18_Sorokatiy.doc Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 114 Сорокатый Р. В., Писаренко В. Г., Дыха М. А. Хмельницкий национальный университет, Казенное научно-производственное объединение "Форт" МВД Украины ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ИЗНАШИВАНИЯ Вступление Анализ параметров, определяющих количественные и качественные характеристики процессов изнашивания, показывает, что они, по своей сути, являются случайными величинами. Скорость изнаши- вания зависит от физико-механических свойств материалов и микрогеометрии поверхностей трения, из- меняющихся в определенных пределах. Изнашивание зависит от макрогеометрии сопряженных деталей в сборке, регламентированной системой допусков и посадок. Наконец, скорость изнашивания зависит от взаимовлияния различных узлов машины, условий эксплуатации и т. д. В эксплуатации возможны раз- личные комбинации действующих факторов. Таким образом, стохастический характер определяющих параметров процесса изнашивания приводит к тому, что скорость изнашивания и соответственно ресурс узлов трения является случайной величиной. В связи с этим, к оценке ресурса узлов трения необходимо подходить с вероятностных позиций. Вероятностные подходы к оценке ресурса узлов трения К первым работам, в которых процесс изнашивания рассматривается, как стохастический про- цесс, следует отнести работы Н.Б. Герцбаха и Х.Б. Кордонского [1]. Авторы [1, 2] обратили внимание на стохастический характер изнашивания и изложили [1, 2] ос- новные предпосылки для разработки математической модели процесса изнашивания как случайного процесса. В работах [1, 2] высказано и обосновано предположение, что изнашивание протекает случайно и все изменения, которые наблюдаются в трущейся паре, по существу стохастические. Исходя из этой позиции, сделан вывод, что при построении моделей изнашивания не только нельзя игнорировать слу- чайные вариации износа, но и необходимо тщательно изучать закономерности, управляющие ими. В [1, 2] показано, что анализ накопления повреждений вследствие износа позволяет вскрыть основные осо- бенности вероятностного поведения деградирующей системы. Модель износа для прогнозирования долговечности изнашиваемых деталей с использованием случайных процессов Маркова, в которой обобщенное интегральное уравнение Маркова сведено к диф- фузионному распределению построена в [3]. Работа [4] посвящена вероятностной трактовке феноменологических процессов накопления по- вреждений, независимо от их механической природы, с целью адекватного описания, выявления физиче- ской сущности и предсказания на их основе поведения конструкции. Рассматриваемые вероятностные модели основаны на марковских процессах с дискретными временем и состояниями. В работе [4] авторы перешли к систематическому описанию феноменологических процессов деградации с помощью случай- ных процессов марковского типа. Такой подход позволил построить достаточно точные модели кумуля- тивного накопления повреждений. Развитая авторами [4] методика систематического применения мар- ковских цепей для адекватного описания больших выборок реализаций позволила решать практические задачи проектирования, оценки надежности и сохраняемости деградирующих систем, создания методик ускоренных ресурсных испытаний, учета спектра нагрузок. В книге [4] рассмотрены качественные ас- пекты процесса накопления повреждений с экспериментальной точки зрения, построена модель накоп- ления единичных повреждений от последовательности независимых ударных воздействий. На основе теоретической обработки экспериментального материала [4] показано, что процессы накопления трибоповреждений относятся к классу кумулятивных повреждений, как необратимого нако- пления механических повреждений при циклических воздействиях [4]. Кумулятивные повреждения связаны с поведением материалов на атомном или молекулярном уровне. Однако, в настоящее время поведение конструкционных материалов познано не настолько хо- рошо, чтобы основывать модели кумулятивных повреждений на физических законах. Следовательно, как показано в [4], целесообразно обратиться к феноменологическим моделям, которые должны основывать- ся на сегодняшнем понимании явлений на макроскопическом уровне и экспериментальных данных. В работе [5] на основе построения вероятностной модели сделаны выводы, что вероятностное поведение изнашиваемого тела на уровне поверхностного слоя определяет макроуровневые изменения тела. Одной из основных характеристик [5], связывающих износ поверхностных слоев и макроуровневые изменения изнашиваемого тела в процессе функционирования трибосистемы, является суммарная интен- сивность потока изнашивания, переводящая поверхностные слои изнашиваемого тела в поглощающее состояние. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 115 Следует отметить, что в [5] при построении вероятностной модели принято допущение, что в процессе изнашивания одновременно принимают участие все элементы слоя. Данную модель можно уточнить, если учесть, что во фрикционном контакте, учитывая фактическую площадь контакта, одно- временно принимают участие не все элементы, а некоторая их часть. Элементы слоя, которые не задей- ствованы первоначально в контакте, вступают во фрикционное взаимодействие после потери работоспо- собности элементов, первоначально находящихся в контакте. Вероятностная модель изнашиваемого тела Рассмотрим изнашиваемое тело, соcтоящее из m слоев, каждый слой состоит из N элементов (рис.1). Рис. 1 − Схема изнашиваемого тела Предположим, что: - для функционирования слоя, достаточно, что бы в процессе изнашивания одновременно участ- вовало n элементов из N ; - при потере работоспособности некоторого nin ,...,1= элемента, во фрикционное взаимодействие мгновенно вступает один из …N-nt=k 1 элементов; - скорость изнашивания слоя — случайная величина, находящаяся в интервале nvv ,...,1 и вели- чины скоростей изнашивания являются соизмеримыми; - скорость изнашивания элемента по поверхности — постоянная величина, но изменяется слу- чайным образом для элементов; - тело износится на величину h , если количество элементов находящихся одновременно во фрикционном контакте станет меньше n , то есть износится 1+k элемент; Данной физической модели изнашиваемого тела можно поставить в соответствие модель надеж- ности, состоящую из двух взаимосвязанных моделей: - модель системы-слоя; - модель системы-тела, элементами которой являются системы-слои. Поведение системы-слоя можно описать с точки зрения надежности, как поведение системы с ненагруженным резервом, а именно: - имеется n основных элементов, находящихся под нагрузкой и …N-nt=k 1 резервных элементов; - любой отказавший из n рабочих элементов, мгновенно заменяется любым из …N-nt=k 1 элемен- тов резерва; - отказ системы-слоя наступает, если количество работоспособных элементов станет меньше n , то есть откажет 1+k элемент. Для построения математической модели системы-слоя воспользуемся методом псевдосостояний [6]. Под псевдосостоянием системы jU понимают состояние, при котором в системе находится 1,...,0 += kj отказавших элементов, при этом )(tPj - вероятность того, что в момент времени t в 1 2 m Cлои h Изнашиваемые элементы PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 116 системе находится j отказавших элементов. Если количество отказавших элементов в системе достиг- нет 1+k , то наступит отказ системы (система-слой перейдет в поглощающее состояние). Граф состоя- ний псевдосистемы для слоя представлен на рис. 2. 1 2 n 1 k … … U 0 1 2 n 1 k-1 … … U 1 1 2 n 1 k-2 … … U 2 1 2 n k=0 … … U k 1 2 n-1 k=0 … … U k+1 Рис. 2 – Граф состояний псевдосистемы В псевдосостоянии jU , где 10 +≤≤ kj , имеется j отказавших и n работающих элементов, каждый из которых имеет свою интенсивность отказов ),(...1 tU jni =λ , зависящую от времени t . Любой из n элементов в случае отказа может перевести систему-слой в состояние 1+jU . Для описания поведения такого объекта можно составить систему дифференциальных уравне- ний Колмогорова [6]:          λ= =λ−λ= λ−= ∑ ∑∑ ∑ = + == −− = n i kki k n i jji n i jji j n i i tPtU dt tdP kjtPtUtPtU dt tdP tPtU dt tdP 1 1 11 11 1 00 0 );(),( )( ;,...,2,1 ),(),()(),( )( );(),( )( (1) где )(tPj – вероятность нахождения псевдосистемы в состоянии jU ; ),( tU jjλ – интенсивность отказа i-го элемента ni ,...,1= в зависимости от псевдосостояния системы jU и времени. Так как в начальный момент времени 0=t рабочие и резервные элементы слоя находятся в ра- бочем состояния, то 1)0(0 ==tP и 0)0(0 ==tP при 0>j . Согласно предельной теореме для суммарного потока [6], система (1) может быть упрощена, ес- ли учесть, что ∑ = Λ=λ n i jji kUtU 1 ),(),( , (2) где ),( kU jΛ – суммарный поток отказов, переводящий систему из состояния jU в состояние )1,...0(1 +=+ kjU j . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 117 Тогда (1) примет вид:          Λ= =Λ−Λ= Λ−= + −− );(),( )( ;,...,2,1 ),(),()(),( )( );(),( )( 1 11 00 0 tPtU dt tdP kjtPtUtPtU dt tdP tPtU dt tdP kk k jjjj j (3) где ),( tU jΛ – суммарный поток отказов, переводящий систему из состояния jU в состояние 1+jU ; ),( tU kΛ – суммарный поток отказов, переводящий систему из состояния kU в поглощающее состояние 1+kU . Использование суммарного потока позволяет перейти к рассмотрению процесса чистого раз- множения c ограниченным числом псевдосостояний системы-слоя, граф состояний которой приведен на рис. 3. Рис. 3 – Граф состояний системы Поведение системы, представленной на рис. 3, описывается системой дифференциальных урав- нений (3), решение которой будет определяться видом функции ),( tU jΛ . Если функция ),( tU jΛ задана в общем виде, решение системы (3) в аналитической форме пока не получено, однако существуют частные решения, которые можно использовать при анализе поведения системы-слоя. Анализируя поведение изнашиваемого слоя, следует рассматривать несколько случаев. В случае стационарного изнашивания, скорость изнашивания, а следовательно, и суммарный по- ток отказов элементов слоя, является постоянной величиной, не зависящей от времени и количества от- казавших элементов слоя, т.е. Λ==Λ const)t,U( j , при этом уравнения (3) примут вид:          Λ= =Λ−Λ= Λ−= + − );( )( ;,...,2,1 ),()( )( );( )( 1 1 0 0 tP dt tdP kjtPtP dt tdP tP dt tdP k k jj j (4) Решение данной системы при начальных условиях 1)0(0 ==tP и 0)0(0 ==tP при 0>j имеет вид [6]:          Λ −= = Λ = = ∑ = Λ− + Λ− Λ− k i t i k t j j t e i t tP kje j t tP etP 0 1 0 . ! )( 1)( ;,...,2,1 , ! )( )( ;)( (5) где tjE Λ=)( – математическое ожидание j -го состояния; tjD Λ=)( – дисперсия. 0 1 2 k+1 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 118 Если скорость изнашивания элементов зависит только от времени работы, то суммарный поток отказов системы-слоя является функцией времени и не зависит от состояния системы jU . Система уравнений (3) для данного случая примет вид:          Λ= =Λ−Λ= Λ−= + − );()( )( ;,...,2,1 ),()()()( )( );()( )( 1 1 0 0 tPt dt tdP kjtPttPt dt tdP tPt dt tdP k k jj j (6) Начальные условия: 1)0(0 ==tP и 0)0(0 ==tP при 0>j . Согласно предельной теореме суммарного потока, )(tΛ представляет нестационарный поток Пуассона. Решение системы (6) имеет вид [6]:          −= == = ∑ = − + − − k i ta i k ta j j ta e i ta tP kje j ta tP etP 0 )( 1 )( )( 0 . ! )( 1)( ;,...,2,1 , ! )( )( ;)( (7) где ∫ Λ= t dttta 0 )()( – параметр закона. Таким образом, первоначальная задача для системы с ненагруженным резервом путем использо- вания предельной теоремы потоков свелась к задаче о процессе чистого размножения c ограниченным числом псевдосостояний. В зависимости от вида функции интенсивности суммарного потока отказов ),( tU jΛ приведены некоторые известные частные решения системы уравнений Колмогорова. Естест- венно, что приведенные выше решения, не могут удовлетворить всему многообразию условий функцио- нирования трибосистем и зависимости скоростей изнашивания элементов будут иметь более сложный вид. В этом случае для решения системы уравнений (3) необходимо прибегнуть к численным методам решения дифференциальных уравнений. Однако, более целесообразно, перейти в данном случае от рас- смотрения случайных процессов с непрерывным временем и дискретными состояниями к рассмотрению случайных процессов с дискретным временем и состояниями, что позволит описать данную задачу с по- мощью математического аппарата цепей Маркова [5]. Численная реализация на ЭВМ цепей Маркова эф- фективнее, чем решения нелинейных дифференциальных уравнений. Для построения модели системы-тела, изнашиваемое тело можно представить в виде системы с 1+m состоянием ( 1+m - количество слоев). Изнашивание такой системы представляет собой случай- ное одностороннее движение скачками величиной h , равной высоте слоя. Последовательное движение системы-тела из состояния 0 в состояние m можно описать схемой чистого размножения. Поток, переводящий систему-тело из одного состояния в другое, определяется вероятностью пе- рехода в поглощающее состояние соответствующей системы-слоя ),...,0(1 miU i k =+ , которая определя- ется суммарной интенсивностью потока изнашивания ),( 1 tU i k +Λ , переводящей соответствующий слой в поглощающее состояние. Для описания поведения такой системы можно воспользоваться системой дифференциальных уравнений Колмогорова [6]: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Вероятностные модели процесса изнашивания Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 119          Λ= =Λ−Λ= Λ−= − − + +− − + + );(),( )( ;,...,2,1 ),(),()(),( )( );(),( )( 1 1 1 11 1 1 0 0 1 0 tPtU dt tdP mitPtUtPtU dt tdP tPtU dt tdP m m k m i i ki i k i k (8) Следует отметить, что ограничения, накладываемые в таких случаях на независимость от пре- дыстории, не являются обязательным. Вводя в состав параметров, характеризующих настоящее состоя- ние системы, те параметры из прошлого, от которых зависит будущее, можно данным математическим аппаратом описывать многие случайные процессы не марковского типа [6]. Решение системы (8) определяется видом ),( 1 tU i k +Λ . Для некоторых частных случаев имеется ряд решений, однако, они не могут удовлетворить всего многообразия поведения трибосистем, где соот- ветствующие интенсивности ),( 1 tU i k +Λ зависят от микро- и макро- геометрии контактирующих тел, фи- зических и трибологических характеристик материалов, условий силового и теплового взаимодействия, наличия и вида смазочных материалов и т.д., будут иметь достаточно сложный вид. Поэтому для по- строения математической модели системы-тела целесообразно использовать модель удара и представить модель в дискретном времени [5]. Построение вероятностной модели изнашиваемого тела, как системы с высокой степенью резер- вирования, позволяет объяснить тот факт, что при достаточно жестких условиях, действующих в зоне фактических пятен контакта и соответственно низкой износостойкостью отдельно взятого фрикционного контакта, система в целом обеспечивает достаточно длительный период функционирования. Выводы На основании изложенного можно отметить следующее: 1. Вероятностное поведение изнашиваемого тела на уровне поверхностного слоя определяет макроуровневые изменения изнашиваемого тела. 2. Одной из основных характеристик, связывающих износ поверхностных слоев и макроуровне- вые изменения изнашиваемого тела в процессе функционирования трибосистемы, является суммарная интенсивность потока изнашивания, переводящая соответствующие поверхностные слои изнашиваемого тела в поглощающее состояние (износ соответствующих слоев). 3. Изнашиваемое тело необходимо рассматривать, как систему с высокой степенью резервирова- ния, что объясняет обеспечение достаточно длительного периода функционирования системы в целом, при низкой износостойкости отдельно взятого фрикционного контакта. 4. Учитывая, что суммарная интенсивность потока изнашивания в общем случае определяется микро- и макро- геометрией контактирующих тел, физическими и трибологическими характеристиками материалов, условиями силового и теплового взаимодействия, наличием и видом смазочных материалов и т.д., построение математических моделей целесообразно проводить в дискретном времени, что позво- лит использовать математический аппарат цепей Маркова. Литература 1. Герцбах И. Б. Модели отказов / И.Б. Герцбах, Х.Б. Кордонский. – М.: Сов. Радио, 1966. – 166 с. 2. Вероятностный анализ процесса изнашивания / [Кордонский Х.Б., Харач Г.М., Артамонов- ский В.П., Непомнящий Е.Ф.]. – М.: Наука, 1968. – 56 с. 3. Костецкий Б. И. Марковская модель износа и прогнозирование долговечности изнашиваемых деталей / Б. И. Костецкий, В. П. Стрельников, В. Г. Таций // Проблемы трения и изнашивания. – 1976. – № 10. – С. 10-15. 4. Богданофф Дж. Вероятностные модели накопления повреждений / Дж. Богданофф, Ф. Козин; пер. с англ. – М. : Мир, 1989. – 344 с. 5. Сорокатый Р. В. Метод трибоэлементов. Монография. / Р.В. Сорокатый. – Хмельницкий: ХНУ, 2009. – 242 с. 6. Венцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Венцель, Л.А. Овчаров – М. : Наука, 1991. – 384 с. Надійшла 30.12.2010 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com