Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 101 Хлопенко Н.Я., Сорокина Т.Н. Национальный университет кораблестроения имени адм. Макарова, г. Николаев, Украина E-m ail: t an-sorokina@yandex.ru РАЗНОСТНЫ Е СХЕМЫ И ТОЧНОСТЬ РЕШ ЕНИЯ ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СМАЗКИ ПОДПЯ ТНИКА РЭЛЕЯ УДК 621.822 Выполнена ко нечно-р азностная аппр оксимация у р авнения Рейнольдса для давлений в слое смазки по пяти- точечно му шаблону с явной схемо й “кр ест”. Для у р авнения энер гии использована ко нечно-р азностная схема пр отив потока с таким же шаблоно м. Система тер могидр одинамическ их конечно-р азностны х у р авнений р ешалась методо м вер хней р елаксации. На конкр етно м пр имер е выполнены р асчеты статич еских хар актер истик подпятника Рэлея для р азличного числа у злов конечно-р азностной сетк и. Клю чевые слова: подп ятн ик Рэлея ступенча тый, термогидродинамические уравнения смазки , конечно- разностная аппроксимация, о тноси тельна я погрешнос ть. Введение В работе [1] приве дены термогидро динамические уравнения турбулентного течения смазки в не- сущем зазоре ступенчатого подпя тн ика Рэлея. Они решались численно методом вер хней релаксаци и. В процессе численного решения э ти х уравнений бы ли по лучены с татические характеристи ки данного подпя тника . Выполнено сравнение полученны х резу льта тов с э ксперименталь ными данными други х ис- следова те лей. Однако в ука занной работе конечно-разностная с хема термогидродинамически х уравне- ний смазки и оценка по грешности полученны х на ее основе разностны х уравнений не при води лась. Це лью нас тоящей работы являе тся пос троение конечно-разностны х с хем термогидродинамиче- ски х уравнений смазки и оцен ка погрешности расчета с та тически х характеристик с тупенчатого подпя т- ника Рэ лея. Для пос троения конечно-разнос тны х с хем термогидродинамически х уравнений смазки исполь - зовался пя ти точечный шаблон с явной с хемой «крест» [2 - 4]. При аппроксимации уравнения энергии применялась разностная схема против потока [5, 6]. Полученная система термогидродинамически х ко- нечно-разностны х уравнений решалась мето дом верхней релаксации [7]. Погрешность аппроксимации уравнений движения смазки опре деля лась в процессе численно го и х решения указанным мето дом с уменьшением шага сетки до получения заданной точности расчета. Такой подход позво ляет также оце- нить быс троту с хо димости мето да вер хней ре лаксации . На конкре тном примере показано, что предло- женный метод решения системы уравнений с хо ди тся и обла дае т сравни тельно малой относите льной по- грешностью. Основные рас четные форм улы В обозначения х работы [1] турбулентноe движение смазки в по дпя тни ке Рэ лея описывае тся следующей системой уравнений : θ ω 2 1 μθμθ 2 3 θ 3                       h r r P k rh r r P k h r ; (1)                                      22 θ 32 θ 1 θ 11 μ ωμτ θ 1ρ r P k P rk h h r r TqT r qc r сrp ; (2) где θ 1 μ2 ω θ 3 θ    P rk hh rq ; r P k h q r r    μ 3 ;   в хTT  exp0 . (3) Уравнение (1) этой сис темы описывает распределе ние да влени й, а (2) – температур в смазочном слое. Заметим, что выражения (3) пре дс тавляют собой удель ные рас ходы смазки в окружном и ради - альном направления х. Граничными условиями для уравнени я (1) служа т равенс тво ну лю давле ний по внешнему замк- нутому контуру Г , образованному дугами окружностей радиусов 1r , 2r сектора, радиальными прямы- Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 102 ми 0θ  , cθθ  и неизвестное давление в хP в области σ подво да смазки, а для уравнения (2) – на- чальная температура масла в хT в облас ти σ подвода смазки: 0ГР ; в хPР σ ; в хTT  . (4) Величина в хP определяе тся и з равенс тва рас хо дов смазки в облас ти σ по двода масла и на на- ружном замкнутом контуре Г несущего слоя. Для решения сис темы уравнений (1) и (2) при граничны х услови я х (4) используе тся конечно- разностная се тка размера NM  , которая предс тавлена на рис. 1. Рис. 1 – Дискретизация рабоче й пове рхности расчетной сеткой Вы делим произвольный узел  ji, этой сетки и выполним аппроксимацию уравнений (1) и (2) по пяти точечному шаблону с явной с хемой «крест» [2]: ji r jijiji jirji jiijijiji jiji ji F e PPP k hr e PPP k h ,2 ,1,,1 ),(, 3 , 2 2 θ 1,,1, ),(θ, 3 , )2( μ2 )2( μ2      ; (5)                r jirijiji ji jirjir i ji p Pk P rk h ETqT r q c ),( θ ),(θ, 3 , .),(θ ),(θ 11 μ ρ , (6) где θ 1.1, 2 , 4 )(ω e hhr F jijiiji   ;   ji i jiсji h r E , 2 ji, ),(, ωμ τ ; ),(θ, θ 3 ,, ),(θ μ2 ω jijii jijii ji kr Phhr q  ; ),(, 3 , ),( μ jirji rji jir k Ph q  ; (7) θ 1,,θ1,θ θ 2 β)β1( e TTT T jijiji    ; r jijirjir r e TTT T 2 β)β1( ,1,,1   ; (8) θ 1,,θ1,θ θ 2 β)β1( e TTT T jijiji    ; r jijirjir r e TTT T 2 β)β1( ,1,,1   ; (9) θ 1,1, θ 2e PP P jiji    ; r jiji r e PP P 2 ,1,1   ; (10) θ 1,1, θ 2e PP P jiji    ; r jiji r e PP P 2 ,1,1   ; (11) Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 103 θ 1,1,, θ 2 2 e PPP P jijiji    ; r jijiji r e PPP P 2 2 ,1,1,   ; (12) θ 1,1,, θ 2 2 e PPP P jijiji    ; r jijiji r e PPP P 2 2 ,1,1,   ; (13) jih , – толщина масля ного слоя меж ду пя той и подпя тни ком;    1/12  Mrrer ,  1/θθ  Ne c – шаг се тки в радиа льном и окружном направления х; ir – радиус сетки; rβ,βθ – весовые коэффициенты в окружном и радиа льном направлен ия х; ji,μ - коэффициент динамический вяз кости; ),(),(),(θ ,, jicjirji kk  – коэффициенты турбулентнос ти в узле. Весовые коэффициенты rβ,βθ выбираются и з диапазона 1β0 θ  и 1β0  r [4]. Когда 0ββθ  r , то выражение (8) и (9) принимают ви д цен траль но-разностной производной, а при 1ββθ  r - левой разнос тной производной. Заметим, что в сеточном уравнении энергии (6) аппроксимация давлен ий и температур (8) - (13) представлена по с хеме против пото ка. В этой с хеме выражения (8) и (10) применяются при дви жении смазки вдоль осей θ и r (рис.1) соотве тс твенно, выражения (9) и (11) - при движении смазки в противо- положном направлении, выражения (12) – при движении смазки с торможением вдоль осей θ и r соот- ветс твенно и выражения (13) - при дви жении смазки в противоположном направле нии с торможением. Записанная система уравнений (5) и (6) пре дс тавляет собой алгебраическую систему уравнений. Она имеет второй порядок точности для да влени я и температуры и решается мето дом последовате льной вер хней релаксации . Со гласно этому методу конечно-разностные уравнения (5) и (6) предс тавляю тся в виде : ji r jiji m ji jirji jiijiji m ji jiji ji F e PPP k hr e PPP k h ,2 ,1, 1 ,1 ),(, 3 , 2 2 θ 1,, 1 1, ),(θ, 3 , )2( μ2 )2( μ2          ; (14)                r jirijiji ji jirjir i ji p Pk P rk h ETqT r q c ),( θ ),(θ, 3 , .),(θ ),(θ 11 μ ρ , (15) где θ 1,,θ 1 1,θ θ 2 β)β1( e TTT T jiji m ji     ; r jijir m jir r e TTT T 2 β)β1( ,1, 1 ,1     ; (16) θ 1 1,,θ1,θ θ 2 β)β1( e TTT T m jijiji    ; r m jijirjir r e TTT T 2 β)β1( 1,1,,1    ; (17) где m – номер итерации. Далее записанная сис тема уравнений (14) и (15) решается и терационным методом по следующе- му алгоритму: 1. Задаю тся граничные значения да влени й и температур в узла х конечно-разностной сетки в со- отве тствии с выражениями (4). 2. За даются начальные значения давлений в хP , 0, jiP и температур в хji TT , во вну тренни х узла х се тки, кроме граничны х узлов. 3. Рассчи тываю тся значения коэффициента вязкости ji,μ смазки в узла х по заданному значе- нию температур jiT , . 4. Рассчиты вается по ле давлений jiP, из уравнения (14). Для первой итерации значения давле - ний в о кружающи х узла х точки  ji, определяе тся граничными и началь ными значениями (ша ги 1 и 2). 5. Уточняются давления в узла х по мето ду после дова тельной вер хней релаксаци и: Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 104 ji m jiP m ji PPP , 1 ,, λ)λ1(   , (18) где Pλ – коэффициент релаксации. Для вер хней релаксаци и его значения по данным работы [7] на ходя тся в ин терва ле (1, 2). 6. Ша ги 4 - 5 повторяются до те х пор, пока не буде т дости гнута за данная точность для давле- ний в узловы х точка х сетки на дву х пос ледова те льны х и терация х: P m jiji PP ε 1 ,,   , (19) где 610ε P – заданная точность для давлений. 7. Рассчи тывае тся поле температур jiT , из уравнения (15). Д ля первой итерации значения темпе- ратуры в окружающих узлах точки  ji, определяется граничными и начальными значениями (шаги 1 и 2). 8. Уточняются значения температур в узла х по методу после довате льной вер хней ре лаксации : ji m jiT m ji TTT , 1 ,, λ)λ1(   , (20) где Tλ – коэффициент релаксации. Для вер хней рела ксации его значения по данным работы [7] на ходя тся в ин терва ле (1, 2). 9. Ша ги 7 - 8 повторяются до те х пор, пока не будет дос тигну та за данная точность для темпера- тур в узловы х точка х се тки на дву х после дова тельны х и терация х: Tm ji m ji T T ε1 1 , ,   , (21) где 310ε T – заданная относи те льная точность для температур. 10. Уточняются значения коэффициента вязкос ти ji,μ смазки в узла х по найденному значению температур jiT , . 11. Рассчи тывае тся рас хо д смазки ГQ на внешнем замкну том контуре Г . 12. Ша ги 4 - 11 повторяются до те х пор, пока не буде т дости гну та за данная точность по рас ходу смазки ГQ на внешнем замкнутом кон туре Г на дву х после дова тельны х и терация х: Qm Г m Г Q Q ε1 1   , (22) где 4105,1ε Q – заданная относи те льная точность для рас хо да. 13. Уточняется давление в хP из равенства рас хо дов смазки на вхо де Q в области подво да σ и ГQ на внешнем замкну том кон туре Г . 14. Ша ги 4 - 13 повторяютс я до те х пор, пока равенс тво рас ходов смазки на внешнем замкну том контуре Г и в области σ подво да смазки не бу дет удовле творять за данной точности на дву х после дова- тель ны х и терация х: Qm m Q Q  ε1 Г  , (23) где 1010ε  Q – за данная о тносите льная точность для баланса рас хо да. 15. Рассчи тываю тся по ме тоду трапеции [2] такие с татические хара ктерис тики по дпя тника ка к: - грузоподъемность :    2 1 cθ 0 r r c drrdPzW ; (24) - потери мощности на трение : drdr h rP r h zN r r ТР θ ω μ θ2 ω 2 θ 0 cс 2 1 c             ; (25) Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 105 - рас ход смазки :           c 2 c 1 2 1 C 2 1 0 θ 0 θ 0 θθс θθ drqdrqdrqdrqzQ rr r r r r Г . (26) Рассмотренный алгори тм реализован в виде программы, написанной на языке ФОРТ РАН 95 применительно к персональному компьютеру. Анализ полученных результатов Числен ные расчеты проводились для ступенчато го подпя тника Рэ лея [1]. Резу ль таты проведен - ны х вычисле ний грузоподъемности W , потерь мощности на трение ТРN , расхо да смазки Q и темпера- туры T предста влены в таблице. Размер сетки Грузоподъемность W , Н Потери на трение ТРN , кВт Рас ход смазки Q , л/с ТемператураT , °С 50 × 50 1157,487 2,2767 0,153768 123,339 60 × 60 1177,487 2,2842 0,144227 126,063 80 × 80 1211,440 2,2753 0,084070 126,090 100 × 100 1230,925 2,3066 0,097299 127,122 Их ана лиз показы вает, что с увеличением размеров конечно-разностной сетки точность расчетов ста тически х характерис тик подп ятника Рэлея возрастае т, а погрешнос ть па дает и при размере сетки 80 × 80 не превышае т 1 %. Таким образом, построены конечно-разностные с хемы термоги дродинамически х уравнений смазки, предложен числен ный алгоритм и выпо лнена оценка погрешности расчета ста тически х характе- ристик подпя тни ка Рэлея . Выводы 1. Построенная конечно-разностная с хема системы термогидродинамически х уравнений смазки ступенчатого по дпя тни ка Рэлея являетс я с хо дящейся . 2. Пре дложен ный численный а лгоритм обеспечивает требуемую точность решения системы тер- могидродинамически х уравнений смазки на мелкой конечно-разностной се тке. Лите ратура 1. Хлопенко, Н. Я. Турбулентная неизотермическая смазка ступенчатого подпя тника Рэ лея / Н.Я. Хлопен ко, Т. Н. Сорокина // Проблеми Трибологи и: 2013. – №4. – С. 40-45. 2. Ка ли тки н, Н.Н. Чис ленные мето ды / Н. Н. Кали ткин – М.: Наука, 1978. – 512 с . 3. Го дунов, С. К. Разнос тные с хемы (введение в теорию) / С. К. Годунов, В. С. Рябенький - 2-е изд., испр. - М.: Наука , 1977. – 440 с. 4. Самарский, А. А. Теория разностны х с хем / А. А. Самарский - 3-е и зд., испр. – М.: Нау ка, 1989. – 516 с. 5. Потер, Д. Вычисли те льные мето ды в физике / Д. По тер – М.: Мир, 1975. – 394 с. 6. Дульнев, Г. Н. Применение ЭВМ для решени я за дач теплообмена / Г. Н. Дульнев, В. Г. Пар- фенов, А. В. Си галов – М. : Высшая шко ла, 1990. – 207 с. 7. Самарский, А. А. Методы решения сеточны х уравнений / А. А. Самарский, Е.С. Ни колаев – М.: Наука, 1978. – 592 с. Поступи ла в редакц ію 12.06.2015 Р азностные схемы и точность решения термогидродинамических уравнений смазки подпятника Р элея Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 2 106 Khlop enko N.Y., Sorokina T.N. Thermohydrodynamic lubrication equation’s residual schemes and accuracy solution for Reyleigh step bearing. The system of the thermo hy drody namic lubrication equ ations for the Rey leigh step bearin g is consists of Rey - nolds equation for p ressure in the lay er and ener gy equation. The ener gy equation includ es the sp ecific oil consump tion equa- tions. Turbulence factors were used in above mentioned equations to make use of Constantinescu method. The main aim of the article is to p resent and describe the thermo hy drody namic lubrication equation’s residual schemes and estimate the ap p roximation relative error for Rey leigh step bearin g thermo hy drody namic lubrication equ ations. The finite-differen ce ap p roximation was carried out for the Rey leigh step bearin g thermohy drody namic lubrication equations using the second order of accuracy derivatives for five assemb ly mould cross for m. The conv ection h eat exch an ge for temp erature areas determination on the basis of difference against steam scheme with a p ressure gradient influence was taking into account. Consequently , the method of the over relaxation was ap p lied to solve a p roblem. The finite-difference ap p roximation descrip tion for Rey leigh step bearing thermo hy drody namic lubrication equ a- tions gives a p ossibility to carry ing out the calculations of the thrust bearing static char acteristics usin g temp erature range and oil viscosity . As a result, the relative error for loading ch aracteristics is rep resented it as a diagram. Introduced finite-diff erence app roximation can beco me the basic p art for the Relay step bearings calculations in laminar or turbulent regimes. Key words: rey leigh step bearing, thermohy drody namic lubrication equations, fin ite-differen ce ap p roximation, relative error. References 1. Hlopenko N. Ja., Sorokina T. N. Turbulentnaya neizotermicheskaya smazka stupenchatogo podpyat- nika Re leya, Proble mi Tribologii [Proble ms of Tribology], 2013, issue 4, pp. 40-45. 2. Ka lit kin N.N. Chislennye metody, Moscow, Nauka Publ., 1978, 512 p. 3. Godunov S. K., Ryabenkiy V. S. Ra znostnye skhemy (vvedenie v teoriyu), Moscow, Nauka Publ., 1977, 440 p. 4. Sa marskiy A. A., Teoriya ra znostnykh skhem, Moscow, Nauka Publ., 1989, 516 p. 5. Poter D., Vychislitelnye metody v fizike , Moscow, Mir Publ., 1975, 394 p. 6. Dul'nev G. N. Primenenie Je VM dlja reshenija zadach teploobmena, Moscow, Vysshaja shkola Publ., 1990, 207 p., (Je VM v tehnicheskom vuze ) 7. Sa ma rskij A. A., Nikolaev E.S. Metody resheniya setochnyx uravnenij, Moscow, Nauka Publ., 1978, 592 p.