23_Kuzaev.doc Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 136 Кузяев И.М., * Буря А.И.** *Украинский государственный химико-технологический университет, **Днепропетровский государственный аграрный университет, г. Днепропетровск, Украина РАСЧЕТ ДАВЛЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА ЖЕСТКОЙ СФЕРЫ С ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДОЙ Введение При решении большого количества научных и практических задач необходимо оценить прочно- стные свойства различных механических систем, элементы которых могут быть выполнены из различ- ных типов материалов: упругих, вязкоупругих, пластических. При этом данные элементы во многих слу- чаях взаимодействуют с другими объектами различной геометрической формы, как в статических, так и в динамических режимах функционирования. Большинство таких задач относится к контактным задачам. Один из основных аналитических методов при анализе контактных задач базируется на теории функций комплексного переменного, которая позволяет получить адекватное решение реальным услови- ям работы изучаемых объектов. 1. Постановка задачи В настоящее время наиболее разработанным математическим аппаратом при контакте двух тел является теория, разработанная Герцем. При этом следует отметить, что данная теория построена на ряде достаточно грубых допущений, которая идеализирует свойства реальных тел, что особенно сказывается при анализе вязкоупругих тел. Осуществляя моделирование контактных задач, как правило, следует одновременно решать сис- темы уравнений равновесия и совместности с учетом краевых условий. В ряде случаев связь между си- ловыми факторами и перемещениями в области контакта взаимодействующих тел можно выразить через функции Грина. Основными численными методами решения данного типа задач являются: метод интег- ральных уравнений и теории потенциала. В работе [1] было представлено уравнение (6), позволяющее моделировать давление под штам- пом сферической формы на поверхности наклонной упругой поверхности, а также предложена методика перехода от упругой задачи к вязкоупругой. 2. Определение переходных коэффициентов Покажем далее использование предложенной методики, применив ее к уравнению (6) из [1], представив его следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 1 2 2 ν νθ θ θ θ + ⋅ θ − +⋅ = + τ ⋅ τ ⋅ + π ⋅ + ⋅ − + ⋅ − cn a b a xCF FP( x ) C x a b x x a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 25 2 2 2 ν θ θ + ⋅ − θ + ⋅ ⋅ + ⋅ θ − +  + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − a b , x a b a x CB B R x a b x , (1) где 1 0 5θ = + θ, , 2 0 5θ = − θ, , ( )ν⋅µ⋅π=θ Narctg/1 ( 0 0 5< θ < , ); 1 2 21 − ν ν  = + µ ⋅ ⋅   CF N ; ( ) 1 2 2 1 21 2 1 − ν ν − ⋅ ν τ = + µ ⋅ ⋅ ⋅   ⋅ − ν C N ; ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 2 1 2 1 − ν ν ⋅ − ⋅ ν = + µ ⋅ ⋅ ⋅   ⋅ − ν CB N ; 1 2 2 2ν − ν = − ν N . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 137 С учетом того, что ν < 1, а 2ν << 1, то последние четыре выражения, зависящие от коэффици- ента Пуассона ν , можно разложить в биномиальные ряды. При этом, ограничиваясь первыми тремя членами в разложениях, получаем: 2 1 1 2 12 1 2 2CF ...ν Σ→ ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ν + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ν + ; (2) ( ) [ ] 21 1 1 2 1 2 1 11 4 1 2 4C ...ν Στ → µ + −µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ν + − ⋅ µ ⋅ µ + µ ⋅ µ − ⋅ µ ⋅ ν + ; (3) ( ) [ ] 21 1 1 2 1 2 1 13 6 3 4 3 2 3 3CB ...ν Σ→ ⋅ µ + − ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ν + − ⋅ µ ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ ν + ; (4) 21 2 1 2 1 2→ − ⋅ − ⋅ −vN v v ... , (5) где ( ) 0 51 4 − µ = + µ , ; 2 2 21 1 4 µ µ = + ⋅ µ ; ( )22 21 8 3 32µ = ⋅ µ + ⋅ µΣ . 3. Определение давления в месте контакта вязкоупругой среды с жестким телом Исходя из соотношений µ < 1 и 2µ << 1, можно, не уменьшая точности получаемых решений, оставить первые два члена в разложениях (2) – (4). Тогда после соответствующей подстановки и после- довательного выполнения прямого и обратного интегрального преобразования Лапласа-Карсона получе- но такое выражение, позволяющее найти распределение давления в области действия контакта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 5 0 1 2 2 1 2 3 2 θ θ   ⋅ µ ⋅ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ − + −   = + π ⋅ + ⋅ − ∫ t cn cn , cnF t F t Z t s dF ( s ) P( x ) x a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 1 2 0 0 5 0 1 20 2 1 4 3 2 t , a b a x t t Z t s s x a b x θ θ    + ⋅ θ − +  + µ ⋅ τ −µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ −τ + − τ ⋅ +   + ⋅ −    ∫ ( ) ( ){ }1 1 1 2 0 53 6 3 4 1 3 2 ,Z t B+ ⋅ µ + − ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ − + ⋅ ⋅ ×   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 25 2 2 2 θ θ + ⋅ − θ + ⋅ ⋅ + ⋅ θ − +  × ⋅ ⋅ + ⋅ − a b , x a b a x R x a b x . (6) Выражение (6) записано для общего случая, а именно, когда усилие cnF и адгезионная состав- ляющая силы трения 0τ зависят от времени. Если же данные величины можно принять как константы, то уравнение (6) упростится, то есть исчезнут интегралы, по аналогии со слагаемым, включающим объе- мный модуль упругости В ( )3 1 2   =  ⋅ − ⋅ ν  E B . Необходимо также ввести следующее замечание: при малых значениях аргумента функции связной ползучести Zζ , например при ζ ≤ 0,5, что и получено для уравнения (6), функцию Zζ можно представить в виде [2]: 1ζ ≈ − ζ ⋅ ωZ , где 1 2 1 − ⋅ ν ω = + ν . В этом случае необходимость проведения экспериментов по отысканию функций связной ползучес- ти отпадает (если известен коэффициент Пуассона ν ) и значение Z ζ можно определить по формуле: ( )1ζ = − ζ ⋅ ωZ t . (7) С учетом сделанных замечаний уравнение (6) можно представить так: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 138 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 2 1 2 θ θ ⋅ ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ω  = + π ⋅ + ⋅ − cnF tP( x,t ) x a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 2 1 1 2 2 1 4 θ θ + ⋅ θ − + +τ ⋅ µ + −µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ω ⋅ +   + ⋅ − a b a x t x a b x ( ) ( )1 1 1 2 13 6 3 4B t+ ⋅ ⋅ µ + − ⋅ µ + ⋅ µ ⋅ µ ⋅ ω ×   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 25 2 2 2 θ θ + ⋅ − θ + ⋅ ⋅ + ⋅ θ − +  × ⋅ ⋅ + ⋅ − a b , x a b a x R x a b x , (8) где ( ) ( )1 1 2t tω = + ω . Перед началом отыскания давления, возникающим под штампом, по формуле следует найти гра- ничные точки контакта a и b . При этом первоначальное приближение для упругой задачи может быть найдено из системы уравнений: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 14 1 23 1 4 − ν⋅ ⋅ + = ⋅ − ⋅ ν⋅ π ⋅ ⋅ − θ cnR Fa b B ; (9) ( ) ( )0 1 2 3 ⋅ τ− = + ⋅ θ + ⋅ + ν ⋅ Ra b a b B . (10) Проведем анализ напряженного состояния для материала, экспериментально полученные харак- теристики которого имеют следующие значения: продольная деформация – ε =x (0,354; 0,370; 0,375; 0,393; 0,400; 0,409; 0,415; 0,419; 0,422); поперечная деформация – ε =y (0,115; 0,123; 0,125; 0,134; 0,137; 0,141; 0,144; 0,146; 0,148); время снятия экспериментальных данных – =et (1; 5; 10; 50; 90; 120; 180; 240; 300) мин. Следует напомнить, что коэффициент Пуассона представляет собой отношение попере- чной деформации к продольной. Для того чтобы выполнить расчет давления по формуле (8), произведем аппроксимацию коэффициента Пуассона с использованием обобщенной функции регрессии linfit из ма- тематического пакета Mathcad, что позволит оптимизировать вычислительный процесс [3, 4]. В результа- те аппроксимации получаем следующее выражение: 0 1 2 ν = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅F F F( t ) K exp( a t ) K t K log( t )( )ta ⋅exp0 1 2ν = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ n n F F F( t ) K exp( a t ) K t K log( t )( ) 1log nt , (11) где 0 0 327=FK , ; 1 46 399 10−= − ⋅FK , ; 2 38 62 10−= − ⋅FK , ; 0 0003=a , 0 75=n , ; 1 1 65=n , . Порядок получения формулы (11) приведен в программе 1, а сравнительные результаты экспери- ментальных данных с аппроксимирующей зависимостью по формуле (11) представлены на рис. 1. Программа 1 Начало программы 1.                             = 300 240 180 120 90 50 10 5 1 :te                             =ε 422.0 419.0 415.0 409.0 400.0 393.0 375.0 370.0 354.0 :x                             =ε 148.0 146.0 144.0 141.0 137.0 134.0 125.0 123.0 115.0 :y PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 139 → ε ε =ν x y e : ( )351.0348.0347.0345.0343.0341.0333.0332.0325.0Te =ν 0003.0:a = 75.0:n = 65.1:1n =           − ⋅ = 1n n )tlog( t )taexp( :)t(1F ( )1F,,titinfl:K eeF ν=           ×− ×−= − − 3 4 F 1062.8 10399.6 327.0 K 300..2,1:t = 8..0:i = 1n 2F n 1F0F )tlog(KtK)taexp(K:)t( ⋅−⋅+⋅⋅=ν Конец программы 1. 0 61 122 183 244 305 0.32 0.33 0.35 0.36 ν t( ) ν ei t tei , Рис. 1 ‒ Сравнительные результаты экспериментальных данных с аппроксимирующей зависимостью по формуле (11) Выполнив преобразования для системы уравнений (9) и (10) по аналогии с тем, как была полу- чена формула (8), можно записать такую систему уравнений для отыскания граничных точек контакта a и b в случае вязкоупругой задачи: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 4 1 4 8 1 3 4 1 1 cnR F ata t b t t B at at at at   ⋅ ⋅ ⋅ µ ⋅ ⋅ π + = ⋅ + − ⋅ ω  ⋅ π ⋅ µ µ ⋅ µ ⋅ µ µ   ; (12) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )01 1 0 5 2 2 4 2 a t b t Rat a t b t t , t B −   ⋅ τµ = + ⋅ − ⋅ ω + ⋅ − ⋅ ω    π ⋅ π ⋅ µ ⋅  , (13) где arctg=at ( )0 5= ⋅ µat arctg , , 2 21 4 1µ = − π ⋅at at , 2 21 4µ = −π + ⋅at at , 24 1 1 4µ = + ⋅ µ . Для решения задачи возьмем следующие данные: 4 5=R , мм; 35 46=B , ГПа; 650 10= ⋅cnF Н/м; 0 30τ = МПа; 0 8µ = , . Расчет давления по формуле (8) и граничных точек контакта по выражениям (12) и (13) приведен в программе 2, а результаты расчета представлены на рис. 3. Программа 2 Начало программы 2. 300..1:t = 65.1375.044 )tlog(1062.8t10339.6)t103exp(327.0:)t( ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅=ν −−− Pa10:Pa 9=Γ Pa46.35:B Γ⋅= mm5.4:R = Pa1030: 60 ⋅⋅=τ 8.0:=µ m N 1050:F 6cn ⋅⋅= )5.0tan(a:at µ⋅= 2 2at 4 1 :at π −=µ 22 at4:1at ⋅+π−=µ 2 4 1 1:4 µ⋅+=µ )t(1 )t(21 :)t( ν+ ν⋅− =ω )t( 2 1 :)t(1 ω+=ω 150..0:i = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 140 150 300 i1:tti ⋅+= )tt(:t ii ν=ν )tt(:t ii ω=ω )tt(:t i1i1 ω=ω mm3:a = mm5:b = Given         ω⋅         µ π⋅ − µ⋅µ⋅µ ⋅µ⋅ + µ ⋅ ⋅π⋅ ⋅⋅ =+ i1 2 cn2 t 1at 8 1atat4 at4 at 1 B3 FR4 )ba( )t5.01( B2 R t 42 at )ba( 2 ba i 0 i1 ω⋅−⋅⋅ τ⋅ +      ω⋅ µ⋅π⋅ µ − π ⋅+= − )b,a(Find:1M i = )1M,MM(augmentMM 149..1iifor )1M,1M(augmentMM:MM 1ii1iiii 100 +−← ∈ ←= ( ) 〉〈= 0TMM:a ( ) 〉〈= 1TMM:b а б Рис. 2 ‒ Графики изменения граничных точек контакта во времени: а – начальной точки контакта; б – конечной точки контакта )t(mean:c ν=ν 345.0c =ν c c 22 21 :N ν⋅− ν⋅− =ν )Ntan(a 1 : ν⋅µ⋅π =θ 06.0=θ θ+=θ 5.0:1 θ−=θ 5.0:2 iii ba:L += 20..0:j = 20 L :dx ii = iij,i dxja:x ⋅+−= 5.0 1 )4(: −µ+=µ 2 2 2 25.01 : µ⋅+ µ =µ       µ⋅+µ⋅=µΣ 2 22 32 3 8 1 : 2 j,ii 1 ij,ij,i )xb()ax(:Zn θθ −⋅+= )19,1,150,0,Zn(submatrix:ZnS = 18..0:jj = ( ) jj,i i1211cn jj,i ZnS t5.02F :1P ⋅π ω⋅µ⋅µ⋅+µ⋅⋅ = [ ] jj,i jj,iiii i121110jj,i ZnS )xa(2)ba( t)25.0(:2P +−θ⋅+ ⋅ω⋅µ⋅µ⋅+µ−+µ⋅τ= [ ]i12111i1 t)75.06(3B:3P ω⋅µ⋅µ⋅+µ⋅−+µ⋅⋅= [ ] jj,i ijj,iiijj,i 22 ii jj,i2 ZnSR2 )ax(2)ba(x2)25.0()ba( :3P ⋅⋅ +−θ⋅+⋅⋅+θ−⋅+ = jj,i2i1jj,i 3P3P:3P ⋅= 9 jj,ijj,ijj,ijj,i 10)3P2P1P(:P −⋅++= Конец программы 2. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com Расчет давления в зоне контакта жесткой сферы с вязкоупругой средой Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2011, № 1 141 Рис. 3 ‒ Объемный график изменения давления в зоне контакта Аналогичным образом можно получить результаты и для других исходных данных. Выводы 1. Разработана методика перехода от упругой контактной задачи к вязкоупругой. 2. Построена математическая модель для анализа напряженного состояния в зоне контакта вязкоуп- ругой среды с жестким телом. 3. Разработана программа на базе математического пакета Mathcad для аппроксимации экспериме- нтальных данных. 4. Разработана программа на базе математического пакета Mathcad для параметров, входящих в за- дачу контакта твердой сферы с вязкоупругой средой, позволяющая оптимизировать напряженное состояние в зоне контакта, что дает возможность увеличивать рабочий интервал функционирования рассматриваемого объекта. Литература 1. Анализ деформированно-напряженного состояния при скольжении жесткого тела со сфериче- ской поверхностью контакта по наклонной поверхности вязкоупругой среды / А.И. Буря, И.М. Кузяев, М.Е. Ка- заков и др. // Труды 8-го Международного симпозиума по фрикционным изделиям и материалам. ЯРОФИ-2010, 2010. – С. 23-28. 2. Колтунов М.А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. – М.: Машиностроение, 1983. – 239 с. 3. Ситар В.І. Побудова елементів САПР при моделюванні обладнання хімічної промисловості за допомогою пакета MathCAD: навч. посібн. [для студ. вищ. навч. закл.] / Ситар В.І., Бурмістр М.В., Кузяєв І.М. – Дніпропетровськ, УДХТУ, 2005. – 306 с. 4. Кирьянов Д. Самоучитель Mathcad 11 / Кирьянов Д. – С.Пб.: БХВ – Петербург, 2003. – 560 с. Надійшла 14.01.2010 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com http://www.pdffactory.com