Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 105 Кухарь В.В., Тузенко О.А., Балалаева Е.Ю., Нагнибеда Н.Н. ГВУЗ «Приазовский государственный технический университет», г. Мариуполь, Украина E-mail: kvv.mariupol@gmail.com МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ КОНТАКТЕ ГРАДИЕНТНО - НАГРЕТОЙ ЗАГОТОВКИ С ПЛОСКИМ БОЙКОМ УДК 621.73.69.001.24:536.224 В работе рассмотрены схемы теплопередачи от неравномерно нагретой по длине заготовки к плоскому штампу. Разработана рекуррентная конечно-разностная математическая модель изменения температурных полей за- готовки и штампа, позволяющая определять начальное распределение температур в заготовке для проектирования электротермических нагревателей необходимой конструкции. Ключевые слова: конечно - разностная математическая модель, метод элементарных тепловых балан- сов, заготовка, штамп, температурное поле, градиентный нагрев, остывание. Введение Термодинамические процессы, протекающие при горячей обработке материалов давлением, ока- зывают влияние на выбор термомеханических режимов, а их учет необходим для исключения дефектов термического происхождения и деформационного разрушения заготовки, обеспечения требуемых темпе- ратур и высокой стойкости штампового инструмента. Как известно, температура заготовки на протяже- нии термического цикла от нагрева до завершения деформирования не должна выходить за верхнюю и нижнюю границы температурного интервала, которые оговорены в справочной литературе [1]. Гораздо сложнее произвести выбор термомеханических режимов в процессах градиентного (неравномерного) на- грева заготовок под последующую обработку давлением: ковку или штамповку. Задача существенно ус- ложняется на этапах начального остывания заготовки тем, что необходимо учитывать исходное распре- деление температур в заготовке, тепловые процессы на контакте неравномерно нагретых частей заготов- ки с воздухом и инструментом. Кроме того, следует учитывать изменение теплофизических свойств ме- талла заготовки и контактирующего инструмента, происходящее вследствие изменения температуры при контактном теплообмене. Для решения таких задач наиболее целесообразно использование приемов чис- ленного счета в качестве метода разработки математической модели процесса. Анализ известных исследований и публикаций Способы местного, неравномерного или дифференцированного (градиентного) нагрева, иногда сочетающиеся с принудительным охлаждением инструмента, широко применяют при вытяжке и отбор- товке, гибке, раздаче и обжиме [2 - 4]. Неравномерный нагрев слитков под ковку используют для дости- жения положительного эффекта влияния интенсивных сдвиговых деформаций на проработку металла [5]. В диссертации В.И. Стеблюка [6] получили развитие способы вытяжки из предварительно спрофи- лированной заготовки с применением неравномерного нагрева, обеспечивающие необходимую разницу сопротивления деформированию по очагу деформации, увеличивая вытяжку и снижая разнотолщинность изделий. Данные технологические приемы применимы при штамповке листового материала, и расшире- ние их области применения на процессы объемного деформирования требует научного обоснования и разработки практических рекомендаций. В объёмной штамповке перед высадкой утолщений применяют местный нагрев в очковых печах или индукторах [7] или подстуживание торцов заготовок. Известно применение зонального и дифферен- цированного нагрева заготовок в процессах горячей объёмной штамповки [8], для чего конструируют специальные индукционные установки. Перспективно направление развития нагрева и деформирования энергией лазера [9]. В работе [10] выполнены расчеты температурного поля, специального индукционно- го нагревателя и электротермических процессов при градиентном нагреве продукции кабельной промы- шленности. Данный способ является перспективным для операций с формоизменением в открытом объ- еме, причем распределение температур при нагреве рационально принимать соответствующим распреде- лению деформаций или утолщений, которые необходимо получить в заготовке [11]. Интенсификацию формоизменения градиентным нагревом по длине заготовки рассматривают как температурный способ безручьевого профилирования [12], который позволяет управлять конечной формой изделия. Распределение температур по высоте (длине) заготовки следует корректировать как на время, проходящее от конца нагрева заготовки до начала её деформирования, так и на время контакта за- mailto:kvv.mariupol@gmail.com Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 106 готовки с нижним штампом (бойком) до деформирования. Разработка и программная реализация мате- матической модели изменения температурного поля с учетом времени переноса заготовки от нагрева- тельного устройства к штампу были выполнены ранее в работах [13, 14]. Термодинамические процессы охлаждения на штампе заготовки, которая неравномерно прогрета по высоте, ранее не изучали. Цель работы Целью работы является разработка математической модели термодинамических процессов, про- исходящих при контакте и остывании неравномерно нагретой по высоте заготовки на плоском штампе перед деформированием. Изложение основного материала Для разработки математической модели был выбран метод элементарных тепловых балансов. Применительно к заготовке рассматривали одномерную модель, то есть плотность теплового потока яв- ляется функцией координаты по оси заготовки и времени. Применительно к штампу рассматривали дву- хмерную модель с его прогревом вглубь и в стороны. Нагретую заготовку (рис. 1) условно разбивали на элементарные объемы (слои) цилиндрической формы толщиной x и площадью 4/20DF  , где 0D – диаметр заготовки. Аналогично проводили условное разбиение тела штампа на слои толщиной /x . Размеры x выбирали небольшими по срав- нению с длинной заготовки 0L , принимали x = /x . а в б г Рис. 1 – Схемы теплопередачи в заготовке и штампе: а – в промежуточном слое (i); б – в приконтактном слое (i = 0); в – прогрев слоев штампа (i = -1; -2; -3); г – теплопередача в штамп Принимали следующие допущения: 1) изотермические поверхности в пределах одного цилиндрического элемента представляют со- бой параллельные плоскости, равноотстоящие друг от друга; 2) средний тепловой поток q , проходящий за элементарный промежуток времени  через лю- бую поверхность, пропорционален начальному значению градиента температур за это же время; Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 107 3) теплосодержание элемента возрастает (убывает) пропорционально приращению (снижению) температуры в средней точке его объема, а тепловой поток распространяется от более нагретых элемен- тов к менее нагретым ( 21 qq  ), а так же в окружающую среду ( 3q ); 4) теплопередача конвекцией не учитывается. Искомое рассредоточение температур по длине заготовки зависит от начального распределения. Рассматривали два типа распределения: а) линейное, с меньшими значениями температуры на торцах заготовки и максимумом в попе- речном сечении на середине её высоты; б) соответствующее рассредоточению деформаций при осадке высоких заготовок (в соответст- вии с рекомендациями источника [11]). Количество элементарных объемов при рассмотрении заготовки: xLN  /0 , порядковый но- мер каждого элемента x обозначали как Ni ;...2;1 . Время от окончания нагрева заготовки до начала её деформирования обозначали через  и разбивали на M элементарных промежутков  , т.е.  /M . Каждому элементарному  присваивали порядковый номер Mj ;...2;1 . Величина     Mj j j j ...2;1 1 )( подлежит определению. Вводили обозначения для температур (в С): jit ; – температу- ра произвольного слоя в любой промежуток времени, где i – номер произвольного слоя, j – номер про- межутка времени. Теплопередача от слоя к слою в заготовке и штампе происходит в соответствии с основным за- коном Фурье [15], теплообмен с окружающей средой – согласно закону Стефана-Больцмана [15]. Рассмотрим тепловой баланс для слоя i внутри образца (рис. 1, а). Обозначим температуру i–го слоя в момент времени j как jit ; . Температура i –го слоя в предыдущий момент времени 1; jit . Темпе- ратура i –го слоя в последующий момент времени 1; jit . Удельная плотность и плотность теплового по- тока от слоя 1i к i слою обозначали и соответственно: x tt q jijii     ;;1 11 и 4 2 0 11 D qQ   , (1) где  – коэффициент теплопроводности для материала при заданных условиях, Вт/мград. Удельная плотность и плотность теплового потока от слоя i к слою 1i : x tt q jijii      ;1; 12 и 4 2 0 22 D qQ   . (2) Плотность теплового потока от боковой поверхности слоя i к окружающей среде:      xDttQ ñîjipr  04.4;/3 273273 , (3) где 1067,5 8 cmpr          42м Вт K Вт, здесь cm = 0,8 – степень черноты заготовки и штампа. Изменение энтальпии i –го слоя за промежуток времени  :   xDttcH jijiii     4 2 0 ;1; , (4) где  – плотность материала заготовки при заданной температуре, кг/м3; c – теплоемкость материала заготовки при заданной температуре, Дж/(кгград). После решения уравнения теплового баланса в виде:   0321  HQQQ , (5) с учетом (1)–(4), получим:       ,2732734 )( 4 .. 4 ; 0 ;1;2 1 ;;12 ;1 ;1;                ñîji pr jiji i jiji ji jiji tt D tt x a tt x a tt (6) Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 108 где ña  / – коэффициент температуропроводности материала. Рассмотрим тепловой баланс для слоя Ni 2 , не прилегающего к бойку (рис. 1, а). Удельная плотность и плотность теплоты от слоя 12 N к слою Ni 2 соответственно: x tt q jNjNjN     ;2;12;21 и 4 2 0 11 D qQ   . (7) Плотность теплового потока от слоя Ni 2 в окружающую среду с температурой ..cot :      ) 4 (273273 0 2 04 . 4 ;23 xD D ttQ cojNpr    . (8) Изменение энтальпии слоя за время  : x D ttcH jNjNNNN     4 )( 2 0 1;2;2222 . (9) После решения уравнения теплового баланса для слоя Ni 2 в виде: NHQQ 221 )(  , (10) с учетом (7) - (10), получим:     .273273 ) 4 1( )( 4 . 4 ;2 ;2;2 0 ;2;122 ;2;2 ;12 ;21;2              ñîjNpr jNjN jNjN jNjN jN jNjN tt xc D x tt xc tt (11) Значения коэффициентов теплопроводности берут при средней температуре соседнего слоя в момент времени j , плотность и теплоемкость берут при температуре слоя в момент времени j . Значе- ние x выбираем произвольно (желательно чтобы N было не менее 10). Значение  выбирают из условия устойчивости счета: 2 1 2 minmin min    xc . (12) Рассмотрим тепловой баланс для слоя 0i (рис. 1, б). Теплофизические свойства штампа обо- значали ' , 'c , ' , 'a . Значение 'x определяли из условия: a a xx ' '  . (13) В общем виде для слоя i в момент времени j масса слоя будет равна: ')')(( 4 ''' 21;1;; xxjiDcm ojijiji     . (14) При счете необходимо проводить проверку по условию 0 ji . Если условие выполняется, то расчет ведут по приведенной формуле. Если 0 ji , то необходимо принимать значение 0 ji . Удельный тепловой поток и тепловой поток от слоя 1i к слою 0i : x tt q jji     ;0;111 и 20 ;0;1 11 4 D x tt Q jji        . (15) Тепловой поток от слоя 0i к слою 1i (рис 1, б): 2 0 ;0;0 02 42/ ' D x tt Q jj       , (16) здесь jt ;0' – температура на границе слоев 0i и 1i (условия приравниваются). Изменение энтальпии слоя 0i :  jjjjj ttx D cH ;01;0 2 0 ;0;0;0 4     . (17) Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 109 После решения уравнения теплового баланса слоя 0i в виде:   jHQQ ;021  , (18) с учетом (13) - (15), получаем: ) ' ' ' ' ( 2 )( 00 ;1 0 ;0 0 ;02 ;0;0 0 ;0;12 ;0;0 ;1 ;01;0 xx t x t xt xc tt xc tt jj j jj jj jj j jj                    . (19) Рассмотрим тепловой баланс для слоя 1i (рис. 1, б - г). Удельный тепловой поток и тепло- вой от слоя 0i к слою 1i соответственно: 2/ ' ;0;0 01 x tt q jj    и . 42/ ' 20;0;0 01 D x tt Q jj      (20) Тепловой поток от слоя 1i к слою 2i (рис. 1, г): . 4' ' 2 0;2;;1 ;11 D x tt Q jjjj       (21) Изменение энтальпии слоя 1i :  .']')([ 4 ' '' ;11;10;0;0;1 jjjjj ttxxjiDcH     (22) После решения уравнения теплового баланса получим искомую температуру 1;1  jt : ).( ]')([)('' ) ' ' ' ' ( ']')([ 4 '' 2 ;2;1 0 2 ;1;1 2 0;1 00 ;1 0 ;0 0 ;0 0;1;1 2 00 ;11;1 jj jj j jj j jj jj tt xjiDxc D xx t x t xt xxxjiDc D tt                            (23) Зависимости (6), (11), (19), (23) составляют основу автоматизированного расчета распределения температуры в заготовке и штампе. На базе данных зависимостей была составлена программа TempPole в среде C++ Builder, позволяющая исследовать термодинамические процессы в неравномерно нагретой за- готовке и штампе. Выводы Разработанная математическая модель изменения температурных полей в неравномерно нагре- той по длине заготовке и штампе, на который она установлена, позволяет рассчитывать рациональное начальное распределение температур по длине заготовки, необходимое для проектирования нагревате- лей, например, индукционного или щелевого типов. Перспективными направлениями развития исследо- ваний в данном направлении являются расчеты термических напряжений в инструменте и заготовке для предупреждения её разрушения при последующем деформировании. Литература 1. Ковка и штамповка : справочник : в 4 т. Т. 1. Материалы и нагрев. Оборудование. Ковка / под ред. Е. И. Семенова. – М. : Машиностроение, 1985. – 569 с. 2. Ершёв В. И. Интенсификация формоизменяющих операций листовой штамповки / В. И. Ер- шёв. – М.: Высшая школа, 1989. – 87 с. 3. Method for bending workpieces: pat. 7373797 США, МПК В 21 D 43/10 (2006.01) / Rosenberger Ag, Rosenberger Gerhard. – № 10/567067 ; заявл. 13.07.2004 ; опубл. 20.05.2008 ; НПК 72/307. 4. Кирицев А. Д. Обжим толстостенных труб с неравномерным нагревом очага деформации / А. Д. Кирицев, В. К. Икорский // Изв. вузов. Черная металлургия. – 1965. – № 3. – С. 11-15. 5. Протяжка заготовок с неоднородным температурным полем / В. К. Заблоцкий, Я. Г. Жбанков, А. А. Швец, В. В. Панов // Научный вестник ДГМА. – 2013. – № 2 (12Е). – С. 52-62. 6. Стеблюк В. И. Разработка теории и методов интенсификации формоизменяющих операций листовой штамповки: дис. … д-ра техн. наук : 05.03.05 / Стеблюк Владимир Иванович. – К., 1998. – 312 с. Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 110 7. Безручко И. И. Индукционный нагрев для объёмной штамповки / И. И. Безручко. – Л.: Маши- ностроение, 1987. – 126 с. 8. Zone heating methods and apparatuses for metal workpieces for forging : pat. 6178800 USA, МПК7 В 21 J 1/06. MSP Ind. Corp. / Edmonds Kevin, Stenger Jeffery. – № 09/114970 ; заявл. 14.07.1998 ; опубл. 30.01.2001 ; НПК 72/342.94. 9. Zhang X. R. Numerical simulation of pulsed laser bending / X. R. Zhang, G. Chen, X. Xu // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 2002. – № 3. – P. 254-260. 10. Кувалдин А. Б. Автоматизированный расчет процесса индукционного градиентного нагрева для кабельной промышленности / А. Б. Кувалдин, Н. С. Некрасова // Промышленный электрообогрев и электроотопление. – № 3/2013. – С. 34-38. – Режим доступа : // http://www.e- heating.ru/content/files/kuvalding_nekrasova.pdf 11. Кухар В. В. Розробка рекомендацій до використання диференційованого нагрівання при оде- ржанні профільованої заготовки осаджуванням із втратою стійкості / В. В. Кухар, К. К. Діамантопуло // Удосконалення процесів та обладнання обробки тиском у металургії і машинобудуванні : зб. наук. пр. – Краматорськ, 2001. – С. 321-326. 12. Гринкевич В. А. Бесштамповое профилирование на прессах с повышением точности формо- изменения на окончательных операциях / В. А. Гринкевич, В. В. Кухарь, К. К. Диамантопуло // Кузнеч- но-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. – 2010. – № 5. – С. 19-23. 13. Математичне моделювання зміни температурного поля заготовки при охолодженні після не- рівномірного нагрівання / К. К. Діамантопуло, Л. І. Хііш, В. В. Кухар, І. В. Дмитренко // Наукові вісті. Сучасні проблеми металургії. – Дніпропетровськ, 2002. – Т. 5 : Пластична деформація металів. – С. 175-179. 14. Хііш Л. І. Розрахунок температурного поля заготовки при нерівномірному нагріванні / Л. І. Хііш, В. В. Кухар, І. В. Дмитренко // Вісник технологічного університету Поділля. – Хмельницький, 2001. – № 5 (36). – С. 155-159. 15. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. – М.: Машгиз, 1967. – 596 с. П р о б л е м и т р и б о л о г і ї “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” E-mail: tribosenator@gmail.com Поступила в редакцію 10.03.2016 http://www.e-heating.ru/content/files/kuvalding_nekrasova.pdf Математическая модель термодинамических процессов при контакте градиентно - нагретой заготовки с плоским бойком Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 1 111 Kukhar V.V., Tuzenko O.A., Balalayeva E.Yu, Nahnibeda N.N. Mathematical model of thermo-dynamical processes during contacting of gradient-heated billet with flat die. The models of a heat transfer from billet that unregulated heated on length to the flat die are considered in this pa- per. The recurrent certainly-difference mathematical model of a temperature fields changes in the billet and the die are devel- oped. This model allows defining the initial distribution of temperatures in billet for choice an electro-thermal heater of a necessary design. Ключевые слова: certainly-difference mathematical model, method of elementary heat balances, billet, flat die, tempera- ture field, gradient heating, cooling. References 1. Kovka i shtampovka, spravochnik, v 4 t. T.1. Materiali i nagrev, Oborudovanie, Kovka, pod red. E.I. Semenova, M., Mashinostroenie, 1985, 569 p. 2. Ershev V. I. Intensifikatsiya formoizmenyayuschih operatsiy listovoy shtampovki, M., Visshaya shkola, 1989, 87 p. 3. Method for bending workpieces: pat. 7373797 USA, MPK V 21 D 43/10 (2006.01) / Rosenberger Ag, Rosenberger Gerhard. No. 10/567067 ; zayavl. 13.07.2004 ; opubl. 20.05.2008 ; NPK 72/307. 4. Kiritsev A.D., Ikorskiy V.K. Obzhim tolstostennyih trub s neravnomernyim nagrevom ochaga de- formatsii, Izv. Vuzov, Chernaya metallurgiya, 1965, No. 3, P. 11-15. 5. Zablotskiy V.K., Zhbankov Ya.G., Shvets A.A., Panov V.V. Protyazhka zagotovok s neodnorodnyim temperaturnyim polem, Nauchnyiy vestnik DGMA, 2013, No. 2 (12E), P. 52-62. 6. Stebluk V.I. Razrabotka teorii i metodov intensifikatsii formoizmenyayuschih operatsiy listovoy shtampovki: dis. Dr. tehn. nauk ,05.03.05, Stebluk Vladimir Ivanovich, Kiev, 1998, 312 p. 7. Bezruchko I.I. Induktsionnyiy nagrev dlya objomnoy shtampovki, L., Mashinostroenie, 1987, 126 p. 8. Zone heating methods and apparatuses for metal workpieces for forging : pat. 6178800 USA, MPK7 V 21 J 1/06. MSP Ind. Corp. / Edmonds Kevin, Stenger Jeffery, No. 09/114970 ; zayavl. 14.07.1998 ; opubl. 30.01.2001 ; NPK 72/342.94. 9. Zhang X.R., Chen X.Xu. Numerical simulation of pulsed laser bending, Trans. ASME. J. Appl. Mech., 2002, No. 3, P. 254-260. 10. Kuvaldin A.B., Nekrasova N.S. Avtomatizirovannyiy raschet processa induktsionnogo gradientnogo nagreva dlya kabelnoy promyishlennosti, Promyishlennyiy elektroobogrev i elektrootoplenie, No. 3, 2013, P. 34- 38. Url : // http://www.e-heating.ru/content/files/kuvalding_nekrasova.pdf 11. Kukhar V.V., DIamantopulo K.K. Rozrobka rekomendatsiy do vikoristannya diferentsiyovanogo nagrIvannya pri oderzhannI profIljovanoyi zagotovki osadzhuvannyam iz vtratoyu stIykostI, Udoskonalennya protsesIv ta obladnannya obrobki tiskom u metalurgIyi i mashinobuduvanni, zb. nauk. pr., Kramatorsk, 2001, P. 321-326. 12. Grinkevich V.A., Kukhar V.V., Diamantopulo K.K. Besshtampovoe profilirovanie na pressah s povyisheniem tochnosti formoizmeneniya na okonchatelnyih operatsiyah, Kuznechno-shtampovochnoje proiz- vodstvo, Obrabotka materialov davleniem, 2010, No. 5, P. 19-23. 13. Diamantopulo K.K., Khiish L.I., Kukhar V V., Dmytrenko I.V. Matematichne modelyuvannya zminy temperaturnogo polya zagotovki pri oholodzhenni pislya nerivnomirnogo nagrivannya, Naukovi visti. Suchasni problemi metalurgiyi, Dnipropetrovsk, 2002, T. 5, Plastichna deformatsiya metaliv, P. 175-179. 14. Khiish L.I., Kukhar V.V., Dmitrenko I.V. Rozrahunok temperaturnogo polya zagotovki pri neriv- nomirnomu nagrivannI, Visnik tehnologichnogo universitetu Podillya, Khmelnitskiy, 2001, No. 5(36), P. 155- 159. 15. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti, M. Mashgiz, 1967, 596 p.