Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 99 Мисліборський В.В., Костогриз С.Г. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-m ail: mvovka13@gmail.com ПОВЗУЧІСТЬ У НОМІНАЛЬНО НЕРУХОМОМУ ФРИКЦІЙНОМУ КОНТАКТІ ПРИ ДЕФОРМАЦІЇ ЗСУВУ УДК 621.891:620.194 В р оботі на основі р еологічно ї моделі впер ше до сліджений стан повзу чості у номінально- нер у хомому фр и- кційно му контакті та одер жана аналітична залежність, що опису є повзу чість (пр осту післядію) у ННФК. Клю чові слова: повзучіс ть, реологічна модель, номінально нерухомий фрикційний контакт (ННФК), пружно - плас тичний конта кт, в’язко-пружний кон такт, тангенціальна жорсткість ННФК, параметр пластичності контакту, відносна деформація зсуву, в’язкіс ть. Вступ Так зване «тре тє тіло», утворене фрикційним конта ктом подібно твер дому тілу, має не тіль ки пружно-пластичні, але і в’язкі та в’язкопружні влас тивості. Утворене ним середовище, я к і метал, чи ін- ший конс трукц ійний ма теріа л, зда тний чини ти в’язкий оп ір зсуву. Мета і пос тановка задачі Метою даної роботи є виявлення та дос лідженн я основни х факторів, я кі в найб ільш ій мірі визна - чають стан повзучості (просто ї піс ля дії) у ННФК: а саме такі, як в’язкіс ть матер іалу кон тактни х пар, мо- дуль Юн га другого роду, коефіц ієнт запасу зчеплен ня в кон такті, початкова тан генц іальна жорсткіс ть конта кту та наявн іс ть в ньому проміжного шару з розри хлени х продуктів фретин г-зношування. Виклад мате рі алів д осліджень Повзучіс ть у нерухоми х з’є днання х де талей машин – явище, при якому відбувається зростання ві- дносних переміщень елементів контакту зі збільшенням часу при постійному напруженні зсуву, це я вище так звано ї п ісля дії. Формула (2.61) зале жності дотичного напруження в кон такті від відносно ї деформації елемен тів конта кту одержана Костогризом С.Г . [1] для реологічно ї моделі ННФК, що відображає його пружно- пластичні влас ти вості (рис . 1). Рис. 1 – Реологічна модель ННФК з пружно-пластичними властивостями (модель Прандтля): x(t) – взаємне перемі ще ння еле- ме нті в контакту при ї х зсуві Рис. 2 – Приклад осцилограми віль них затухаючих коливань у ННФК Разом з тим, осцилограми вільни х зату хаючи х коливань у ННФК показують , що зату хання ко - ливань відбуваються за близь ким до експоненціа льного закону (рис. 2), що засвідчує наявніс ть опору в колива льн ій сис темі. Д ля того, щоб вра хува ти в’язкі влас ти вості кон такту в його реологічній моделі, зо- браженій на рис. 1, потрібно ввести елемент Ньютона з паралельним під’є днанням його до моделі Пран дт- ля, як це зображено на рис. 3. Рис. 3 – Реологічна модель ННФК, що враховує його пружно-пластичні та в’язко-пружні властивості Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 100 Для реологічно ї моделі конта кту (рис. 3) рівняння напруженого стану при зсуві елемен тів конта - кту з вра хува нням формули (9) [2] буде мати ви гля д:   1 1 max max , при 0 .1 , при n n звn n n qf k n qf                             (1) Вра ховуючи, що прx    та 0пр qf с  , а також ввівши позначення   1 1 n nВ n n    , зведемо перше рівняння системи (1) до ви гляду : 1 . n n звqf B k              (2) З метою того, щоб позбутися нелін ійності у диференційному рівнян ні (2), приймемо припущен- ня, що : 1 1 0 n n n      , (3) де 0 – початкове значення відносного переміщення , для яко го розраховує ться  . Розглянемо, за яки х умов таке припущення можна вважати прийня тним. Для цього вста новимо аналітичне сп іввідношення для оц інки відносної по хибки, я ку дає припущення (3). Його можна записати наступним чином: 1 1 0 1 n n n n n Z       . (4) Не хай 0     , то ді вираз для відносної по хибки лінеаризац ії р івняння (4) прийме вигля д: 1 1 0 0 1 0 ( ) ( ) n n n Z         . (5) Зведемо вираз 1 0( ) n   до ви гляду 1 1 0 0 1 n n        . З вра хуванням цього запи шемо формулу (1.5) таким чином, що: 1 0 1 0 1 1 1 n n Z              . (6) Подамо 1 0(1 ) n   біномінальним рядом [3], обмежившись трьома членами ряду і ввівши при цьому позначення 0    : 1 2 2 1 (1 ) 1 . 2 n n n n         (7) Підс тави вши цей вираз у (6) одержимо наближену формулу для розрахун ку відносної по хиб ки лінеаризації диференцій ного рівняння (2): 2 2 2 2 ( 1) . 2 2 ( 1) n n Z n n n             (8) За формулою (8) розрахова ні і побудовані графіки залеж ності відносної по хибки лінеаризац ії диференційного р івня ння (2) на основі припущенн я (3) від параметра плас тичнос ті n та коефіцієн та  . Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 101 Як видно з рис. 4 відносна по хиб ка, що обумовлена введенн ям в рівняння (2) припущення , яке виражається сп іввідношенням (3), не буде перевищува ти 15 %, я кщо n  2, а   0,5. Як правило, для конта ктн и х пар з мета лів і сп лавів n  2, а  можна обмежувати, щоб воно не перевищувало 0,5. Тому за та ки х умов можна вважа ти прийня ття припущен ня (3) таким, що дає за довіль ні резуль та ти по точності лінеаризації р івнянн я (2). Рис. 4 – Залежності відносної похибки лі неаризації диференці йного рі вняння (1.2) від параметра пластичності n та коефіцієнта α: 1 – α = 0,2; 2 – α = 0,4; 3 – α = 0,6; 4 – α = 0,8; 5 – α = 1,0 Внас лідок такого припущення нелін ійне диференційне рівняння (2) перетворимо у лінійне дифе- ренційне рівняння : 1 01 .n звqf B k              (9) Інте груючи рівнян ня (9) одержимо: 0 0 1 .p p t tt T T зв e dt e k               (10) У цьому виразі постійна часу:  101 зв p n k T B qf    , (11) де 0 – початкова відносна деформація в конта кті при 1t  , 0   . Аналіз виразу (11) пока зує, що ко ли впродовж всього часу t напруження в кон такті пос тій не 0const    , то деформація буде весь час зроста ти, асимпто тично набли жаючись до значення 1 0 1 nqf B             за за коном:   1 0 0 0 1 0 1 1 exp . 1 n звn B qf t t k qf B                                    (12) Вра ховуючи, що 0 qf є коефіцієн том запасу зчеплення в конта кті зпК , розкривши вираз для В у формулі (12), о держимо залежн іс ть, що описує повзучість у номіна льно неру хомому фрикційному конта кті: Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 102           11 1 0 0 111 0 1 1 1 exp . 11 n nn n n nn зв nnn зп n n n qf t t k nК n n                                         (13) Якщо звернутись до виразу (2.41) [2], я кий показує, що параметр пластичності n є функцією ко- ефіцієн та запасу зчеплення , то при відповідн ій п ідстановці зам ість n у вираз (13) його за лежності від зпК будемо мати залежн іс ть повзучості від коефіц ієнта за пасу зчеплення. Через громіздкіс ть та кого ви- разу його недоц ільно пода вати окремою формулою, але це по трібно врахувати при обчислені повзучості за формулою (13) залежно від коефіцієнта запасу зчеплення. Цікавим для розгля ду повзучості у ННФК є граничний випа док, коли  1 2 1, 858зпК e   , а параметр плас тичності 0n  . При цьому залежн ість (1.13) набуває спрощеного вигля ду:   0 2 1 exp . 1 зв qf t t e k                 (14) При 0n  конта кт поводи ть себе при зсуві як твер де тіло [2]. У цьому ще більше можна пере- конатись , ко ли у за лежн іс ть (14) п ідс тави ти вираз (3.11) [2] звk . У результа ті о тримаємо:   0 2 1 exp 1 G t t e                . (15) У залежнос ті (15) вже відсутня питома сила тертя qf , натоміс ть присутн ій модуль пружності другого роду та коефіц ієнт в’язкості твер дого тіла (матер іал кон тактни х елемен тів ). Вираз у ква драт- ни х дужка х тут та кий, я кби він мав відношення не до фрикц ійного кон такту, а до твердо го тіла з харак- теристи ками пружності та в’язкості G та . Таким чином, у випадку пружного фрикційного конта кту його постій на часу буде визначатись такою ж за лежн іс тю, як і для твердого тіла при чистому зсуві. Наприкла д, у випа дку с талеви х е лементів конта кту G   0,8 · 105 Н/мм2,    1,4 · 1016 Н · с/м2 = 1,4 · 1010 Н · с/мм2 , а Т G  = 1,75 · 105 с. На рис. 5 зображена, розрахована за формулою (15), крива повзучості пружного ННФК із с тале - вими елементами при 0 0  . Рис. 5 – Повзучість у пружному ННФК зі стале вими елеме нтами: 1 – крива пружної пі слядії ; 2 – крива зворотної пружної пі слядії Відносна деформація із збільшенням часу t зростає, асимптотично наближаючись при t   до значення  2 1 0, 538e   . Якщо, наприкла д, досягну тий рівень відносної деформації у процесі повзу- чості    , що відповідає t t (точка А) і в цей час напруження зсуву зняти, то за законом зворотної післядії [3] деформація зсуву повніс тю зни кне при t   . На ділянці розван таження , тоб то при t t    (рис. 5) процес деформації буде відбува тись та - ким чином, що: Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 103   1 0 2 1 2 1 G G t t t е е АА e                     . (16) Із зростан ням часу відносна деформація зсуву буде зменшува тись наб лижаючись при t   до 0  . У другому випадку кон тактуванн я, при наявнос ті проміжного розри хленого шару в конта кті та його пружно-пластични х влас тивос тя х для розра хунку повзучості в кон такті ви користовуємо залежніс ть (13), я ку зве демо до ви гляду :   00 ( ) 1 exp ( )зп G с bD n t t K D n                  , (17) де     1 11 0 1 ( ) 1 n n n nn n D n n n             . (18) На рис. 6 зображені, розраховані за формулою (17), графіки повзучості (простої п іслядії) у пружно- пластичному ННФК зі с талевими кон тактними е лементами. Цікаво зверну ти увагу на вер хню границю, до яко ї буде асимпто тично наближа тися в стан і пов- зучості відносне переміщення в кон такті при зростанн і часу до  . Для цього у формулу (17) п ідс тавимо 0t  і о держимо вираз:     1 max 0 11 0 1 1 n n n nn зп n K n n                . (19) а б в г Рис. 6 – Криві повзучості (простої післядії) у пружно-пластичному ННФК, утворе ному сталевими елементами при рі зних значе ннях кое фі цієнта запасу зче пле ння в контакті : 1 – Kзп = 1,3; 2 – Kзп = 1,5; 3 – Kзп = 1,7. Розрахунки зді йсне ні при η = 1,4 · 1010 Н/мм2; G = 0,8 · 105 МПа; ε0 = 0,25; cτ0 = 300 Мпа/мкм. а – в = 10 мкм; б – в = 20 мкм; в – в = 40 мкм; г – в = 80 мкм Прийнявш и до уваги те , що параметр пластичності n за формулою (2.41) [2] виключно зале- жить від коефіц ієнта запасу зчеплення зпK , при ходимо до висновку, що при заданому рівні 0 максима- льне значення відносного переміщення max також зале жи ть від зпK , що відображено у виразі (20). 2 2 2 ln ( 2 1) (1 )2 2[1 ln( 2 1)] 2 max 0 ln ( 2 1) (1 ) ln ( 2 12 2[1 ln(2 1)] 02 2 2[1 ln(2 1)] ln (2 1) ln (2 1) 2[1 ln(2 1)] ln (2 1) 2[1 ln(2 1)] ln (2 1) ln (2 1) зп зп зп зп з п K K зп зп зп K K K зп зп зп зп зп зп K K K K K KK K K                                   ) 2[1 ln( 2 1)] . з пK            (20) Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 104 За цим виразом розраховані графіки максимального відхи лення при повзучості в кон такті залеж - но від коефіц ієнта запасу зчеплен ня при р ізни х поча ткови х рівня х відносного переміщення 0 . Рис. 7 – Залежні сть граничного значе ння ві дносного пе ремі ще ння в контакті εmax від запасу зче плення в контакті при: 1 – ε0 = 0,25; 2 – ε0 = 0,5; 3 – ε0 = 0,75; 4 – ε0 = 1,0 Як ви дно із рис. 7, зростання зпK призводи ть до суттєвого зменшення max . При досягненні ко- ефіцієнтом запасу зчеплення максимального граничного рівня зпK = 1,858 відносне переміщення в конта к- ті в стан і повзучості буде мати мін імальне значення: min 0 0 1 0, 538 зпK        . (21) Висновки 1. На основі реологічної моделі вперше дослідже ний с тан повзучості у номінально-неру хомому фрикційному конта кті. 2. Одержана ана літична за лежн іс ть, що описує повзучість (просту п ісля дію) у ННФК. Пока зано, що стан повзучості та її розвито к при заданому початковому рівн і відносної деформації зсуву та ви зна- ченому часі релаксації виключно залежи ть від коефіц ієнту запасу зчеплення в конта кті, а його збіль шен- ня призво ди ть до зростання максимального значення відносної деформації зсуву при t   . 3. Виявлена залежн іс ть граничного значення відносної деформації зсуву в контакті від коефіцієн- та запасу зчеплення в контакті у стані повзучості в інтервалі 1, 0 1,858зпK  та встановлені ці значення. 4. Вс тановлено, що для пружного кон такту максимальне значення приросту відносної деформ а- ції зсуву в стан і повзучості скла дає  2 1 0, 538e   . 5. Показано, що час релаксац ії для с тану повзучості визначається відношенням зве деного коефі- цієн та в’язкого опору в контакті до номінальної си ли тертя, що для пружного контакту перетворюється у відношення в’я зкос ті матеріа лу кон тактни х пар до його моду ля Юнга другого роду. 6. Виявлено, що основними факторами, які в найбільш ій мірі визначаю ть с тан повзучості (прос- тої п ісля дії) у ННФК є в’язкіс ть матеріа лу конта ктни х пар, модуль Юн га другого роду, коефіцієн т запасу зчеплення в кон такті, початкова тан генц іальна жорсткість кон та кту та наявніс ть в ньому проміжного ша- ру з розрихлени х продуктів фретинг-зношування . Спрямований вп лив на ни х дозволи ть у бажаному на- прямку змінювати процес повзучості. Літе ратура 1. Кос тогрыз С. Г . Ме хани ка вибрационного трения в номинально неподвижном фрикционном конта кте : дис... д-ра те хн . наук : 05.02.04 “Трение и износ” / Костогрыз Сергей Григорьевич. – Хме ль- ницкий , 1995. – 367 с. 2. Мис ліборський В. В. Формування пружно-пластични х та в’я зко-пружни х властивостей номі- нально нерухомого фрикційного кон такту : дис.. кан д. те хн. наук / В. В. Мисліборський. – Хмельни ць- кий, 2012 3. Рей нер М. Реология / M. Рейнер ; под ред. Э . И. Григо люка ; пер. с англ. – М. : Наука, 1965. – 224 с . Поступи ла в редакц ію 10.03.2015 Повзучість у номінально нерухомому фрикційному контакті при деформації зсуву Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2015, № 1 105 M isliborski V.V., Kostogris S.G. Creep in the nominal stationary friction contact at the shear strain. The p ap er rep resents the origin ally resear ched condition of cr eep in the no minal stationary friction contact and ob- tained analy tical dep endence describ in g creep (simp le after effect) in NSFC on the basis of rheolo gical mod el. Keywords: creep , rheolo gical model, nomin al stationary friction contact (NSFC), elasto-p lastic contact, visco-elastic contact, tangential h ardness of NSFC, contact p lasticity p arameter, contact p lasticity factor, contact relative shear strain, viscosity . References 1. Kostohruz SG Mechanics vybratsyonnoho trenyya in nominal standing fryktsyonnom Contact De- tails: Dis ... Dr. Sc. Sc iences: 05.02.04 "Trenye and yznos". Kostohruz Sergey Hryhorevych. Khmelnitsky, 1995. 367 p. 2. Mysliborskyy V. Format ion of e las tic-plastic and visco-elastic properties of no minally fixed fric - tional contact: dis .. candidate. Sc . Sc ience. Kh meln itsky, 2012 3. Ra iner M. Rheology. M. Rayner; ed. E. I. Hryholyuka; Pe r. with the English. Moscow. Nauka, 1965. 224 p.