Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 30 Чернець М.В., Чернець Ю.М. Люблінський політехнічний інститут, м. Люблін, Польща ВПЛИВ ШИРИНИ КОЛІС У ЦИЛІНДРИЧНІЙ ПЕРЕДАЧІ З ВИСОТНИМ КОРИГУВАННЯМ ЗАЧЕПЛЕННЯ НА КОНТАКТНІ ТИСКИ І ДОВГОВІЧНІСТЬ УДК 539.3: 539.538: 539.621 З використанням авторського методу розрахунку довговічності зубчастих передач з висотним коригуван- ням зачеплення проведено дослідження впливу ширини коліс та кута нахилу зубів на максимальні контактні тиски і довговічність циліндричних передач за змінних умов контакту зубів внаслідок їх зношування. Встановлено, що бли- зькі за величиною найвищі максимальні контактні тиски виникають на вході зубів у зачеплення і в зоні зміни його парності як у прямозубих, так і косозубих передачах. У прямозубих передачах буде дво – одно – двопарне зачеплен- ня зубів для усього діапазону зміни ширини коліс. Натомість у косозубих передачах із зростанням ширини коліс від- бувається зміна парності зачеплення дво – одно – двопарного на три – дво – трипарне. Відповідно ці фактори впли- вають на зниження до 1,5 раза рівня початкових максимальних контактних тисків та збільшення довговічності неко- ригованих косозубих передач до 3,8 раза у порівнянні з прямозубими передачами. Коригування зачеплення призво- дить до зниження максимальних контактних тисків, внаслідок чого зростає довговічність передач. Встановлено, що існують оптимальні величини коєфіцієнтів зміщення, при яких довговічність передач буде найвищою у порівнянні з некоригованим зачепленням. Отримані результати подано графічно, що унаочнює закономірності впливу ширини коліс, кута нахилу зубів та умов зачеплення на досліджувані триботехнічні характеристики. Ключові слова: циліндрична евольвентна передача, висотна корекція зубів, ширина коліс, кут нахилу зубів, максимальний контактний тиск, довговічність передачі Вступ Підвищення несівної здатності циліндричних передач і, відповідно, їх довговічності в інженер- ній практиці здіснюється шляхом використання косозубого зачеплення, збільшення ширини коліс та ко- ригуванням зачеплення. Відомо, однак, що при зростанні кута нахилу зубів зростає осьове зусилля і тому його значення, як правило, є в межах 8 … 15о і лише зрідка сягає 20о. Стосовно ширини коліс, то її зміна може бути достатньо значною – (0,2 …1,4) ділильного діаметра шестерні – і залежить від розташування коліс відносно опор (симетричне, несиметричне, консольне) та твердості зубів. У літературі відсутні ре- зультати дослідження за відомими методами [1 - 11], де використовується закон абразивного зношуван- ня Архарда, впливу ширини коліс і кута нахилу зубів циліндричної передачі на максимальні контактні тиски у зачепленні і довговічність передачі. Результати таких досліджень наведено нижче з використан- ням авторського методу дослідження зубчастих передач [12 - 14]. Метод розв’язку задачі Зношування зубів у процесі роботи передачі призводить до збільшення радіусів кривини їх ро- бочих профілів, а це спричиняє зниження початкових максимальних контактних тисків maxjp та ширини площадок контакту 2 jb в кожній j -тій точці їх співдотику. Відповідно їх поточні значення maxjhp і 2 jhb розраховуються за модифікованими формулами Герца: max 0.418 θ / ρjh jhp N , 2 2.256 θ ρjh jhb N , (1) де j = 0, 1, 2, 3,… – точки контакту робочих поверхонь зубів; min/N N l w  ; 1 19550 / cos αtN P r n – сила у зачепленні; P – потужність на ведучому валі; minl – мінімальна довжина контактних ліній у зачепленні; w – кількість пар зубів, що перебувають одночасно у зачепленні;    2 21 1 2 2θ 1 ν / 1 ν /E E    ; , νE – модулі Юнга та коефіцієнти Пуасона матеріалів зубчастих коліс; 1n – кількість обертів шестерні; αt – торцевий кут зачеплення; Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 31 1 2 1 2 ρ ρ ρ ρ ρ jh jh jh jh jh   – змінний внаслідок зношування зведений радіус кривини профілів зубів у нормальному перерізі; 1ρ jh , ρ jh – відповідно, змінні радіуси кривин профілів зубів шестерні і колеса. В процесі роботи зубчастої передачі внаслідок зношування зубів початкові радіуси кривин 1ρ j , 2ρ j їх робочих профілів та, відповідно, зведений радіус кривини j зростатимуть. У роботах [12, 13] за- пропоновано методики врахування зміни вихідних радіусів кривини зубів при їх зношуванні. Радіуси кривини профілю косих зубів (зведений, шестерні, колеса) визначаються за формулами: 1 2 1 2 j j j j j       , 1 1 cos t j j b     , 2 2 cos t j j b     , (2) де  cos , cosb t t tg arc tg arctg            ; 1 1 1t j b t jr tg   ,   2 2 2 2 2 2/ cost j j tr r r    ;  1 10t j tarctg tg j     ,    cosr/rarccos jjt 222 ; 1 1 cosb tr r  , 1 1 / 2 cos ,r mz  2 2 cosb tr r  2 2 / 2 cosr mz  ;    2 210 20 21 / coscost t tt u tg u tg r r        , 2 2ar r m  , rrr a  220 , mr 2,0 ,  2 22 1 1 12 cosj W j W j t t jr a r a r     , 1 1 1cos / cosj t t jr r   ,  1 2 / 2 cosWa z z m   ,  – кут нахилу зубів; α = 20° – кут зачеплення; 1 2,r r  відповідно радіуси ділильних кіл шестерні і колеса; r – радіус заокруглення вершин зубів;  – кут повороту (вибраний) зубів шестерні з точки початкового контакту (т.0) в точку 1 і т. д.; u – передаточне відношення передачі; m – модуль зачеплення; 1 2,z z – числа зубів коліс. Мінімальна довжина лінії контакту:    min 1 1 1 cos W b n nb l                при 1n n   , min 1cos W b n nb l               при 1n n   , (3) де Wb – ширина шестерні; ,   – відповідно коєфіцієнти торцевого і покрокового перекриття передачі;  nn , – дробові частини вказаних коефіцієнтів перекриття; 1 2 z t t t    , sinWb m     ,   , 1 2 1 2 1 1 1 1 , b b e e t t r r     , 1 1 2 zt z    , 2 2 1 1 1 1 sins b te r r r    , 2 2 2 20 2 2 sinb te r r r    , mrrrrr aas  1111 , . Кути переходу від двопарного ( 21F  ) до однопарного і знову двопарного ( 11F  ) зачеплення та кут виходу 1E зубів із зачеплення у циліндричній косозубій передачі розраховуються згідно [14]. 2 2 1 11 10 1 1 10 1 , ;         F F F F (4) де 2 2 1 11 1 , ,F F t F F ttg tg tg tg          tt tgtg  1010 ; Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 32 2 1 1 1 1 2 1 1 sin ( ) 0.5 sin ( ) 0.5 , ; cos cos t b b t b b F F r p e p n r p e p n tg tg r r               cos / cosb tp m    – крок. Кут виходу 1E зубів із зачеплення встановлюється подібно як вище так: 1 10 1 ;E E     , (5) де 1 ,E E ttg tg     )/arccos( 11 sbE rr . В більш складному випадку при три-дво-трипарному зачепленні 2 1 1 1 1 2 1 1 sin ( ) 0.5 ( 1) sin ( ) 0.5 ( 1) , , cos cos t b b t b b F F r p e p r p e p tg tg r r                   (6) а при чотири - три - чотирипарному зачепленні у (6) буде )2(  . Одиничне лінійне зношування kjnh зубів в оберті у довільній точці j робочої поверхні знахо- диться за формулою     max 0.35σ k k m j jh jh kjn m k В v t fp h C    , (7) де jht = 02 / νjhb – час зношування зубів протягом переміщення j -тої точки їх співдотику по контуру зуба на змінну внаслідок зношування ширину площадки контакту 2 jhb ; 0 1 1ω sin αtv r – швидкість переміщення точки контакту по контуру зуба; 1ω – кутова швидкість шестерні; jv – швидкість ковзання; f – коефіцієнт тертя ковзання; ,k kC m – характеристики зносостійкості матеріалів зубчастих коліс для вибраних умов [12]; σ B – границя міцності матеріалів коліс на розтяг. Швидкість ковзання обчислюється за співвідношенням:  1 1 1 2ω α αj b t j t jv r tg tg  , (8) де 1 1 cos αb tr r , jtjt 21 ,  – згідно [13]. Для зменшення тривалості обчислень використано розроблену блокову схему розрахунку, при якій не розглядається зміна радіусів кривин профілів зубів, їх зведеного радіуса кривини, максимальних контактних тисків, ширини площадки контакту після кожного оберту (циклу зачеплення), а після певної кількості обертів (блоку взаємодій). У блоці розрахунок ведеться за лінійним методом накопичення, тобто за постійних вихідних умов. В наступному блоці обчислень накопичені зміни враховуються і за новими постійними умовами обчислення вищевказаних параметрів продовжуються. Для прийнятої кількості обертів 1sn шестерні і 2 sn колеса, яким відповідатиме відповідна кіль- кість блоків, сумарне зношування 1 jnh та 2 jnh зубів в j – их точках контакту обчислюється так: 1 1 1 1 sn jn jBh h  , 2 2 2 1 sn jn jBh h  , (9) де 2 1 /s sn n u ; kjB kjh h  – зношування зубів в кожному блоці. При врахуванні зміни початкових контактних тисків maxjp внаслідок зношування зубів трива- лість роботи передачі t для заданої кількості обертів 1sn чи 2 sn коліс знаходиться наступним чином: 1 1 2 2/ 60 / 60s st n n n n  . (10) Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 33 У спрощеному випадку при незмінних вихідних умовах, зокрема початкових контактних тисках maxjp const , ресурс t передачі для заданого допустимого зношування kh  зубів знаходиться так: /k kjt h h  , (11) де 60kj k kjh n h - лінійне зношування зубів у вибраних точках j робочої поверхні протягом однієї години роботи передачі; мінімальний ресурс mint буде для найбільшого із зношувань kjh зубів. Для передач із висотним коригуванням зачеплення слід врахувати, що ,111 mxrra  ,22 mxrra  (12) де  21 xx коефіцієнти корекції. Усі інші параметри будуть, як у випадку відсутності корекції. Числовий розв’язок задачі Його проведено при таких даних: 1z  20; Wb  30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80 мм; P  5 кВт; gK = 1.6; m  3 мм; u  4; 1n  700 об/хв;  0 0, 100;   40 ; h  0.5 мм - допустиме зношування зубів; мащення – осьова олива з 3% протизношувальної присадки з кінематичною в’язкістю 050  15 сСт; f  0.05; 21 xx  = 0; 0,2; 0,4; 0,6; матеріали коліс: шестерня – сталь 38ХМЮА, азотована на глибину 0.4 ... 0.5 мм, НВ 600; B  1040 МПа, 1C  3.9∙10 6, 1m  2; колесо – сталь 40Х, об’ємне гартування, НВ 341; B  981 МПа, 2C  0.17∙10 6, 2m  2.5; E  2.1∙10 5 МПа,   0.3. Результати подано на рис. 1 - 3. Зокрема на рис. 1, а, 2, а наведено зміну початкових максимальних контактних тисків maxjp протягом циклу зачеплення зубів для різної ширини коліс, а на рис. 1, б, 2, б – їх трансформацію maxjhp внаслідок зношування зубів до допустимої величини h  0.5 мм. Відповідно на рис. 1 подано резуль- тати для прямозубої передачі, де буде дво – одно – двопарне зачеплення зубів, а на рис. 2 – для косозубої передачі, де при Wb  30 мм буде дво – одно – двопарне та при Wb  35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80 мм – три – дво – трипарне зачеплення. Найбільші початкові максимальні контактні тиски виникають на вході в однопарне зачеплення, хоча близькими до них є тиски і на вході у двопарне зачеплення. Натомість внаслідок зношування зубів майже вдвічі знижуються контактні тиски на вході в двопарне зачеплення. Зміна тисків на вході в одно- парне зачеплення є незначною і тому вони значно перевищуватимуть тиски в лівій області двопарного зачеплення. 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 0 4 8 12 16 20 24 28 ∆j˚ p jm ax ,М П а а Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 34 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 0 4 8 12 16 20 24 28 ∆j˚ p j hm ax ,М П а 30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 б Рис. 1 – Вплив ширини прямозубих коліс на максимальні контактні тиски та їх зміну: зліва і справа – області двопарного зачеплення, по середині – область однопарного зачеплення У косозубій передачі розподіл початкових максимальних контактних тисків maxjp впродовж ін- теракції зубів у зачепленні є відмінним від прямозубої передачі (рис. 2, а). Рівень тисків також є значно нижчим оскільки тут реалізується три - дво - трипарне зачеплення (за вийнятком коліс з Wb  30 мм з дво – одно – двопарним зачепленням). При зростанні ширини коліс збільшується коефіцієнт  покрокового перекриття передачі і зростають області трипарного зачеплен- ня зубів, що спричиняє зниженню величин maxjp . У результаті зношування зубів контактні тиски за- знають суттєвого зменшення на вході у трипарне зачеплення. Значне (1,4 … 1,5 рази) зниження почат- кових контактних тисків maxjp в порівнянні з прямозубими передачами тієї ж ширини зумовлене не ли- ше наявністю косозубого зачеплення, а й зміною числа пар зубів у зачепленні. 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 0 4 8 12 16 20 24 28 ∆j˚ p j m ax , М П а а Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 35 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 0 4 8 12 16 20 24 28 ∆j˚ p j h m ax , М П а 30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 б Рис. 2 – Вплив ширини косозубих коліс на максимальні контактні тиски та їх зміну: зліва і справа – області трипарного зачеплення, посередині – область двопарного зачеплення На рис. 3 показано залежність мінімальної довговічності прямозубих передач від ширини зубча- стих коліс, де штриховими лініями подано довговічність minBt з урахуванням зношування зубів і зни- женням maxjp до maxjhp , а суцільними лініями - довговічність mint за умови maxjp const . Вона вна- слідок вищевказаних причин буде значно вищою у косозубих передачах – до 3,8 разів. 0 70000 140000 210000 280000 350000 420000 30 40 50 60 70 80 bW, мм t m in , t B m in , г од t m in tBm in t m in tBm in Рис. 3 – Вплив ширини зубчастих коліс на мінімальну довговічність передач: нижні графіки – прямозубі, верхні графіки – косозубі передачі На рис. 4, 5 показано вплив коригування на мінімальну довговічність передач з різною шириною коліс та кутом нахилу зубів. Зокрема на рис. 4 – для прямозубих, а на рис. 5 – для косозубих передач. Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 36 0 25000 50000 75000 100000 125000 0 0.2 0.4 0.6 t m in , t B m in , го д x1(-x2) Рис. 4 – Довговічність прямозубих передач з коригованим зачепленням 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 0 0.2 0.4 0.6 x 1(-x2) t m in , t B m in , г о д 1-30 2-40 3-50 4-60 5-70 6-80 1-30 2-40 3-50 4-60 5-70 6-80 Рис. 5 – Довговічність косозубих передач з коригованим зачепленням Наведені результати розрахунку свідчать, що існує оптимальне значення коєфіцієнтів корекції зубів, при яких довговічність передачі буде найвищою. Для прямозубих передач це буде при 21 xx  = 0,2, а для козозубих - при 21 xx  = 0,2; …; 0,4. Мінімальна довговічність передачі визначається з огляду на те, у яких точках профілю зубів ко- леса досягається допустиме зношування, що встановлено у результаті розв’язку цієї задачі. У залежності від ширини коліс та кута нахилу зубів це буде у таких характерних точках контакту (таблиця). Таблиця Wb , мм , град 30 40 50 60 70 80 0 Зачеплення 2 - 1 - 2 Вхід у однопарне зачеплення Вхід у двопарне зачеплення 10 Вхід у однопарне (2 - 1 - 2) Вхід у двопарне (3 - 2 - 3) Вхід у трипарне зачеплення (3 - 2 - 3) Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 37 Авторський метод розрахунку триботехнічних характеристик зубчастих передач дозволяє ефек- тивно провести їх оцінку і застосувати її результати в інженерній практиці при їх проектуванні. Література 1. Дроздов Ю.Н. К разработке методики расчета на изнашивание и моделирование трения // Из- носостойкость. – М.: Наука, 1975. – С. 120–135. 2. Проников А. С. Надежность машин.– М.: Машиностроение, 1978. – 590 с. 3. Гриб В. В. Решение триботехнических задач численными методами. – М.: Наука, 1982. – 115 с. 4. Brauer J., Andersson S. Simulation of wear in gears with flank interference – a mixed FE and ana- lytical approach // Wear. – 2003. – № 254. – P. 1216-1232. 5. Flodin A., Andersson S. Simulation of mild wear in spur gears // Wear. - 1997. - № 207 (1-2). – P. 16-23. 6. Flodin A., Andersson S. Wear simulation of spur gears // Tribotest J. – 1999. - № 5 (3). – P. 225-250. 7. Flodin A., Andersson S. Simulation of mild wear in helical gears // Wear. - 2000. - № 241 (2). – P. 123-128. 8. Flodin A., Andersson S. A simplified model for wear prediction in helical gears // Wear. –2001. – № 249 (3-4). – P. 285-292. 9. Kahraman A., Bajpai P., Anderson N.Е. Influence of tooth profile deviations on helical gear wear // J. Mech. Des. – 2005. – Vol. 127, Issue 4. – P. 656-663. 10. Kolivand M., Kahraman A. An ease-off based method for loaded tooth contact analysis of hypoid gears having local and global surface deviations // J. Mech. Des. – 2010. – Vol. 132, Issue 7. 11. Pasta A., Mariotti Virzi G. Finite element method analysis of a spur gear with a corrected profile // J. Strain Analysis. – 2007. – Vol.42. – P. 281-292. 12. Чернець М.В., Келбіньскі Ю., Ярема Р.Я. Узагальнений метод оцінки зношування циліндри- чних евольвентних зубчастих передач // ФХММ. – 2011. – №1. – С. 44 – 49. 13. Чернець М.В., Ярема Р.Я., Чернець Ю.М. Метод оцінки впливу коригування і зношування зубів евольвентної циліндричної передачі на довговічність та міцність. Ч.1. Довговічність та зношування // ФХММ. – 2012. - № 3. – С. 30-39. 14. Чернець М.В., Чернець Ю.М. Дослідження умов зачеплення зубів циліндричної евольвентної передачі на контактну міцність, зношування і довговічність. Част. 1. Постійні умови взаємодії у некори- гованому зачепленні // Проблеми трибології. – 2014. – №3. – С. 84 – 92. Поступила в редакцию 16.05.2017 П р о б л е м и т р и б о л о г і ї “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” E-mail: tribosenator@gmail.com Вплив ширини коліс у циліндричній передачі з висотним коригуванням зачеплення на контактні тиски і довговічність Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 38 Chernets M.V., Chernets Yu.M. Influence of wheels width cylindrical gear on contact pressures and durability. With the use of author’s calculation method of durability of tooth gears with height engagement correction, it has been conducted the investigation of influence of wheels width and teeth slope angle on maximum contact pressures and dura- bility of cylindrical gears at changeable conditions of teeth contact in the result of their wear. It has been established that close in values the highest maximum contact pressures arise at teeth entrance into engagement and in the zone of its parity change both in spur and helical gears. In spur gears double – single – double tooth engagement would arise for the whole range of wheels width change. Instead, in helical gears with an increase of wheels width engagement parity changes from double – single – double into triple – double – triple. Respectively, these factors influence the decrease of initial maximum contact pressures level up to 1.5 times and the increase of durability of uncorrected helical gears up to 3.8 times in compari- son with spur gears. Engagement correction leads to decrease of maximum contact pressures, in the result of which gears du- rability increases. It has been established that optimum shift coefficients exist, at which gear durability would be the highest as compared with uncorrected engagement. The obtained results are given graphically, that better shows the regularities of wheels width, teeth slope angle and engagement conditions influence on the investigated tribotechnical characteristics. Key words: involute cylindrical gear, tooth height correction, teeth width, teeth slope angle, maximum contact pressures, tooth wear, gear durability. References 1. Drozdov Yu.N. K razrabotke metodiki rasczeta na iznaszyvanie i modelirovanie trenija. V kn. : Iznosostojkost. M.Nauka, 1975. S. 120-135. 2. Pronikov A.S. Nadezhnost maszyn. M. Maszynostroenije, 1978. 590 s. 3. Hryb V.V. Reszenie trybotehniczeskih zadacz czislennymi metodami. M.: Nauka, 1982. 112 s. 4. Brauer J., Andersson S. Simulation of wear in gears with flank interference – a mixed FE and ana- lytical approach. Wear. 2003. № 254. P. 1216-1232. 5. Flodin A., Andersson S. Simulation of mild wear in spur gears. Wear. 1997. № 207 (1-2). P. 16-23. 6. Flodin A., Andersson S. Wear simulation of spur gears. Tribotest J. 1999. № 5 (3). P. 225-250. 7. Flodin A., Andersson S. Simulation of mild wear in helical gears. Wear. 2000. № 241 (2). P. 123- 128. 8. Flodin A., Andersson S. A simplified model for wear prediction in helical gears. Wear. 2001. № 249 (3-4). P. 285-292. 9. Kahraman A., Bajpai P., Anderson N.Е. Influence of tooth profile deviations on helical gear wear. J. Mech. Des. 2005. Vol. 127, Issue 4. P. 656-663. 10. Kolivand M., Kahraman A. An ease-off based method for loaded tooth contact analysis of hypoid gears having local and global surface deviations. J. Mech. Des. 2010. Vol. 132, Issue 7. 11. Pasta A., Mariotti Virzi G. Finite element method analysis of a spur gear with a corrected profile. J. Strain Analysis. 2007. Vol.42. P. 281-292. 12. Chernec M.V., Kielbinski Ju., Jarema R.Ja. Uzahalnenyj metod ocinky znoszuvannja cylindrycznych evolventnych zubczastych peredacz. FKhMM, №1, 2011. S. 44 – 49. 13. Chernec M.V., Jarema R.Ja., Chernec Yu.M. Metod ocinky vplyvu koryhuvannja i znoszuvannja zubiv evolventnoi cylindrycznoi peredaczi na dovhovicznist ta micnist. Czast. 1. Dovhovicznist ta znoszuvannja. FKhMM, №3, 2012. S. 30 – 39. 14. Chernec M.V., Chernec Yu.M. Doslidzhennia umov zaczeplennia zubiv cylindrycznoi evolventnoi peredaczi na kontaktnu micnist, znoszuvannja i dovhovicznist. Czast. 1. Postijni umovy vzaiemodiji u nekoryhovanomu zaczeplenni. Problemy trybologii, №3, 2014. S.84 - 92.