До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 82 Вельбой В.П., Диха М.О. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: tribosenator@gmail.com ДО РОЗРАХУНКУ КОНТАКТНИХ ПАРАМЕТРІВ І СИЛ ТЕРТЯ В ЦИЛІНДРИЧНИХ НАПРЯМНИХ КОВЗАННЯ УДК 621.891 Проведений розрахунковий аналіз контактних параметрів для циліндричної напрямної ковзання з викорис- танням залежностей Герца в широкому діапазоні конструктивних розмірів і матеріалів. Встановлена прийнятність використання значень коефіцієнтів тертя для плоских поступальних пар у розрахунках циліндричних на- прямних ковзання в межах існуючих допусків і посадок спряжених тіл. Ключові слова: циліндрична напрямна ковзання, зведений коефіцієнт тертя, контактний тиск, кут контакту. Вступ і постановка завдань Силу тертя ковзання в інженерних розрахунках зазвичай визначають за законом Амонтона і Кулона, згідно якого максимальне значення сили тертя спокою прямо пропорційне нормальному тиску одного тіла на інше в момент початку їх відносного руху, тобто: QfFFf 0max  , де 0f – коефіцієнт тертя спокою, який можна виразити відношенням максимальної сили тер- тя maxF до нормальної сили Q . Коефіцієнт тертя спокою залежить від матеріалу тіл, що стикаються, і фізичного стану тертьових поверхонь, тобто від величини і характеру шорсткості, наявності мастила, вологості, температури та ін- ших умов. Тому значення коефіцієнтів тертя, наведені в довідниках, визначені експериментально при ко- взанні тіла по плоскій поверхні. В механізмах поступального руху зазвичай використовують клинові і циліндричні напрямні, у яких контактний тиск відповідно діє на нахилені під кутом і криволінійні поверхні. В роботі [1] показа- но, що сила тертя таких напрямних більша сили тертя, визначеної за довідниковим значенням коефіцієнту тертя. Зокрема аналітично доведено для циліндричної напрямної за умови кута контакту 1802 0  і розподілу контактного тиску за законом косинуса, тобто    cos0 ( 0 – тиск на лінії дії сили 0Q ) сила тертя на 27 % більша від сили тертя в плоскій поступальній парі і вводиться по- няття зведеного коефіцієнту тертя. Слід зауважити, що прийняті в роботі [1] умови не є коректними, оскільки завжди 20  , а    cos0 не задовольняє граничні умови, зокрема,   0 при 0 (рис. 1). Рис. 1 – Розрахункова схема циліндричної напрямної ковзання До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 83 В реальних умовах тертя циліндричної напрямної 1 і повзуна 2 контактні параметри, до яких на- лежать кут контакту 02 , розподіл   і максимальне значення 0 контактного тиску залежать від властивостей матеріалів напрямної і повзуна, радіальних розмірів контактних поверхонь 1R i 2R та за- зору  між ними [2]. Метою даної роботи є аналіз впливу криволінійної поверхні контакту напрямної на силу тертя і достовірності довідникових значень коефіцієнтів тертя для розрахунку сили тертя ковзання поступально- го руху. Основний матеріал Для розрахунку контактних параметрів циліндричної напрямної і повзуна в даній роботі на від- міну від роботи [1] використана теорія Герца [2] , достовірність якої обумовлена показником:      2221 11П , (1) де   1 0 E Q : 2 1 E E  ; 21 RR  ; 1 і 2 – коефіцієнти Пуасона матеріалу напрямної і повзуна; 1E і 2E – відповідно модуль пружності матеріалу напрямної і повзуна. Якщо 092,0 , то за умови 21 RR  кут контакту 0 , розподіл контактного тиску   залежно від кута контакту і максимальний тиск 0 в центрі контактної зони визначають за формулами [2]:        22 2 10 11 4 sin ; (2)   2/12 0 0 1                  ; (3) 01 0 0 sin 2   R Q . (4) Для визначення сили тертя fF в циліндричній парі (рис. 1) розглянемо елементарну частину  Rdab контактної поверхні напрямної 1 і повзуна 2. Елементарна сила тертя на одиницю довжини для цієї частини контактної поверхні:  RdfdF f , де f – коефіцієнт тертя ковзання;  – питомий тиск на виділеному елементі напрямної; R – радіус циліндричної напрямної. Повна величина сили тертя визначається за формулою:     dfRFf 0 0 )( . (5) Враховуючи залежність (3) отримуємо [3]: До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 84 0 0 0 2 022 0 0 022 0 0 0 arcsin 22                fRl d fR Ff . (6) З урахуванням границь інтегрування від ( 0 ) до ( 0 ) знаходимо:                             0 0 2 02 0 2 0 00 2 02 0 2 0 0 0 0 arcsin 222 arcsin 22 fR F f . Або                               2222 1arcsin 2 1arcsin 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 fRlfRFf ; 0 0 2    fRFf . (7) Враховуючи залежність (4) остаточно отримуємо: 0 0 0 0 00 sinsin 2 2 fQ R Q fRFf        . (8) Таким чином, показано, що зведений коефіцієнт тертя ковзання циліндричної напрямної зале- жить від кута контакту напрямної і повзуна: ff 0 0 sin    . (9) Для кількісної оцінки зміни сили тертя повзуна і циліндричної напрямної у порівнянні з силою тертя повзуна по плоскій поверхні для кутів контакту 4510 0  за інших однакових умов ковзання значення 0 в радіанах і табличні значення 0sin  наведені в табл. 1. Таблиця 1 Значення розрахункових параметів для різних кутів контакту 0 , о 10 15 20 25 30 35 40 45 0 , рад 0,1745 0,2617 0,3490 0,4362 0,5235 0,6107 0,6980 0,7852 0sin  0,1736 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5735 0,6429 0,7071 0 0 sin   1,005 1,01 1,02 1,03 1,05 1,06 1,08 1,11 Аналіз числових значень відношення 0 0 sin   показує, що при зміні кута контакту 02 від 20 о до 90о за інших однакових умов ковзання сила тертя збільшується від 0,5 % до 11 % у порівнянні з си- лою тертя повзуна по плоскій поверхні. Розрахунок кута контакту 0 за формулами (1 - 2) виконано з урахуванням механічних характе- ристик матеріалів та розмірів рухомого з’єднання напрямної і повзуна. Циліндричні напрямні реальних механізмів зворотно-поступального руху виготовляють з якіс- них вуглецевих сталей. Кількість і розміри напрямних залежить від призначення і вимог щодо точності переміщення рухомих складових механізму. Так, наприклад, в штампах і прес-формах зазвичай є дві на- До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 85 прямні діаметром від 30 до 50 мм, а в ливарних машинах лиття під тиском і термопластавтоматах – чоти- ри напрямні діаметром від 50 до 120 мм [4, 5, 6]. Напрямні зазвичай нерухомо кріпляться до базових де- талей механізму. Повзуни ковзають по напрямних, їх виготовляють у вигляді гладких сталевих плит або литих траверз, фасонних плит та інших конструктивних форм з відповідними отворами для напрямних. З ме- тою зменшення сили тертя і підвищення зносостійкості напрямних в отвори повзунів часто впресовують бронзові або сталеві втулки. Таблиця 2 Механічні характеристики матеріалів напрямної і повзуна наведені в таблиці 2 [7] Матеріал Сталь вуглецева Сірий чавун Бронза Модуль пружності, E , кПа 210·106 110·106 115·106 Коефіцієнт Пуасона,  0,28 0,22 0,35 Рухомі з’єднання напрямних і повзуна зазвичай виконують з гарантованим зазором посадою 9/9 dH , що зумовлює зміщення центрів напрямної і отвору повзуна. Числові значення зазорів maxZ і minZ , а також усереднене зміщення центрів  для рекомендованих інтервалів розмірів напрямної наве- дені у табл. 3 [8], Таблиця 3 Граничні зазори і зміщення у циліндричній напрямній ковзання Інтервал розмірів, мм 30 … 50 50 … 80 80 … 120 maxZ , мм 0,202 0,248 0,294 minZ , мм 0,08 0,1 0,207  minmax5,0 ZZ  , м 0,00141 0,00174 0,0025 Наведемо розрахунки показника достовірності теорії Герца за формулою (1) і кута контакту 0 за формулою (2) для варіанту тертя сталевої напрямної Ø 50 мм і повзуна з сірого чавуну за умови 3 0 105 Q кН/м. Вихідні дані вибираємо за табл. 2 - 3: 6 1 101,2 E кПа; 28,01  ; 6 2 101,1 E кПа; 22,02  ; 00141,0 м. Тоді 017,0 00141,010210 105 6 3     ; 91,1 10110 10210 9 9     ;      092,00465,091,122,0128,01017,0 22 П ; 2433,00465,0 14,3 4 sin 0  ; 2443,0140   рад; 004,1 2433,0 2443,0 sin 0    ; 282 0  . До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 86 Аналогічно виконані розрахунки кута контакту сталевих напрямних діаметром від 30 мм до 120 мм навантажених їх силою 30 105Q кН/м в парі тертя з повзунами, виготовленими з вуглецевої ста- лі, сірого чавуну та з бронзовими втулками. Результати розрахункових контактних параметрів різних ва- ріантів пар тертя зведено в таблицю 4. Таблиця 4 Результати розрахунку контактних параметрів в напрямних ковзання Інтервал розмірів, мм  0sin  0 0 , рад 0 0 sin   02 Сталева напрямна - повзун з сірого чавун (  = 0,017;  = 1,91) 0,0465 0,2433 14о 5' 0,2243 1,004 28о Сталева напрямна - повзун сталевий (  = 0,017;  = 1,0) 0,0313 0,1996 11о31' 0,2007 1,005 23о Сталева напрямна - втулка бронзова (  = 0,017;  = 1,82) 30 … 50 0,0428 0,2335 13о36' 0,2355 1,008 27о Сталева напрямна - повзун з сірого чавуну (  = 0,014;  = 1,91) 0,0383 0,2211 12о47' 0,2251 1,018 25о Сталева напрямна - повзун сталевий (  = 0,014;  = 1,0) 0,0258 0,1437 8о16' 0,1448 1,007 16,5о Сталева напрямна - втулка бронзова (  = 0,014;  = 1,82) 50 … 80 0,0352 0,2117 12о32' 0,2181 1,03 25о Сталева напрямна - повзун з сірого чавуну (  = 0,009;  = 1,91) 0,0246 0,1769 10о12' 0,1780 1,006 22,5о Сталева напрямна - повзун сталевий (  = 0,009;  = 1,0) 0,0166 0,1454 8о20' 0,1454 1,00 16,5о Сталева напрямна - втулка бронзова (  = 0,009;  = 1,82) 80 … 120 0,0226 0,1696 9 о46' 0,1704 1,005 20о В результаті проведеного аналізу встановлено, що кут контакту 02 поверхонь ковзання цилін- дричної сталевої напрямної діаметром від 30 мм до 120 мм в рухомому з’єднанні посадкою 9/9 dH з повзунами, виготовленими з вуглецевої сталі, сірого чавуну та з впресованими бронзовими втулками при розподіленому навантаженні до 5 · 103 кН/м менше 30о. Найбільше значення  28...222 0  має місце в контакті сталевої напрямної і повзуна з сірого чавуну, найменше  23...5,162 0  – в контакті сталевої напрямної з сталевим повзуном. Чим менший діаметр з’єднання напрямної і повзуна, тим біль- ший кут контакту. Встановлено, що в межах визначених контактних параметрів різниця сили тертя циліндричної напрямної, обчисленої за довідниковими значеннями коефіцієнту тертя з урахуванням показника 0 0 sin   і за умови його нехтування не перевищує 3 % , що заходиться в межах похибки експерименту виміру ко- ефіцієнту тертя ковзання по плоскій поверхні. До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 87 Висновок Розрахунок розмірів дуги контакту для циліндричної напрямної ковзання за формулами Герца та відповідних значень контактного тиску дозволив оцінити нормальну складову навантаженності цилінд- ричного контакту та відповідні складові характеристик тертя. Аналіз отриманих розрахункових даних для широкого діапазону конструктивних розмірів і різних сполучень матеріалів показав прийнятність ви- користання значень коефіцієнтів тертя для плоских поступальних пар у розрахунках циліндричних на- прямних ковзання в межах існуючих допусків і посадок спряжених тіл. Література 1. http://refleader.ru/polatybewqas.html 2. Диха О.В. Вузли тертя машин. Розрахунки на зносостійкість : навч. посібник / О.В. Диха. – Хмельницький :ХНУ, 2013. – 147 с. 3. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М. : Наука, 1973. – 872 с. 4. Справочник конструктора штампов: Листовая штамповка / Под общ. ред. Л. И. Рудмана. – М. : Машиностроение, 1988. – 496 с. 5. Пантелеев А. П., Шевцов Ю. М., Горячев И. А. Справочник по проектированию оснастки для переработки пластмасс. – М. : Машиностроение, 1986. – 396 с. 6. Калиничев Э. Л., Калиничева Е. И., Саковцева М. Б. Оборудование для литья пластмасс под давлением. – М. : Машиностроение, 1985. – 256 с. 7. Опір матеріалів. Підручник / Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка – К.: Вища школа, 1993. – 655 с. 8. Гжиров Р. И. Краткий справочник конструктора: Справочник. – Л.: Машиностроение, 1984. – 464 с. П р о б л е м и т р и б о л о г і ї “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” E-mail: tribosenator@gmail.com Поступила в редакцію 02.12.2016 До розрахунку контактних параметрів і сил тертя в циліндричних напрямних ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2016, № 4 88 Velboj V.P., Dykha M.O. To calculate the contact parameters and the friction forces in cylindrical sliding guide. Conducted design analysis of contact parameters for cylindrical slide guide using Hertz in a wide range of sizes and materials. Established the acceptability of the values of the coefficients of friction for flat progressive pairs in the calculation of the cylindrical guides sliding within existing tolerances and fits of conjugate bodies. Keywords: cylindrical guide rail sliding, the consolidated coefficient of friction, contact pressure, contact angle. References 1. http://refleader.ru/polatybewqap.html 2. Diha O.V. Vuzli tertja mashin. Rozrahunki na znosostіjkіst' : navch. posіbnik. – Hmel'nic'kij :HNU, 2013. 147 p. 3. Vygodskij M. Ja. Spravochnik po vysshej matematike. M. : Nauka, 1973. 872 p. 4. Spravochnik konstruktora shtampov: Listovaja shtampovka. Pod obshh. red. L. I. Rudmana. M. : Mashinostroenie, 1988. 496 p. 5. Panteleev A. P., Shevcov Ju. M., Gorjachev I. A. Spravochnik po proektirovaniju osnastki dlja pererabotki plastmasp. M. : Mashinostroenie, 1986. 396 p. 6. Kalinichev Je. L., Kalinicheva E. I., Sakovceva M. B. Oborudovanie dlja lit'ja plastmass pod davleniem. M. : Mashinostroenie, 1985. 256 p. 7. Opіr materіalіv. Pіdruchnik. G. P. Pisarenko, O. L. Kvіtka, E. P. Umans'kij. Za red. G. P. Pisarenka K.: Vishha shkola, 1993. 655 p. 8. Gzhirov R. I. Kratkij spravochnik konstruktora: Spravochnik. L.: Mashinostroenie, 1984. 464 p.