9_Shifrin.doc Трение на пневмоколесе: специальное буксируемое пневмоколесо Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 3 54 Шифрин Б.М. Кировоградская летная академия Национального авиационного университета, г. Кировоград, Украина E-mail: b_shifrin@mail.ru ТРЕНИЕ НА ПНЕВМОКОЛЕСЕ: СПЕЦИАЛЬНОЕ БУКСИРУЕМОЕ ПНЕВМОКОЛЕСО УДК 629.735.015:533.6.013.43 С помощью известных математических маломерных моделей решена прямая задача динамики для катяще- гося пневмоколеса. Ограничиваемся малыми углами увода и нулевым углом развала, а зоной скольжения в пятне ко- нтакта шины с опорной плоскостью пренебрегаем; находим поперечную силу трения и восстанавливающий момент. Используем модель М. В. Келдыша, а также ее упрощенную версию для жестких пневматиков и модели установив- шегося увода. Ключевые слова: трение, пневмоколесо, М. В. Келдыш, угол увода. 1. Введение Отсутствие общепринятой развитой модели трения на пневмоколесах заметно снижает роль ма- тематического моделирования в решении актуальных задач динамики автомобилей, самолетов при взле- тах и посадках, скутеров и других пневмоколесных машин. При докритических углах увода требуемая модель должна учитывать адгезию и скольжение в пятне контакта шины с опорной поверхностью. С наибольшей полнотой трение на пневмоколесе изучено, когда углы увода малы настолько, что зона скольжения пренебрежима или, говоря иначе, реализуется квазиадгезионный контакт [1, 2]. В процессе построения требуемой модели для анализа ее работы при малых углах увода понадобятся некие «эталон- ные» решения квазиадгезионного контакта. Одной из наиболее полных, последовательных и удачных моделей этого класса является модель М. В. Келдыша [1 - 5]. В настоящей статье, продолжая начатое в [5] рассмотрение частных случаев модели М. В. Келдыша, выделен случай специального буксируемого пневмоколеса. Показано, что решение для упомянутого случая обладает рядом особенностей и его целе- сообразно использовать в качестве «эталонного». Кроме того, в статье проведено сопоставление ряда моделей квазиадгезионного контакта. 2. Постановка задачи Рассмотрим движение буксируемого пневмоколеса, имеющего вынос назад L (рис. 1). Точка C – его центр масс. Оси ggg YXO неподвижны и лежат в опорной плоскости. Считаем, что силы тре- ния, возникающие на пневмоколесе, приводятся к силе F и моменту M вокруг оси, перпендикулярной рисунку и проходящей через точку C (рис. 1). Силу F дальше называем поперечная сила, а момент M , как это принято в механике шин, – восстанавливающий момент. Рис. 1 – Буксируемое пневмоколесо Рис. 2 – Специальное буксируемое пневмоколесо Пневмоколесо закреплено так, что его диск всегда строго перпендикулярен опорной плоскости. Тяга AC абсолютно жесткая. Углы ее поворота )(11 tφ=φ , где −t время в секундах, «малы». Ско- рость const=AV r обусловливает переносную скорость точки C , а углы поворота – относительную, ко- торую обозначаем CW r : mailto:b_shifrin@mail.ru Трение на пневмоколесе: специальное буксируемое пневмоколесо Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 3 55 1φ= &LWC , точка сверху указывает на дифференцирование по времени t . В итоге скорость точки С равна: CAC WVV rrr += . «Малый» угол ∆ между плоскостью диска пневмоколеса и вектором скорости точки C на виде сверху называется углом увода, он равен (рис. 1): 21 φ+φ=∆ , где |)/(arctg|2 CC XY &&=φ , −CC X,Y && проекции вектора CV r на оси gggg XO,YO , соответствен- но. С учетом малости углов остановимся на приближении: AV/L 11 φ+φ=∆ & . (1) В дальнейшем будем полагать, что FF kK // =αβ , (2) а MM Kk ≡ , (3) где −αβ MMFF kKkK ,,,,, требующие экспериментального определения механические посто- янные шины: −βα, кинематические коэффициенты М.В. Келдыша; −MF kk , боковая и крутильная жесткости шины; −FK коэффициент увода; −MK коэффициент восстанавливающего момента в моде- лях увода. Соотношение (2) можно найти, к примеру, в [6, 7], а справедливость тождества (3) показана в [8]. Будем считать, что длина L не произвольная, а специальная: αβ== /*LL . (4) Буксируемое пневмоколесо, длина выноса которого равна *L , назовем специальным буксируе- мым пневмоколесом или СБП-колесом. Пусть функция «малых» поворотов тяги имеет вид: ∑ = ω+Φ=φ N n nn tbt 1 01 sin)( , (5) где 0Φ и −ωnnbN ,, заданные постоянные. Другими словами, функция «малых» поворотов тя- ги включает постоянное и зависящее от времени слагаемые, причем второе из них представлено своим разложением «по синусам». Из дальнейшего следует, что важна лишь принципиальная возможность представления поворотов в виде (5). Двухмерный вектор { }MF , описывает трение на пневмоколесе и является предметом нашего изучения. Ставится задача: для СБП-колеса и поворотов тяги (5) с помощью ряда известных моделей трения на пневмоколесе найти компоненты вектора трения и сопоставить полученные решения между собой. 3. Решения задачи о трении на СБП-колесе 3.1. Применение модели М. В. Келдыша Будем использовать такую систему уравнений [3]:      βϕ−αξ=φ+ϕ φ+ϕ−=φ+ξ ϕ=ξ= ),( ),( ,, 1 11 A A MF V VL kMkF && && (6) где −ϕξ, абсолютные линейная и угловая деформации шины. При заданном законе «малых» поворотов )(1 tφ уравнения (6) позволяют найти функции време- ни )(),(),(),( tttMtF ϕξ . Согласно (6) деформации )(),( tt ϕξ без учета собственных колебаний для случая гармоническо- го закона поворотов: tt Ωφ=φ sin)( 01 , (7) Трение на пневмоколесе: специальное буксируемое пневмоколесо Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 3 56 где −=φ const0 амплитуда и −=Ω const частота вынужденных гармонических колебаний, имеют вид [4]: ϕξ=βαΩγ+ΩβαΩ= ,)],,,,(sin[),,,( iLtLAi ii , где −γ iiA , амплитуды и фазовые углы; −Ω=Ω AVR / число С. Кларка [10]. Воспользовавшись решением [4] для СБП-колеса и закона поворотов (5), найдем:    φ−=φ−= φ−=ϕφ−=ξ ).()(),()( ,, 11* 11* tktMtLktF L MF (8) Подчеркнем – амплитуды и фазовые углы при гармонических колебаниях тяги СБП-колеса не зависят ни от частоты Ω , ни от коэффициентов βα, . 3.2. Применение упрощенной модели М. В. Келдыша. Как показано в [5], вместо (6) для доста- точно жестких пневматиков будем иметь: }ξβα=ξ= )/(, MF kMkF , (9) для нахождения деформации ξ нужно использовать дифференциальное уравнение: LV)/(V AA 11 φ−φ−=ξβα+ξ && . В частном случае СБП-колеса имеем: *11* )/1( LVLV AA φ−φ−=ξ+ξ && . (10) Приняв во внимание (5), придем к зависимостям:    φ−=φ−= φ−=ξ ).()(),()( , 11* 1* tktMtLktF L MF (11) Сопоставив (8) и (11), заключим, для СБП-колеса упрощенная модель М. В. Келдыша для доста- точно жестких пневматиков (9), (10), приводит к тем же результатам, что и исходная модель М. В. Кел- дыша (6). 3.3. Применение гипотезы и модели И. Рокара, [5, 9]. Соотношение: ∆−= FKF (12) известно [5], как гипотеза И. Рокара; соотношения [9]: { RkF F ∆=ξξ−= , (13) назовем моделью И. Рокара. Несмотря на то, что формулы (13) в [9] мало аргументированы, они нашли широкое применение. Приняв во внимание (1) и (13), находим: )/( 1*1 AF VLRkF φ+φ−= & . (14) Рассматривая совместно (12) и (13), увидим: Rk/K FF = . (15) Это же соотношение представлено в [10], как эмпирическая формула О. В. Буданцевой. Теперь совместно рассмотрим (2), (4) и (15). Получим: RL* = . Иными словами, длина выноса СБП-колеса имеет порядок радиуса необжатой шины (рис. 2). Перепишем (14), учтя только что полученную оценку: )/( 1*1* AF VLLkF φ+φ−= & . Если ограничиться режимами установившегося увода ( 01 =φ& ), то применение гипотезы и модели И. Рокара дает результаты моделей 3.1 и 3.2. 3.4. Основная аналитическая модель установившегося увода [1]. В пределах «малых» устано- вившихся углов увода ( )(t∆≠∆ , 0const ∆==∆ ) справедливы линейные приближения:    ∆= ∆−= , , M F KM KF (16) где −MK коэффициент восстанавливающего момента. Трение на пневмоколесе: специальное буксируемое пневмоколесо Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 3 57 В [8] модель (6) рассмотрена для описания установившегося увода и, в частности, получено, что: 10 φ−=∆−=ϕ . Вспомним (2), (12). Таким образом, уравнения (16) согласуются с выше изложенным. 4. Заключение и выводы Рассматривается прямая задача динамики катящегося пневмоколеса, решая которую находим поперечную силу трения и восстанавливающий момент. Ограничиваемся малыми углами увода и нуле- вым углом развала, а зоной скольжения в пятне контакта шины с опорной плоскостью пренебрегаем. Предложено выделять случай буксируемого с помощью жесткой тяги пневмоколеса, длина выноса назад которой отношению кинематических коэффициентов М. В. Келдыша (или случай специального буксиру- емого пневмоколеса). На основе полученных результатов приходим к выводам: 1. Случай специального буксируемого пневмоколеса (СПБ-колеса) целесообразно использовать в качестве «эталонного» решения для анализа работы полной модели трения на пневмоколесе при нулевом развале и в окрестности нулевого угла увода. 2. Упрощенная модель М. В. Келдыша, построенная в [5] для достаточно жестких пневматиков, в случае задачи СПБ-колеса дает те же результаты, что и исходная модель [3]. 3. Модель М. В. Келдыша (1) согласуется с моделями установившегося увода (13) и (16). Литература 1. Pacejka, H.B. Tyre and vehicle dynamics [Текст] / H. B. Pacejka. – Butterworth-Heinemann, 2006. – 642 p. 2. Саркисов, П.И. Обзор моделей нестационарного качения колеса с упругой шиной по недеформируемому опорному основанию [Текст]/ П. И. Саркисов, С.Д. Попов // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2013. – Вып. 12. – 18 с. URL: tp://engjournal.ru/ catalog/machin/transport/1129.html. 3. Келдыш, М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси [Текст] / М.В. Келдыш // Труды ЦАГИ, 1945. – № 564. – 37 с. 4. Шифрин, Б.М. О модели шины М.В. Келдыша [Текст] / Б.М. Шифрин // Восточно-европейский журнал передовых технологий. – 2009. – № 5/6(41). – С. 34 - 37. 5. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем [Текст] / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. – М.: Наука, 1967. – 520 с. 6. Певзнер, Я.М. О качении автомобильных шин при быстро меняющихся режимах увода [Текст] /Я. М. Певзнер// Автомобильная промышленность. – 1968. – №6. – С. 15 - 19. 7. Кручинин, П.А. Механика подавления параметрических колебаний управляемых колес транс- портных машин: дис…кандидата физ.-мат. наук: 01.02.01 [Текст] / Кручинин Павел Анатольевич. – М., 1984. – 181 с. 8. Шифрин, Б.М. О стыковке моделей увода И. Рокара и М. В. Келдыша [Текст]/Б.М. Шифрин // Матер. міжнар. наук.-практ. конф. «Сучасні інформаційні технології в управлінні та професійній підго- товці операторів складних систем», 27-28 жовтня 2010 р./ М-во освіти і науки України, Держ. льотна акад. України. – К., 2010. – С. 339 - 342. 9. Рокар, И. Неустойчивость в механике: автомобили, самолеты, висячие мосты: пер. с франц. [Текст] / И. Рокар. – М.: Изд. иностр. лит., 1959. – 287 с. 10. Смрчек, А.В. Расчет и испытания ориентирующихся колес на шимми [Текст] /А.В. Смрчек // Труды ЦАГИ. – 1950. – 26 с. 11. Clark, S. Dynamic properties of aircraft tires [Текст] /S. Clark, R. Dodge, G. Nybakken// J. aircraft. – 1974. – Vol. 11, №3. – P. 166 – 172. Поступила в редакцію 28.08.2014 Трение на пневмоколесе: специальное буксируемое пневмоколесо Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 3 58 Shifrin B. M. Friction on air wheels: a special towed air wheel. With the help of well-known mathematical models of low-dimensional dynamics the paper solves direct problem of dynamics of a rolling air wheel. The paper restricts itself to small slip angles and zero camber angle, neglects slip zone at the contact patch of the tire with the plane and finds the lateral force of friction and restoring moment. The author uses the model of M.V. Keldysh and its simplified version for hard tire and the model of steady withdrawal. It is shown that at a certain length of air wheel tow (i.e. for special towed air wheels) temporal laws of change for thrust rotation angles, lateral friction and restoring moment coincide up to constant size multiplier factors. In this case, regardless of the hardness of the tires, the original and the above-mentioned simplified models by M.V. Keldysh lead to the same results. The case of a special towed air wheel is convenient to use in the process of building a more complete model of friction — for testing its work in cases of small-angle slip. Keywords: friction, air wheels, M. V. Keldysh, slip angle. References 1. Pacejka, H.B. Tyre and vehicle dynamics. Butterworth-Heinemann, 2006. 642 p. 2. Sarkisov, P.I. Obzor modeley nestatsionarnogo kacheniya kolesa s uprugoy shinoy po nedefor- miruemomu opornomu osnovaniyu. P. I. Sarkisov, S.D. Popov. Inzhenernyiy zhurnal: nauka i innovatsii. 2013. Vyip. 12. 18 s. URL: tp:engjournal.ru/ catalog/machin/transport/1129.html. 3. Keldyish, M.V. Shimmi perednego kolesa trehkolesnogo shassi .Trudyi TsAGI, 1945. №564. 37 s. 4. Shifrin, B.M. O modeli shinyi M.V. Keldyisha. Vostochno-evropeyskiy zhurnal peredovyih tehnologiy. 2009. №5/6(41). S. 34 – 37. 5. Neymark, Yu.I. Dinamika negolonomnyih sistem. Yu. I. Neymark, N.A. Fufaev. – M.: Nauka, 1967. – 520 s. 6. Pevzner, Ya.M. O kachenii avtomobilnyih shin pri byistro menyayuschihsya rezhimah uvoda. Avto- mobilnaya promyishlennost. 1968. №6. S.15 – 19. 7. Kruchinin, P.A. Mehanika podavleniya parametricheskih kolebaniy upravlyaemyih koles trans- portnyih mashin: dis…kandidata fiz.-mat. nauk: 01.02.01. Kruchinin Pavel Anatolevich. M., 1984. 181 s. 8. Shifrin, B.M. O styikovke modeley uvoda I. Rokara i M. V. Keldyisha. Mater. mIzhnar. nauk.-prakt. konf. «SuchasnI InformatsIynI tehnologIYi v upravlInnI ta profesIynIy pIdgo-tovtsI operatorIv skladnih sistem», 27–28 zhovtnya 2010 r. M-vo osvIti I nauki UkraYini, Derzh. lotna akad. UkraYini. K., 2010. S.339 – 342. 9. Rokar, I. Neustoychivost v mehanike: avtomobili, samoletyi, visyachie mostyi: per. s frants. M.: Izd. inostr. lit., 1959. 287 s. 10. Smrchek, A.V. Raschet i ispyitaniya orientiruyuschihsya koles na shimmi. Trudyi TsAGI. 1950. 26 s. 11. Clark, S. Dynamic properties of aircraft tires. S. Clark, R. Dodge, G. Nybakken. J. aircraft. 1974. Vol. 11, No 3. – P. 166 –172.