Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 22 Рудницький В.Б., Ярецька Н.О., Венгер В.О. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: rudvb@ukr.net, massacran2@ukr.net ЗАСТОСУВАННЯ ІТ ТЕХНОЛОГІЙ В МЕХАНІЦІ ДЕФОРМОВАНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА УДК 539.3 У статті з використанням співвідношень лінеаризованої теорії пружності представлено розв’язок контакт- ної задачі про контактну взаємодію пружного шару з початковими напруженнями і співвісних попередньо напруже- них циліндрів із застосуванням ІТ технологій. Розроблено алгоритм та комп’ютерна програма числового обчислення компонентів напружено-деформованого стану контактуючих тіл з початковими напруженнями при довільній струк- турі пружного потенціалу. Ключові слова: ІТ технології, лінеаризована теорія пружності, початкові (залишкові) напруження, інте- гральне рівняння Фредгольма, метод послідовних наближень. Вступ Велика увага у механіці суцільних середовищ приділяється дослідженню контактної взаємодії твердих деформованих тіл, що пов’язане із проблемою визначення їх напружено - деформованих станів. Аналіз результатів цих досліджень дозволяє сформувати умови на межі поверхонь контактуючих дефор- мованих тіл, що відповідають дійсності. Праці з контактної взаємодії пружних штампів із півпростором або шаром навіть у лінійній теорії пружності досить мало. Це пояснюється тим, що їх дослідження зво- дяться до одних із найважчих рівнянь математичної фізики, розв’язок яких пов’язаний із великими мате- матичними труднощами. Тому дана робота присвячена застосуванню ІТ технологій в механіці деформів- ного твердого тіла, що дозволяє полегшити дослідження проблеми передачі навантаження пов’язаної із врахуванням початкових напружень у тілах на закон розподілу тиску в місцях їх контакту, а розрахунок важливих елементів конструкцій дозволить більш ефективно враховувати міцність матеріалів шляхом її правильної оцінки, зберігаючи у цілому необхідну функціональність. Перші роботи з контактної взаємодії тіл з початковими напруженнями присвячені взаємодії по- передньо напружених тіл із жорсткими та пружними штампами без початкових напружень [1, 2]. Причо- му розглядаються або пружні потенціали конкретної структури, або задача ставиться в загальному вигляді для стисливих (нестисливих) тіл з потенціалом довільної структури на основі лінеаризованої теорії пружності. Існує також ряд інших публікацій, що повністю або частково пов’язані із тематикою даної статті [3 - 8]. Мета, постановка задачі та граничні умови Метою роботи є: 1. Розв’язок осесиметричних статичних задач: а) про тиск пружного циліндричного штампу з по- чатковими напруженнями на пружний шар з початковими напруженнями без врахування сил тертя в ме- жах лінеаризованої теорії пружності у випадку рівних коренів визначального рівняння [6] ( 21 nn  ) в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу; б) про контактну взаємодію пружного шару з початковими напруженнями і співвісних попередньо напружених циліндрів. Відмітимо, що при 21 RR  (радіуси співвісних циліндрів), виходячи із умов симетрії, дана задача може бути трактована як задача про тиск попередньо напруженого циліндричного штампа на шар з початковими напруженнями, що зна- ходиться на жорсткій основі без тертя. Тому далі зробимо акцент на розв’язку задачі 1, а). 2. Врахування залишкових напружень під час контактної взаємодії пружних циліндра та шару на закон розподілу тиску в місцях їх дотику за допомогою ІТ технологій, що дозволить більш ефективно враховувати зносостійкість матеріалів шляхом правильної оцінки запасів міцності та достатньо знижува- ти їх матеріалоємність, зберігаючи у цілому потрібні функціональні характеристики. 3. Розробка алгоритму та комп’ютерної програми, що принципово спрощуватиме процес отри- мання числових і графічних результатів досліджень. Постановка задачі: Нехай пружний циліндричний штамп радіуса R і висотою Н з початковими напруженнями втискається у пружний шар під дією сили Р після виникнення там початкового деформівного стану [6 - 8]. 1h – товщина шару в початковому деформованому стані, яка пов’язана з товщиною 2h у не- деформівному стані відношенням 231 λ hh  . Будемо вважати, що зовнішнє навантаження прикладене Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 23 тільки до вільного торця пружного штампу, під дією якого всі точки торця штампу переміщаються у на- прямку осі симетрії y3 на одну і ту ж саму величину  . Вважатимемо, що поверхні поза ділянкою контакту за- лишаються вільними від впливу зовнішніх сил, а в зоні контакту переміщення та напруження – неперервні. У випадку попередньо напруженого шару пропонується наступний вид закріплення із основою – шар лжить на жорсткій основі без тертя. Вважаємо, що початкові напружено-деформівні стани в шарі, штампі та основі є однорідними та рівними. а пружні потенціали – двічі неперервно - диференційовні функції алгебраїчних інваріантів тен- зора деформацій Гріна [2]. Для дослідження введено лагранжеві координати ( 321 ,, xxx ), які в початковому стані співпадають з декартовими координатами ( 321 ,, yyy ). Матеріали штампу, шару та основи вважаються ізотропними стисливими або нестисливими з довільною структурою пружного потенціалу. У випадку ортотропних матеріалів приймається, що пружно-еквівалентні напрямки співпадають з напрямками осей координат. У системі циліндричних координат ),θ,ρ( 1z такій постановці відповідають граничні умови [6 - 8]. Виклад матеріалів досліджень Методика розв’язання поставленої задачі поділяється на два етапи: аналітичний, який у повній мірі висвітлений у працях [6 - 8] і чисельний. Алгоритм чисельного розв’язку, що реалізований у вигляді програми в пакеті Maple і базується на наступних кроках: 1. Вводимо усі необхідні параметри, що стосуються характеристик конкретного пружного поте- нціалу та даних задачі (рис. 1). Рис. 1 – Параметри, що стосуються характеристик конкретного пружного потенціалу та вхідні дані задачі 2. Для визначення напружено - деформованого стану у пружному шарі з початковими напружен- нями, що виражені через гармонійні функції у вигляді інтегралів Ханкеля, при 21 nn  : 0η)ηρ()η(θη)ηρ()η( η )η( η)ηρ( η )η( θ )2(3 0 01 )2( 33 0 0 003 )2(              rQdJFQdJhG F dJ F u , (1) де 110113 )(θ  vssm , )η(F – невідома функція; )ργ(),ηρ( 1vIJ knn – функції Бесселя; ,1 Rhh  κ)1(θ 11441 mlC  ; 11 nv  ; значення коефіцієнтів iii smlC ,,,44 залежать від характеру пружного потенціалу і подані в [2], ss  0κ . Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 24 У співвідношення (1) вводиться позначення 132 3 ))η(1(η)η(   GRBF . А вид функції )η(G визначається із граничних умов [6] і має вигляд: 1 1 11 η2,)κ(κ)(),())(1()(   vhtshttshttPtPshtettG t . (2) Так для (2), при 21 nn  , спираючись на [2], апроксимується функція )(xP виразом: 1 11 11 1 ))1υ ~(υ~(14.0)()1υ~(1)(   chxxshxxxP , де 01υ ~ ss  . Відмітимо, що (1) одержані за допомогою введених О.М. Гузем потенціалів ),,(φ 321 yyyi [1, 2]. Частина програми, що відображає даний крок, представлена на рис. 2. Рис. 2 – Числова реалізація обчислення функції G(η) для потенціалів конкретної структури 3. Вводимо нові змінні: . ε μ χ,χ κθ ε8 η)ηρ( η )η( 0 0 2 1 R N lR E dJ F kk k   та виражаємо через них невідомі коефіцієнти, що залежать від вигляду пружного потенціалу [2, 6 - 8]. 4. Обчислюємо у вигляді процедур усі необхідні для подальшого чисельного розв’язку параметри:     1311121121111111214000)(1 )α()α()1()α()α(γ)μ( tHvshtHvshmtHvchHvshttJb kkkkkkk     )α()α()α()1( 11131112112111 HvchtHvshtHvshmt kkk      1)(α()1())α(1()α()α()α( 1121111110111011 HvshmcHvchcHvshcHvchtHvch kkkkk      ))α(1)(α()α()1)γ(())α( 1111101221120021111011 HvchHvchtctHvshtttRvIHvch kkkkk     )α())α(1())α()α()(α()1( 11101111123011112111 HvchtHvchcHvshtscHvchtHvshm kkkkk   ,)α()α()(α()α()1( 11241110011112   HvshtHvchtcHvshHvshm kkkk ,μsinμ)μ( 11 kkkr  ,μsin)3μ2(μcosμ3)μ( 22 kkkkkr  ),μ(μcosμμsinμ4.0)μ( 2 34 3 kkkkkk rr  kkkkkkkkkkkr  sin)15102(cos)3(5)cossin4,0(32)( 2425 4 , ,μcosμ2μsin)μ2()μ( 25 kkkkkr  ,μcos)1μ4(μμsin)1μ12μ()μ( 224 6 kkkkkkkr  ,μcos)120μ20μ(μ6μsin)720μ360μ30μ()μ( 242467 kkkkkkkkkr  , μ )μ()μ( μ )μ()μ( )μ,μ( 3 15 3 15)( 8 n kn k nk nk m rrrmrr  3 16 33 55 5 61)( 9 μ )μ()μ( μμ )μ()μ(6 μ )μ()μ( )μ,μ( n nk nk kn n nk nk m rmrrrrrr  , 7 17 35 65 53 56 7 71 10 μ )μ()μ( μμ )μ()μ(15 μμ )μ()μ(15 μ )μ()μ( )μ,μ( n nk nk kn nk kn n nk nk rrrrrrrr r  , Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 25 ,μsin)4μ3(μcosμ4)μ( 211 kkkkkr  ,μsin)72μ54μ13(μcos)12μ5(μ6)μ( 24212 kkkkkkkr  ,μcos)2880μ1200μ184(μμsin)2880μ2160μ520μ55()μ( 2424613 kkkkkkkkkr  )1)(1(2),~α~(2,~)1(),γμ(μ 120300102011023201 22 1 222 00 mmtsccHtscttmtvRt kkkk  ))(1(~)()),()1)(2(5,0 111 1 1120511 2 101 3 1 2 0304   HvchcHHvshttRvRIRvIvvRtt kkkkkkkk ,~α~)~~~(,~~α,)1(),1(α 00101211301012011211110 sccHcccvtsccHtsmvmtmHt kkk  ),1(~)~~~()),1()1)(1((~α 2011001211521211114 msctcccvtmmmmvcHt k  )),1)(1(α~)1((2))1()1((μ 2101 2 223 2 1 2 212121021 2 16 mmscmtvmvtmmHstt kk  ),~~~(2γ),1)(1(2),1(2 012 22 211912 2 118210 2 117 cccRttmmvtmtvt k  ),1(~2))~~21(γ)1(α~2()~~43~2(γ 20001 22 0121012 222 1020 mscccRsmmcHcccHRmst kkk  ,~)~~~(),1(γ2),~~21)~~4~23(( 000121232 224 1220101221 sccccvtmRvtcccccHHt k  ),1(~2γ),1(2μ),1(~)~~~)(1( 201 22 21262 2 1232111 2 25200121124  mcmRttmvttttmccccmvt kk ),1( 22627  mtt ,coscos),(ψ 1 0  ytdtxttyx nn ,η)ηρ()0,η(ψη),ρ( 0 η 1   dJezN m znm n ,η)ηρ(η),ρ( 0 η2   dJezM m znm n ,η)ηρ(ηsinη),ρ( 0 η2   dJezS m znm n    0 η 0 η)ηρ()μ,η(ψη),μ,ρ( dJezK m z k n k m n . Наприклад, на рис. 3 представимо деякі з них. Рис. 3 – Приклад процедур, що використовуються при обчисленні 5. З умов неперервності напружень та переміщень в зоні контакту та поза нею [6], виписуємо парні інтегральні рівняння: )1ρ(,0η)ηρ()η(;)1ρ(),ρ(η)ηρ( η )η( 0 0 0 0    dJFfdJ F , (3) де        ))ργ(χ)1( 2 1 )ρμ(χθρχθ)1(2χ1(εθ)ρ( 10 1 )( 1 2 20 1 40 1 2 2 20 1 3 RvIbRmJRmf k k k k k k k )η)ηρ()η()η(η 0 1 1   dJhGF , ))1(4)1(8(θ 122 1 1 1 112   HRmHvnHmE , ))1((θ 0121 1 14 smmvn   . Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 26 6. Використовуючи формулу звернення [2], матимемо інтегральні рівняння типу Фредгольма 2- го роду відносно функції F(η), які представлені співвідношенням:    0 0 1 3 ),η(ψ)()( π 2 )η( πθ 2 η )η( duuuhGuFup F . (4) де        1 )( 1 2 20 1 410 1 2 2 200 χ)1(2 1 )μ,η(ψχθ)0,η(ψχθ)1(2)0,η(ψ)χ1((ε)η( k k k k k k bRmRmp ))γ,η(ψ 10 Rvi k . Розв’язок (4) будемо шукати методом послідовних наближень [2], взявши за нульові та наступні наближення функції представлені формулами:    0 0 )1(1 )( 3 )0( ),η(ψ)()( π 2 η )η( ),η( πθ 2 η )η( duuuhGuFu F p F k k . Та (4) запишемо у вигляді:     1 )( )η()η( k kFF . (5) Відмітимо, що процес послідовних наближень (5) збіжний при 1h та kpλλ1  , враховуючи дослідження проведені [1, 2]. При обчисленні функції (5) більшість інтегралів у кінцевому вигляді не обчислюються, врахо- вуючи складність функцій (2). Тому, починаючи із другого наближення, підінтегральні функції розкла- даються у ряди за степенями 1h , що дозволить обчислити (5) наближено: ),η()0,η(ψπ2η)η(η)η( *0 11)0(1 FFF   (6) де        2 )1( )μ,η(ψχθ)0,η(ψχθ)1(2)0,η(ψ)1χ(( πθ ε2 η )η( 22 0 1 410 1 2 2 200 3 )0( Rm Rm F k k k ))γ,η(ψχ 10 1 )( 1 Rvib k k k k    ,            )η,μ( π 2 )μ( )η,μ( 2 )μ( π 41 )μ( π 4 )μ( π θ2 )η( )2(84 20 1 )1( 822 12 3 0 3 2 12 2 0 1 04* k k k kkk rh DD r rD r D h r h D r h D F                            ),()( )( 6 ),( 6 1 ),()( 2 )( ),( 24 1 )1( 85 1 3 2 2)2( 9406 )3( 812 2 2 0 1 )1( 94 5 kk kk k kk k k rr r D rDD h rr DD r rD h           )η( )η,γ( 2 )η()γ( π 41 )η()γ( π 4 )γ( 2 )1( 1 1 )1( 82 1112 3 0 31112 2 0 11 0 2 2 r RvirD rRvir D h rRvir h D Rvir h DRm k kkk        )η,γ()η( π 2 )μ( )η,γ( 24 1 )η,γ( π 2 1 )3( 812 2 2 0 1 1 )1( 94 51 )2( 84 20 Rvirr DD r RvirD h Rvir h DD k k k k               )η( π 4 )1χ( π 2 )η,γ( )μ(μ )μ(6 )η,γ( π6 1 12 2 00 01 )1( 8 1 3 5 2 2 1 )2( 9406 rh D h D Rvir r rD RvirDD h kkk k k        ))η(2)η(( πη3 2 )η( )η( η3 )η( π 41 2543 20 1 2 3 22 12 3 0 3 rrh DD r rD r D h Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 27                  )η( )μ(η )μ( ))η(3)η(16( 8πη3 2 ))η()η(3)(η( π 2 )η( )η( ηη3 1 5 1 2 2 2 63 40 652512 2 2 0 1 3 2 4 53 rr rD rr DD h rrr DD r rD h k k              ))η()η(2( πη2)η( )η( η4 )η( π 41 )η( π 2 πθ )1(2 11543 20 1 11 3 22 12 3 0 312 2 00 2 2 2 rr h DD r rD r D h r h D h DRm                 )η( )μ( )μ(9 ))η(3)η((η πη36 2 ))η()η(4)(η( π η )η( )η( η72η 1 5 1 11 2 2 612406611512 2 2 0 2 1 12 2 4 55 rr rD rrDD h rrr DD r rD h k k , де ,...2,1,0,const,),1( )(1 1     iaknГ k a D ii m i n i i n . 7. Використовуючи граничні умови на торці пружного штампу та ортогональності бесселевих функцій отримаємо умови для рівних коренів, з яких отримаємо нескінченну квазірегулярну систему лі- нійних алгебраїчних рівнянь: ,..)2,1,0(,ωχυχυ 1     kk k nknkk , (7) де ,..)2,1,0(,χ kk – шукані сталі через які виражаються компоненти напружень і перемі- щень пружних тіл з початковими напруженнями. При визначенні коефіцієнтів (7) більшість інтегралів також не обчислюються, враховуючи скла- дність функцій (2). Тому, починаючи із другого наближення, підінтегральні функції аналогічно до (6) розкладаються у ряди за степенями 1h , що дозволить обчислити коефіцієнти (7) наближено [6]. У розробленій программі, система (6) обчислюється за допомогою матричного числення (рис. 4). Рис. 4 – Обчислення методом редукції системи лінійних алгебраїчних рівнянь: АА – матриця системи; ВВ – стовпчик вільних членів; ХХ1 – матриця невідомих сталих χi У табл. 1 представлено перші 8 значень невідомих, знайдених із системи (6) для випадку потенціала Бартенєва - Хазановича. Таблиця 1 Значення сталих ,k ,..)2,1,0( k при h = 1,6 № Потенціал Бартенєва - Хазановича п/п 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 0,7 0 0,0047081 0,005782 0,0047352 0,00397845 0,002365 0,00314 0,00273 0,0047081 1 -0,002516 8,47 · 10-8 7,614 · 10-8 -6,252 · 10-8 7,73 · 10-15 6,91 · 10-12 -0,000043 -0,002516 2 -0,001668 3,53 · 10-8 1,389 · 10-8 -1,123 · 10-8 1,62 · 10-15 4,7 · 10-12 -0,000023 -0,001668 3 2,224 · 10-10 4,99 · 10-15 4,97 · 10-17 -3,982 · 10-17 -1,43 · 10-18 9,67 · 10-17 -2,08 · 10-18 2,224 · 10-10 4 9,881 · 10-11 -5,54 · 10-17 -2 · 10-18 6,213 · 10-22 1,04 · 10-28 1,19 · 10-32 -7,18 · 10-26 9,881 · 10-11 5 8,282 · 10-15 -2,94 · 10-17 -1,2 · 10-19 4,034 · 10-22 -5,85 · 10-30 8,51 · 10-33 -5,31 · 10-26 8,282 · 10-15 6 -8,096 · 10-18 -8,2 · 10-26 -1,28 · 10-30 9,927 · 10-36 5,76 · 10-47 -4,95 · 10-48 -3,5 · 10-45 -8,096 · 10-18 7 -3,38 · 10-18 -4,4 · 10-26 -6,62 · 10-31 -6,322 · 10-36 3,94 · 10-47 -4,56 · 10-48 3 · 10-45 -3,38 · 10-18 8. Обчислюємо вирази для визначення напружено - деформованого стану в попередньо напру- женому шарі, штампі та основі з початковими напруженнями [6 - 8] (рис. 5) та будуємо графіки у безрозмірних координатах для потенціалів конкретної структури, таких як: гармонічний потенціал (рис. 6, 7) та потенціал Бартенєва - Хазановича (рис. 8). Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 28 Рис. 5 – Обчислення характеристик напружено - деформованого стану в попередньо напруженому штампі Рис. 6 – Контактне напруження, h = 1,6 Рис. 7 – Контактне переміщення, h = 1,6 Рис. 8 – Контактне напруження, h = 1,6 На рис. 6 - 8 зображено криві, які відповідають значенням 1λ =0,7; 0,8; 0,9; 1; 1,1; 1,2; 1,3, де 1λ – визначає початковий стан шару і циліндра. На усіх рисунках штрих - пунктирна лінія відповідає стану без початкових напружень ( 1λ = 1). 9. Аналізуємо отримані результати. Достовірність одержаних результатів підтверджується тим, що: 1) всі висновки досліджень отримані в результаті коректно поставленої задачі у рамках лінеари- зованої теорії пружності; 2) залученням строгого математичного апарату; 3) використанням надійних чисельних методів та програмного забезпечення; 4) одержані результати у спрощених випадках співпадають з відомими розв’язками у літературі. Перевірка одержаних результатів на еталонних задачах представлена в табл. 2, порівнянням чи- слових значень сили, що діє на верхній торець штампа, при різних величинах початкових напружень із випадком без початкових напружень, що виділений у таблиці жирним шрифтом. Таблиця 2 Числові значення сили RP ε Потенціал λ h 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,6 0,5455 0,6177 0,6401 0,6478 0,6473 0,6372 Гармонічний 4 0,4878 0,5577 0,5843 0,5957 0,6003 0,6015 1,6 0,9864 0,6214 0,6710 0,6721 0,6803 0,6552 Бартенева- Хазановича 4 0,9422 0,5179 0,6046 0,6298 0,6534 0,6619 1,6 1,4082 1,2487 1,2974 1,2315 1,2978 1,2043 Трелоара 4 1,4025 1,2456 1,2945 1,2296 1,2653 1,2022 При розв’язанні рівнянь (4) в роботі був використаний метод послідовних наближень, що є збіжним (за принципом стиснутих відображень [2]) при виконанні умови 111 )π2(  Dvh . Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 29 Таблиця 3 Гармонічний потенціал λ 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 h 1,54 1,25 1,02 0,83 0,67 0,54 0,42 t 1,49 1,27 1,08 0,83 0,65 0,51 0,41 Мінімальні значення товщини шару при використанні даного методу – представлені в таблиці 3, у випадку гармонічного потенціалу. Для порівняння, в табл. 3 приведені значення еталонної задачі у ви- падку, коли у циліндрі відсутні початкові напруження. Також з табл. 3 видно, що початкові напруження впливають на метод послідовних наближень, таким чином, що при розтягу його можна застосовувати для більш тонкої товщини шару, ніж при стиску. Висновки Отже, з отриманих результатів можна зробити наступні висновки: 1. У статті представлені результати дослідження впливу початкових напружень на тиск пружно- го циліндричного штампа та шару, а також пружного шару і співвісних циліндрів стосовно конкретних потенціалів (потенціал Бартєнева - Хазановича, гармонічний потенціал) за допомогою ІТ технологій. 2. Розроблено алгоритм числового обчислення компонентів напружено - деформованого стану контактуючих тіл з початковими напруженнями при довільній структурі пружного потенціалу. Це дозво- ляє використовувати його при інженерних розрахунках та полегшує складність проведених досліджень. Запропонований алгоритм може безпосередньо використовуватись для дослідження різноманітних ізот- ропних, трансверсально-ізотропних або композитних матеріалів при проектуванні технологічного облад- нання, деталей машин, колон будівель та іншого. 3. Розроблена комп’ютерна програма «Розрахунок компонентів напружено-деформівного стану для осесиметричної статичної задачі про тиск пружного циліндричного штампа на пружний шар з почат- ковими (залишковими) напруженнями» («KNDS_CS_PZN»), що спрощує процес отримання числових і графічних результатів досліджень (№ заявки на реєстрацію авторського права 55015 від 18.02.2014 та свідоцтво про реєстрацію авторського права № 54576 від 05.05.2014). 4. Числова реалізація дала змогу графічно відобразити вплив початкових напружень на закон ро- зподілу контактних характеристик попередньо напружених тіл для потенціалів найпростішої структури. Виявлено, що початкові напруження при стиску призводять до зменшення сили напружень у ци- ліндричному штампі та шарі, а при розтягненні – до їх збільшення, а для переміщень все відбувається навпаки. Більш суттєво, у кількісному плані, початкові напруження діють у високо еластичних матеріа- лах у порівнянні із більш жорсткими, але якісно їхній вплив зберігається. Виявлений при дослідженні вплив початкових напружень є суттєвим для стисливих та нестисли- вих тіл і повинен враховуватися при розрахунках на міцність у деталях конструкцій. Література 1. Гузь А.Н. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными (остаточными) напряжения- ми / А.Н. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б. Рудницкий // Развитие идей Л.А. Галина в механике. – М. – Ижевск. Ин- ститут компьютерных исследований, 2013. – 480 с. 2. Гузь А.Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточны- ми) напряжениями [Текст] / А.Н. Гузь, В.Б. Рудницкий. – Хмельницький, выд. ПП Мельник.–2006.–710 с. 3. Максимчук Д.М. Розв’язання контактної задачі для попередньо напруженого шару та двох співвісних пружних штампів з початковими (залишковими) напруженнями. / Д.М. Максимчук // Доповіді Національної Академії наук України: Науково-теоретичний журнал. – 2015. – № 4. – с. 49–55. 4. Vasilikis D. Discussion: Mechanics of Confined Thin-Walled Cylinders Subjected to External Pres- sure / D. Vasilikis, S. Karamanos // Appl. Mech. Reviews. – 2014. – 66(1). – р. 312–321. 5. Gao X.-L., Solution of the Contact Problem of a Rigid Conical Frustum Indenting a Transversely Iso- tropic Elastic Half-Space. / X.-L. Gao, C. L. Mao J. // Appl. Mech. – 2014. – 81(4). – р. 107–119. 6. Ярецька Н.О. Вплив початкових (залишкових) напружень на контактну взаємодію пружного циліндричного штампу та пружного шару / Н.О. Ярецька // Доповіді НАН України.–2014.–№1.–с.57–62. 7. Yaretskaya N. A. Three-Dimensional Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Punch with Prestresses / N. A. Yaretskaya // International Applied Mechanics. – July 2014. – Vol. 50, Issue 4. – Pp. 378–388. 8. Іaretska N., Rudnitsky V. Research of contact interaction of prestressed stamps, layer and foundation without friction. / Вісник Тернопільського національного технічного університету. Науковий журнал. – Тернопіль. – 2016 р. – №3 (83). – С. 28 – 37. Поступила в редакцію 31.03.2017 Застосування ІТ технологій в механіці деформованого твердого тіла Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 30 Rudnickij V.B., Yarets'ka N.O., Venger V.О. The use of IT technologies in the mechanics of deformable bodies. The article is devoted to the research of two problems of contact interaction of prestressed bodies, namely: 1) the pressure of an elastic cylinder die upon an elastic layer and foundation with initial (residual) stresses; 2) contact interaction of elastic layer with initial stresses and prestressed coaxial cylinders with using the IT technologies. The authors developed a computer program and algorithm of numerical calculation components deflected mode of contacting bodies with initial stresses. In general, the research was carried out for the theory of great initial (ultimate) and two variants of the theory of small initial deformations within the framework of linearized theory of elasticity with the elastic potential having arbitrary structure. It is assumed that elastic potentials are two continuously differentiated functions of algebraic invariants of the Green tensor deformation (the initial states of the layer, of the cylindrical punch and of the foundation remains uniform and equal). Was used method of solving the dual integral equations. These equations are reduced to Fredholm integral equation of the second kind. Solution of integral equations was found by a method of successive approximations. The problem was reduced to solving an infinite system of algebraic equations. The system was solved by numerical methods (by reduction) and software tools. Key words: IT technologies, linearized theory of elasticity, initial (residual) stress, Fredholm integral equations, the method of consecutive approximations. References 1. Guz' A.N., Babich S.Ju., Rudnickij V.B. Kontaktnoe vzaimodejstvie uprugih tel s nachal'nymi (osta- tochnymi) naprjazhenijami, Razvitie idej L.A. Galina v mehanike, M., Izhevsk, Institut komp'juternyh issledo- vanij, 2013, 480 p. 2. Guz' A.N., Rudnickij V.B. Osnovy teorii kontaktnogo vzaimodejstvija uprugih tel s nachal'nymi (ostatochnymi) naprjazhenijami, Hmel'nic'kij, vyd. PP Mel'nik, 2006, 710 p. 3. Maksymchuk D.M. Rozvyazannya kontaktnoyi zadachi dlya poperedn'o napruzhenoho sharu ta dvokh spivvisnykh pruzhnykh shtampiv z pochatkovymy (zalyshkovymy) napruzhennyamy, Dopovidi Natsion- al'noyi Akademiyi nauk Ukrayiny: Naukovo-teoretychnyy zhurnal, 2015, Vol. 4, P. 49 – 55. 4. Vasilikis D., Karamanos S. Discussion: Mechanics of Confined Thin-Walled Cylinders Subjected to External Pressure, Appl. Mech. Reviews, Vol. 66, No 1, 2014, P. 312 – 321. 5. Gao X.-L., Mao J.C.L. Solution of the Contact Problem of a Rigid Conical Frustum Indenting a Transversely Isotropic Elastic Half-Space, Appl. Mech., Vol. 81, No 4, 2014, P. 107 – 119. 6. Yarets'ka N.O., Vplyv pochatkovykh (zalyshkovykh) napruzhen' na kontaktnu vzayemodiyu pruzhnoho tsylindrychnoho shtampu ta pruzhnoho sharu, Dopovidi NAN Ukrayiny, Vol. 1, 2014, P. 57 – 62. 7. Yaretskaya N.A. Three-Dimensional Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Punch with Prestresses, International Applied Mechanics, Vol. 50, No 4, July 2014, P. 378 – 388. 8. Іaretska N.A., Rudnitsky V.B. Research of contact interaction of prestressed stamps, layer and foun- dation without friction, Visnyk Ternopil’s’koho nacional’noho texnichnoho universytetu. Naukovyj zhurnal, Vol. 83. No 3, 2016, pp.28–37.