Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 46 Максимчук Д.М. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-m ail: maximchukd@ukr.net ЛІНЕАРИЗОВАНА ЗАДАЧА ПРО ТИСК ДВОХ СПІВВІСНИХ ПОПЕРЕДНЬО НАПРУЖЕНИХ ЦИЛІНДРІВ НА ПРУЖНІЙ ШАР З ПОЧАТКОВИМИ (ЗАЛИШКОВИМИ) НАПРУЖЕННЯМИ УДК 539.3 У р амках л інеар изованої теор ії пр у жності р озгляну то осесиметр ичну задачу пр о тиск дво х співвісних цил і- ндр ичних штампів з початковими напр у женнями, що тисну ть на шар з початковими напр у женнями. До слідження пр едставлені у загальному вигляді для теор ії великих початкових дефор мацій та двох вар іантів теор ії малих поч ат- кових дефор мацій пр и довільній стр у ктур і пру жного потенціалу . Клю чові слова: лінеаризована теорія пружності, початкові (зали шкові) напруження , перетворення Хенке ля, ін те гральн і р івняння Фре дго льма, метод послідовни х набли жень. Вступ У сучасних умовах стрімкого розвитку науки і те хніки дослідження впливу початкових напружень на контактні характеристики пружних тіл, що взаємодіють, є актуальною проблемою як для фундаментальних розробок з механіки деформівного твердого тіла, так і для практичного використання у різних галузя х проми- слового комплексу. Особливо це стосується розрахунку важ ки х фундамен тни х пли т і будівельн и х пере- криттів, що зна хо дя ться в полі дії гравітац ійни х си л тощо. Тому є досить актуальн им проведення нови х теоретичних досліджень вп ливу початкови х (залишкови х) напружень на контактну взаємодію пружни х тіл. Не зважаючи на існуючі дося гнення в теорії конта ктної взаємодії пружни х тіл, все ще залиша - ються не доста тньо розроблені ряд проблем. Серед н и х – кон тактна осе симетрична взаємодія пружни х тіл з початковими напруженнями, а саме: тиску дво х попередньо напружени х співвісни х ш тампів на шар з початковими (за лиш ковими) напруженнями. Оскіль ки о дин із аспектів сучасної проблеми передавання навантажен ня пов’язаний із якісно новим підхо дом – вра хуванням за лишкови х напружень у тіла х на за- кон розподілу тис ку в місц я х їх до тику, то розра хунок важ ливи х е лементів конструкц ій та їх с творення дозволи ть ефективн іше вра ховува ти м іцн ість матеріа лів шля хом правильного оцінювання запас ів міц- ності та доста тньо знижува ти їх матер іаломіс ткіс ть, зберігаючи у цілому потрібн і функц іона льні харак- теристи ки. На сьогодн і для проблем, які віднося ться до кон тактни х за дач пружни х тіл, у рамка х класични х постановок отримано результати досліджень, що о хоплюю ть широке коло питан ь. Вони доста тньо відоб- ражені у численни х пуб лікація х періодични х ви дань. Де та льний о гля д задач конта ктної взаємодії пруж- ни х тіл з початковими напруженнями пре дста влен ий у робота х [1 - 4]. Дослідження пита ння конта ктної взаємодії кінечного цилін дричного штампу на півпрос тір з початковими (залишковими) на пруженнями розгляну то у роботі [5]. Задачі про тиск без тертя жорсткого кругового ш тампу на шар з початковими напруженнями присвячена робота [6], у якій лінеаризована осесиметрична задача розв’язана в зага льно- му вигляді. У ста тті [7] розгляну то просторову задачу про тиск пружного штампу довільного поперечно- го перетину на пружний п івпростір без ура хуванн я сил тер тя, а в робота х [8 - 9] предс тавлено розв’язки осесиметричної задачі про тиск попере дньо напруженого ци ліндра с кінченно ї довжин и на пружний шар з початковими напруженнями при довільній с труктурі пружного потенціалу для стисли ви х і нестис ливи х тіл. Мета і пос тановка задачі Метою дано ї роботи є розв’язок осесиметричної с та тичної за дач і про конта ктну взаємодію дво х співвісни х пружни х ци лін дрични х штамп ів з початковими напруженнями на пружний шар з початков и- ми напруженнями. Розгляну то випа док ко ли шар деформується під дією тиску дво х сп іввісни х кругови х штампів кінце вої довж ини та р ізни х ра діус ів і висоти без вра ху вання си л тер тя п іс ля ви никнен ня у ни х початкового деформованого стану. Дослідження ви конано у загаль ному вигля ді для с тисли ви х і нес тис- ливи х тіл для теорії вели ки х початкови х деформацій та дво х варіан тів теорії мали х початкови х дефор- мацій при довільн ій с труктурі пружного по тенц іалу. Постановка задач і: Не хай пружний необмежений шар з початковими напруженнями дефор- мується під дією тис ку дво х співвісни х попередньо напружени х ци лін дрични х ш тампів р ізно ї висоти і радіусів. Товщ ина шару в початковому деформованому стані пов’язана з товщи ною у недеформованому стан і відношен ням 1 3 2h h  . Зовнішнє наван тажен ня Р викли кає переміщення віль ни х торців в на- прямку осі симетрії 3Оу . Бокові повер хн і ш тампів, а також повер хні шару за межею контакту вільні від зовнішн іх зуси ль. В облас ті кон такту тіл до тичними зуси ллями не хтуємо. Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 47 Вважаємо, що початкові с тани у шарі та ш тампа х однорідні та рівн і, а пружні по тенц іали – двіч і неперервно-диференційовн і функц ії а лгебраїчни х інвар іан тів тензора деформацій Гріна [4]. Крім того, дія ш тампів ви кликає в шарі мале збурення основного напруженого с тану, для я кого ви конуються умови 11 22 33 0 0 0 1 2 30; 0; .S S S     321  . Усі ве личини , які відносяться до вер хнього та нижнього пружни х ш тампів, будемо записувати з вер хнім ін дексом (1) та (2), відповідно, а для пружного шару – без ін дексу. Виклад мате рі алів д осліджень Дослідження проводимо у координата х початкового деформованого стану iОy , які пов’язан і з лагранжевими координа тами співвідношен нями ( 1, 3)i i iy x i   . Вра ховуючи дану постановку за дачі, а також припускаючи, що пружні ш тампи ви готовлені із різни х ізотропни х, трансверсально-ізо тропни х ма теріалів, а переміщення торц ів ш тампів за дано ве личи- нами  і  – для визначення скла дови х вектора переміщення і тензора напруження у пружни х ш там- па х і шар і, маємо наступні граничн і умови: 1) на торця х пружни х штамп ів з початковими напруженнями:  )1( zu ; ;0 )1( rz ],0[)( 1Rr  , 3 1y h H  , (1) ( 2) zu   ; ;0 )2( rz ],0[)( 2Rr  , 23 Hhy  ; (2) 2) на боковій повер хн і пружни х ш тампів : 0)1(  z ; ;0 )1( rz ],0[)( 13 Hy  , 1Rr  , (3) 0)2(  z ; ;0 )2( rz ],0[)( 23 Hy  , 2Rr  ; (4) 3) на межі пружного шару в облас ті кон такту: (1) 3 zu u ; ; ~ )1( 33 zQ  0 ~ )1( 3  rzr tQ , ],0[)( 1Rr  , 13 hy  , (5) (2 ) 3 zu u ; ; ~ )2( 33 zQ  0 ~ )2( 3  rzr tQ , ],0[)( 2Rr  , 23 hy  ; (6) 4) на межі пружного шару поза областю кон такту: 0 ~~ 333  rQQ , ],[)(  rr , hy 3 . (7) Умови рівнова ги приво дя ть до сп іввідношення : 1 2 3 1 3 2 33 33 0 0 (0, ) (0, ) . R R y h y h Q d Q d           А рівнодіюча зовн ішн іх си л визначаються рівніс тю : 1 2 3 1 3 2 33 33 0 0 2 (0, ) 2 (0, ) . R R y h y h P Q d Q d                Крім того, у випа дку осесиметричної задач і ви користовуємо цилін дричні координа ти ),,( izr  ( 1, 2)i  , де 0,5 3i iz y n  . Загальний розв’язо к ( ) ( ) ( )11 1 1 2 і і іv z       поставлено ї задачі для випадку рівни х коренів 1 2n n будемо шукати у вигля ді  ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 21 1 1 2 0 2 2 1(1 ) ( 1) (1 ) 2 (3 ) (3 2 )і i i i iv z z m m E H r z                  ( ) ( ) 1 ( ) ( )0 2 1 3 11 1 ( ) ( ) ( )i i i ik k k k k k R J r S z z S z              ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 1 (1 ( )) (2 ) 1 ( ) ( ) ( ) i i i i k k k k ki i k k s I v R R b H z I v r S z v v R I v R                     . (8) Для визначення напружено-деформівного стану у пружних ци лін дра х ви користовуємо лінеари- зовані рівняння [4] з яки х вип ли вають вирази для компонент вектора переміщення і те нзора напруження для с тисливи х і нес тис ливи х тіл. Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 48   ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 ( )3 2 1 2 1 1 1 1 1 0( 1) 1 2 ( ) 2 4i i i i iu m v E H r z m z v z                ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 1 2 0 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 1 1 (1 ( )) 0,5 ( ) 1 sin( ) ( ) i i i i i k k k k k ki i k k k s I v R R b I v r H v z m v z v R I v R                                 ( ) ( ) ( ) ( )02 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 5 1 1 ( )(1 ) cos( ) ( 1) i i i ik k k k k k k J rm v z m S z z v S z m v S z n                      ,       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 3 44 1 2 0 1 1 1 1 2 2 18 ( ) 1 1 i i i i i iC E v H R m l v z m l z                 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 0 1 2 1 0 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 (1 ( ) 0,5 ( ) 1 1 ) ( ) i i i i i k k k k k k i i k k k s I v R R b n I v r m l H v R I v R                           1 1 1 1 2 2 1 1cos( ) 1 sin( )k kv z v z m l v z                    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 1 4 1 1 1 5 1 2 2 3 1 1 ( ) 1 1i i i i i ik k k k k k l J r m S z v z S z m l S z v                    . (9)     ( ) ( ) 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 44 0 1 2 1 1 1( ) ( ) 12 4 1 ( ) 1 1 2 i i i i i i i r k k k k ki i k E r m RC v b I v r m H H                            ( ) 0 0 1 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) 1 1 1 (1 ( )) sin( ) 1 cos( ) ( ) i k k ki i k k s I v R v z v z m v z v R I v R                          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 3 1 2 5 1 1 ( ) 1 1 i i i i i ik k k k k kJ r m S z v z S z m S zv                  , де 1, 2;i= ,  ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( )2 1 1 1 28 (1 ) 4 (1 )i i i i i iE m H n H v m R H        , 20 1 1 1 m s m    ; 1 1111 1 3113 1133 1313 1 1 1 1 1 3 3 (ω ω )(ω ω ) ; λ (λ ) ; n m q n q            1 1133 1313 1133 1313 2 (ω ω )( ) , 1, m            1313 44 1313 , ' . C     1 1 1313 1331 1313 1331 1133 1313 1111 1 1133 1 1 1 1313 1331 3 3 1313 1331 3 3 1 1 1 ( ( )( )( ) ); ' ( ' ( ' ' )( ) ); n l q q q n                                 1 3333 1 2 1133 1 1 1313 2 2 1 1 1 1 1 3333 1 1 1 3 3 1111 1133 1313 1 1 1 3 3 3113 1 1313 ( ( 1) )( (1 )) , ( ' ( ' 2 ' ' ) 3 ' )(2 ' ) , m m n n m l m q q n q q n                                 0 0 0 0 0 0 11 22 33 11 22 33( , , ), ( , , )im im im imS S S S S S             скла дові тензора модулів пружності четвертого поря дку, i – коефіцієн ти ви довження вздовж координа тни х осей iy ; ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 2 1 0 1 1( ) ( ) ( ), i i i k i i k k k kS z R s ch z R E sh z R         ( ) ( ) ( , ) ( ) 3 2 1 1( ) ( ) ( ), i i k i i k k kS z sh z R M ch z R        ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 4 1 0 1 1( ) ( ) ( ), i i i k i i k k k k kS z R s sh z R E ch z R         Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 49 ( ) ( ) ( , ) ( ) 5 2 1 1( ) ( ) ( ), i i k i i k k kS z ch z R M sh z R        ( , ) ( , ) ( ) 2, , k i k i i kE M b  величини, які виражаються із гранични х умов (1) - (7). Напружено-деформівний с тан у пружному шарі з початковими (зали шковими) напруженнями для рівни х корен ів 1 2n n визначимо з [4] через гармонійні функц ії у ви гляді ін тегралів Ханке ля. За до- вольнивши граничні умови (1) і (2), п ісля ряду перетворень при 13 1( 1) iy h  ( 1, 2)i  матимемо: ( ) 3 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i Q Q u J d K h J d                      . 33 1 0 0 ( ) ( )Q Q J d        , (10) де 1 44 1 1(1 )C l m   , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 0 1/ , 2 , ( ) i i i i i ih h R h v m s s v         . У сп іввідношення х (10) вве дено позначення : 3 3( ) 1 2( ) (1 ( )) . iQ B R K       1 ( ) 1 0 1( ) ( 1)( ) , , 2 . t iK t t e t sht s s t h v             Ви користовуючи розв’язки для ци ліндра (9) й задово льняючи граничн і умови (1) - (7), знай демо власн і значення за дачі для випа дку рівни х корен ів 1 2n n : ( )2 ,ik kH    ( ) ( ) ( ) i i k k iR    , де ( )1 ( ) 0 i kJ   ( 0,1, 2,...)k  . (11) Вра ховуючи граничн і умови, с талі  ik визначимо із сис теми парни х інте гральни х р івня нь: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( 1), ( ) ( ) 0, ( 1) Q J d f Q J d                   (12) 1 ( 2 ( 1 ( ( 2 0 2 2 0 3 0 1 ( ) 1 2( 1) ( )і) і) і) і)k k k f m R J                       2( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 0 1 1 1 0 0, 5( 1) ( ) ( ) ( ) ( )і) i i i ik k k k m R b I v R Q K h J d                     , де 13 1 2 1 0 1( ( 1) )v m m s n     . Та зве демо (12) до ін тегра льни х рівнянь типу Фре дгольма другого роду відносно функц ії  Q~ : ( ) 1 0 2 0 ( ) ( ) ( , )2 2 ( ) ( ) , iQ u K uh u Q p du u                (13)  ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( )0 0 2 2 0 1 3 0 1 ( ) 1 ( , 0) 2( 1) ( , 0) ( , )i i i ik k k p m R                           2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 1 0, 5( 1) ( , )i i i ik k k k m R b i v R             , де 1 0 ( , ) cos cosnn x y t xt ytdt   . Пропускаючи дея кі ви кла дки, матимемо 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 ( ) ( ) 8 ( ) , ( ) .i i i i i i ik k kQ J d E l R N R                    (14) Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 50 Сис тему (13) будемо шукати мето дом послідовни х наб лижень . При (1) ( 2)R R R  , то ді дана задача сп івпа дає із за дачею про тис к пружного цилін дричного ш тампу радіуса R на пружний шар з по- чатковими напруженнями [8 - 9]. Нульовим наближенням для  Q~ буде: 1 ( 0) 1 2( ) 2( ) ( ),Q p        . Наступн і наб лиження ви значимо за формулою: 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( , )k k iQ u Q K uh u du              . Розв’я зок (13) запишемо у ви гля ді: ( ) 0 ( ) ( ), ( 1, 2)kі і k Q Q i=       . (15) Аналогічно [8 - 9], для визначення с та ли х  ik ( ) ( 0,1, 2,.., =1, 2)k i отримаємо нескінченні ква- зірегулярні сис теми а лгебраїчни х рівнянь : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0,1, 2,.., 1, 2)i i i i ik k kn n k n k i=           . (16) При обчисленні функції (15) й коефіц ієн тів (16) б іль шіс ть ін тегра лів у кінцевому вигля ді не об- числюються . Тому, починаючи із другого наближення, п ідінте гральн і функції розкла даю ться у ряди по степеня х (i)h , що дозволяє обчислити коефіц ієн ти сис тем (16) наб лижено. Ви користовуючи умову рівноваги, вс тановимо зв’язок між осадом торців ш тампів та рівно дію - чою навантаження ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 08 ( ) ( 1 2). і і і і іP E l R , і= ,      Визначи вши невідомі ста лі  ik ( ) ( 0,1, 2,.., =1, 2)k i  із систем (16), можна обчислити напруже- но-деформівний с тан я к у пружни х ш тампа х, так і в шарі за формулами (9) - (10). У результа ті цього розв’язок предс тавлений у вигля ді ря дів через нескінченну систему констант, що визначаються із сис тем регулярни х лінійни х алгебраїчни х рівнянь. Сис тема (16) була розв’язана мето дом редукції для по тенц іалу Бартенєва -Хаза новича при таки х значення х параметрів: 1 132; 10; 0, 7; 0,8; 1; 1,1; 1,0, 2.5; k n l v v       На рис. 1 пре дс тав- лений розподіл кон тактни х напружень п ід ш тампами ( ) 2 ( ) ( )3 і і іR P   , а на рис. 2 – переміщення у пруж- ни х штампа х 1 ( ) 3 іu при  =0,75. Рис. 1 – Розподіл контактних напружень пі д штампами Рис. 2 – Пе ремі ще ння у пружних штампах при  =0,75 На рис. 1, 2 пунктирні лін ії відповідають переміщенню і напруженню при відсутнос ті початко- ви х напружень ( 1 1), суцільн і – з початковими напруженнями. Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 51 Висновки У даній роботі в рамка х лінеаризованої теорії пружності подано постановку та розв’язок осеси- метричної ста тичної за дачі про тиск дво х сп іввісни х скінченни х ци ліндрични х ш тампів з початковими напруженнями на попередньо напружений шар, для я кої були сформульовані відповідн і граничн і умови. Вс і дослідже ння ви конані у зага льн ій формі для теорії ве лики х (скінченни х) початкови х деформацій і дво х варіа нтів мали х початкови х деформацій при довільн ій структурі пружного потен ціа лу для с тисли- ви х і нестис ливи х тіл. Числова реалізац ія методу дослідження дала змогу графічно відобразити вп лив початкови х на - пружень на закон розподілу кон тактни х хара ктерис тик попередньо напружени х тіл для по тенціа лів найпростішо ї с труктури, яки й поля гає у нас тупному: 1) початкові напруження при стиску призво дя ть до зменшення с или напружень у ци лін дрични х штампа х, а при розтягненні – до їх збільшення , а для переміщень все відбувається навпа ки; 2) найб іль ший вп лив початкови х напружень відзначений на бічн ій повер хн і ци лін дрични х штампів у зр іза х 0 ≤ ξ ≤ 1; 3) для пружного шару вплив початкови х напружень анало гічний , причому на характер дії почат- кови х напружень його товщина не впли ває, а впли ває лише на їх значення; 4) більш суттєво, у кількісному плані, початкові напруження діють у високоелас тични х м а- теріа ла х у порівня нні із б іль ш жорсткими, а ле якісно їхній вп лив зберігається; 5) небезпечною є ситуац ія, коли початкові напруження наб лижаю ться до значень повер хнево ї нестійкос ті, оскіль ки кон тактн і напруження і переміщення р ізко змінюю ть сво ї значення . Тобто, наявн іс ть попередньо напруженого стану п ід час кон тактно ї взаємодії пружни х тіл дає змогу регулювати конта ктні напруження та переміщення при розрахун ка х на міцніс ть де талей машин та конструкц ій. Причому для конта ктни х напружень небезпечними є початкові напруження у випа дку роз- тягнення, а для переміщення – у випа дку с тис ку. Отже, вия влен ий при дос ліджен ні впли в початкови х напружень є суттєвим для с тисливи х та не - стисливи х тіл. Це підтвер джено одержаними ана літичними, графічними та числовими резуль та тами, що дає змогу ви користовувати їх в інженерни х розра хунка х. Літе ратура 1. Гузь, А.Н. Кон тактные задачи для упруги х те л с начальными напряжениями (жесткие ш там- пы) [Те кс т] / А.Н. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б. Рудниц кий // Прикл. ме ханика . – 1989. – №8. – С. 3 - 18. 2. Гузь, А.Н. Кон тактные задачи для упруги х те л с нача льными напряжениями (упругие ш тампы) (обзор) [Текст] / А.Н. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б. Рудницкий // Прикл.ме ханика. – 1991. – Т. 27, №9. –С. 3 - 28. 3. Gu z, A.N. Contact problems for e lastic bodies with initia l stresses. Focus on Ukra inian research / A.N. Guz, S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky // Apple Mech. Rev. Vol. 51, nos May 1998. – Р. 343 - 371. 4. Гузь, А.Н. Основы теории кон тактного вза имодействия упруги х тел с нача льными (оста точ- ными) напряжениями [Текс т] / А.Н. Гузь, В.Б. Рудни цкий . – Хмельниць кий, вы д. ПП Мельни к. – 2006. – 710 с . 5. Рудн ицкий , Т .В. Кон тактное взаимодействие конечного цили ндрического штампа и полупро- странства с начальными (остаточными) напряжениями [Те кст] / Т.В. Ру дницкий // Сборник международ- ной конференции «Современные проблемы механи ки», посвященный 100-ле тию Л.А. Гали на. Тезисы докладов. – Москва. – 2012. – С. 90 6. Бабич, С.Ю. К вопросу контактной задачи для предварите льно напряженого слоя [Текс т] / С.Ю. Бабич, В.Б. Ру дниц кий // Прикл.ме хани ка. – 1987. – 23, №5. – С. 110 - 112. 7. Гузь, А.Н. Кон та ктна я задача о давлении упругого ш тампа на упругое полупространство с на- чальными напряжениями [Текст] / А.Н. Гузь, В.Б. Рудницки й // Прикл.ме хани ка. – 1984. – 20, №8. – С. 3 - 11. 8. Ярець ка Н. О. Впли в початкови х (зали шкови х) напружень на кон тактну взаємодію пружного цилін дричного штампу та пружного шару / Н. О. Ярецька // Доповіді НАН Укра їни. – 2014. – № 1. – С. 57 - 62. 9. Yaretskaya N. A. Th ree-Dimensional Contact Proble m fo r an Elastic Layer and a Cy lindrical Punch with Prestresses /N.A. Ya retskaya// International Applied Mechanics . – July 2014. – Vo lu me 50, Issue 4. – pp. 378 – 388. Поступи ла в редакц ію 15.04.2015 Лінеаризована задача про тиск двох співвісних попередньо напружених циліндрів на пружній шар з початковими (залишковими) напруженнями Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 52 M aksy mchuk D.N. Axisymmetric contact interaction of two coaxial pre-tighten these cylinders and elastic layer with initial (residual) stresses. The article deals with the coaxial mixed typ e task of measuring p ressure of p restressed two coaxial cy linder p unches up on a lay er with initial (residual) stresses within the framework of linear elasticity theory . We consider the cases in the absence of the friction forces. In gen eral, the resear ch was carried out for the theory of great initial (ultimate) deforma- tions and different variants of the theory of small initial d eformations with arbitrary structure of elastic p otential. It is assumed that the elastic dies as well as the lay er are made of differ ent isotrop ous, transversely isotrop ic or comp osite materials and they are interacting on on e of the dieses surfaces. The mode of deformation in elastic lay er with initial (r esidual) stress will be defin ed with the help of harmonic functions as the Henkel integr als. We should note, although the Henkel-method does not p rovide exact solutions, but it lets us reduce the task to the Fredholm equ ations, which let us use the method of consecutive ap p roximations. Consequently we got a comp onents of p otential vector and tenzor of deformations in the case of equal roots of axis-sy metrical typ e task. So, the received solutions are def ined by lines with the help of very many constants. These constants are defined with two sy stems of regu lar linear algebraic equ ations. The research was carried out on the p roblem of the inf luence of in itial stresses on the law of distribution of contact disorders in the elastic lay er with initial (residual) stresses. Key words: linear elasticity theory , initial (residual) stresses, Henkel transformations, theory of small initial deformations, Fredholm equations. References 1. Gu z, A.N. Contact problems for elastic bodies with init ial stresses (hard stamp) [Te xt ]. A.N. Gu z, S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky. Applied Mechanics . 1989. No8. P. 3 - 18. 2. Gu z, A.N. Contact proble ms for e lastic bodies with in itia l stresses (elastic seals) (review) [Te xt]. A.N. Guz, S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky. Applied Mechanics . 1991. Т. 27, No9. P. 3 - 28. 3. Gu z, A.N. Contact problems for elastic bodies with init ial stresses. Focus on Ukra inian research. A.N. Guz, S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky. Apple Mech. Rev. Vo l. 51, nos May 1998. Р. 343 – 371. 4. Gu z, A.N. Funda mentals of the theory of contact interaction of e lastic bodies with init ial (residual) stresses [Text]. A.N. Gu z, V.B. Rudnitsky. Kh me lnytsky, vyd. PP Me lnik. 2006. 710 pp. 5. Rudnitsky T.V. Contact interaction of finite cylindrical punch and half with initia l (residual) stresses [Te xt]. T.V. Rudnitsky. Collection of the International Conference "Modern Problems of Mechanics", dedicated to the 100th anniversary of LA Galina. Abstracts . Moscow. 2012. P. 90 6. Bab ich S.Y. On the question of the contact problem for prestressed layer [Te xt]. S.Y. Babich, V.B. Rudnitsky. Applied Mechanics . 1987. 23, No5. P. 110 – 112. 7. Gu z, A.N. The contact problem of e lastic pressure stamp on the elastic half-space with the initia l voltage-tions [Text]. A.N. Guz, V.B. Rudnitsky. Applied Mechanics . 1984. 20, No8. P. 3 - 11. 8. Ya retskaya N.A. The impact of the initial (residual) stresses on the contact interaction of elastic cylindrica l punch and an elastic layer. N.A. Ya retskaya. Reports of NAS of Ukra ine. 2014. No1. P. 57 - 62. 9. Yaretskaya N. A. Th ree-Dimensional Contact Proble m fo r an Elastic Layer and a Cy lindrical Punch with Prestresses . N.A. Ya retskaya. International Applied Mechanics. July 2014. Vo lu me 50, Issue 4. P. 378 – 388.