14_Shifrin.doc О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 96 Шифрин Б.М. Кировоградская летная академия Национального авиационного университета, г. Кировоград, Украина E-mail: b_shifrin@mail.ru О ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛЕЙ ТРЕНИЯ НА ПНЕВМОКОЛЕСЕ КЕЛДЫША-НЕЙМАРКА- ФУФАЕВА УДК 629.735.015:533.6.013.43 Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев предложили две упрощенные версии модели М. В. Келдыша для расчета компонет трения на пневмоколесе в условиях квазиадгезионного контакта шины с опорной поверхностью. После их опубликования группой С. Кларка были проведены эксперименты по замеру трения на пневмоколесе при его гармо- нических колебаниях. В статье теоретические результаты Келдыша-Неймарка-Фуфаева сопоставлены с эксперимен- тальными группы С. Кларка и сделан вывод о возможности использования упрощенных по Неймарку-Фуфаеву уравнений модели Келдыша. Ключевые слова: трение, пневмоколесо, колебание, М.В. Келдыш. Введение Математические модели, описывающие движение пневмоколесной машины (автомобиля, дви- жущегося по земле самолета, скутера и т.п.) и учитывающие большое число конструктивно- эксплуатационных факторов, зачастую оказываются трудноразрешимыми. Поэтому возникает задача разработки наиболее простых математических моделей трения на пневмоколесах, использование кото- рых снизит сложность общей модели движения машины. При малых углах увода зона скольжения пренебрежима или, говоря иначе, реализуется квазиад- гезионный контакт. Используя различные допущения и подходы, для квазиадгезионных контактов пред- ложен большой набор моделей трения на пневмоколесе [1, 2]. Одной из наиболее полных, последова- тельных и удачных моделей данного класса является модель М. В. Келдыша [1 – 4]. В [5] Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев рассмотрели два случая упрощения уравнений М. В. Келдыша: (а) случай движения с большой скоростью и (б) случай достаточно жестких пневматиков. В [4] на основе уравнений М. В. Келдыша [3] изучены поперечная сила трения и момент сил трения вокруг центральной вертикальной оси (или восстанавливающий момент) для буксируемого пнев- моколеса, тяга которого совершает вынужденные гармонические колебания. Кроме того, выделены пре- дельные варианты движений такого пневмоколеса, а именно: (i) поперечно поступательные колебания и (ii) колебания при верчении. Результаты моделирования были сопоставлены с экспериментальными [5] и найдено их хорошее согласие. В настоящей статье на основе упрощенных уравнений М. В. Келдыша [5] (уравнения Келдыша- Неймарка-Фуфаева или уравнения К-Н-Ф) получены общие решения задачи колебаний буксируемого пневмоколеса, а также частные решения для вариантов движения (i) и (ii). Частные решения сопоставле- ны с решением по исходным уравнениям [3, 4]. Результаты сопоставления показали, что уравнения К-Н-Ф для случая (а) имеют очень узкое при- менение – они могут служить лишь базой для изучения трения при сверхбольших скоростях буксировки. Напротив, уравнения К-Н-Ф для случая (б) вполне пригодны для изучения трения на реальных пневмо- колесах при определенных режимах их движения. Сведения об используемых в статье моделях и решениях 1. Модель буксируемого пневмоколеса М. В. Келдыша [3]. Рассмотрим буксируемое пневмоколе- со с выносом назад L (рис. 1). Рис. 1 – Буксируемое пневмоколесо mailto:b_shifrin@mail.ru О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 96 Считаем, что пневмоколесо закреплено так, что его диск всегда строго перпендикулярен опорной плос- кости, а тяга AC абсолютно жесткая и длина ее произвольна, ∞→<≤ *0 LL . На рисунке показаны лежащие в опорной плоскости неподвижные оси ggg YXO и пятно контакта шины с этой плоскостью, центр которого обозначен o . Из [3] можно получить такую систему уравнений, достаточных для решения прямой задачи ди- намики буксируемого пневмоколеса:      βχ−αξ=φ+χ φ+χ−=+ξ χ=ξ= )( ),( ,, 1 1 С СC MF V VW kMkF && & , (1) где −F поперечная сила трения; −M восстанавливающий момент; −MF kk , боковая и крутильная жесткости шины; −χξ, ее линейная и угловая деформации; −CC WV rr , векторы переносной и относительной скорости центра масс пневмоколеса; −1φ угол поворота тяги; −β,α кинематические коэффициенты; точками сверху обозначены производные по времени t . Величины β,α,, MF kk являются механическими константами шины и требуют эксперимента- льного определения. Вектор переносной скорости (или вектор скорости буксировки) CV r считаем постоянным, а ве- личина относительной скорости составляет: 1φ&LWC = . (2) Двумерный вектор { }MF , описывает трение на пневмоколесе и является предметом изучения данной статьи. При заданном законе «малых» поворотов тяги )(φ1 t уравнения (1), (2) позволяют найти функции времени )(χ),(ξ),(),( tttMtF . Решение такой задачи для случая tt Ωsinφ)(φ 01 = , (3) где −= const0φ амплитуда и −= constΩ частота вынужденных гармонических колебаний тяги, как было упомянуто во введении, представлено в [4]. Напомним, здесь углы 0φ настолько малы, что скольжение в пятне контакта можно не учитывать. 2. Упрощенная модель М. В. Келдыша для движения с большой скоростью (случай а)). Уравне- ния для нахождения F и M , полученные в [5] для достаточно больших скоростей буксировки, в при- нятых нами обозначениях имеют вид:    +−= +−= )φ(/ ),φ(βφ/ 1 11 wbM wVaF C& , (4) где MCF kconstbVkconsta ==== );α/( ; constVWw CC ≠= / . О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 97 3. Упрощенная модель М. В. Келдыша для достаточно жестких пневматиков (случай б)). Вме- сто (4) теперь будем иметь [5]: }ξβα=ξ= )/(, MF kMkF . (5) Для нахождения деформации ξ нужно использовать дифференциальное уравнение: )φ(ξ)β/α(ξ 1+−=+ wVV CC& . (6) Решения по упрощенным моделям М. В. Келдыша Положим (3) и с помощью уравнений (4) и (5), (6) найдем и верифицируем зависимости )(),( tMtF для вариантов движения (i) и (ii). К варианту (i) придем при ∞→L ; при этом пневмоколесо будет совершать поперечно посту- пательные колебания: tYYC Ωsin0= , где −= 00 φLY амплитуда поперечно поступательных колебаний. Вариант движения (ii) будет иметь место при 0=L , а пневмоколесо при этом – подвергаться колебани- ям верчения. Решения при произвольной длине L найдем в виде: })βΩsin(),βΩsin( ** MMFF tAMtAF +=+= , (7) где −** , MF AA амплитуды и −MF β,β фазы колебаний. Зависимости (7) описывают трение на пневмоколесе по истечению некоторого периода времени после начала действия возмущений. В итоге для случая а) найдем:        = += −= +−= − − )/Ω(β ,)/Ω(1φ ];)β)(1β(Ω[β ,)β(Ω)β1()α(φ 2 0 * 1 2221 0 * CM CMM CF CCFF VLarctg VLkA VLarctg VLVkA , (8) а для случая б) – )(ξ)β/α()(),(ξ)( tktMtktF MF == , )βΩsin()(ξ ξξ += tAt , (9) где        +=−= = += −++= 222 ξξ ξξξ 222 2222 0ξ )β/α(Ω],1)β/α([Ω ),/(β ;)β/α(Ωdet ,]Ω)β/α(Ω[)]β/α(Ω[det)/φ( CC C CCC VLsLVc scarctg V VVLVLA , очевидно, что ξξ * ββ, == FFF AkA и ξξ * ββ,)β/α( == MMM AkA . (10) О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 98 Амплитуды ** , MF AA и фазы MF β,β для вариантов движения (i) и (ii) можно найти, используя уравнения (8) – (10) и предельные переходы ∞→L (i) или 0=L (ii), либо, обращаясь к исходным уравнениям (1) – (6), и, требуя для варианта (i): tYYC Ωsin0= , 0φ1 == const , а для варианта (ii) – : 0== constYC , tΩsinφφ 01 = . Найденные выражения для амплитуд и фаз представим в табл. 1. Видоизменим выражения табл. 1. Наружный диаметр необжатой шины обозначим D и введем в рассмотрение ряд безразмерных величин: −== −− DYk A A Yk A A F Mij M F Fij F 0 * 0 * , безразмерные амплитуды для случая j ) и варианта i , −== −− 0 2 * 0 * φ , φ Dk A A Dk A A F Miij M F Fiij F безразмерные амплитуды для случая j ) и варианта ii , здесь и да- лее =j а, б. −= 2κ Dk k F M коэффициент крутильной жесткости; −= CVD /ΩΩ число С. Кларка [6]; −==⋅= 2321 α Ω Ω, β Ω Ω, α β ΩΩ DDD безразмерные частоты возмущений. Вместо табл. 1 построим табл. 2. Таблица 1 Амплитуда и фаза компонентов трения для различных случаев движения пневмоколеса и вариантов его нагружения Случай- вариант Амплитуда Фаза a-i Ω)α(β 0 1* YVkA CFF −= o90β −=F a-i CMM VYkA /Ω0 * = o90β −=M а-ii 22 0 1* )β(Ωφ)α( CCFF VVkA += − ) β Ω (β C F V arctg −= а-ii 0 * φMM kA = o180β −=M б-i 22* yxkA FF += , где 22 0 )β/α(Ω )β/α(Ω C C V VY x + −= , 22 2 0 )β/α(Ω Ω CV Y y + −= , ) Ω β/α (β CF V arctg= б-i 22* )β/α( yxkA MM += ) Ω β/α (β CM V arctg= б-ii 22* cskA FF += , где 22 2 0 )β/α(Ω )β/α(φ C C V V s + −= , 22 0 )β/α(Ω Ωφ C C V V c + −= ) α/βΩ (β C F V arctg −= б-ii 22* )β/α( cskA MM += ) α/βΩ (β C M V arctg −= О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 99 Таблица 2 Видоизмененные выражения таблицы 1 Случай- вариант Амплитуда Фаза a-i 1Ω= −ia FA o90β −=F a-i Ωκ=−iaMA o90β −=M а-ii 2 23 Ω1Ω −− +=iiaFA )Ω(β 2−= arctgF а-ii κ=−iiaMA o180β −=M б-i 2/12 11 )Ω1(Ω −− +=iбFA )Ω(β 1 1 −= arctgF б-i 2/12 1 )Ω1(Ωκ −− +=iбMA )Ω(β 1 1 −= arctgM б-ii 2/12 1 1 )Ω1(Ω −−−− +=iiбFA )Ω(β 1−= arctgF б-ii 2/12 1 1 1 )Ω1(Ωκ −−−− +=iiбMA )Ω(β 1−= arctgM Сопоставление исходных и упрощенных решений Для авиационного пневмоколеса (табл. 3) построим графики функций ),Ω(),Ω( iijF ij F AA −− )Ω(),Ω( iijM ij M AA −− и ),Ω(β),Ω(β iijF ij F −− ),Ω(β ijM − )Ω(β iijM − , которые сопоставим с исходным (не упрощенным!) решением ),Ω(),Ω( iiF i F AA )Ω(),Ω( ii M i M AA и ),Ω(β),Ω(β ii F i F )Ω(β),Ω(β ii M i M , по- лученным в [4] (рис. 2). Исходное решение показано сплошными линиями, решение для случаев упроще- ния а) и б) – пунктирными линиямии. Таблица 3 Данные изучаемого пневмоколеса, [3, 4] Тип колеса мD, 2,α −м 1,β −м κ 400 х 150 0,4 120 30 0,052 а) б) Рис. 2 – Приведенные амплидуды и фазы: а – для варианта движения i (поперечно поступательные колебания); б – для варианта движения ii (колебания при верчении). О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 100 Заключение и выводы С помощью теоретического теста сопоставлены исходная версия модели трения на пневмоколесе М. В. Келдыша и упрощенные версии упомянутой модели, которые построены Ю. И. Неймарком и Н. А. Фуфаевым для (а) случая движения с «большой» скоростью и (б) случая достаточно жестких пневмати- ков. Адекватность исходной модели для условий теста проверена ранее в [4]. Сопоставление показало, что модель Келдыша-Неймарка-Фуфаева для случая жестких пневма- тиков дает хорошие результаты (рис. 2): - в части «поперечная сила + восстанавливающий момент», если числа С. Кларка невелики, что реализуется при достаточно высоких скоростях движения; - в части поперечная сила во всем рассмотренном (рис. 2) диапазоне изменения чисел С. Кларка. Упрощенную для случая (б) версию модели М. В. Келдыша можно рекомендовать к применению при моделировании движений пневмоколесных машин. Однако при этом придется контролировать либо числа С. Кларка, либо положение мгновенного центра скоростей оси пневмоколеса. При малых числах С. Кларка и/или значительных удалениях мгновенного центра скоростей применение упрощенной модели оправдано. Литература 1. Pacejka, H.B. Tyre and vehicle dynamics / H. B. Pacejka. – Butterworth-Heinemann, 2006. – 642 p. 2. Саркисов, П.И. Обзор моделей нестационарного качения колеса с упругой шиной по недеформируемому опорному основанию / П. И. Саркисов, С.Д. Попов // Инженерный журнал: наука и инновации. – 2013. – Вып. 12. – 18 с. URL: tp://engjournal.ru/ catalog/machin/transport/1129.html. 3. Келдыш, М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси / М.В. Келдыш // Труды ЦАГИ, 1945. – №564. – 37 с. 4. Шифрин, Б.М. О модели шины М.В. Келдыша / Б.М. Шифрин // Восточно-европейский журнал передовых технологий. – 2009. – №5/6(41). – С.34 – 37. 5. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. – М.: Наука, 1967. – 520 с. 6. Clark, S. Dynamic properties of aircraft tires /S. Clark, R. Dodge, G. Nybakken// J. aircraft. – 1974. – Vol. 11, №3. – P. 166 – 172. Надійшла в редакцію 28.11.2014 О применимости моделей трения на пневмоколесе Келдыша-Неймарка-Фуфаева Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 101 Shifrin В. Friction on air wheels: an applicability of Keldysh-Neymark-Fufaev models. Y.I. Neymark and N.A. Fufaev have suggested two simplified versions of M.V. Keldysh model for the lateral friction and self-aligning torque calculation provided there is quasi-adhesive tire contact with the support- ing surface. Version (a) is designed for “higher” speed motion and version (b) – for “rigid” air wheels. After the equation have been published by S. Clark group the experiments on the component friction measuring were car- ried out at air wheels harmonic oscillations. In the given article version (a) and (b) theoretical results were compared with S. Clark group experiments. It demonstrated that at “small” S. Clark numbers Keldysh-Neymark-Fufaev equations (b) version gives good re- sults in the part of “lateral force + stabilizing moment” and in the part of “lateral force” – there is S. Clark num- ber changes in the whole range, considered in the present article. Simplified Neymark – Fufaev version (b) can be recommended for use for modelling motion of vehicle systems. For all this either S. Clark numbers or the wheel axle instantaneous speed centre positions have to be controlled. However, the application may appear to be profitable as the motion ranges coverage at which Keldysh-Neymark-Fufaev equations are applicable is sufficiently wide, and the mathematical model simplifica- tion is substantial. Key words: friction, air wheels, oscillation, M. V. Keldysh. References 1. Pacejka, H.B. Tyre and vehicle dynamics / H. B. Pacejka. – Butterworth-Heinemann, 2006. – 642 p. 2. Sarkisov, P.I. Obzor modelej nestacionarnogo kacheniya kolesa s uprugoj shinoj po nedefor- miruemomu opornomu osnovaniyu / P. I. Sarkisov, S.D. Popov // Inzhenernyj zhurnal: nauka i innovacii. – 2013. – vyp. 12. – 18 p. url: tp://engjournal.ru/ catalog/machin/transport/1129.html. 3. Keldysh, M.V. Shimmi perednego kolesa trexkolesnogo shassi / M.V. Keldysh // Trudy CAGI, 1945. – №564. – 37 p. 4. Shifrin, B.M. O modeli shiny M.V. Keldysha / B.M. Shifrin // Vostochno-evropejskij zhurnal peredovyx texnologij. – 2009. – №5/6(41). – P. 34 – 37. 5. Nejmark, Yu. I. Dinamika negolonomnyx sistem / Yu.I. Nejmark, N.A. Fufaev. – M.: Nauka, 1967. – 520 p.