Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 92 Шифрин Б.М., Извалов А.В. Кировоградская летная академия Национального авиационного университета, г. Кировоград, Украина E-m ail: b_shifrin@mail.ru ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ М.В. КЕЛДЫША ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПНЕВМОКОЛЕСА С ОПОРНОЙ ПЛОСК ОСТЬЮ УДК 629.735.015: 533.6.013.43 В связи с р азвитием пр едставлений о су хом тр ении твер дых тел возобновил ся интер ес к изу чению шимми и дру гих задач динамики пнев моколесны х машин. В р аботе теор етические р езу льтаты по модели М . В. Келдыша (1945 г.) о взаимодейств ии у пр у гого пневмоколеса с опор ной плоскостью сопоставлены с р езу льтатами эк спер иментов, вы- полненны х гор аздо позже 1945 г. Рассматр ивались тр и р ежима движения пнев моколеса: попер ечно-посту пательные и азиму тально-вр ащательные гар монические колебания вблизи ну левого у гла у вода, скачок у гла у вода. Для нахож- дения констант шины М . В. Келдыша использовались фор му лы И. Бесселинка и стр у нной теор ии шины. В ко нечно м счете, пр иходим к выводу , что модель М . В. Келдыша остается в силе. Клю чевые слова: пневмоколесо, трение, моде ль, колебание. Введение Математическое моделирование си л и моментов, возникающ и х на участке кон такта ка тя щейся шины с опорной поверхностью , продолжае т остава ться актуа льной научно-те хнической проблемой. В настоящее время в с вязи с разви тием предс тавлений о су хом трении тверды х те л и объяснении явления шимми в рамка х поликомпонентного су хо го трения [1, 2] в по дхо да х к решению проблемы намети лись новые тен денции . В первой половине прошлого столе тия проявилась необ ходимость изучения самовозбуждения угловы х колебаний опор шасси пневмоколесных транспортны х машин и ли явления шимми. М. В. Ке л- дыш в [3, 1945 г.] пре дложи л модель , описывающую поперечную силу трения F и восстанавливающ ий момент сил трения M на пневмоколесе и послужившую базой для объяснения шимми, а также разрабо- тки мер для борьбы с ним. Работа М. В. Ке лдыша вош ла в историю изучения динамики пневмоколесны х машин [4, 5] и многие годы явля лась отправной точкой для исс ледован ий в облас ти ме ханики шин и я в- ления шимми [6, 7]. В настоящей с та тье, развивая начатое в [8], резуль та ты моделирования по М. В. Келдышу [3] со- поставлены с эксперимента льными данными [9, 10], по лученными гораздо позже 1945 года . Изуче ние лите ратурных данных; це ль и зад ачи исследования Рассмотрим движение буксируемого пневмоколеса (точка C – его цен тр масс), имеющего вынос назад L (рис. 1). Рис. 1 – Буксируемое пне вмоколе со Оси ggg YXO неподвиж ны и лежа т в опорной плоскос ти. Счи таем, ч то распределенные си лы трения приводя тся к си ле F и моменту M вокруг оси, перпендикулярной рисунку и проходящей через точку C . Пневмоколесо закреплено так, ч то его диск все гда с трого перпендику лярен опорной плоско- сти. Тяга AC абсолютно жес ткая . Смещение точки С в поперечном направлении равно CY . Углы поворота тяги )(φφ t , где t время в секунда х, «малы». Скорость const AС VV  обусловливает переносную скорость точки C , а углы поворота – о тносите льную, ко торую обозначим CW  : Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 93 φ LYW CC  , точка свер ху указывае т на дифференцирование по времени t . В и тоге скорость точки С равна CС WV   . «Малый» угол Δ между плоскостью диска пневмоколеса и вектором скорости точки C на виде сверху приня то называ ть углом увода. Математическую модель [3] запишем в ви де : , ; ( ); ( ), F M С С F k M k L V V                        (1) где χ,ξ абсолютные линейная и угловая деформации шины;  , кинематические коэффициенты; MF kk , ста тические боковая и крутиль ная жес ткос ти ш ины. Уравнения (1) позволяю т при за данном законе «малы х» поворотов )(φ t найти функции времени )(χ),(ξ),(),( tttMtF . Ве личины β,α и MF kk , являю тся ме ханическими констан тами шины и требу- ют эксперимента льного опре делени я. Сформулируем цель и задачи исследования. Сопостави ть резуль таты моделирования в виде функций )(),( tMtF , полученны х с помощью системы (1), с экспериментальными данными [9, 10]. Вы- делить за дачу гармонических колебаний (поперечно-поступа тельны х, а также азимута льно- вращательны х) и скачка угла поворота пневмоколеса. При изучении колебате льны х режимов использо- вать [8, 9], при и зучении скачка – эксперименты [10]. В [8] теоретически на основе уравнений (1) изучались с ила F и момент M для буксируемого пневмоколеса (рис. 1), тя га ко торого совершает вынуж денные колебания по за кону: tt Ωsinφ)(φ 0 , где Ω,φ0 постоянные ампли туда и часто та колебаний. После получения общего решения были вы делены пре дельные дви жения, а именно: (а ) попереч- но-поступате льные ко лебания ( L ) и (б) азимутально-вращате льные ( 0L ). Далее вариан ты (а) и (б) будем различа ть с помощью «говорящи х» и нде ксов пп и ав , т.е . «поперечно-поступате льные» и «азимутально-враща тель ные». В [9] пре дс тавлены эксперимента льные результа ты группы С. Кларка по замеру силы F и мо- мента M на шес ти типа х авиац ионны х шин при гармонических поперечно-поступате льны х или азиму- таль но-враща тельны х вынуж денны х ко лебания х ка тящегося пне вмоколеса, а та кже для и х на хож дения предложена ма тематическая моде ль, основанная на струнной теории ши ны. Теоретические и экспери- ментальные данные сопоставлены. В данной работе , ка к и в [8, 9], при рассмотрении режимов колебаний искомые функции )(),( tMtF будем предс тавлять в ви де: ( ) ( ) sin[ ( )]; ( ) ( ) sin[ ( )], i i i F i F F i i i F i M M F t k a A t M t k Da A t             (2) где пп,авi  ;  0Yа пп амплиту дное поперечное смещение точки С ; 0 Dа ав ; D наружный диаме тр необжатой ш ины; i M i F AA , и  i M i F β,β безразмерные амплитуды и фазовые углы си лы и момента;  СVD /ΩΩ число С. Кларка. Формулы [8] содержа т три безразмерные констан ты шины, а именно , и κ , где : DD  ,2 ; )/( 2Dkk FM . Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 94 Первые две конс тан ты найдем по формулам И. Бесселинка , приведен ным в капита льном труде [5, с. 262]: ),/()2(),( );/(2),(   HHH HH (3) где H длина пя тна кон та кта; λ длина ре лаксации . Величины λ,H , соответс твующие шинам группы С. Кларка и условиям эксперимента, даны в [9]. Конс тан ту κ найдем по формуле струнной теории ши ны [9, 11]: 2 2 25,03 25,0 D H H H          . (4) Задача №1: гармоничес кие колебания пневм околеса В табл. 1 внесены данные по ш инам группы С. Кларка : в с толбца х 2, 3 – данные из [9]; в сто лб- ца х 4, 5, 6 – данные, по лученные по формулам (3) и (4). На рис. 2 и 3 размещены теоретические и экспе- риментальные кривые для четыре х шин группы С. Кларка . Ка жды й рисунок содержит фрагмен ты, где представлены графики функций )Ω(β),Ω( iF i FA и )Ω( i MA , )Ω(β i M . Точки соответствую т экспери- ментальным данным [9]; теоретические кри вые, полученные по формулам [8], и зображены шри х- пунктирными ли ниями, помеченными кружками; участки сплошны х линий я вляю тся резуль та тами мо- делирования группы С. Кларка . Таблица 1 Шины г руппы С. Кларка: данные д ля рас четов Шина DHH / D/λλ    κ A20 0,404 0,523 9,47 6,86 0,110 A23 0,428 0,390 12,0 7,24 0,091 А24 0,428 0,304 15,4 7,96 0,074 B9 0,404 0,363 13,6 7,71 0,080 VecoCL 0,364 0,355 15,5 8,31 0,069 RHCA 12 0,428 0,327 14,3 7,73 0,078 Задача №2: скачок угла поворота пне вмоколес а В дифференциальны х уравнения х, вхо дящ и х в сис тему (1), выпо лним замену переменной t на s , где s путь точки A : tVs C . Будем иметь :      , ),(L (5) где ш три х у казывае т на дифференцирование по s . Рассмотрим случай, когда уго л φ изменяется с качкообразно:  *const:0;0:0  ss . (6) Тогда вместо (5) получим:      . ),( (7) На рис. 4 приведены экспериментальные и теоретические кривые |)(||,)(| sMsF для изучае- мого случая (6). Эксперимента льные линии заимствованы из [10] и соотве тствуют тракторной шине P245/ 75R16. В [10] на рисунка х кроме экспериментальны х кривы х показаны резу льта ты вычислени й K. Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 95 Guo, L. Ren. Поэ тому эксперименталь тные кривые нами точечным образом выделены. Теоретические кривые (рис. 4) получены с помощью численного ин тегрирования уравнений (7) мето дом Рунге-Кутта для шины М. В. Келдыша [3] (табл. 2). Таблица 2 Шина М.В. Ке лдыша: данные д ля рас четов и анализа ре зуль татов Шина 2D D H λ κ Fk Mk 400 × 150 19,2 12 0,2 0,525 0,052 88,2 кН/м 735 Нм/р Рис. 2 – Попе ре чно-поступательные колебания пне вмоколе са Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 96 Рис. 3 – Азимуталь но-вращатель ные колебания пне вмоколе са |)(||)(||,)(||)(| sksMsksF MF  . Задавались та кие начальные ус ловия : *φ)0(χ;0)0(ξ  ss , где 7,2φ*  (вер хние кривые) и 7,0φ*  . Рис. 4 – С качок угла поворота пне вмоколе са Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 97 Обс уждение результатов работы и выводы В нас тоящей работе на основе экспериментальны х данны х верифицирована модель М. В. Ке л- дыша для на хож дения поперечной силы трения и азимутального момента сил трения на катя щемся по- да тли вом пневмоколесе. Подобная задача была та кже предметом работы [8]. Однако теперь, используя результа ты [8], верификация выполнена более полно и аргументировано. Теоретически получены и сопоставлены с экс периментальными 20 графиков, ко торые описыва- ют упомянутые силу и момент при колебаниях пневмоколеса, а также его мгновенном повороте. Сле дует признать , что во всех рассмотренны х случая х наблю дае тся качественное согласие данны х, а в подав- ляющем большинс тве случаев имеет место и и х хорошее количественное соо тве тствие. Сравнивая расчетные да нные таб л. 1 и графики рис. 2 и 3 при 0 , можно прити к выводу, что формулы (3) и (4) состоя тельны и значите льного улучшения согласия теоретико-экс периментальны х кривы х при на хо жден ии конс тант шины путем и х и ден тифи кации по резуль татам опытов не при хо ди тся ожида ть. В це лом при хо дим к выводу, что моде ль [3] ос тается в с иле и не ус тупает большинс тву други х известны х моделей [12]. Подчеркнем, она справедли ва лишь при «малы х» угла х уво да, когда скольжен и- ем шины можно пренебречь. Лите ратура 1. Андронов, В.В. Су хое трение в задача х ме ханики / В.В. Андронов, В.Ф. Журавлев / М.; Ижевск: НИЦ «Регу лярная и хаотичес кая динамика», Инс ти тут компью терны х иссле дований , 2010. – 184 с . 2. Журавлев, В.Ф. Новая моде ль ш имми [Текс т] / В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов, П.К. Пло тни ков// Извес тия РАН, МТТ. – 2013. – №5. – С. 13 - 23. 3. Келдыш, М.В. Шимми переднего колеса тре хколесного шасси [Текс т] / М.В. Ке лдыш // Труды ЦАГИ, 1945. – №564. – 37 с. 4. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономны х сис тем [Текс т] / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. – М.: Наука, 1967. – 520 с. 5. Pace jka , H.B. Tyre and vehicle dynamics [Текс т] / H. B. Pace jka. – Butterworth-He inemann, 2006. – 642 p. 6. Вибрации в те хни ке: Справочник в 6 - ти т. [Текс т] /Ре д. сове т: В.Н. Че ломей (пред.). – М.: Машиностроение, 1979. – т. 2. – 351 с . 7. Би дерман, В.Л . Нестационарное качение пневма тической шины [Текс т] / В.Л. Би дерман, В.В. Шумаев // Известия Вузов, Машиностроение. – 1977. – №12. – С. 85 - 90. 8. Шифрин, Б.М. О модели ш ины М.В. Келдыша [Текс т] / Б.М. Шифрин // Восточно- европейский журнал передовы х те хно логий. – 2009. – №5/ 6(41). – С.34 - 37. 9. Cla rk, S. Dynamic properties of aircra ft tires [Текст] /S. Clark, R. Dodge, G. Nybakken // J. airc raft. – 1974. – Vol. 11, №3. – P. 166 - 172. 10. Guo, K. A non-steady and non-linear tire model under large lateral slip condition [Teкст] / K. Guo, L. Ren // SA E Techn. Pap. Ser., 2000-01-0358. – 10 p. 11. Шифрин, Б.М . Фрикцій ні коли вання ме хан ічни х сис тем із пневмоколесом і засоби їх запоб і- гання [Teкс т] / Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора те хнічни х наук за спеціаль ніс тю 05.02.09 – динаміка та міцніс ть машин. Нац іональн ий універси тет України «Львівсь ка політе хн іка», Львів. – 2013. – 347 с. 12. Шифрин, Б.М. Сопоста влен ие моделей трения на шине при ее колебания х [Текс т] / Б.М. Ши- фрин // Конструювання, виробництво та експ луатац ія с ільсь когосподарськи х машин: зага льнодерж. між- відомчий наук.-те хн . зб. /М-во освіти і науки Україн и, Кіровоградський нац. те хн.ун-т. – К., 2010. – Вип. 40, частина II – С. 139 - 150. Поступи ла в редакц ію 04.03.2015 Экспериментальная верификация модели М.В. Келдыша взаимодействия пневмоколеса с опорной плоскостью Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 98 Shifrin B.M ., Izvalov A.V. Experimental verification of M. V. Keldysh model of interaction of air wheel with supporting plane. Due develop ment of concep ts of dry friction of solids the interest to study shimmy and other p roblems of a ty re and vehicle dy namics was renewed. In this article the theoretical results of M . V. Keldy sh model (1945) of the interaction of elas- tic air wheel w ith supp orting p lane are corr elated with exp erimental r esults (20 grap hic charts were built) which were p er- formed mu ch later than 1945. Three air wheel ratin g modes were studied: cross-translational and azimuthal rotational har- monic oscillations near zero slip angle and jump of slip angle. Exp eriments with air wheel oscillations were executed by Clark, Dod ge, Ny bakken in 1974, but with jump by Guo, Ren in 2000. To find the constants of M . V. Keldysh ty res, I. Besselink equation and string theory of a ty re were used. Ultimately , we conclude that the M . V. Keldysh model remains actual. Key words: air wheel, fr iction, model, oscillation. References 1. Andronov V.V., Zhuravlev V.F. Suhoe trenie v zadachah mehaniki. M.; Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», Institut ko mpyuternyih issledovaniy, 2010. 184 s. 2. Zhuravlev V.F. Klimov D.M., Plotnikov P.K. Novaya model shimmi. Izvestiya RAN, MTT . 2013. #5. S. 13-23. 3. Ke ldyish M.V. Shimmi perednego kolesa trehkolesnogo shassi. Trudyi TsA GI, 1945. #564. 37 s. 4. Ney mark Yu.I., Fufaev N.A. .Dina mika negolonomnyih sistem. M.: Nauka , 1967. 520 s. 5. Pacejka H.B. Tyre and vehicle dynamics. Butterworth-Heine mann, 2006. 642 p. 6. Vibratsii v tehnike: Spravochnik v 6 - ti t. Red. sovet: V.N. Chelo mey (pred.). M.: Ma-shinostroenie, 1979. t. 2. 351 s. 7. Biderman V.L., Shumaev V.V. Nestatsionarnoe kachenie pnevmaticheskoy shinyi. Izvestiya Vu zov Mashinostroenie. 1977. #12. S. 85-90. 8. Shifrin B.M. O modeli shinyi M.V. Ke ldyisha. Vostochno-evropeyskiy zhurnal peredovyih tehnologiy. 2009. #5/6(41). S.34 - 37. 9. Cla rk S., Dodge R., Nybakken G. Dynamic properties of aircraft tires . J. airc raft. 1974. Vol. 11, №3. P. 166 - 172. 10. Guo K., Ren L. A non-steady and non-linear t ire mode l under large lateral slip condition. SA E Techn. Pap. Ser., 2000-01-0358. 10 p. 11. Sh ifrin B.M . FriktsIynI kolivannya mehanIchnih sistem Iz pnevmoko lesom I zasobi Yih zapobI- gannya. DisertatsIya na zdobuttya naukovogo stupenya doktora tehnIchnih nauk za spetsIalnIstyu 05.02.09 – di- namIka ta mItsnIst mashin. NatsIonalniy unIversitet Ukra Yin i « LvIvska polItehnIka», Lv Iv. 2013. 347 s. 12. Shifrin B.M . Sopostavlenie modeley treniya na shine pri ee kolebaniyah. Konstruyuvannya, virobnitstvo ta ekspluatatsIya sIlskogospodarskih mashin: zagalnoderzh. mIzh-v Idomch iy nauk.-tehn. zb. M -vo osvIti I nauki Ukra Yin i, KIrovogradskiy nats. tehn.un-t. K., 2010. Vip . 40, chastina II S.139 - 150.