7_Romanuk.doc Про особливі компоненти оптимальної стратегії проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 44 Романюк В.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна ПРО ОСОБЛИВІ КОМПОНЕНТИ ОПТИМАЛЬНОЇ СТРАТЕГІЇ ПРОЕКТУВАЛЬНИКА У МОДЕЛІ ДІЇ НОРМОВАНОГО ОДИНИЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ НА ТРИКОЛОННУ БУДІВЕЛЬНУ КОНСТРУКЦІЮ Вступ і постановка проблеми дослідження Модель дії нормованого одиничного навантаження [1] на три колони однакової висоти у будіве- льній конструкції та відповідного розподілу будівельних ресурсів у цій конструкції [2, 3] є однією з фун- даментальних задач оптимального використання будівельних ресурсів. Ця задача може бути узагальнена і до рівня задачі усунення триелементних невизначеностей у широкому смислі, де за ядро антагоністич- ної гри береться гіперповерхня ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 , , ; , max , , 1 x x x x T T x x y y y y y y  − −  = = β   − −   X Y (1) з параметром 0β > на паралелепіпеді (2) при [ ];i i ix a b∈ , ( )3 1 21x x x= − + , [ ];i i iy a b∈ , ( )3 1 21y y y= − + 1, 2i∀ = за умов 1 10 1a b< < < , 2 20 1a b< < < , 1 2 1b b+ < . (3) Не зважаючи на те, що у цій грі, котра виявляється строго опуклою, другий гравець (проектувальник) во- лодіє чистою оптимальною стратегією * ** 1 2y y =  Y , трапляються випадки, коли її компоненти зна- ходяться по-особливому, зі залученням додаткових обґрунтувань. Аналіз останніх досліджень й окреслення невирішених питань Основні щойно згадані додаткові обґрунтування щодо оптимальної поведінки проектувальника містяться у роботах [2, 3]. За умов [ ] 1 2 1 2 ; 1 i i i b a b b b a a ∈ + + − − 1, 2i∀ = (4) компонентами оптимальної стратегії проектувальника будуть * 1 2 1 21 i i b y b b a a = + + − − 1, 2i∀ = . (5) Але при 1 2 1 21 j j b a b b a a < + + − − (6) буде *j jy a= й ( )* 1 2 1 1 j i i i a b y b a a − = + − − (7) за умови ( ) [ ] 1 2 1 ; 1 j i i i i a b a b b a a − ∈ + − − 1, 2i∀ = при ( )2 sign 1j i= − − . (8) Натепер невивченим питанням залишається те, як співвідносяться між собою значення (5) і (7), а також умови, за яких належність (8) справджується. Це надасть більш чітких обрисів у визначенні оптимальної поведінки проектувальника. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Про особливі компоненти оптимальної стратегії проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 45 Формулювання мети дослідження компонент типу (7) оптимальної стратегії проектуваль- ника Для додаткового дослідження оптимальної поведінки проектувальника у моделюванні дії нор- мованого одиничного навантаження на три колони однакової висоти у будівельній конструкції та відпо- відного розподілу будівельних ресурсів у цій конструкції необхідно виявити співвідношення між зви- чайною i -ю компонентою (5) оптимальної стратегії проектувальника й особливою i -ю компонентою (7) цієї стратегії. Також слід окреслити додаткові умови належності (8), за яких значення (7) є i -ю компоне- нтою стратегії * ** 1 2y y =  Y проектувальника 1, 2i∀ = при ( )2 sign 1j i= − − . Теорема про строгу нерівність у співвідношенні між значеннями (5) і (7) Теорема 1. В опуклій грі з ядром (1) на паралелепіпеді (2) з умовами (3) при одночасному вико- нанні i -ї умови (4) і j -ї умови (6) за умови (8) для i -ї компоненти (7) справедлива строга нерівність ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 j i i i a b b b a a b b a a − < + − − + + − − . (9) Доведення. Дослідимо різницю лівої і правої частин нерівності (9): ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 j i i i a b b b a a b b a a − − = + − − + + − − ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 j i i i a b b a a b a a b b a a b b a a − + + − − − + − − = = + − − + + − − ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 j i i i b b a a a b b a a b a a b b a a b b a a + + − − − + + − − − + − − = = + − − + + − − ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 j j i i b a b b a a b b a a b b a a − + + − − = + − − + + − − , (10) де використано те, що 1 2 i jb b b b+ − = при 1, 2i = та ( )2 sign 1j i= − − . З нерівності (6), знаменник у лівій частині якої є додатним, відразу випливає від’ємність чисельника у (10), що доводить справедливість нерівності (9). Теорему доведено. Теорема про значення (7) у звуженні гри з ядром (1) на паралелепіпеді (2) при (3) Теорема 2. У звуженні опуклої гри з ядром (1) на паралелепіпеді (2) з умовами (3) на 1 2a a a= = при одночасному виконанні i -ї умови (4) і j -ї умови (6) для i -ї компоненти (7) справед- ливе співвідношення ( ) [ ) 1 ; 1 2 i i i a b a b b a − ∈ + − (11) за умови ( )( ) 1 1 sign 1 130; 1 sign 0; sign 1 sign 2 3 3 i i i i i i i b a b b b b b b   + −        ∈ + − ⋅ ⋅ − ⋅ − −             U . (12) Доведення. Нерівність ( )1 1 2 i i i a b b b a − < + − випливає безпосередньо зі щойно доведеної строгої нерівності (9). Залишається вияснити, за яких умов нестрога нерівність PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Про особливі компоненти оптимальної стратегії проектувальника у моделі дії нормованого одиничного навантаження … Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 46 (13) є вірною. З нерівності (13) маємо: , , , , . (14) Дискримінантом відповідного нерівності (14) квадратного рівняння 2 2 0i ia ab b+ − = відносно a є ( ) ( )2 24 4 1 4 4 4 1i i i i i iD b b b b b b= − ⋅ ⋅ − = + = + , звідки корені цього рівняння ( ) ( ) ( )1 2 4 1 2 2 12 1 0 2 2 2 i i i i i ii i i i b b b b b bb D a a b b b − − + − − +− − = = = = = − − + < , (15) ( ) ( ) ( )2 2 4 1 2 2 12 1 2 2 2 i i i i i ii i i i b b b b b bb D a a b b b − + + − + +− + = = = = = − + + . (16) Корінь 2 0a > , оскільки 1i ib b+ > , 1i ib b+ > , ( )1i i ib b b+ > , звідки розв’язком нерівності (14) відносно змінної a є ( ( )(20; 0; 1i i ia a b b b ∈ = + −  , (17) що є вірним тільки при ( )1i i i ib b b b+ − < . (18) Зі співвідношення (18) маємо: 1i i ib b b+ − < , 1 2i ib b+ < , 1 4i ib b+ < , 1 3i b > . (19) Співвідношення (19) означають те, що (17) є рівним при 1 3i b > , а при буде ( )0; ia b∈ . Ці умо- ви для значення a компактно записані у (12). Теорему доведено. Висновок і перспектива подальшого моделювання розподілу будівельних ресурсів у конс- трукціях-опорах Доведені теореми дають можливість контролювати особливі компоненти (7) оптимальної страте- гії проектувальника, де 1, 2i = при ( )2 sign 1j i= − − . Таких компонент в * ** 1 2y y =  Y може бу- ти не більше однієї, причому при звуженні на 1 2a a a= = для i -ї особливої компоненти (11) виконува- тиметься умова належності (12). У подальшому можна перевірити таку умову для незвуження. Література 1. Романюк В.В. Модель визначення оптимального рішення проектувальника у задачі про розра- хунок повздовжньої стійкості двох елементів будівельної конструкції при дії на них нормованого стис- каючого зусилля / В.В. Романюк // Проблеми трибології. ‒ 2010. ‒ № 1. ‒ С. 42-56. 2. Романюк В.В. Моделювання дії нормованого одиничного навантаження на три колони одна- кової висоти у будівельній конструкції і знаходження оптимальної площі кожної опори / В.В. Ро-манюк // Проблеми трибології. ‒ 2010. ‒ № 3. ‒ С. 18-25. 3. Романюк В.В. Доведення тверджень для моделі дії нормованого одиничного навантаження на три колони однакової висоти у будівельній конструкції / В.В. Романюк // Проблеми трибології. ‒ 2010. ‒ № 4. ‒ С. 72-81. Надійшла 09.11.2010 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com