырождается в алгебраическое. ( ) ( ).u x k x= σ (8.3) Это наиболее простая модель контактного взаимодействия тел была еще в 1798 году предложена академиком РАН Фуссом Н.И. и далее развивалась Винклером Е. (1867г.), как гипотеза линейной подат- ливости основания (виклеровского основания). Обычно коэффициент податливости в (8.3) определяется экспериментально. Горбунов-Посадов М.И. [5] развивал методы определения при использовании теории деформаций полупространства. 1. Эффективность применения алгебраической модели σ= ku нормальной податливости осно- вания, решающим образом зависит от способа и точности определения коэффициента податливости. Альтернативной экспериментальному определению коэффициента явилась идея определять ко- эффициент нормальной податливости кольцевого слоя из решения соответствующей осесиммет- ричной задачи теории упругости, например, для слоя в жесткой обойме. Сравнение решений контакт- ных задач выполненных сведением к алгебраическим уравнениям, с некоторыми известными строгими решениями показало их достаточно высокую точность и перспективность. В первом разделе книги [3] даны решения 9 практически полезных контактных задач, выполнен- ных МАУ с использованием модели (8.3). 2. Для решения контактных задач с учетом трения предложена алгебраическая модель каса- тельной податливости основания. Коэффициент податливости в этой модели также определяется из решения соответствующей осесимметричной задачи для слоя в жесткой обойме при действии касатель- ных сил. При использовании этой модели и закона трения Амонтона сведением к алгебраическим уравне- ниям решено 7 практически полезных контактных задач, в том числе и задача для качающегося шарнира. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 124 3. При наличии микро и макронеровностей к податливости основания слоя добавляется подат- ливость слоя шероховатостей. Нелинейность зависимости податливости от давления затрудняет полу- чение конечных формул. Для преодоления этой трудности нелинейная степенная зависимость заменена кусчно-линейной моделью. Сведением к алгебраическим уравнениям решено 4 контактных задачи с уче- том микро и макронеровностей слоя. 4. В случае пластического деформирования зависимость податливости основания от давления также нелинейная. Путем замены степенной нелинейности кусочно-линейной функцией контактная за- дача сводится к нелинейным алгебраическим уравнениям, допускающим замкнутые решения. При ис- пользовании алгебраической модели податливости пластически деформируемого основания выполнено решение и исследование 9 контактных задач. 5. При решении контактных задач для вала и полого цилиндра с учетом перекоса осей исполь- зована, как модель, так и допущение о независимости сечений вдоль вала или о том, что в каждом сече- нии задача рассматривается как плоская. При таком моделировании пространственного контакта МАУ решено 7 вариантов задач с учетом перекоса осей. 6. В случае слоя переменной толщины коэффициент податливости изменяется по площадке контакта. Учет изменения коэффициента податливости можно выполнить, подставляя в формулы для расчета коэффициентов переменную толщину. Действуя, таким образом, получаем модель, с помощью ко- торой задачи сводятся к алгебраическим уравнениям. По этой методике рассмотрены 4 контактных задачи. 7. Модель переменной толщины основания, обобщается на случай соединений с натягом вала и некруглых деталей. Оценка погрешности в сравнении с точными решениями показала достаточно высокую точность решений этих задач МАУ. Для соединений с натягом решено 10 практически важных задач. 8. Метод алгебраических уравнений распространяется и на случаи, когда при тонком слое кон- такт происходит по малой площадке контакта, то есть на герцевский контакт. Особенность составления алгебраических уравнений в этом случае в отличие от подшипникового контакта состоит в выборе пря- моугольных координат и соответствующих уравнений сплошности. В этом разделе выполнено решение и исследование 5 контактных задач. 9. В роликоопорах (колесах) к контактным перемещениям добавляются изгибные перемещения ступицы. В этом случае модель контактной податливости дополняется изгибной составляющей, которая учитывается по теории изгиба тонких колец. При точном рассмотрении задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма, а при использовании алгебраической модели контактной податливости к триго- нометричному уравнению. В этом разделе решены 3 принципиально разных задачи. 10. Контакт вала и проушины с учетом изгиба в общей постановке сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с известными проблемами его решения. Применение алгебраической модели податливости сводит задачу к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, которое удобно решать численно. Путем упрощения расчетной изгибной схемы с заменой распределенного давления на сосредо- точенную силу при одновременном использовании алгебраической модели контактная задача сводится к нелинейному тригонометрическому уравнению, которое легко решается численно. При этом рассмотре- ны случаи как с одной, так и с двумя возможными площадками контакта. 11. При использовании алгебраической модели податливости плоская упруго- гидродинамическая задача для подшипника скольжения сведена к обобщенному уравнению Рейнольд- са. Численный анализ решения этого уравнения позволил выяснить особенности распределения давле- ний. В частности установлено, что при малой толщине слоя смазки влиянием смазки на распределение давления можно пренебречь. Предложенный подход позволил приближенно рассмотреть алгоритм и численное решение про- странственной УГД-задачи для подшипника скольжения с учетом перекоса вала. В результате численно- го анализа, в частности, установлено, что при малой толщине пленки распределение нагрузки вдоль вала близко к линейному. 12. Алгебраическая модель податливости основания обобщается на случай осесимметричного распределения напряжений. Подробно рассмотрены осесимметричные задачи для сферического слоя и получены коэффициенты податливости для этого случая. На основе модели решены прямым и обратным контактные задачи для сферических тел, покры- тых тонкими слоями для большой и малой площадок контакта, в линейной и нелинейной постановках как для полой сферы. Так и для полупространства, всего решено 6 принципиально разных задач. 13. Найдено принципиально новое продолжение в развитии алгебраических моделей. Оказалось, что для полупространства достаточно точные решения можно получить, вводя в модель зависимость по- датливости от размера площадки контакта типа aku σ= . При использовании этой модели МАУ ре- шены 2 задачи: шар-плоскость и цилиндр-плоскость. Даны оценки точности этих решений. 14. По пути исследования и развития метода получены новые результаты. 1. при исследовании алгебраических моделей податливости полупространства построенных на основе решений Бусинеска и Черутти получены некоторые интересные результаты. Показано, что мо- PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 125 дель, учитывающая размер площадки контакта ( )u k a= σ принципиально соответствует интегриро- ванию решения Бусинеска по круговой площадке с равномерным давлением. Решение Черутти в ок- рестности действия касательной сосредоточенной силы содержит явный дефект опрокидывания точки приложения силы. Окрестность точки приложения нормальной сосредоточенной силы находится в со- стоянии всестороннего сжатия при отсутствии объемных деформаций; 2) при анализе решений некоторых задач, выполненных методом интегральных уравнений най- дена форма осесимметричного индентора при котором на полупространстве давления распределены равномерно; 3. дана объективная сравнительная оценка метода алгебраических уравнений путем сравнения с точными решениями, выполненными методом интегральных уравнений, как для частных, так и общих задач для тел двоякой кривизны. Установлено, что сравнительная точность решений для МАУ в этом случае по давлениям составляет (1–15 %), по размерам площадки контакта (1 - 14 %). При выполнении основных и вспомогательных исследований получены новые результаты при решении 9 задач. 15. Широкий и очень важный для человека является класс контактных задач связанных с давле- ниями на элементы поверхности человеческого тела. С точки зрения механики это задачи с большими контактными перемещениями. При построении решений контактных задач МАУ в случае больших пе- ремещений возникает необходимость в дальнейшем развитии моделей податливости и вариантов метода алгебраических уравнений. Развитие моделей податливости выполнено в направлении разработки обобщения комбиниро- ванной модели типа akku σ+σ= 21 с учетом винклеровской модели и модели, учитывающей мас- штабный фактор. Рассмотрение средних перемещений в первом элементе модели привело к варианту ме- тода алгебраических уравнений, который получил название методом по этапного решения контактных задач и метода средних давлений. Развитие моделей и методов позволило в этом разделе рассмотреть 15 принципиально новых задач. В качестве практического приложения полученных решений в этом разделе предложен способ оценки жесткостной комфортности воздействия внешних опор на элементы поверхности тела человека. Показано, что внешние давления на элементы тела человека комфортны, если не превышают кровяное артериальное давление в этих элементах. 16. Разработан метод определения угла контакта, давления и износа подшипников скольже- ния без разборки. Сущность метода в использовании эффекта повышения жесткости сопряжения вал- втулка с увеличением износа. Сначала без износа снимается диаграмма вдавливания вала и определяется коэффициенты по- датливости втулки. Затем по диаграмме вдавливания вала в изношенную втулку определяется давление и износ. Методика может служить основной диагностирования без разборки опор скольжения машин. В процессе создания развития и использования метода алгебраических уравнений в замкнутом виде, то тесть до получения практически применимых формул, решено 100 задач. Заметим, что точное решение одной-двух задач методом интегральных уравнений требует не- сколько лет упорной работы на уровне кандидатской диссертации. Из сказанного следует, безусловно, высокая эффективность метода алгебраических уравнений в контактной механике. 9. Вариационно-экспериментальный метод, пластический контакт [4] 9.1. Вариационные принципы в механике твердого деформируемого тела (МТДТ) 1. Любая точка деформируемого тела описывается 15 величинами: 6 компонентов тензора на- пряжений σ , σ ,σ , τ , τ , τx y z xy yz zx ; 6 компонентов тензора деформаций ε , ε ,ε , γ , γ , γx y z xy yz zx ; 3 компонента вектора перемещений , , cu v w . Соответствующая краевая задача МТДТ содержит 15 постановочных уравнений: - 3 дифференциальных уравнений равновесия: 0, 1, 2, 3 σ ,ij j i j x ∂ = = ∂ ; - 6 геометрических соотношений: , , 2, 1, 2, 3ε ( ) / ,ij i j j iu u i j= + = ; - 6 физических соотношений, в случае упругости это соотношения закона Гука: , 1, 2, 3σ ε , , ,ij ijkl ija i j k l= = . Эту систему уравнений необходимо решать при некоторых граничных условиях: - силовых: σij i in x= ; PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 126 - или кинематических: i iu u= . Решение краевой задачи в такой полной постановке достаточно сложная и громоздкая процедура. 2. Все обратимые физические явления удается описать с помощью вариационных принципов. Вариационные принципы – это утверждения о том, что реально существующие процессы описываются функционалами, которые имеют стационарные значения. Применительно к задачам теории упругости известны тринадцать вариационных принципов или функционалов. Многообразие принципов объясняется тем, что принцип определяется варьируемой ис- комой величиной, а их всего 15. Для примера, если в качестве варьируемых величин берутся перемещения, то имеет место прин- цип возможных перемещений или функционал Лагранжа. С помощью функционала Лагранжа краевая задача теории упругости сводится к минимизации функционала полной энергии деформирования по перемещениям (или по деформациям). σ δε δ .L ij ij i i V S F dV x u ds= −∫ ∫ При минимизации этого функционала автоматически удовлетворяются дифференциальным уравнениям равновесия и силовым граничным условиям, необходимо удовлетворять только граничным условиям в переменных. В случае упругой задачи функционал энергии является квадратичным, а его минимизация по Ритцу приводит к линейной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициен- тов в искомых функциях. 9.2. Метод интегральных уравнений в контактной механике 1. Контактными называют задачи, в которых в качестве исходных данных заданы: 1) геометрия поверхностей; 2) силы взаимодействия; 3) свойства материалов контактирующих тел. Задача состоит в определении функции давлений σ( )x и размеров площадки контакта ( )a Q . В основе вывода интегрального уравнения задачи лежат два основных соотношения: 1) условие сплошности в контакте: ( )i iu x u= ; 2) условие равновесия тел под действием внешних сил и контактных давлений. 2. При использовании решений теории упругости при действии сосредоточенных сил на поверх- ность контактирующих тел (решения Фламана или Бусинеска) условие сплошности в контакте сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го или 2-го ряда типа: σ( ) λ σ( ) ( ) ( ) в a x x k x x dx f x′ ′ ′− − =∫ . Это интегральное уравнение необходимо решать при выполнении условия равновесия: σ( ) s Q x ds= ∫ . Вся история, начиная от Герца, решения контактных задач это в большинстве случаев решение интегрального уравнения задачи относительно давления σ( )x , с учетом условия равновесия. Одна из дополнительных сложностей в решении контактных задач– это глубокая нелинейность системы уравнений. 9.3. Метод наименьших квадратов в решении интегральных уравнений 1. Метод наименьших квадратов (МНК) решения интегральных уравнений, например, уравнения Фредгольмавторого или 1-го рода типа: σ( ) ( ) ( ), в a s k x s ds f x− =∫ по С.Г.Михлину [8] заключается в следующем. 1) решение отыскивается в форме ряда по известным функциям φ ( )i x с точностью до неизвест- ных коэффициентов ic : σ( ) φ ( ); n i ix c x= ∑ 2) после подстановки этого выражения в интегральное уравнение, имеем выражение для невязки или несоответствия точному решению в виде: ε ( ) (Σ φ ( )) ( ) ; в i i a f x c x k x s ds= − −∫ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 127 3) интеграл по dx от квадрата этой невязки и составляет основную квадратичную функцию за- дачи многих ic переменных: 2ε ( , ) ; в i a F x c dx= ∫ 4) условие экстремума функции: 0, ( )i j F c c ∂ = ∂ сводит исходную задачу к системе линейных алгебраических уравнений: Σ .ij j ja c в= 5) решая систему относительно ic , получаем решение интегрального уравнения (3.4.1). 9.4. Вариационно-экспериментальный метод решения контактных задач 1. Все предыдущее это изложение известных методов реализации вариационного подхода в ме- ханике и математике. Далее кратко излагается предложенный нами вариационно-экспериментальный метод, который отличается от ранее известных введением в функционал главной экспериментальной за- висимости. Минимизируя функционал находим решение соответствующее этому эксперименту. Контактная задача теории упругости сводится к совместному решению системы из двух уравне- ний сплошности в форме интегрального уравнения и равновесия в форме уравнения типа: σ( ) ( ) ( ) в a s k x s ds f x− =∫ , σ( , )Q x y dxdy= ∫ ∫ . Традиционный путь решения в основной части состоит в решении интегрального уравнения, при использо- вании условия равновесия как ограничения. При этом функция f(x) предполагается известной из геометрии контактирующих тел. 2. Первая часть идеи ВЭМ состоит в том, чтобы в качестве основного уравнения для решения контактной задачи взять не интегральное уравнение, а условие равновесия. По-существу, это тоже интегральное уравнение, так как неизвестная функция находится под за- коном интеграла. Но это интегральное уравнение особого типа. Вторая часть идеи ВЭМ состоит в превращении левой части уравнения равновесия из константы в функцию. С этой целью мы полагаем, что из эксперимента можно найти функцию 0 nQ cu= , где 0u − максимальные нормальные перемещения в контакте. Эта функция отражает весь про- цесс нагружения, а не только одну точку процесса. 3. Подставляя далее в условие равновесия: 0 σ( , ) ncu x y dxdy= ∫ ∫ , Получаем условие равновесия в любой момент нагружения. В условиях, когда функция давлений σ( , )x y неизвестна и может быть взята приближенной, выражение 0ε σ( , ) ncu x y dxdy= − ∫ ∫ , отражает невязку или несогласованность эксперимента и искомой функции. Следуя традиционному требованию положительной определенности невязки и методу наимень- ших квадратов, сформулируем квадрат невязки: 22 0ε σ( , ) ncu x y dxdy = − ∫ ∫ , и далее, желая усреднить квадрат невязки, берем от него интеграл. В результате получаем квадратичный функционал контактной задачи: 0 0 2 0 0 0 σ( , ) u u nF cu x y dxdy du   = −     ∫ ∫ ∫ . 4. Традиционная постановка контактной задачи содержит два уравнения-сплошности и равнове- сия и две неизвестных функции давлений σ( )x и размеров площадки контакта ( )a Q . В рассматриваемой здесь задаче ВЭМ постановка не содержит условия сплошности. Соответ- ственно искомой является одна функция давлений. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 128 При наличии необходимой экспериментальной зависимости, размеры площадки контакта из- вестны и условия сплошности удовлетворяются автоматически. 5. Процедура минимизации функционала задачи (3.5.7) выполняется традиционно с помощью метода Ритца. Искомая функция представляется в виде усеченного ряда, взятого из ряда, обладающего свойством полноты. Для простоты рассмотрим плоскую задачу. Тогда искомую функцию можно представить в виде: σ( ) Σ φ ( )i ix c x= . После подстановки в функционал, имеем функцию многих переменных ic : 0 0 2 0 0 0 ( ) Σ φ ( ) u u n i i iF c cu c x dx dx   = −     ∫ ∫ . Из условия минимума функции: 0 ( )i j F c c ∂ = ∂ , приходим к разрешающей системе относительно величин ic , с помощью которых определяется искомое напряжение. 6. Одной из существенных особенностей решения контактных задач ВЭМ является процедура приведения функционала к одним переменным, к одной системе координат. В процессе нагружения и деформирования участвуют несколько разных величин: 0u − макси- мальное сближение поверхностей; a − размер площадки контакта; x − координата точки контакта. В случае контакта индентора и плоскости эти величины согласовываются геометрическими соотношения- ми в контакте. В других случаях использования ВЭМ для решения диаграмм нагружения с координатами тела один из первых этапов использования метода. 10. Напряжения и деформации в контакте [5] Контактная механика условию делится на две большие части: 1) решение контактных задач с определением давлений, перемещений и деформаций в контакте; 2) решение задач о напряженном со- стоянии в зоне контакта с определением компонентов тензоров напряжений и деформаций. Методы и результаты, полученные в работах [3, 4] относятся к первой части контактной механи- ки. В книге [5] излагаются методы и результаты исследования напряженного состояния в контакте, отно- сящиеся ко второй части контактной механики. На ряду с применением известных методов отмечены два оригинальных направления. 10.1. Прямые методы определения напряжений в контакте 1. Под прямыми мы понимаем методы, в которых для определения компонентов тензора напря- жений в некоторых симметричных точках области не используется полная система уравнений краевой задачи, а используется только некоторые соотношения Коши и обобщенный закон Гука. При построении решений прямыми методами используется тот факт, что после решения кон- тактной задачи для контактных точек становятся известными, как нормальные контактные перемещения (условия в перемещениях), так и контактные давления (условия в напряжениях). Это наводит на мысль расширении классификации задач теории упругости и введении понятия о четвертой основной задачи: одновременно задние на участке контакта и напряжений и деформаций. 2. Однако главным в этом факте является не столько введение нового типа задач, сколько обна- ружившаяся простота их решений для некоторых особых, в частности, самых нагруженных точек. Ока- зывается что для этих точек число неизвестных в задаче таково, что они могут быть определены из соот- ношений физического закона Гука. Этот путь в определении напряжений и недостающих деформаций оказался настолько эффективным, что его обоснованно можно называть методом решения задач. 3. Прямым методом определяются напряжения и деформации в опасных точках поверхности не только в задачах теории упругости, но и в задачах теории пластичности. При этом вместо закона Гука используется физические уравнения соответствующей теории пластичности. 4. Прямым методом решены задачи о напряженном состоянии в упругом и пластическом кон- такте двух выпуклых цилиндров и одного выпуклого другого вогнутого цилиндров. Получены про- стые расчетные формулы удобные для практического использования. 5. При рассмотрении прямым методом напряженного состояния в пластическом контакте шара и плоскости потребовалось предварительно решение вопроса о распределении нормальных и тангенци- альных деформаций по площадке контакта с трением со сцеплением и без трения. Ответ на этот вопрос является неоднозначным. Использовано несколько подходов: 1) расчет по средним деформациям; 2) вычисление деформаций по соотношениям Коши; 3) прямым вычислением де- формаций из геометрических соотношений. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 129 Выполнено определение напряженного состояния в пластическом контакте шара и плоскости как на стадии нагружкения, так и при разгрузке позволило получить простые практически полезные за- висимости. 10.2. Механика контактной среды и МКЭ 1. Задачи контактного взаимодействия характеризуются многократной нелинейностью: 1) односторонние связи; 2) переменная площадка контакта; 3) трение и проскальзывание; 4) наличие ше- роховатостей; 5) пластические деформации. Наличие нелинейностей затрудняет аналитическое решение задач. Поэтому предпочтение в ряде случаев отдается численным метода, в частности МКЭ. 2. Однако основная сложность в описании контактного взаимодействия при наличии трения и учете касательной податливости состоит в необходимости иметь теорию этого взаимодействия или тео- рию двумерного и, прежде всего, анизотропного трения. То есть возникает необходимость в построе- нии соотношений некоторой сплошной среды расположенной в тонком слое между контактирующими поверхностями. Эта среда в дальнейшем именуется контактной средой. 3. Основное свойство контактной среды это нелинейная зависимость между касательными сила- ми и сдвигами перемещениями (деформациями). Эти перемещения на этапе нелинейности реализуются путем проскальзывания. Теория контактной среды построена по аналогии с теорией пластической среды. При этом вместо ассоциированной закона течения Друкера вводится и используется ассоциированный закон проскальзывания. С помощью этого закона выводятся основные физические соотношения контактной среды в перемещениях и обратные им соотношения, как в приращениях, так и для конеч- ных величин для изотропного и ортотропного слоев. 4. Наличие полной системы уравнений для контактного слоя позволило вывести матрицу жестко- сти плоского и пространственных контактных элементов с учетом нелинейности и ортотропности среды. 5. На основе нелинейной матрицы конечного контактного элемента разработаны итерационные методы решения контактных задач при разных схемах учета нелинейности: по методу дополнитель- ных напряжений; по методу дополнительных деформаций; и по методу переменной жесткости. 6. Далее методология построения контактной среды распространена на контактную среду, обла- дающую свойствами, изменяющимися во времени, то есть при наличии ползучести и износа в контакте. Получены основные уравнения реологической контактной среды и разработаны итерационные алгоритмы решения контактных задач не основе МКЭ разными методами. 11. Методы испытаний на износ с определением параметров моделей изнашивания [7] 1. Проблема создания системы эффективных методов испытаний пар трения на износ является одной из базовых проблем трибологии, определяющих прогресс в этой области. Испытания на износ должны заканчиваться определением параметров моделей изнашивания. Только наличие параметров модели для каждой пары трения позволяет количественно определить износ в узлах трения машин, оценивать их ресурс. Износ в узлах трения зависит от множества условий, главным среди которых является удельное давление между телами в контакте. Получение экспериментальной зависимости износа от давления тра- диционными методами требует испытаний лабораторных образцов при разных нагрузках. В условиях разброса трибологических и механических свойств поверхности это приводит к ста- тистическому подходу как единственно возможному в этом случае. Статистический подход всегда тре- бует испытаний значительного количества образцов, времени и средств. 2. В работе предлагается, в отличие от традиционных испытаний при постоянном удельном дав- лении, испытывать образцы в условиях переменных контактных давлений. В этих условиях идет сложный процесс изнашивания и в явном виде зависимость износа от давления прямым изменением из- носа получить нельзя. Однако если при этом описать с помощью дифференциального уравнения протекающий процесс и в качестве исходной взять функцию зависимости износа от пути трения, представляется возможным свести задачу определения параметров модели изнашивания к решению обратной контактной задачи с износом. Главное преимущество предложенного подхода заключается в принципиальной возможности определения параметров модели изнашивания по испытаниям одного образца в случае установивше- гося износа, и по испытаниям двух образцов в случае неустановившегося износа. В результате становится возможным определить не усредненные, а фактические параметры мо- дели изнашивания в точке (или на малой площадке) поверхности контакта. 3. Реализация предложенной идеи потребовала решения контактных задач с износом для пары трения, для двух тел, принятых за образцы при испытаниях. В качестве образцов для испытаний приняты тела с простой поверхностью правильной формы: плоскость, шар, цилиндр, конус, клин. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 130 Точное решение контактных задач с учетом упругости, пластичности и ползучести в контакте при современном уровне развития методов принципиально возможно, в частности, численными метода- ми. Однако эти решения громоздки, их применение в практике испытаний затруднено. В связи с этим в данной работе предложен приближенный подход, основанный на базовом до- пущении об абсолютной жесткости контактирующих тел, то есть принимается, что тела не деформи- руются. Это допущение дает приемлемые результаты в случае, когда перемещения от износа существен- но превышают перемещения от деформаций. Расчеты показывают, что в подавляющем числе случаев ис- пытаний это допущение приемлемо. 4. Решение контактных задач с учетом износа в условиях принятого допущения в замкнутом ви- де, как оказалось, также не простая задача. Анализ первых решений, выполненных с использованием принятого допущения, показал, что принятые допущения о жесткости контактирующих изнашиваемых тел эквивалентно принятию допуще- ния о равномерном распределении давления по площадке контакта в любой момент изнашивания. Это означает, что составление и решение дифференциальных уравнений процесса изнашивания можно выполнять, принимая в качестве основной функцию средних давлений на площадке контакта от пути трения и других параметров. 5. Постановка прямой контактной задачи с учетом принятого допущения включает: 1) соот- ношение модели изнашивания; 2) условие сплошности контакте; 3) условие равновесия. Существенную роль в постановке и решении задачи играет определение пути трения для всех контактирующих и изнашиваемых точек. В общем случае пути трения одного и другого контактирую- щих тел связаны между собой. Эта связь вводится в дифференциальные уравнения процессов и влияет на тип получаемых уравнений. Так в случае описания износа подвижного тела, путь трения определяется его перемещением не- зависимо от пути трения для точек неподвижного тела. В этом случае, как правило, задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (ОДУ–РП). В случае износа неподвижного тела путь трения для его точек контакта зависит от изменяюще- гося размера площадки контакта и от пути трения подвижного тела. В этом случае задача обычно сво- дится к обыкновенному дифференциальному уравнению, в полных дифференциалах (ОДУ–ПД). К тако- му же типу уравнений сводятся задачи при рассмотрении процесса износа одновременно подвижного и неподвижного контактирующих тел. В случае неустановившегося процесса изнашивания вид дифференциальных уравнений и слож- ность их решения зависят от принятой модели переходного процесса: модель старения, наследственная модель или модель упрочнения в износе. 6. В постановке обратной контактной задачи к соотношениям модели изнашивания сплошно- сти и равновесия добавляется экспериментальная функция изнашивания или зависимость износа от пути трения и других параметров. Задача состоит в определении параметров модели изнашивания. Предложено два подхода (метода) решения обратных задач. Первый подход является методом обращения решения прямой задачи (МО–РПЗ). В этом ме- тоде решение прямой задачи записывается для двух точек экспериментальной зависимости и сводится к двум нелинейным уравнениям относительно параметров модели изнашивания. Этот метод обычно ис- пользуется в случае, если начальная площадка контакта отлична от нуля. Другой подход является прямым методом решения обратной задачи (ПМ–РОЗ). В этом мето- де решения прямой задачи не требуется. Разрешающее уравнение задачи получается на основе инте- грального выражения модели изнашивания. Решающую роль здесь играет представление эксперимен- тальной зависимости в виде степенной аппроксимации. В результате задача сводится к одному нелинейному алгебраическому уравнению с двумя неиз- вестными параметрами и произвольно изменяющимся аргументами. Из условия выполнимости уравне- ния при любых значениях аргумента получается замкнутое решение и простые формулы для определе- ния параметров модели. 7. Главной особенностью любой обратной задачи является неустойчивость решения (опреде- ления параметров модели) к соответствию экспериментальных данных выбранной модели. Опыты показали, что необходим способ или метод оценки этого соответствия. В противном слу- чае затруднена интерпретация полученных значений параметров модели (например, их отрицательные значения и т.д.). С целью оценки устойчивости и точности результатов расчетно-экспериментального определе- ния параметров модели разработана теория сенситивов или теория чувствительности функций к из- менениям экспериментальных данных. Применение теории сенситивов позволяет при использовании степенной аппроксимации экспе- риментальных данных оценить диапазон существования значений параметров аппроксимации, при кото- рых значения параметров модели изнашивания устойчиво достоверны. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 131 8. Использование переменной площадки контакта в процессе изнашивания не является единст- венным способом испытаний при переменном давлении. Другим направлением в реализации идей проведения испытаний при переменных давлениях явилась разработка релаксационного метода испытаний на износ. Сущность метода заключается в том, что в нагружающую систему испытываемых образцов вводится упругий элемент. При этом нагружение осуществляется фиксированным перемещением в системе. По мере износа образцов сила, действующая в упругой системе уменьшается или релаксируется. По изменению силы можно судить о величине износа. Основные достоинства релаксационного метода заключается в возможности определить износ без разборки – путем измерения изменений силы. Этот метод удобен для автоматизации процесс испы- таний на износ. 9. Общим признаком для процессов изнашивания и контактной ползучести является зависи- мость состояния системы от времени (пути трения). Контактная ползучесть имеет место в узлах полимерных антифрикционных материалах оловя- нистых баббитов, в узлах трения, работающие при высоких температурах и др. При наличии одновременно износа и контактной ползучести выход из строя узла трения может произойти как по причине износа, так и ползучести, и при протекании обоих процессов одновременно. При выборе материалов для таких узлов необходимо иметь как трибологические, так и креповые свойст- ва материалов. Разработанные в некоторых разделах работы способы определения параметром контактной пол- зучести и моделей износа позволяют оценивать состояние узлов трения с учетом этих факторов на ста- дии выбора материалов и расчета ресурса. 12. Контактная механика и расчеты на износ опор скольжения [6] Износ деталей машин в сопряжениях является основной причиной потери их работоспособно- сти. Целенаправленное совершенствование узлов трения неизбежно проходит этапы конструирования и расчетов. Если расчеты на прочность прошли все этапы развития и стали рабочим инструментом при создании машин, то расчеты на износ находятся на стадии исследований закономерностей, разработки методов и экспериментальной проверки. Долгое время ведущие специалисты в трибологии (например, в частности Б.И. Костецкий) полагали, что создание методов расчетов на износ практически нереально. Данная работа является итогом длительных исследований по созданию методов расчетов и ис- пытаний на износ одного из самых распространенных узлов трения – радиальных цилиндрических опор скольжения. 12.1. Проблема расчетов на износ 1. Общая методология расчетов и испытаний на износ включает три главных этапа: 1) расчеты начальных условий в контакте: давлений, размеров площадки контакта, и сближения; 2) экспериментальное определение параметров моделей изнашивания пары трения в рабочих условиях; 3) расчеты узла трения на износ с использованием результатов первого и второго этапа. Основой расчетов на износ являются решения контактных задач для сопряжения с учетом уда- ления части поверхностей в процессе изнашивания. Это наиболее трудоемкая часть исследований при разработке методов расчета. ● Полагаем, что предложенная и изученная схема исследований и расчетов узлов трения на из- нос будет определять дальнейшие работы в данном направлении. (● – жирной точкой отмечаются направления перспективных исследований). 2. Множество задач контактной механики характеризуется многообразием геометрических форм, силовых и кинематических условий, свойств материалов, моделей изнашивания, методов решений и т.д. Разработка эффективных методов расчетов на износ узлов трения требует четкой систематизации контактных задач и методов их решения. Представленная в работе систематизация является попыткой дать некоторую упорядоченную структуру множества задач контактной механики. В основе иерархии задач лежит систематизация геометрических правильных форм контакти- рующих тел. Двумерная квадратная матрицам выпуклых и полых поверхностей контактирующих тел размером 37 × 37 дает представление о более чем тысяче возможных сочетаниях этих форм. Каждое из контактирующих тел обладает значительным количеством свойств разной природы: микро и макро не- ровности (6); деформационные свойства (12); неоднородность (7); наличие остаточных напряжений (3); условия трения в точке (5); модели изнашивания (6); размерность тела (6). Это дает также квадратную матрицу 55 × 55, или вместе с матрицей форм дает матрицу 92 х 92. Если к этому добавить вектор общих свойств и условий, общих для двух тел: свойства третьего тела (16); свойства окружающей среды (4); виды действующих нагрузок (5); направление сил (6); ско- рость приложения сил (3); цикличность нагружения (4); направление движения (7); характер движения PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 132 (5); вид закрепления тела (7); вид системы координат (6); вид физических уравнений основных тел (10); и третьего тела (8); форма постановки задачи и разрешающих уравнений (12); методы решения краевых и контактных задач (27); искомые параметры в контакте (27); то в итоге имеем трехмерную матрицу воз- можных задач 55 × 55 × 142. Это означает, что число возможных задач контактной механики оценивается величиной около полумиллиона. Из этого следует необходимость, как в систематизации задач, так и в разработке методов их решения. ●Предложенная систематизация не является полной и исчерпывающей. Возможны уточнения этой систематизации, особенно в части методов решений и их систематизации в справочные руково- дства. 3. Задачи контактной механики с учетом износа отличаются повышенной сложностью, обуслов- ленной их многократной нелинейность. Анализ известных решений показывает, что при всей необозри- мости многообразия объектом рассмотрения является всего несколько наиболее известных задач. Причиной этого является как отсутствие систематизации и представлений о многообразии практически нужных решений, так и сложность анализа печатной информации. ●Предложенная систематизация делает возможной постановку задачи о создании автоматизиро- ванной системы поиска и обработки информации о решенных задачах. Без систематизации создание та- кой автоматизированной компьютерной системы невозможно. В то же время наличие системы требует разработки алгоритмов и программ поисковой экспертной системы, основанной на достижениях как лин- гвистического, так и механо-математического анализа 4. Модели процессов изнашивания являются неотъемлемой обязательной частью разрабаты- ваемых методов расчета узлов трения на износ. Предложенные модели основаны на аналогии между процессами ползучести в механики деформируемых тел. Аналогия состоит в общности зависимостей ползучести и износа от времени. ●В [6] реализована главным образом, модель в форме зависимости интенсивности износа от давления и пути трения. Для учета влияния множества других факторов предложено две перспективных формы: в виде суммы (аддитивная) и в виде произведения (мультипликативная) функций зависящих от разных факторов. В дальнейшем особого внимания заслуживает использование безразмерных комплек- сов от множества факторов, используемых в теории подобия и размерностей. 12.2. Аналитические методы 5. Контактные задачи для цилиндрических опор без учета износа сводятся к интегральным урав- нениям с постоянными пределами (Фредгольма), а с учетом износа к интегральным уравнениям с пере- менными пределами (Вольтерра). Использование винклеровской модели основания приводит к инте- гральным уравнениям второго рода. Особенность уравнений с износом состоит в том, что каждая точ- ка, вступающая в контакт в процессе износа имеет свое начало временной координаты. При выборе аналитического методы решения уравнений, как правило, выбирают наиболее про- стые случаи, в частности, обходящие указанную особенность: релаксационные задачи (при заданном фиксированном перемещении); задачи с обратной парой вращения; задачи с использованием алгебраиче- ских моделей изнашивания. Во всех других случаях решение достигается путем отыскания специальных преобразований приводящих к аналитическому решению. Значительную пользу здесь оказывает преоб- разование Лапласа, переводящее интегральное уравнение в алгебраическое, а после решение последне- го после обратного преобразования к конечному результату. В этой главе рассмотрены также некоторые другие классы задач: обратная контактная задача с износом с определением параметров моделей изнашивания; подшипник из неоднородного по износу слоя; износ втулки бесконечной толщины; применение тригонометрического усеченного ряда для учета податливости. ●Выполненные решения дают представление о возможностях получить аналитическое решение для разных классов задач с износом. Перспективным здесь является повышение точности и обоснование корректности выполненных решений. 6. При износе превышающем упругие контактные перемещения податливостью опоры мож- но пренебречь. Для жесткого контакта уравнения и решение задачи упрощаются, и доводится до простых расчетных формул. При учете податливости в подавляющем большинстве случаев задача сводится к ин- тегралам, которые в элементарных функциях не берутся. Для этих случаев предложено разлагать подын- тегральные функции в степенные ряды. Полученные при этом расчетные формулы достаточно точны и могут использоваться в расчетах. ●Перспективными являются способы, сочетающие преобразование Лапласа для интегральных уравнений Вольтерра в сочетании с представлениями опор скольжения в виде жесткого основания. 7. Особый класс узлов трения представляют собой подшипники качения с неподвижным внутренним кольцом на оси и вращающимся наружным кольцом. При пульсирующей нагрузке сопря- PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 133 жение внутреннего кольца с осью при малых смещениях испытывает особый вид износа – фреттинг- коррозию. Величина износа в этом случае определяется величиной относительного проскальзывания ци- линдрических поверхностей кольца и оси. Контактная задача в этом случае сводится к интегральному уравнению с учетом трения. На первом этапе решается уравнение без износа и определяется величина микропроскальзывания, а на втором определяется износ. Главной особенностью здесь является учет ка- сательной податливости и шероховатости контактирующих тел. Подробные методические примеры ука- зывают на достоверность полученных результатов решения задачи. ●Выполненное решение является основой для разработки основ проектирования, расчета и ме- тодов борьбы с фреттинг коррозией в сопряжениях внутреннего кольца подшипника качения с непод- вижной осью – самым распространенным сопряжением колес транспортных средств, таких, как автомо- били, автобусы, троллейбусы и др. 8. Установить закономерности контактного взаимодействия в некоторых случаях дают возмож- ность конструктивные методы повышения износостойкости узла трения. К таким задачам относится кон- такт вала и подшипника при сопряжении с натягом, при наличии износа. Наличие постоянной пло- щадки контакта и релаксирования давлений по мере износа позволило в этом случае получить точное решение интегрального уравнения при наличии радиальной нагрузки. ●Сопряжения вала и подшипника с малым натягом является перспективным конструкторским решением, особенно в случаях, когда требуется повышенная точность позиционирования вала. Примене- ние современных антифрикционных материалов с малым коэффициентом трения в этом случае не явля- ется препятствием для использования этого решения на практике. 9. Проблема продления срока службы замков буровых колонн едва ли не самая острая в буро- вой технике. Причиной этого является сверхтяжелые условия взаимодействия замка и обсадной трубы или абразивной поверхности скважины из песка и камня. К жестким абразивным условиям износа добав- ляются также сверхвысокие контактные давления от потери устойчивости колонны под действия веса ее при бурении. Постановка и решение задачи облегчено тем, что контакт идет по малой площадке контакта при большом зазоре. Задача сведена к дифференциальному уравнению, которое при 1m = решено точ- но, а при 1m ≠ приближенно. Рассмотрены различные случаи кинематики движения замка по обсадной трубе: при одностороннем скольжении и при круговом скольжении. Примеры расчетов с учетом реаль- ных условий показывают степень достоверности решений. ●Разработанная методика расчетов на износ замков буровых колонн позволяет определить эф- фективность мероприятий по повышению срока службы замков на стадии разработки этих мероприятий, и при широкой эксплуатационной проверке. Это может дать существенную экономию средств, выделяе- мых на борьбу с износом замков. 10. К особым или специальным условиям мы здесь относим следующее: учет одновременного износа вала и втулки; обратная пара трения; износ при возвратно–поступательном (качательном) движении; износ при периодической нагрузке. В некоторых указанных случаях в частности для жесткого контакта, удается получить простые расчетные формулы, в других получить решение в квадратурах или интегралах, которые не берутся. Решения в этих случаях выполняется численно. Наиболее кинематиче- ски сложный случай имеет место при качательном режиме работы узла. При этом как уравнения, так и решения, зависят от величины узлов качания в некотором диапазоне амплитуд. ●Постановки и решения задач этой главы подчеркивают и расширяют диапазон разного рода за- дач и методов их общей систематизации часто требуют новых постановок и решений. 12.3. Итерационный метод ОФП 11. Число контактных задач с износом, для которых найдены аналитические решения, достаточ- но ограничено. Сложность и многократная нелинейность контактных задач требуют применения числен- ных методов. Алгоритмы численных методов решения интегральных методов широко распространены и хорошо известны. Однако применение подавляющего большинства этих методов либо неэффективно, либо вообще затруднено. В условиях многократной нелинейности для реализации и модификации ока- зался наиболее эффективным итерационный метод функциональных поправок Соколова. Метод ока- зался настолько удачным, что уже первое приближение дает удовлетворительную точность. 12. Модификация метода здесь состоит главным образом, в адаптации его основных положе- ний для многократно нелинейных контактных задач с учетом износа. Сначала на примере общего случая степенной нелинейной модели изнашивания показана процедура метода, как для кинематической, так и силовой форм нагружения, и показан алгоритм итерационной процедуры. Затем показан алгоритм решения задачи с учетом перекоса и переменных коэффициентов трения. Даны оценки точности итерации. ●Из всех численных методов решения интегральных уравнений для многократно–нелинейных задач метод осреднения функциональных поправок следует признать наиболее эффективным, вобрав- шим в себя все лучшие стороны известных итерационных методов решения интегральных уравнений. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Развитие методов контактной трибомеханики Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 2 134 13. Еще один новый класс контактных задач рассмотрен методом ОФП на примере износа про- ушины. Отличительной особенностью этого класса задач является учет изгиба цилиндрической поверх- ности опоры. Опора, рассматривается как кольцо, изгибающееся по теории тонких колец с одновремен- ным контактным деформированием винклеровского основания. Интегральное уравнение задачи с учетом трения и износа и усложненное изгибными деформациями успешно решено МОФП. Даны примеры чис- ленного решения. ●Учет изгиба основания опоры скольжения существенно расширяет круг контактных задач с из- носом, эффективно решаемых итерационным методом. Это дает возможность рассчитывать на износ гибкие элементы узлов в частности, пластинчатых цепей. 14. Итерационный метод ОФП по структуре и по основной идее ближе всего располагается к решению интегрального уравнения с вырожденным ядром (то есть представленным в виде произведе- ния функций). При этом использовано приближенное представление интеграла с выносом среднего инте- грала от искомой функции. В этой части процедура совпадает с приближенным операционным исчисле- нием (ПОИ) Мальцева. С другой стороны процедура ПОИ по форме близка к первому члену итерационной процедуры Лаврентьева. В итоге следует, что итерационный метод ОФП Соколова интегрировал в себе идеи метода вырожденного ядра, приближенного операционного исчисления, и итерационного метода Лаврентьева. Очевидно, этот симбиоз и является основной причиной высокой эффективности метода ОФП. ●При рассмотрении итерационных методов, особенно ОФП, возникает мысль об общности меж- ду математическим аппаратом теории автоматического регулирования и алгоритмами итерационных ме- тодов. Здесь связь итераций через ключевую формулу соответствует обратной связи в ТАУ. Если устано- вить четкие соотношения этой связи, то возможно установить простые условия сходимости. Выводы Разработаны, исследованы и использованы на практике система следующих принципиально но- вых методов решения задач контактной трибомеханики: 1) метод алгебраических уравнений; 2) вариационно-экспериментальный метод; 3) обобщенный метод подобия и приведенного радиуса в задачах без износа и с износом; 4) метод решения квазигерцевских задач как без учета, так и с учетом износа; 5) предложенные методы реализованы в расчетах подшипников скольжения; 6) для расчетов напряженного состояния в опасных точках и предложены прямые методы, не требующие рассмотрения полной системы уравнений; 7) обосновано рассмотрение механического контакта как пятого вида взаимодействия в физике. Литература 1. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. – М.: Машиностроение, 1988. – 256 с. 2. Кузьменко А.Г. Методи розрахунків і випробувань на зношування та надійність. – Хмельни- цький: ТУП, 2002. – 151 с. 3. Кузьменко А.Г. Метод алгебраических уравнений в контактной механике. – Хмельницкий: ХНУ, 2006. – 447 с. 4. Кузьменко А.Г. Пластический контакт. Вариационно-экспериментальный метод. Хмельниц- кий: ХНУ, 2009. – 390 с. 5. Кузьменко А.Г. Напряжения в контакте. – Хмельницкий: ХНУ, 2008. – 349с. 6. Кузьменко А.Г., Любин А.Г. Контактная механика и расчеты на износ опор скольжения. – Хмельницкий: ХНУ, 2008. – 550 с. 7. Кузьменко А.Г. Прикладная теория методов испытаний на износ: Хмельницкий: ХНУ, 2008. – 579 с. 8. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 512 с. 9. Кузьменко А.Г. Развитие методов контактной трибомеханики. – Хмельницький: ХНУ, 2010. – 270 с. Надійшла 30.03.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com