17_Kuzmenko_1.doc Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 112 Кузьменко А.Г. Хмельницький нацыональний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: kuzmenko-36@mail.ru ТРЕХФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ МАСШТАБНОГО ФАКТОРА (МФ) В ИЗНОСЕ. ЧАСТЬ 1 – ТЕОРИЯ УДК 621.891 Предложен метод построения трех факторных аналитических моделей трибологических процес- сов. В большинстве случаев установлено, что при прочих (давление, путь трения) условиях – влияния площади контакта линейное или пропорциональное. Ключевые слова: методы, испытания, износ, модели, масштабный фактор. Введение В 50-е года ХХ века интенсивно развивалась и применялась математическая теория планирова- ния многофакторных экспериментов (МПЭ). Основы этой теории были заложены английским статистиком Р. Фишером еще в 1935 г. Числен- ная процедура планирования экспериментов по этой теории основана на построении линейных или квад- ратичных моделях процессов. На сложность и недостаточную надежность и понимание МПЭ указывалось в разных работах Налимова в частности в [6]. В данной работе указано, что в случае 3-хфакторного эксперимента возможно эффективное пла- нирование и определение параметров моделей простыми аналитическими методами. Применение этих методов показано на примере построения модели влияния размеров площадки контакта на износ поверхностей трения. Давно (1955) [4] замечено, что при прочих равных условиях на износ влияют размеры контакти- рующих поверхностей. В 1982 г. нами предложена [5] и далее развивалась [3] статистическая модель влияния масштабного фактора на износ. Среди методов испытаний на износ с определением параметров моделей изнашивания эффек- тивными показали себя методы испытаний с переменной площадкой контакта (МППК) [1,2]. В этих методах площадь контакта от начала и до завершения испытаний может изменятся в ши- роком диапазоне (в десятки раз). В связи с этим влияние масштабного фактора на результаты испытаний на износ может быть существенным и требует учета. В связи с этим ставится две задачи: первая – предложить и реализовать модель и методику уче- та масштабного фактора в испытаниях на износ при переменной площадке контакта, с определением па- раметров этой модели; вторая задача – установить связь параметров первой модели со статистическими характеристиками неоднородной поверхностей трения. В дальнейшем метод обобщается еще на другие трех факторные модели. Во второй модели учи- тывается зависимость износа от пути трения S , давления σ и скорости скольжения V , в третей модели тремя факторами являются: путь трения S , давления σ и температура трения CT o . В дальнейшем аналогичным образом могут быть построены трех факторные модели для процес- сов с учетом других трех факторов как в процессах например трения, смазывания, контактирование и других трибологических и других механических процессов. 1. Модель и теория эксперимента 1.1. Смысловая постановка задачи 1) рассматривается контактное взаимодействие шара по плоскости с учетом износа шара; 2) при скольжении шара по плоскости на пути трения S шар изнашивается на величину wU с образованием круглой площадки контакта размером диаметра ровно a2 ; полагаем, что в начальной мо- мент t , площадка контакта мала, )( 1Sa а в конце испытаний kS площадка существенно увеличивается: )( kSa >> )( 1Sa ; (1.1) 3) известно, что интенсивность износа зависит от размера (площади) площадки контакта. 1.2. Модель износа с учетом масштабного фактора 1) в традиционной модели: ;σmw w K dS dU = (1.2) влияние размера площадки не учитывается; mailto:kuzmenko-36@mail.ru Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 113 Рис. 1 – Схема контакта 2) здесь для учета этого влияния будем использовать модель изнашивания вида: ;σ 2nmw w aK dS dU = (1.3) 3) для практического использования модели (1.3) необходимо определить три параметра nmK w ,, ; в работе ставится задача разработки и реализации методики определения этих параметров из эксперимента. 1.3. Математическая постановка прямой задачи 1) в соответствии с схемой рис.1 из геометрических соотношений следует: ; 2 2 R a U w = (1.4) 2) из условия равновесия в контакте при круглой площадке и равномерном распределении дав- лений, имеем: ; π σ 2a Q = (1.5) 3) таким образом ставится задача при использовании соотношений (1.3), (1.4), (1.5) и результа- тов испытаний на износ определить три параметра nmK w ,, модели износа с учетом масштабного фак- тора, имеем систему уравнений: ;σ 2 nmw w aK dS dU = (а) ; 2 2 R a U n w = (в) (1.6) . π σ 2a Q = (с) 1.4. Решение прямой задачи 1.4.1. Смысловая постановка задачи: 1) математическая постановка задачи формируется с помощью уравнений (1.6) при условии, что параметры модели (1.1) nmK w ,, – заданы; 2) требуется определить значение размеров площадки контакта ),(Sa удовлетворяющие систе- ме уравнений (1.6); т.е. получить зависимость для определения )(Sa с учетом всех влияющих факторов: ),,,,,,( wKnmRQSa или дано (1.6) получить формулу типа : ),,,,,( wKnmRQSa . 1.4.2. Вывод дифференциального уравнения процесса изнашивания: 1) дифференцируя по S выражение (в) в (1.6) получаем: ; dS da R a dS dU w = (1.7) 2) подставляя (1.7) и (с) из (1.6) в (а) из (1.6), получаем: Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 114 ; π 2 2 n m w aa Q K dS da R a n      = (1.8) 3) преобразовывая (1.8), имеем: ( ) ( ) ;π212 dSQRKdaa mwnm n=−+ (1.9) это дифференциальное уравнение будем решать при условии, что в начале процесса площадка контакта равна нулю т.е.: .0)0( ==Sa (1.10) 1.4.3. Решение уравнения (1.9) с учетом (1.10) 1) интегрируя (1.11), имеем: ( ) ;π 222 222 CSQRK nm a m w nm n += −+ −+ (1.11) с учетом (1.12) имеем 0=C , тогда решение имеет вид: ( ) ( ) .π222222 SQRKnma mwnm n−+= −+ (1.12) 1.5. Постановка и решение обратной задачи 1.5.1 Постановка задачи 1) математическая постановка задачи соответствует системе уравнений (1.6), которую необхо- димо решить относительно параметров nmK w ,, при использовании экспериментальных данных в фор- ме ).(Sa 1.5.2. Схема эксперимента 1) будем полагать, что испытания выполнены по схеме рис.2; Рис. 2 – Схема представления результатов с испытаний 2) испытания выполняются при двух нагрузках 21 ,QQ на испытываемую пару шар-плоскость; 3) по результатам испытаний сроится график двух функции );,();,( 2211 QSaQSa 4) функции )(),( 21 SaSa аппроксимируются степенными функциями: ;; 21 β21 β 11 SCaSCa == (1.13) 5) параметры 2211 β,,β, CC аппроксимируемых функции могут быть определены численно ме- тодом наименьших квадратов или приближенно по двум точкам: ; β )( ; β )( ; lg lg β; lg lg β 21 12 2 11 11 1 21 2221 2 21 1211 1 S Sa C S Sa C SS aa SS aa == == (1.14) 1.5.3. Порядок решения обратной задачи: 1) обратную задачу будем решать при использовании решения прямой задачи, полученное в форме (1.14); 2) для определения трех параметров nmK w ,, с учетом (1.14) необходимо иметь три уравнения; 3) с этой целью запишем (1.14) для трех точек функции )(Sa по рис.2 с координатами: );,,();,,();,,( 212112121111 QSaQSaQSa Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 115 4) подставляя координаты этих точек в решении прямой задачи (1.14), получаем три уравнения обратной задачи: ( ) ( ) ;π222 1122211 SQRKnma m w nm n −+=−+ ( ) ( ) ;π222 2122212 SQRKnma m w nm n −+=−+ (1.15) ( ) ( ) ;π222 2222222 SQRKnma m w nm n −+=−+ 1.5.4. Решение системы уравнений (1.15) обратной задачи: 1) разделив первое уравнение на второе, получаем: ; 2 1 222 12 11 mnm S S a a       =      −+ (1.16) 2) разделив второе уравнение на третье, имеем: ; 2 1 222 22 12 mnm Q Q a a       =      −+ (1.17) 3) в результате имеем два уравнения (1.16), (1.17) с двумя неизвестными nm, ; 4) логарифмируя уравнения (1.16), (1.17), имеем: ( ) ( ) );lg()lg(222 );lg()lg(222 212212 211211 QQmaanm SSaanm =−+ =−+ (1.18) 5) решая систему (1.18), получаем: ; )lg( )lg(1 )lg( )lg( 21 21 2212 1211 QQ SS maa aa = отсюда: ; )lg( )lg( )lg( )lg( 21 21 1211 2212 QQ SS aa aa m = (1.19) и с учетом (1.14): ; )lg( )lg( β 1211 2212 1 aa aa m = (1.20) 6) параметр n определяем из уравнения (1.16) с учетом (1.20): ( ) ;β222 1=−+ nm ( );β22 2 1 1−+= mn (1.21) (1.20)→(1.21) ⇒ ;β2 )lg( )lg( β2 2 1 1 21 2212 1       −+= QQ aa n (1.22) 1.6. Определение параметра wK 1) Из первого уравнения системы (1.15) при известных значениях параметров m и n находим: ( ) ( ) ; π222 11 222 11 SQRnm a K m nm wn −+ = −+ (1.23) 1.6.1. Оценка влияния размера площадки контакта a на износ 1) Сравнение интенсивности изнашивания выполним по модели (1.3) при одинаковых давлениях σ , и пути трения ;S 2) для двух размеров площадки :, III aa ( ) ( ) ;σ ;σ 2 2 n II m w w IIw n I m w w Iw aK dS dU I aK dS dU I n n == == (1.24) 3) разделив первое на второе получаем: Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 116 ( ) ( ) ; 2n II I IIw Iw a a I I       = (1.25) 1.7. Случай когда 0=n , отсутствие влияния масштаба 1) модель: ;σmw w K dS dU = (1.2) 2) получая 0=n из (1.12), имеем: ( ) ( ) ;π2222 SQRKma mwm n+= + (1.26) 3) выбирая две точки ),(),,( 212111 SaSa , имеем систему: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;π22 ;π22 21 β22 2 22 11 β22 1 22 SQRKmSC SQRKmSC m w mm m w mm += += ++ ++ (1.27) 4) решения системы: ; 2 1 β)22( 2 1 S S S S m =      + (1.28) отсюда: ;1β)22( =+m ; β2 β21 − =m (1.29) (1.27)→(1.24) ⇒ ( ) . π 22 SQR C K m m wn + = (1.30) Выводы 1. Предложен метод построения трехфакторных аналитических моделей трибологических про- цессов. 2. Построение трехфакторных трехпараметрических моделей влияния масштабного фактора в износе пар трения. 3.Разработана и реализована процедура определения параметров модели масштабного фактора в износе. 4. Определены параметры модели масштабного фактора в износе для 4-х пар трения. 5. В большинстве случаев установлено, что при прочих равных условиях (давление, путь тре- ния)– влияние площади контакта линейное или пропорциональное. Литература 1. Кузьменко А.Г. Теоретическая и експерементальная трибология том 6. Прикладная теорія ме- тодов испитаний на износ, -Хмельницький: ХНУ . -2007. -5 .79с. 2. Кузьменко А.Г. Методи испытаний на износ при переменной площадке контакта с определе- нием параметров модели изнашивания // Проблемы трибологии .- 2014. – w1. – с123 – 148. 3. Кузьменко А.Г. Влияния статистической неоднородности, размеров и кинематических усло- вий на износ поверхностей трения // Трение на износ. – 1985. – т6. – w3.- с 432 – 441. 4. Гаркунов Д.Н. Влияния отношения поверхности трения на износ // Доклады АН СССР. – 1955. – т104. – w2. с.125 5. Кузьменко А.Г. Статистическое уравнения подобия и масштабний фактор в износе // Деконе- зовано в ВИНИТИ – 1659 – 88. – Брянск: - БИМ – 1982. 6. Налимов В.В. Голинова Т.Н. Логические основание планирование експеремента М.: Метал- лургия, 1981. – 152с. Надійшла в редакцію 04.12.2014 Трехфакторная модель масштабного фактора в износе Часть I -Теория Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 4 117 Kuzmenko A.G. Three-factor model of the scale factor (SF) in the wear. Part 1 A method of constructing three factor analytic models tribology processes. In most cases, found that when other (pressure, friction path) conditions - the influence of the contact area of the linear or proportional. Keywords: methods, testing, wear, model, scale factor. References 1. Kuzmenko A.G. Teoreticheskaya i eksperementalnaya tribologiya tom 6. Prikladnaya teoriya meto- dov isptaniy na iznos, -Hmelnitskiy: HNU . -2007. -5 .79s. 2. Kuzmenko A.G. Metodi ispyitaniy na iznos pri peremennoy ploschadke kontakta s opredeleniem pa- rametrov modeli iznashivaniya // Problemyi tribologii .- 2014. – w1. – s123 – 148. 3. Kuzmenko A.G. Vliyaniya statisticheskoy neodnorodnosti, razmerov i kinematicheskih usloviy na iznos poverhnostey treniya // Trenie na iznos. – 1985. – t6. – w3.- s 432 – 441. 4. Garkunov D.N. Vliyaniya otnosheniya poverhnosti treniya na iznos // Dokladyi AN SSSR. – 1955. – t104. – w2. s.125 5. Kuzmenko A.G. Statisticheskoe uravneniya podobiya i masshtabniy faktor v iznose // Dekonezovano v VINITI – 1659 – 88. – Bryansk: - BIM – 1982. 6. Nalimov V.V. Golinova T.N. Logicheskie osnovanie planirovanie eksperementa M.: Metal-lurgiya, 1981. – 152s.