Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 62 Костогриз С.Г., Мисліборський В.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: mvovka13@gmail.com АВТОКОЛИВАННЯ У ФРИКЦІЙНОМУ КОНТАКТІ (НАБЛИЖЕНИЙ РОЗРАХУНОК) УДК 621.891:620.194 Розглянутий механізм виникнення фрикційних автоколивань у механічних системах. Розроблений авторами і представлений наближений метод розрахунку автоколивань. Ключові слова: автоколивання, механічна система, маятник, коливальний процес, джерело енергії, стаціонарний коливальний процес, коефіцієнт тертя, сила тертя. Вступ Принциповою відмінністю автоколивань від інших коливальних процесів є те, що для підтриму- вання стаціонарного коливального режиму в автоколивальних системах не потрібно зовнішньої виму- шуючої сили [1]. Мета і постановка задачі Робота виконується з метою обґрунтування автоколивання, як механічного процесу, який залежить від параметрів і властивостей основної коливальної системи так і характеристики процесу тертя. Виклад матеріалів досліджень 1. Природа автоколивань Коливання маятника годинника, коливання струни скрипки при рівномірному русі смичка, ко- ливання в органній трубі, коливання різця при токарній обробці деталей є типовими прикладами автоко- ливальних процесів. Однак будь-яка коливальна система при стаціонарному коливальному процесі роз- сіює певну кількість енергії, що переходить в тепло. Тому і автоколивальна система має містити в собі джерело енергії, яке компенсувало її витрати. В таких системах джерело енергії при коливаннях виконує змінну дію, що і підтримує стаціонарний коливальний процес, забезпечуючи необхідний притік енергії для компенсації її витрат при автоколиваннях [2]. Рис. 1 – Схема взаємодії елементів стрічкового гальма при автоколиваннях): 1 – повзун; 2 – пружина; 3 – основа; 4 – плоска стрічка Розглянемо для прикладу просту автоколивальну систему стрічкового гальма, що зображена на рис. 1. Колодка гальма повзун 1, що має масу m, зв’язаний пружиною з жорсткістю c , прикріпленої до основи 3, розміщеній на плоскій стрічці 4, яка має постійну швидкість 0V . При зростанні швидкості від 0 до встановленого значення 0V маса m переміститься вліво на деяку величину 0х і відповідно на цю ж величину розтягнеться пружина. Такий рух можливий завдяки силі сухого тертя між повзуном та стріч- кою, QfF ст  , де стf – статичний коефіцієнт тертя в парі повзун-стрічка, а Q – сила ваги повзуна. Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 63 Сила розтягу пружини 2 при цьому зрівноважується силою тертя повзуна 1 по стрічці 3 F , c F x 0 . При Fcx  відбувається зрив повзуна по стрічці, тобто його рух по стрічці вправо і починається коливальний процес відносно положення, визначеного координатою 0х , з деякою амплітудою хА . Для пояснення природи цих коливань потрібно враховувати, що сила тертя між повзуном та стрічкою не постійна, а залежить від швидкості ковзання повзуна по стрічці. Рис. 2 – Залежність коефіцієнта тертя від швидкості ковзання На рис. 2 показаний загальний вид залежності коефіцієнта сухого тертя f повзуна по стрічці від швидкості ковзання V . При 0V має місце найбільше значення коефіцієнта тертя cтf (статичний ко- ефіцієнт тертя cтf ). Зростання швидкості ковзання призводить до монотонного зменшення коефіцієнта тертя до певного значення, після якого збільшення швидкості ковзання обумовлює зростання коефіцієнта тертя. Залежність, що зображена на рис. 2 прийнято називати швидкісною характеристикою коефіцієн- та тертя. Характерно, що швидкісна характеристика має дві вітки – падаючу та зростаючу. При стаціона- рному режимі коливань повзуна з амплітудою хА швидкість ковзання у кожному з двох на півперіодів коливань буде різною. Коли повзун здійснює коливальне переміщення в напрямку швидкості 0V , то швидкість ковзання буде меншою ніж 0V , а саме VV 0 , де V – швидкість коливального руху пов- зуна . В цьому напівперіоді коефіцієнт тертя і відповідно сила тертя буде зростати. При цьому сила тертя буде здійснювати позитивну роботу, що збільшує енергію коливань. У наступному напівперіоді, коли повзун та стрічка рухаються в протилежні сторони VVV  0 , коефіцієнт тертя зменшується і робота сили тертя буде меншою. За повний цикл здійснюється певна позитивна робота. Таким чином у розгля- нутій системі (рис. 1) коливання повзуна збуджуються змінною в часі силою тертя, а її змінний характер в часі обумовлюється коливальним рухом. Такі коливання називаються автоколиваннями тому, що ви- мушуюча сила породжується самим коливальним рухом і зникає, коли цей рух припиняється. 2. Характерні приклади фрикційних автоколивальних систем В техніці можна навести багато прикладів, пов’язаних з автоколиваннями у механічних систе- мах. Наведемо кілька таких характерних прикладів. На рис. 3 зображена принципова схема дискового га- льма, що широко застосовується у транспортних засобах. При певних умовах пружно закріплені колодки дискових гальмів здійснюють автоколивання. При наростаючих автоколиваннях можливі поломки еле- ментів гальм, що можуть призвести до складних ситуацій. За природою виникнення автоколивань цей приклад аналогічний розглянутому вище, рис. 1. Рис. 3 – Принципова схема дискового гальма Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 64 Автоколивання можуть мати місце при обробці металів різанням в системах «верстат- пристосування-інструмент - деталь» (ВПІД) в умовах, що визначаються режимами різання. Рис. 4 – Схема взаємодії елементів системи ВПІД при автоколиваннях Одна із можливих схем, що моделює автоколивання в системі ВПІД зображена на рис. 4. З боку деталі 2 на різець 1 діє сила різання P , що має складові частини хP , уP . Рисунок 4 схематично ілюст- рує взаємодію закріпленого різця 2 з деталлю 1 в площині сил уP , zP . Різець 1 має пружні зв’язки через різцеутримувач і супорт за напрямками осей у та z із стани- ною верстата. Оброблювана деталь 2 установлена в центрах верстата і має пружні зв’язки із станиною через центри, передню та задню бабки як по координаті у , так і по координаті z . Таким чином робоча частина різця може здійснювати коливання як у горизонтальному так і у вертикальному напрямках. Експериментально виявлено, що складова сили різання уP залежить від швидкості коливань різ- ця по координаті у , якими є автоколивання. Такі коливання можуть мати нестійкий характер (зростання амплітуди), що призводить до динамічних навантажень в системі ВПІД і до похибок розмірів та форми обробки деталі і, з рештою до неможливості якісно проводити процес різання. 3. Загальна структура механічних автоколивальних систем Розглядаючи механічні автоколивальні системи доцільно розрізнити їх основні елементи: основ- ну коливальну систему (повзун 1, пружина 2, нерухома основа, або стойка 3 (рис. 1)) та ланку так званого «зворотнього зв’язку», яка керує джерелом енергії. Основна коливальна система в ізольованому виді зда- тна здійснювати затухаючі власні коливання. Зворотній зв'язок має місце між основною коливальною си- стемою та процесом тертя, який і є джерелом енергії, що підтримує автоколивання. Рис. 5 – Загальна структура механічної автоколивальної системи На рис. 5 зображена структурна схема механічної автоколивальної системи. Характеристиками основної коливальної системи є рухомі маси та їх розподіл, пружні зв’язки з жорсткістю c , дисипативні зв’язки з коефіцієнтом демпфірування k . Процес тертя характеризується силою тертя, коефіцієнтом тер- тя та їх залежністю від відносної швидкості ковзання фрикційних поверхонь )(   xFF , [3]. 4. Наближений розрахунок фрикційних автоколивань Із наведених вище уявлень про природу автоколивань постає доцільним і правомірним вважати, що їх розрахунок можна вести як розрахунок коливань основної механічної системи, що перебуває під Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 65 дією змінної в часі сили сухого тертя, яку можна і слід вважати по відношенню до основної системи ви- мущуючою силою. Рис. 6 – Модель основної коливальної системи Основна коливальна система відповідно до рис.1 зображена на рис.6. Допускаємо, що в цій сис- темі присутній в’язкий опір з коефіцієнтом демпфірування k . Диференційне рівняння руху маси m має вигляд:   xmtFxkxxc )()( 0 , (1) де )()( 0 tFFtF   , (2) де, )(tF – сила сухого тертя, що має постійну 0F та зміну )(tF  в часі t складову. Оскільки коефіцієнт сухого тертя f і відповідно сила тертя залежить від швидкості ковзання V , то необхідно виразити силу тертя через швидкість ковзання, подавши її у вигляді ряду Тейлора:     . 6 1 2 1 )( 33 3 2 2 2 0                    V dV Fd V dV Fd V dV dF FVF (3) Обмежимось лінійним наближенням, відкинувши у виразі (3) нелінійні члени, а також врахуємо, що: dV df N dV dF  , де QN  – нормальна реакція, звернемо увагу і на те, що )()( txtV   . З врахуванням цього запишемо: )()( 0 txdV df NFtF         . (4) Постійна складова сили тертя QfF  00 визначають за допомогою характеристики коефіцієн- та тертя (рис. 2) відповідно до значення швидкості 0V . Введемо позначення  dV df . Це крутизна швидкісної характеристики коефіцієнта тертя. Їй ві- дповідає тангенс кута нахилу дотичної до кривої )(Vff  (рис. 2) при заданій швидкості 0V . Крутизна  має від’ємне значення на падаючій частині швидкісної характеристики і додатне значення на її зростаючій частині. Якщо вважати автоколивальний рух гармонічним і покласти його фазу рівну нулю, то характеристику зміни сили тертя за один період коливального руху можна подати у ви- гляді, як це зображено на рис. 7. Рис. 7 – Характеристика процесу тертя за період автоколивань Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 66 З урахуванням викладеного і того, що постійна складова сили тертя 0F зрівноважена силою пружини cx 0 , рівняння руху маси m повзуна (рис. 6) подаємо у вигляді 0)(   xcxNkxm . (5) Позначимо m Nk n 2   , де n – коефіцієнт затухання, m c 2 , де  – власна частота ко- ливань маси m на пружині (рис.6). Диференціальне рівняння (5) з врахуванням цього подамо у вигляді: 02 2   xxnx . (6) Рівняння (6) описує вільні коливання в системі (рис.6). Таким чином, диференціальне рівняння автоколивального руху зводиться до рівняння, що опи- сує вільні коливання. Нехай автоколивання в стаціонарному режимі описуються функцією )()(  wtіx eAtx , де відповідно xA , )( x , w – амплітуда, фаза і частота коливань. Визначимо частоту w автоколивань. Покладемо в рівняння 6 вираз для )(tx , що поданий ви- ще, отримає рівняння   0222  niAx . Оскільки 0xA , то: 02 22  ni . (7) З рівняння (7) визначимо частоту автоколивань 22 n . (8) Розв’язок однорідного диференційного рівняння 6 має вигляд (1).               t nxx txetx nt sincos)( 00 . (9) Якщо покласти початкові умови, при 0t , коли повзун 1 відхиляється вліво і зупиняється, то в цей момент c F xx  0 , а cx   0 , то:           t nx txetx nt sincos)( 00 , (10) або  xxnt tAetx   cos)( . Амплітуда автоколивань:   2 2 2 2 0 2 2 0 1          n c Fxn xAx . (11) Фаза автоколивань:   n x arctg . (12) Звернемо увагу на те, що у виразі для n сума  Nk відіграє роль ефективного коефіцієнта в’язкого тертя. Якщо ця сума додатня, то 0n і відповідно до виразу 10 автоколивання з часом затуха- ють. Це має місце, коли процес відбувається на зростаючій вітці швидкісної характеристики коефіцієнта сухого тертя. На спадаючій вітці цієї характеристики 0 і при певних значеннях k коефіцієнт затухання 0n , тобто має місце так зване від’ємне затухання. При цьому амплітуда автоколивань в часі буде на- ростати (рис. 8). Якщо на спадаючій вітці швидкісної характеристики 0 Nk , то 0n і затухання автоко- ливань буде відсутнім. Це означає, що будуть відбуватися стаціонарні гармонічні автоколивання з амплі- тудою c F xAx  0 . Таким чином для забезпечення стійкості установленого режиму автоколивань по- взуна на стрічці необхідне виконання умови 0 Nk . Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 67 Рис. 8 – Процес наростання амплітуди автоколивань в часі (при n < 0) Рис. 9 – Швидкісна характеристика коефіцієнта тертя Для прикладу визначимо за приведеними вище аналітичними залежностями параметри автоко- ливального процесу в механічній системі (рис. 1) при наступних даних: 20m кг, 45,00 f , 0v = 0,5 м/с, c = 20 Н/мм, k = 20 Н · с/м,  = - 0,2 с/м, а швидкісна характеристика коефіцієнта тертя подана на рис. 9. Результати розрахунків зведені в табл. 1. Таблиця 1 Параметри автоколивань в механічній системі, зображеній на рис. 1 Параметр Значення параметрів 0f 0,5 0,45 0,32 0,21 0,25  , с/м 0 -0,15 -0,30 0 0,15 ,, с-1 0 31,6 31,6 31,6 31,6 n, с 0 -0,25 -1,0 0,5 1,25 , с-1 0  31,5  31,5  31,5  31,5 x ,0 , мм 0 4,5 3,2 2,1 2,5 Аx, мм 0  4,5  3,2  2,1  2,5 0V , м/с 0 0,5 1,0 1,5 2,0 Висновки 1. Автоколивання, як механічний процес залежить від параметрів і властивостей основної коли- вальної системи так і характеристики процесу тертя. 2. Процес тертя залежить від статичного коефіцієнта тертя та швидкісної характеристики коефі- цієнта тертя. 3. Запропонований простий метод визначення основних параметрів автоколивань в механічній системі. Література 1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко // М. : Физматиз, 1959. – 439с. 2. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний / С. П. Стрелков // М. : Изд-во «Наука», 1959. – 437с. 3 Кудинов В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов // М. : Машиностроение, 1967. – 140-160 с. Поступила в редакцію 04.05.2017 Автоколивання у фрикційному контакті (наближений розрахунок) Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 2 68 Kostogris S.G., Misliborski V.V. Self - oscillations in frictional contact (approximate calculation). The mechanism of occurrence of frictional oscillations in mechanical systems. Designed by the authors and pre- sented approximate calculation method oscillations in mechanical systems. Key words: self-oscillation, mechanical system pendulum oscillation, the energy source stationary oscillation, friction, friction. References 1. Timoshenko S.P. Fluctuations in actually engineering. S.P. Timoshenko./ Moscow: Fyzmatyz, 1959. 439 p. 2. Strelkov S.P. Introduction to the Theory of oscillations. S.P. Strelkov. Moscow: Publishing House "Science" 1959. 437 p. 3. Kudynov V.A. Dynamics Stankov / V.A. Kudynov. Moscow: Engineering, 1967. 140-160 p.