19_Kirilkov.doc О способе учета влияния объемных упругих деформаций установки на величину предварительного смещения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 120 Кирилков В.А. Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина О СПОСОБЕ УЧЕТА ВЛИЯНИЯ ОБЪЕМНЫХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ УСТАНОВКИ НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ Введение Результаты работ различных исследователей [1 - 3], связанных с экспериментальным определе- нием величин предварительного смещения, показывают, что, как правило, они значительно отличаются друг от друга. Это можно объяснить тем, что предварительное смещение (будем называть его полным предварительным смещением) фактически представляет собой сумму двух составляющих: предвари- тельного смещения, обусловленного объемной деформацией контактирующих тел, и контактного пред- варительного смещения [4]. Последнее обусловлено изменением напряженного состояния в зоне контак- та твердых тел. Объемное же предварительное смещение определяется конструкцией узла трения и ис- пользуемой экспериментальной установки. Поэтому совпадение результатов, полученных на различных установках, если не учитывать их объемную упругую деформацию, становится практически невозможным. В данной работе описывается способ, позволяющий учесть влияние объемных упругих дефор- маций установки при оценке величины контактного предварительного смещения. Исследования проводились на маятниковом триборелаксаторе [5] и изложены в работах [6, 7]. Рабочая часть триборелаксатора (рис. 1) представляет собой колебательную систему в виде крутильного маятника, включающего в себя исследуемую пару образцов 1 и 2. Контакт образцов осуществляется по схеме «плос- кость (нижний образец) - торец полого цилиндра (верхний образец)». Кольцевая площадка контакта имеет наружный диаметр равный 5 мм и внутренний равный 3 мм. Верхний образец 1 исследуемой пары неподвижно закрепляется в держателе установки, нижний - на инерционной детали (ма- ятнике) 3 и опирается на бестрениевую опору 4 в виде иглы. Образцы прижимаются друг к другу контролируемой нор- мальной силой P. Пропусканием через катушку 6 короткого импульса постоянного тока маятник приводится в крутильное колеба- тельное движение в горизонтальной плоскости. Величина тока устанавливается такой, чтобы в процессе совершения колебаний исследуемый контакт находился в режиме предварительного смещения. Возникающие крутильные колебания носят затухающий характер, что определяется преимущественно диссипативными свойствами изучаемого контакта. Величина ампли- туды колебаний определялась на среднем радиусе контактной площадки, равном 2 мм. Колебания маятника регистрируются емкостным датчиком 5, сигнал с которого подается на два электронных частотомера. Один из них измеряет частоту колебаний маятника, другой отсчитывает коли- чество колебаний Ne, соответствующее уменьшению амплитуды колебаний в e раз (e = 2,72). Поскольку система отсчета перемещений триборелаксатора регистрирует полное предваритель- ное смещение, то для определения величины контактного предварительного смещения в дополнение к испытаниям основной пары образцов 1 и 2 (рис. 2, а) проводились испытания, позволяющие учесть объ- емные деформации установки. Для этих испытаний использовался специальный монолитный образец, имеющий внешнюю конфигурацию такую же, как у сопряженной пары (рис. 2, б). 1 2 а б Рис. 2 – Образцы: а – основная пара образцов для исследований; б – монолитный образец Рис. 1 – Схема колебательной системы триборелаксатора PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com О способе учета влияния объемных упругих деформаций установки на величину предварительного смещения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 121 Перейдем теперь непосредственно к вопросу моделирования колебательной системы триборе- лаксатора. Как известно, среди всех случаев рассеивания энергии простейшим с точки зрения математи- ческого исследования является случай, в котором демпфирующая сила пропорциональна скорости – так называемое вязкое демпфирование. Поэтому силы сопротивления, имеющие более сложную природу, обычно заменяют при исследованиях эквивалентным вязким сопротивлением, а эквивалентное демпфи- рование определяют из условия, чтобы за один цикл при нем рассеивалось столько же энергии, сколько и при действии реальных сил сопротивления [2]. Используя описанный выше подход, можно представить колебательную систему установки с ус- тановленной парой образцов в виде тела Гука и последовательно соединенного с ним тела Кельвина- Фойгта (рис. 3). Тело Гука будет моделировать объемные упругие свойства колебательной системы уста- новки, а тело Кельвина-Фойгта - вязкоупругие свойства контакта пары образцов. Составим уравнения колебаний такой системы. Обозначим угловое отклонение от положения равновесия контактной поверхности верхнего образца 1ϕ , а угловое отклонение от положения равнове- сия маятника соответственно 2ϕ (рис. 3). bккc 1 2 c I ϕ ϕ Рис. 3 – Модель колебательной системы триборелаксатора в случае использования пары образцов Тогда для контактной поверхности верхнего образца, рассматривая ее как некое безынерционное тело, будем иметь следующее дифференциальное уравнение движения: )()(0 12121 ϕ−ϕ+ϕ−ϕ+ϕ−= &&кк bcc , (1) а для инерционной детали, с закрепленной на ней нижним образцом, – уравнение вида: )()( 12122 ϕ−ϕ−ϕ−ϕ−=ϕ &&&& кк bcI , (2) где c – коэффициент жесткости, обусловленный упругими деформациями установки; кc – коэффициент жесткости контакта; кb – коэффициент вязкости контакта; I – момент инерции инерционной детали относительно вертикальной оси колебательной системы; 1ϕ& – угловая скорость контактной поверхности верхнего образца; 2ϕ& и 2ϕ&& – соответственно угловая скорость и угловое ускорение инерционной детали (маятника). Решения уравнений (1) и (2) будем искать в форме: teλϕ=ϕ 011 , (3) teλϕ=ϕ 022 . (4) Подставляя (3) и (4), а также их производные в (1) и (2), получим однородную систему уравнений: .)Ibc()bc( ,)bc()bcc( кккк кккк 0 0 02 2 01 0201 =ϕλ+λ++ϕλ+− =ϕλ+−ϕλ++ (5) Систему уравнений (5) можно записать в матричном виде: 0 02 01 2 =      ϕ ϕ ⋅      λ+λ+λ+− λ+−λ++ Ibс)bc( )bс(bcc кккк кккк . (6) Для того, чтобы существовали нетривиальные решения этой системы, ее определитель должен быть равен нулю. Это условие позволяет записать следующее характеристическое уравнение: 023 =+λ+λ++λ кккк cccb)cc(IIb . (7) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com О способе учета влияния объемных упругих деформаций установки на величину предварительного смещения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 122 Соответственно порядку полученного характеристического уравнения (7) рассматриваемая ме- ханическая система по А.А. Андронову [8] является системой с числом степеней свободы 11/2 и относит- ся к вырожденным. Среди корней уравнения (7), по крайней мере, один будет вещественным отрица- тельным. Чтобы удостовериться в этом, рассмотрим левую часть уравнения. При λ = 0 она, очевидно, положительна, а при достаточно больших отрицательных значениях λ становится отрицательной. Сле- довательно, существует корень 11 α−=λ ( 01 >α ). После того как первый корень найден, можно разделить левую часть уравнения на разность 1λ−λ и придти к квадратному уравнению, решение которого даст два других корня вида: β±α−=λ i, 232 ( 1,02 −=> iα ). Подставляя значения этих корней в уравнение (6), получим следующие выражения для отноше- ний амплитуд jкк jкк j bcc bc r λ++ λ+ = , ( 3,2,1=j ), (8) Таким образом, колебательное движение контактной поверхности верхнего образца и колеба- тельное движение маятника рассматриваемой системы будут описываться следующими выражениями: )cossin( 1331221111 21 tArtAreeAr tt β+β+=ϕ α−α− , (9) )cossin( 1312112 21 tAtAeeA tt β+β+=ϕ α−α− , (10) где 131211 ,, AAA – постоянные, определяемые из начальных условий. Так как влияние трения на период колебаний мало, то, положив в (7) 0=кb , получим: 02 =+λ+ кк cc)cc(I (11) Отсюда частота колебаний маятника рассматриваемой системы )cc(I cc к к +π ≈ν 2 1 . (12) Если установить в триборелаксатор монолитный образец, то в этом случае колебательная систе- ма может быть представлена моделью, изображенной на рис. 4. c 2 I ϕ Рис. 4 – Модель колебательной системы триборелаксатора в случае использования монолитного образца Частота колебаний такого маятника определится уравнением: I c π =ν 2 1 0 . (13) Отношение частот колебаний 0ν ν с учетом (12) и (13) будет определяться формулой: К сc c v к + ≈ ν 0 . (14) Далее, положив в (8) 0=кb , придем к более простому выражению для отношения амплитуд: к к cc c rrrr + ==== 321 . (15) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com О способе учета влияния объемных упругих деформаций установки на величину предварительного смещения Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 123 Введем для оценки колебательного движения непосредственно в контакте новую переменную: 12 ϕ−ϕ=ϕ . Обозначим отношение амплитуды колебаний в контакте 0ϕ к амплитуде колебаний маятника 02ϕ , которая регистрируется датчиком установки, через ϕk . Тогда, с учетом (14) и (15), значение ϕk может быть найдено по известным значениям частот колебаний системы при испытании пары образцов ν и при испытании монолитного образца 0v из следующего выражения: 2 0 2 02 01 02 0102 02 0 1111 ν ν −= + −=−= ϕ ϕ −= ϕ ϕ−ϕ = ϕ ϕ =ϕ к к сс с rk . (16) Поскольку в ходе проведения испытаний на триборексаторе регистрируются не угловые, а ли- нейные перемещения на среднем радиусе кольцевой контактной площадки, то с учетом изложенного выше, выражение для определения начальной величины линейной амплитуды контактного предвари- тельного смещения окончательно может быть записано в следующем виде: 022 0 2 020 1 AAkA ⋅      ν ν −=⋅= ϕ , где 02A – регистрируемая датчиком перемещений триборелаксатора начальная величина линей- ной амплитуды полного предварительного смещения. Выводы В работе обоснован способ, дающий возможность учесть вклад объемных упругих деформаций экспериментальной установки (триборелексатора) в полное предварительное смещение, регистрируемое в ходе выполнения исследований. Полученная зависимость позволяет определять величину начальной линейной амплитуды контактного предварительного смещения по регистрируемой величине начальной линейной амплитуды полного предварительного смещения. Литература 1. Авдеев Д.Т. Исследование предварительного смещения прессовых соединений / Д.Т. Авдеев // Известия вузов. Машиностроение. – 1962. – № 4. – С. 5-9. 2. Максак В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта / В.И. Максак. – М. : Наука, 1975. – 60 с. 3. Щедров В.С. Предварительное смещение на упруго-вязком контакте / В.С. Щедров // Трение и износ в машинах. – М. - Л. : Изд-во АН СССР, 1950. – С. 94-102. 4. Крагельский И.В. Основы расчетов на трение и износ / И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. – М. : Машиностроение, 1977. – 526 с. 5. Гладченко А.Н. Контактные релаксационные явления в металлополимерных трибосистемах / А.Н. Гладченко, В.В. Шевеля, И.В. Шевеля // Проблеми трибології (Problems of Tribology). –1996. – № 1. – С. 74-79. 6. Шевеля В.В. Реология контактных явлений при реверсивном предварительном / В.В. Шевеля, В.Орлович, В.А. Кирилков // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2005. – № 2. – С. 152-158. 7. Шевеля В.В. Диссипативные свойства и фреттингостойкость пластичных смазок / В.В.Шевеля, В.Орлович, В.А. Кирилков, В.П. Федына // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2007. – № 3. – С. 55-60. 8. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. – М. : Наука, 1963. – 568 с. Надійшла 06.01.2011 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com