5_Bagriy.doc Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 37 Багрій О.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: avadaro@yahoo.com АНАЛІЗ ВПЛИВУ ВНУТРІШНЬОГО КУЛОНОВОГО ТЕРТЯ НА ДЕФОРМУВАННЯ КОМПОЗИТНИХ МАТЕРІАЛІВ УДК 620.17 В роботі досліджено залежності величин модуля зсуву G і коефіцієнта Пуассона ν від досягнутого рівня напружено-деформативного стану. Це дає можливість використовувати одержані співвідношення в розв’язанні пло- скої фізично нелінійної задачі механіки дискретних матеріалів чисельними методами. Ключові слова: внутрішнє тертя, апроксимація, модуль зсуву, коефіцієнт Пуассона, модуль об’ємної деформації. Вступ До великої групи композитних матеріали з малою зв’язністю відносять, наприклад, бетони, буді- вельні суміші, природні ґрунти, вироби технічної кераміки та ін. Такі матеріали характеризуються зрос- танням міцності зі збільшенням величини стискуючих напружень, що трактується як прояв внутрішнього кулонового тертя. Для композитних матеріалів з малою зв’язністю вплив на деформування зв’язності ло- гічно вивчати на зразках пластичного матеріалу, де цей вплив є визначальним; а вплив внутрішнього ку- лонового тертя – на зразках дискретного матеріалу, у якого відсутня зв’язність. Вплив на деформування матеріалів внутрішнього кулонового тертя, що описується моделлю Ку- лона, досліджувався на прикладі дискретних матеріалів [1], чий опір зсувам повністю визначається су- хим тертям. Випробовувались зразки сухого кварцового піску Люберецького родовища. Гранулометричний склад піску наведений у [1]. Було проведено три серії дослідів, що відрізнялись тільки структурним ста- ном матеріалу, який оцінювався величиною початкової відносної щільності. Початкові фізичні характе- ристики піску наведені у [1]. Результати випробувань макрозразків сухого кварцового піску в умовах плоскої деформації представлені сім’єю кривих [1, рис. 4, 5] та описують в просторі інваріантів Γ , , PS поверхню дефор- мування матеріалів, у яких відсутня молекулярна зв’язність (поверхню Кулона). Для формулювання фізичних співвідношень моделі Кулона одержану експериментально повер- хню необхідно апроксимувати зручними для подальших розрахунків і аналізу функціями. Найчастіше подібні експериментальні криві апроксимувались степеневими функціями виду αγστ mA= , або гіперболічними γ+ γσ =τ m n m , де mnA ,,α, – параметри апроксимуючих функцій. Степенева апроксимація використовувалась В.В. Ковтуном [2], (1965 р.), С.С. Вяловим [3], (1978 р.), О.А. Дорофєєвим [4], (2004 р.). Перевагою такої апроксимації є простота використання степе- невої функції. До недоліків слід віднести те, що для степеневої залежності початковий модуль зсуву ( ) ∞==0SG , а також неможливість чіткого описання за допомогою степеневої функції переходу матеріа- лу у граничний стан (при 0 γ τ ,γ ≠∞→ d d ). Апроксимація діаграм „напруження - деформація” гіперболічною (дробово - лінійною) функцією виду iS S i G G γτ τ τ 0 0 + = , що не враховує вплив стискуючого напруження на величину деформації запропо- нована в 1931 році С.П. Тимошенко і пізніше використовувалась С.С. Вяловим, М.В. Малишевим та ін. Вплив внутрішнього тертя (стискуючого напруження) на деформації дискретного матеріалу впе- рше описав А.І. Боткін [5], який використав апроксимуючу функцію виду ,σ γ γ τ 0 0 0 0 + = d c (1) де 000 γ,σ,τ – октаедричні напруження і деформації; dc, – параметри апроксимації. В статті зроблено порівняння апроксимацій дослідних кривих, одержаних для умов плоскої де- формації, двома функціями: mailto:avadaro@yahoo.com Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 38 - степеневою αΓAPS = , αΓA P S = ; (2) - дробово-лінійною P m n S Γ Γ + = , Γ Γ + = m n P S . (3) Метою апроксимації є вибір найбільш раціональної функції для описання деформування дискре- тних матеріалів в умовах плоскої деформації і визначення параметрів функції для конкретного матеріалу. Для цього використовувались спеціальні (функціональні) шкали, в системі координат яких апро- ксимуючі функції описуються лінійними залежностями. Логарифмуючи степеневу залежність (2) Γlnαlnln += A P S , одержуємо рівняння прямої з ку- товим коефіцієнтом α=k , що відтинає на осі ординат відрізок Ab ln= (рис. 1, а). а б Рис. 1 − Графіки апроксимуючих функцій у функціональних шкалах: а − степенева функція; б − дробово - лінійна функція; 1 – пухкий стан; 2 – стан середньої щільності; 3 – щільний стан Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 39 Функціональні координати дробово-лінійної функції (3) одержимо після введення обернених ве- личин: S P =ξ ; Γ 1 ω = . Тоді співвідношення (3) перетворюється у лінійне nn m 1 ωξ += , де кутовий ко- ефіцієнт прямої n m k = , а відрізок на осі ординат n b 1 = (рис. 1, б). Параметри k та b прямих у функціональних системах координат визначались методом най- менших квадратів. Коефіцієнти кореляції для степеневої апроксимації становили: - серія 1 (пухкий стан): =η 0,757; - серія 2 (середня щільність): =η 0,772; - серія 3 (щільний стан): =η 0,796. Коефіцієнти кореляції для апроксимації дробово - лінійною функцією: - серія 1 (пухкий стан): =η 0,893; - серія 2 (середня щільність): =η 0,897; - серія 3 (щільний стан): =η 0,899. Описана статистична обробка результатів випробувань зразків сухого кварцового піску з різною початковою щільністю в умовах плоскої деформації дозволила зробити наступні висновки. Апроксимація експериментальних кривих дробово - лінійною функцією (3) краще узгоджується з дослідними даними, ніж апроксимація степеневою функцією (2), особливо на початковій та пригранич- ній дільницях деформування. Для трьох описаних у [1] серій з імовірністю =α 0,9 одержані такі середні значення параметрів апроксимації n і m : - серія 1 (пухкий стан): =n 0,3979; =m 0,03999; - серія 2 (середня щільність): =n 0,4115; =m 0,02817; - серія 3 (щільний стан): =n 0,8923; =m 0,077103. Для формування на основі проведених експериментальних досліджень фізичних рівнянь "на- пруження - деформації" зручно використовувати поняття змінного "дотичного" або "січного" модуля зсуву: ( ) , ΓΓ 2 P m nm d dS Gд + == (4) . ΓΓ P m nS Gc + == (5) Як видно з наведених виразів, величина модуля зсуву залежить від досягнутих напружень P і деформацій Γ , що підтверджується графіками рис. 2, одержаними шляхом графічного диференціювання "згладжених" експериментальних кривих ( )ΓfS = , const=P [1]. Залежність модуля зсуву від стискуючого напруження P відображає вплив сухого кулонового тертя. Характер цієї залежності можна прослідкувати, якщо перейти до відносного модуля зсуву: ( ) , Γ 20 + == m nm P G G (6) Експериментальні графіки ( )Γ0 fG = для піску різного стану щільності побудовано за серед- німи значеннями 0G і показано на рис. 3. З виразу (6) для відносного модуля зсуву випливають такі особливості апроксимуючої дробово- лінійної функції. При зменшенні деформації ( )0Γ → величина відносного модуля зсуву 0G зростає до свого найбільшого значення m n G →0 . Отже, відношення параметрів m n має фізичний зміст. Воно дорівнює початковому відносному модулю зсуву: .0 m n G п = (7) Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 40 а б в Рис. 2 − Залежність модуля зсуву G від деформацій і стискуючих напружень: а − пухкий стан; б − середня щільність; в − щільний стан; 1 – P = 98 кПа; 2 – P = 196 кПа; 3 – P = 294 кПа; 4 – P = 392 кПа При зростанні деформації ( )∞→Γ відносний модуль зменшується до нуля, що відповідає пе- реходу матеріалу в граничний стан. В проведених дослідах модуль 0G мало відрізняється від нуля вже при деформаціях =Γ 0,1 ÷ 0,15. Фізичні залежності "напруження - дефор- мації" у механіці деформівного тіла представляють у вигляді двох незалежних інваріантних співвід- ношень, які зручно записати через змінні модулі деформації змG , змK , величини яких залежать від досягнутого рівня напружень та деформацій: ( ) ( ) .θ,θ ;Γ,Γ SKP PGS зм зм = = Таке представлення поверхні деформуван- ня вимагає незалежного визначення двох функцій змG , змK або інших змінних параметрів: модуля Юнга змE , коефіцієнта Пуассона змν , параметра Ляме змλ та ін. Найбільш зручною для визначення в умо- вах плоскої деформації є функція модуля зсуву ( )PGзм ,Γ . Характер функції змG , встановлений за ре- зультатами випробувань кварцового піску в умовах плоскої деформації, описано вище (див. (4), (5)). Незалежно визначити експериментальним шляхом функцію модуля об’ємної деформації ( )SKзм ,θ не вдається в зв’язку з проявом недостатньо вивченого ефекту дилатансії. Однак проведені експериментальні дослідження дозволяють легко визначити величину коефіцієнта Пуассона змν на кож- Рис. 3 − Відносний модуль зсуву: 1 – пухкий стан; 2 – середня щільність; 3 – щільний стан Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 41 ному етапі навантаження і за допомогою відомого співвідношення для умов плоскої деформації перейти до модуля об’ємної деформації змK : зм зм змзм GK ν1 ν1 2 − + = . Методика визначення змν в умовах одновісної деформації описана у [6]. Результати експериментальних досліджень наведені для сухого кварцового дрібнозернистого пі- ску середньої початкової щільності. Характеристики матеріалу: - об’ємна маса – 1565 ± 15 кг/м3; - коефіцієнт пористості e = 0,72 ± 0,014; - початкова відносна щільність I = 0,512. Випробування проведені в умовах одновісної деформації на приладі, описаному в [7]. Розміри зразка у камері приладу: =d 80 мм, =h 50 мм, площа перерізу зразка A = 50,265 см2. Модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона визначались за виразами, наведеними у [6]. Результати випробувань представлені у табл. 1. Таблиця 1 Результати експериментальних досліджень в умовах одновісної деформації № досліду N , кН zσ , кПа hΔ , мм ε P , кПа δ , мм E , МПа ν 1 0,4 78,9 2,14 0,0428 73,8 2,02 27,86 0,31 2 0,39 78,3 3,48 0,0696 67,0 2,51 27,15 0,34 3 0,37 73,4 3,28 0,0656 69,5 3,09 26,19 0,32 4 0,34 68,3 2,49 0,0498 70,3 3,25 27,8 0,32 5 0,37 73,7 2,90 0,058 76,5 3,09 26,05 0,31 6 0,33 65,5 3,03 0,0606 76,8 2,09 26,75 0,3 7 0,38 75,6 2,86 0,0572 67,0 2,23 26,71 0,33 8 0,34 67,7 2,89 0,0578 65,5 2,56 27,24 0,33 9 0,34 66,8 2,47 0,0494 74,6 2,91 27,57 0,31 10 0,36 71,2 3,27 0,0654 77,8 3,04 27,13 0,33 Осереднені значення модуля Юнга та коефіцієнта Пуассона в діапазоні зміни напружень 65 ÷ 80 кПа становлять E = 27,05 ± 0,59 МПа; ν = 0,32 ± 0,012. Для випробувань на приладі плоскої деформації коефіцієнт Пуассона визначався з умови 0=ε z : ( )[ ] 0σσνσ1ε 21 =+−= змz зм z E ; 21 σσ σ ν + = zзм . Випробування проведені на приладі плоскої деформації (серія 2, 15 дослідів). Досліди проводи- лись при сталих величинах суми головних напружень: P = 98; 196; 294; 392 кПа. Коефіцієнт Пуассона визначався в діапазоні відносних деформацій 0=Γ 0,07 ÷ 0,09 з виразу 21 σσ σ ν + = z . Одержано такі середні значення коефіцієнта Пуассона: при P = 98 кПа ν =сер 0,39; при P 196= 196 кПа ν =сер 0,39; при P = 294 кПа ν =сер 0,38; при P 392= 392 кПа ν =сер 0,39. Значення коефіцієнта Пуассона в інтервалі відносних деформацій 0Γ = 0,07 ÷ 0,09 становило ν = 0,39 ± 0,013. Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 42 Аналіз результатів експериментальних досліджень дозволяє зробити висновок, що коефіцієнт Пуассона є найбільш стабільним параметром деформування дискретних матеріалів у дограничній стадії. Осереднене значення ν у вказаних інтервалах навантаження для умов одновісної деформації, де вплив дилатансії практично відсутній, складало ν = 0,32 ± 0,012. Для умов плоскої деформації ν = 0,39 ± 0,013. Це дозволило зробити припущення, що при формулюванні фізичних рівнянь плоскої задачі кое- фіцієнт Пуассона в першому наближенні можна прийняти як умовно сталу величину. Для піску середньої щільності прийнято ν = 0,39. Таким чином, для запису фізичних рівнянь плоскої задачі рекомендується експериментально ви- значати за описаними методиками змінні деформаційні параметри змG і ν , а модуль об’ємної деформа- ції змK обчислювати з відомого співвідношення для плоскої деформації ν1 ν1 2 − + = змзм GK . Висновки Досліджено залежності величин модуля зсуву G і коефіцієнта Пуассона ν від досягнутого рів- ня напружено - деформативного стану. Це дає можливість використовувати одержані співвідношення в розв’язанні плоскої фізично нелінійної задачі механіки дискретних матеріалів чисельними методами. Література 1. Багрій О. В. Вплив внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів з малою зв’язністю / О. В. Багрій // Проблеми трибології. – 2013. – № 4. – С. 114-119. 2. Ковтун В. В. К вопросу о связи между напряжениями и деформациями в грунтах / В. В. Ковтун // Морские порты. – 1965. – № 1. – С. 69-74. 3. Вялов С. С. Реологические основы механики грунтов / Вялов С. С. – М. : Высшая школа, 1978. – 447 с. 4. Дорофєєв О. А. Математична модель взаємодії елементів машин з дискретним середовищем та методи її реалізації : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. тех. наук : спец. 01.05.02 "Математич- не моделювання та обчислювальні методи" / О. А. Дорофєєв. – Тернопіль, 2004. – 20 с. 5. Боткин А. И. Исследование напряженного состояния в сыпучих и связных грунтах / А. И. Боткин // Известия ВНИИГ. – 1939. – Т. 24. – С. 215-225. 6. Пат. 11675 Україна, МПК (2006) G 01 N 33/24. Спосіб визначення деформаційних параметрів пористих матеріалів за результатами лабораторних випробувань / заявники Ковтун В. В., Багрій О. В. ; власник Хмельн. нац. ун-т. – № u 2005 03929 ; заявл. 25.04.05 ; опубл. 16.01.06, Бюл. № 1. – 3 с. 7. Пат. 18390 Україна, МПК (2006) G 01 N 33/24. Пристрій для лабораторних випробувань пори- стих матеріалів / заявники Ковтун В. В., Багрій О. В. ; власник Хмельн. нац. ун-т. – № u 2006 03878 ; за- явл. 07.04.06 ; опубл. 15.11.06, Бюл. № 11. – 4 с. Надійшла в редакцію 31.10.2014 Аналіз впливу внутрішнього кулонового тертя на деформування композитних матеріалів Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 43 Bagriy O.V. Analysis of influence of internal Coulomb friction on the deformation of composite materials. In work investigated dependence of the values of the shear modulus and Poisson's ratio of the achieved level of the stress-strain state. This makes it possible to use the value obtained in solving planar physically nonlinear problems of the me- chanics of discrete materials on numerical methods. Keywords: the internal friction, approximation, shear modulus, Poisson ratio, module of volumetric deformation. References 1. Bagriy O. V. Vpliv vnutrishn'ogo kulonovogo tertya na deformuvannya kompozitnih materialiv z maloyu zv’yaznistyu. Problemi tribologii. 2013. N 4. S. 114–119. 2. Kovtun V. V. K voprosu o svyazi mejdu napryajeniyami i deformaciyami v gruntah. Morskie porty. 1965. N 1. S. 69–74. 3. Vyalov S. S. Reologicheskie osnovy mehaniki gruntov. – M. : Vysshaya shkola, 1978. 447 s. 4. Dorofeev O. A. Matematichna model' vzaemodii elementiv mashin z diskretnim seredovischem ta metodi ii realizacii : avtoref. dis. na zdobuttya nauk. stupenya kand. teh. nauk : spec. 01.05.02 "Matematichne modelyuvannya ta obchislyuval'ni metodi". Ternopil', 2004. 20 s. 5. Botkin A. I. Issledovanie napryajennogo sostoyaniya v sypuchih i svyaznyh gruntah. Izvestiya VNIIG. 1939. T. 24. S.215–225. 6. Pat. 11675 Ukraina, MPK (2006) G 01 N 33/24. Sposib viznachennya deformaciynih parametriv poristih materialiv za rezul'tatami laboratornih viprobuvan'. zayavniki Kovtun V. V., Bagriy O. V. ; vlasnik Hmel'n. nac. un-t. N u 2005 03929 ; zayavl. 25.04.05 ; opubl. 16.01.06, Byul. N 1. 3 s. 7. Pat. 18390 Ukraina, MPK (2006) G 01 N 33/24. Pristriy dlya laboratornih viprobuvan' poristih materialiv. zayavniki Kovtun V. V., Bagriy O. V. ; vlasnik Hmel'n. nac. un-t. N u 2006 03878; zayavl. 07.04.06; opubl. 15.11.06, Byul. N 11. – 4 s.