Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 89 Кравцов А.Г. Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства им. П. Василенко, Украина E-mail: kravcov_84@ukr.net РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ АКТИВНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ МЕЛКОДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ПОВЕРХНОСТЬ ТРЕНИЯ – СМАЗОЧНАЯ СРЕДА УДК 621.891 В статье выполнены теоретические исследования формирования масляной пленки на поверхности трения при наличии растворов фуллеренов в смазочном материале. Математическая модель разработана на основе взаимо- действия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем на границе раздела поверхность трения – смазочная среда и описывается дифференциальным уравнением Пуассона. Показана связь электростатического поля поверхности трения и электрического поля в объеме жидкости. Ключевые слова: напряженность электростатического поля, кластерообразование, мицеллообразование, фуллерены, трибосистемы, смазочная среда. Введение Моделирование механизма взаимодействия трибоактивных компонентов смазочной среды с по- верхностью трения и внутреннего взаимодействия молекул смазочной среды между собой, является од- ной из сложных и актуальных задач трибологии. Сложность такой задачи состоит в том, что невозможно исследовать механизмы взаимодействия активных элементов смазочной среды, например, фуллеренов в процессе трения и их взаимодействие с поверхностью трения. При этом, поверхность трения в процессе работы трибосистемы под действием пластической и упругой деформации шероховатостей и материала поверхностного слоя выступает в качестве «генератора электростатического силового поля», что оказы- вает влияние на упорядочение структуры тонкой масляной пленки и определяет ее толщину. Новые возможности в изучении процессов формирования пленок смазочных материалов, содер- жащих фуллерены, представляет компьютерное молекулярное моделирование, которое позволяет пред- ставить процесс взаимодействия молекул, кластеров и мицелл, находящихся в смазочном материале с «энергетически заряженной» поверхностью трения. Электрически активные дисперсные системы с развитой удельной поверхностью, к которым от- носятся кластеры и мицеллы, в состав которых входят молекулы фуллерена, являются одним из перспек- тивных классов современных материалов, которые в ближайшее время будут применятся при разработке новых смазочных материалов. Особые механические и электрофизические свойства таких наноматериа- лов во многом определяются способами их получения и в значительной степени зависят от их дисперс- ности, концентрации, а также химического взаимодействия входящих в их структуру компонентов. Сложность строения дисперсных систем на основе наноматериалов, а также наличие локальных неодно- родностей определяют отсутствие сложившегося представления о механизме снижения износа и потерь на трение в трибосистемах, где в смазочных материалах используются фуллерены. При наличии много- численных границ раздела в этих сложных системах суммарный эффект межфазных взаимодействий становится особенно сильным и является определяющим для процесса генерации собственных электри- ческих полей. Такое взаимодействие приводит к возникновению электрических сил, а, следовательно, и к градиенту электростатического поля у поверхности трения. Цель работы Целью данной работы является разработка математической модели взаимодействия электриче- ски активных гетерогенных мелкодисперсных систем на границе раздела поверхность трения – смазоч- ная среда с добавлением фуллеренов в смазочный материал. Структура математической модели Структура математической модели формирования смазочной пленки содержащей фуллерены на поверхности трения трибосистемы состоит из следующих блоков. 1 блок – моделирование напряженности электростатического поля поверхности трения. В про- цессе работы трибосистемы поверхности трения, вследствие пластической и упругой деформации по- Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 90 верхностных слоев материала, накапливают поверхностную энергию, размерность Дж/м2, которую мож- но представить как поверхностную плотность заряда, размерность Кл/м2. Данные физические величины зависят от следующих параметров: конструкции трибосистемы (площадей трения и объемов под площадями трения подвижных и неподвижных трибоэлементов); структуры материалов трибоэлементов (внутреннее трение структуры материала, модуль упругости, ко- эффициент Пуассона); трибологических свойств базовой смазочной среды; шероховатости поверхности трения и среднего шага неровностей ( Ra , Sm ); нагрузки и скорости скольжения. Перечисленные пара- метры позволяют определить плотность заряда, который накапливается на поверхности трения трибоси- стемы в процессе работы и рассчитать напряженность электростатического поля поверхности трения. В зависимости от конструкции трибосистемы и режимов ее работы напряженность электроста- тического поля будет изменяться. Следовательно, поверхность трения трибосистемы можно представить в виде «генератора электростатического силового поля», размерность В/м, величина которого будет ока- зывать силовое воздействие на смазочную среду, находящуюся вблизи поверхности трения и формиро- вать структуру и толщину смазочной пленки. 2 блок – моделирование напряженности электрического поля в объеме смазочного материала, который находится под воздействием силового поля поверхности трения. Под действием электростати- ческого поля поверхности трения структура базового смазочного материала, который содержит фуллере- ны и другие молекулы поверхностно-активных веществ (растворителей), претерпевает изменения. При достижении концентрации молекул фуллеренов в объеме смазочного материала, которую называют критической концентрацией кластерообразования (ККК), образуются агрегаты из однотипных молекул-кластеров. Образовавшиеся кластеры нестабильны и могут под действием температурных коле- баний и внешних силовых факторов распадаться и снова образовываться, что представлено в работе [1]. При введении в такую дисперсную среду сильных растворителей, в качестве которых может вы- ступать высокоолеиновое растительное масло и при достижении определенной концентрации молекул растворителя, которую называют критической концентрацией мицеллообразования (ККМ), образуются мицеллы, состоящие из ядра в виде молекулы фуллерена и присоединенных к ядру молекул высокомоле- кулярной кислоты, например, олеиновой или стеариновой. Такая перестройка структуры смазочного материала с образованием кластеров и мицелл изменя- ет дипольный момент вновь образованных агрегатов и влияет на формирование электрического поля в объеме жидкости. Исходными данными для моделирования напряженности электрического поля в объеме смазоч- ного материла являются: дипольный момент молекулы высокомолекулярной кислоты (растворителя), размерность Кл·м; критическая концентрация кластерообразования и мицеллообразоывания, размерность моль/м3, объемная температура смазочной среды, размерность °С; а также величина электростатического силового поля поверхности трения, размерность В/м. Результатом моделирования является величина электрического поля в объеме смазочного мате- риала вблизи поверхности трения. 3 блок – моделирование формирования толщины масляной пленки на поверхности трения трибо- системы. Взаимодействие электростатического силового поля поверхности трения и электрического поля объема смазочной среды способствует формированию на поверхности трения масляной пленки опреде- ленной толщины, размерность м. Данная пленка формируется за счет «сшивания» пространственных аг- регатов – мицелл и кластеров в объемную структуру, напоминающую сотовую конструкцию. Исходными данными для моделирования толщины масляной пленки являются: величина элек- тростатического силового поля поверхности трения, В/м; величина электрического силового поля в объ- еме масляной пленки, В/м, рабочая температура в объеме масляной пленки, °С; динамическая вязкость базовой смазочной среды при 100°С, Па·с; суммарная фактическая площадь всех пятен контакта, м2; на- грузка, Н; скорость скольжения, м/с. Результатом моделирования является величина толщины масляной пленки, которая электроста- тическими силами удерживается на поверхности трения, а также зависимости ее изменения при варьиро- вании перечисленных выше исходных параметров. 4 блок – моделирование величины скорости изнашивания трибосистем при формировании на по- верхности трения смазочных пленок, которые содержат различную концентрацию фуллеренов и их рас- творителей. Формирование «сшитых» структур на поверхности трения приводит к изменению среднего арифметического отклонения точек профиля Ra , мкм и среднего шага неровностей по средней линии профиля Sm , мм вновь образованных поверхностей трения. Определение зависимостей уменьшения Ra при одновременном увеличении Sm при измене- нии толщины масляной пленки, позволяет моделировать величину скорости изнашивания трибосистем при изменении всех перечисленных выше параметров. Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 91 5 блок – проверка адекватности математической модели на различных конструкциях трибоси- стем и различной концентрации фуллеренов и растворителя фуллеренов (растительного масла). Допущения принятые при разработке математической модели формирования масляной пленки на поверхности трения и ее влияние на скорость изнашивания. 1. Электростатическое поле поверхности трения, которое создается в результате взаимодействия поверхностей трения между собой и базовой смазочной средой, равномерно распределено по сей номи- нальной площади трения. 2. Электрическое поле, которое формируется в объеме смазочного материала за счет фуллеренов и растворителя, равномерно распределено по всему объему сформировавшейся масляной пленки. 3. Температура масляной пленки равномерно распределена по всему объему, а пленка макси- мально протяженная. 4. По характеру протекающих процессов рассматриваются установившиеся процессы трения, т.е. после завершения приработки. Ограничения, принятые при разработке математической модели. 1. Трибосистемы функционируют в режиме граничной смазки без повреждаемости. 2. Нагрузочно-скоростной диапазон работы трибосистемы соответствует уровню, когда проис- ходит интенсивная перестройка структуры материала поверхностных слоев. Изложение основного материала Электрическое взаимодействие кластеров и мицелл в смазочной среде, в состав которых входят фуллерены, с заряженной поверхностью трения, способствует образованию пространственных структур из гетерозарядов на границе раздела фаз. Такое взаимодействие формирует суммарное электрическое по- ле в изучаемой системе. Наиболее удобным методом для поиска напряженности электрического поля является решение дифференциального уравнения для потенциала, которое получено на основе теоремы Остроградского- Гаусса в дифференциальной форме: 0 2 2 2 2 2 2 2                  zyх , (1) где  – электрический потенциал, В; zyx ,, – координаты в декартовой системе координат; 2 – оператор Лапласа, являющийся суммой вторых производных по координатам;  – объемная плотность заряда;  – относительная диэлектрическая проницаемость смазочной среды; 0 – диэлектрическая постоянная, равна 8,85·10 -12, Кл/В·м или Ф/м. Уравнение (1) в технической литературе получило название уравнение Пуассона и является дифференциальным эквивалентом интегрального соотношения, по которому вычисляется потенциал  . При этом, в декартовых координатах можно записать: Edivdiv 2  grad , (2) где grad – представляет собой векторную функцию  ; Ediv – дивергенция напряженности электрического поля (дифференциальный оператор, ото- бражающий векторное поле на скаляре). Поскольку масляная пленка считается максимально протяженной на поверхности, а поверхност- ная плотность зарядов поверхности трения является постоянной, то потенциал  и напряженность элек- трического поля E в пленке зависят только от координаты z (перпендикулярно к поверхности трения) и не зависят от продольных x и поперечных y координат. Следовательно в уравнении (1): 02 2    х ; 02 2    y ; 02 2    z . (3) С учетом (3.3) уравнение Пуассона (3.1) можно переписать в виде: Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 92                   3 0 3 000 2 2 442 м мм k kk d pn d pn z . (4) Введем замену в уравнении (4). первое слагаемое в правой части определяет напряженность электростатического поля создаваемого поверхностью трения в процессе работы: 02  пE , В/м, (5) где  – поверхностная плотность заряда, Кл/м2. Поверхностная плотность заряда определяется по выражению:    I hW мтр , Кл/м2, (6) трW - скорость работы диссипации трибосистемы, размерность Дж/с; мh - толщина адсорбированного слоя масла на поверхности трения, размерность, м; I – объемная скорость изнашивания материалов трибоэлементов, размерность м3/с. В основу получения выражения (6) положено определение поверхностной энергии. Согласно ра- боты [2] распределенная по границе раздела фаз суммарная поверхностная энергия равна распределен- ной по объему поверхностного слоя материала трибоэлемента свободной энергии, которая выделяется при образовании новых поверхностей. Следовательно, на процесс образования новых поверхностей влияет скорость работы диссипации трибосистемы трW , методика расчета представлена в работе [3] и скорость изнашивания, методика моделирования представлена в работе [4]. Толщина адсорбированного слоя масла определяется во время моделирования методом последовательных итераций. Величину электрического потенциала определим по известным формулам: плh Q 04  , В, (7) где Q – величина электрического заряда на поверхности трения, размерность Кл; плh – толщина (расстояние) действия электрических сил, размерность м. Величины Q и плh в процессе моделирования выбираются методом последовательных итера- ций. Подставляя результат формулы (7) в (6), а затем в (5) можно моделировать изменение напряжен- ности электростатического поля поверхности трения при изменении следующих входных параметров: шероховатость поверхностей трения ( Ra и Sm ); модуль Юнга, коэффициент Пуассона и внутреннее трение структуры сопряженных материалов; трибологических свойств базовой смазочной среды; геомет- рических размеров трибосистемы; нагрузки и скорости скольжения. Второе слагаемое правой части уравнения (4) определяет напряженность электрического поля в объеме смазочной пленки за счет образования кластеров из фуллеренов. Выражение для определения ве- личины электрического поля, на основании работы [8] запишем в виде: 3 04 k kk k d pn E   , В/м, (8) где kn – количество кластеров на единицу объема базового смазочного материала, шт; kp – дипольный момент кластеров, размерность Кл·м; kd – среднее расстояние между кластерами и поверхностью трения, равная среднему размеру (диаметру) кластеру , размерность м. Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 93 Количество кластеров kn , которые могут образовываться в базовой смазочной среде можно оп- ределить по свободной энергии Гиббса или потенциалу Гиббса, величина которого показывает измене- ния в ходе химической реакции. Изменение энергии Гиббса определяют по выражению [5]:  КККCRTG фk /ln , Дж/моль, (9) где R – универсальная газовая постоянная равная 8,3144598 Дж/(моль·°К); Т – температура смазочной среды, °К; фС – концентрация фуллеренов в смазочной среде, размерность моль/м 3; ККК – критическая концентрация кластерообразования из молекул фуллеренов, размерность моль/м3. Из формулы (9) можно получить выражение для определения количества кластеров:  RTG KKK C n k k k /exp  , шт. (10) Дипольный момент кластера kp определим по выражению, которое представлено в работе [6]:  k n i фk вLpp k   1 , Кл·м, (11) где фp – дипольный момент молекулы фуллерена, равен 3,34·10 -30 Кл·м;  kвL – функция Ланжевена. Функция Ланжевена на основании работы [7] определяется по выражению:   kkk вввL /1cth  , Кл·м, (12) где kв – безразмерная величина, которая учитывает напряженность электростатического поля поверхности трения пE и температуру смазочной среды, что влияет на ориентацию кластеров относи- тельно вектора напряженности электростатического поля поверхности трения: kT Epn в пфkk   , (13) где k – постоянная Больцмана, равная 1,380648·10-23 Дж/°К. Подставляя полученные выражения (10) – (13) в формулу (8) можно моделировать изменения напряженности электрического поля смазочной среды при изменении концентрации фуллеренов, темпе- ратуры и величины напряженности электростатического поля поверхности трения. Третье слагаемое в правой части уравнения (4) определяет напряженность электрического поля в объеме смазочной пленки за счет образования мицелл, где в качестве ядра выступает молекула фуллере- на или кластер из фуллеренов, который окружают присоединенные молекулы высокомолекулярной ки- слоты (олеиновой, стеариновой и т.д.). Такие кислоты выступают в качестве «растворителя» фуллеренов. Выражение для определения величины электрического поля за счет образования мицелл запишем в виде: 3 04 м мм м d pn E   , В/м, (14) где мn – количество мицелл на единицу объема базового смазочного материала, шт; мр – дипольный момент мицеллы, Кл·м; мd – среднее расстояние между мицеллой и поверхностью трения, равное среднему размеру (диаметру) мицеллы, размерность м. Количество мицелл, которые могут образоваться в базовой смазочной среде определим на осно- вании изменения энергии Гиббса: Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 94  ККМCRTG мм /ln , Дж/моль, (15) где мС – концентрация мицелл в базовой смазочной среде, размерность моль/м 3; ККМ – критическая концентрация мицеллообразования, моль/м3. Исходя из (15) количество мицелл определим по выражению:  RTGn мм /exp  , шт. (16) Дипольный момент мицеллы определим из выражения:  м n i вkм вLpp м   1 , Кл·м, (17) где вkp – дипольный момент молекулы высокомолекулярной кислоты, например, для олеиновой кислоты 301084,4 вkp Кл·м. Функция Ланжевена, как и в случае с образованием кластеров, учитывает ориентацию мицелл в электростатическом поле, создаваемом поверхностью трения с учетом тепловых колебаний молекул:   ммм вввL /1 cth  , (18) kT Epn в пвkмм   . (19) Подставляя полученные выражения (16) – (19) в формулу (14) можно моделировать изменения величины напряженности электрического поля смазочной пленки при изменении концентрации раство- рителя фуллеренов, что приводит к образованию мицелл. Как следует из полученных выражений на про- цесс мицеллообразования, кроме концентрации растворителя фуллеренов, влияет температура смазочной среды и напряженность электростатического поля поверхности трения. В процессе функционирования трибосистемы за счет влияния температуры, а также нагрузки и скорости скольжения процесс кластеро- и мицеллообразования, а также их разрушения может происхо- дить одновременно, следовательно, суммарное электрическое поле смазочной среды жE определяется как сумма: мkж EEE  , В/м, (20) Решением дифференциального уравнения (3.4) является функция: )exp()()( zEEzE жп  , В/м, (21) где z – расстояние от поверхности трения по нормали, размерность мкм. Результаты теоретических исследований Результаты анализа решения дифференциального уравнения в виде функции (21) представлены на рис. 1 – 3. Анализ полученных зависимостей позволяет сделать следующие выводы. Увеличение количества агрегатов (кластеров и мицелл) в объеме смазочного материала, рис. 1, увеличивает суммарную напряженность электрического поля жE , которое формируется под действием электростатического поля поверхности трения пE . При этом, применяя «растворитель» для фуллеренов в виде высокомолекулярных кислот можно добиться увеличения количество агрегатов более чем на по- рядок. Объясняется это тем, что при применении «растворителя» молекулы фуллерена в меньшей степе- ни образуют в смазочном материале кластеры, а начинают активно образовывать мицеллы, что доказано в работе [1]. Ядром мицеллы выступает единичная молекула фуллерена или кластер из нескольких моле- кул с присоединенными к ядру полярными молекулами высокомолекулярной кислоты, например, олеи- новой. Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 95 Рис. 1 – Зависимости изменения напряженности электрического поля в смазочной пленке от количества агрегатов и расстояния от поверхности трения Рис. 2 – Зависимости изменения напряженности электрического поля в смазочной пленке от величины дипольно- го момента агрегатов и расстояния от поверхности трения Рис. 3 – Зависимости изменения напряженности электрического поля в смазочной пленке от размера агрегатов и расстояния от поверхности трения Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 96 Необходимо отметить, что глубина проникновения электрического поля в смазочный материал z не превышает 2 мкм. Согласно результатов проведенного численного анализа при 2z мкм величи- на суммарного электрического поля уменьшается от 100% до 13%. Зависимости изменения суммарной напряженности электрического поля в смазочной пленке от величины дипольного момента агрегатов и расстояния от поверхности трения представлены на рис. 2. Из представленных зависимостей следует, что чем выше дипольный момент агрегатов, тем больше величи- на суммарной напряженности электрического поля в объеме масляной пленки. Данный эффект будет по- ложительно влияет на формирование структуры смазочной пленки на поверхности трения и на износо- стойкость трибосистемы. Увеличению дипольного момента агрегатов способствует формирование ми- целл. Такой процесс можно вызвать применением «растворителя» фуллеренов с последующим введени- ем в смазочный материал. Зависимости изменения суммарной напряженности электрического поля в смазочной плене от размера агрегатов представлены на рис. 3. из представленных зависимостей следует, что чем меньше размер d , тем выше величина напряженности электрического поля, что положительно для процесса трения. На основании сделанных выше выводов о влиянии количества агрегатов и их дипольных момен- тов на величину суммарного электрического поля, можно обосновать необходимость применения «рас- творителя» фуллеренов, который вызовет образование мицелл с ядром в одну молекулу фуллерена. На основании работы [1] можно сделать вывод, что в качестве «растворителей» могут выступать высокомо- лекулярные кислоты. Однако, в работах академика П.А. Ребиндера доказано, что существует предельная растворимость высокомолекулярных кислот в смазочных материалах, не более 0,2% масс. Данную про- блему можно решить применением высокоолеиновых сортов растительных масел, рапсового или под- солнечного, в составе которых содержится 76 – 82% масс. олеиновой кислоты. Данные растительные масла неограниченно растворяются в минеральных и синтетических технических маслах (моторных, трансмиссионных, гидравлических). Предварительно растворяя в растительном масле фуллерены, а за- тем добавляя такой раствор «фуллерены + растворитель» в базовую смазочную среду, можно добиться эффектов, которые получены из анализа решения дифференциального уравнения (21). Применяя метод анализа размерностей, который широко применяется в теории подобия и моде- лирования, а также экспериментальные данные, можно получить выражение для определения толщины смазочной пленки, которая будет сформирована на поверхности трения под влиянием силовых электри- ческих полей поверхности трения и жидкости:            22 )( жп жпсклтр ЕЕ EE N AT h , м, (22) где h – толщина смазочной пленки, м; )(Т – функция изменения динамической вязкости базовой смазочной среды от температуры, Па·с; трА – фактическая площадь трения, которая является суммой площадей трения всех пятен фак- тического контакта, м2; скл – скорость скольжения, м/с; N – нагрузка на трибосистему, Н. Рабочую температуру в объеме масляной пленки Т определим по выражению: )exp( fWТТ трос  , °С, (23) где осТ – температура окружающей среды, °С; трW – скорость работы диссипации в трибосистеме, Дж/с, определяется по методике приведен- ной в работе [3]; f – коэффициент трения, безразмерная величина, определяется по методике приведенной в ра- боте [3]. Функцию изменения динамической вязкости смазочной среды при изменении температуры оп- ределим по выражению: Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 97 ))(exp( 00 TT  , Па·с, (24) где 0 – динамическая вязкость смазочного материала при 100 °С, Па·с;  – пьезокоэффициент, равный 0,013; T – рабочая температура, определяется по формуле (23), °С; 0T – температура, при которой определяют 0 , т.е. равная 100 °С. Результат изменения )(T , который получают с помощью формул (23) и (24), подставляют в выражение (22) для моделирования изменения толщины смазочной пленки h . Толщина смазочной пленки h, как следует из выражения (22), зависит от большого количества рабочих, технологических и конструктивных параметров, которые перечислены выше. В конечном счете h влияет на величину (технологической или рабочей шероховатости) Ra и Sm за счет образования «сшитых структур» из мицелл и кластеров, которые удерживаются на поверхности трения силами элек- тростатического взаимодействия. Такие структуры «выравнивают» поверхности трения в сторону уменьшения Ra и увеличения Sm . На основании полученных экспериментальных данных нами были получены следующие зависимости: )108,0/exp( o , 6 hRaRa , мкм, (25) )108,0/exp( o , 6 hSmSm , мм, (26) где o ,Ra – исходное среднее арифметическое отклонение точек профиля, без применения на- номатериалов, размерность, мкм; o ,Sm – исходный средний шаг неровностей по средней линии профиля, размерность, мм; 0,8·10-6 – коэффициент, учитывающий размерность величин. Как следует из полученных выражений применение наноматериалов в составе различных рас- творителей в базовых смазочных жидких материалах будет уменьшать Ra формула (25) и увеличивать Sm , формула (26), что повлечет увеличение диаметра фактического пятна контакта фпкd сопрягаемых поверхностей трения и снижение напряжений на фактическом пятне контакта фпк . Данные параметры позволяют моделировать изменение величины объемной скорости изнашивания трибосистемы при варь- ировании: концентрации фуллеренов; конструкции трибосистемы; нагрузочно-скоростного диапазона функционирования трибосистемы и трибологических свойств базовой смазочной среды, куда будут до- бавляться растворы фуллеренов. Выводы Разработанная система физических принципов и математических выражений является математи- ческой моделью взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем на гра- нице раздела поверхность трения – смазочный материал. Из анализа решения дифференциального урав- нения, которое описывает процесс взаимодействия электрических полей установлено, что введение фул- леренов в базовый смазочный материал не приносит большого эффекта. Теоретическим путем установлено, что применение «растворителей» фуллеренов, в качестве ко- торых могут выступать высокоолеиновые растительные масла, можно «запутать» процесс мицеллообра- зования, где ядром мицеллы является молекула фуллерена, окруженная молекулами, например, олеино- вой или стеариновой кислоты. Как показали теоретические исследования количество мицелл в 50 раз превышает количество кластеров в базовой смазочной среде при одинаковой концентрации фуллеренов, а дипольный момент мицелл на порядок выше, чем дипольный момент кластеров. При этом, более эф- фективны мицеллы, где в качестве ядра выступает единичная молекула фуллерена, а не кластер из моле- кул фуллеренов, что влияет на размер образовавшихся мицелл. Впервые установлена роль поверхности трения на процесс образования кластеров и мицелл в плени смазочного материала у поверхности трения. Показано, что под действием напряженно- деформированного состояния поверхностных слоев поверхность трения выступает в качестве «генерато- ра электростатического силового поля», которое оказывает влияние на формирование электрического поля в объеме масляной пленки. Получены выражения для расчета величины напряженности суммарного электрического поля системы «поверхность трения + смазочный материал». Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 98 Литература 1. Безмельницын В.Н. фуллерены в растворах / В. Н. Безмельницын, А.В. Елецкий, М.В. Окунь // Успехи физических наук. – 1998. – Т. 168, № 11. – С. 1195 – 1220. 2. Фроленкова Л.Ю. Метод вычисления поверхностной энергии и энергии адгезии упругих тел / Л.Ю. Фроленкова, В.С. Шоркин // Вестник ПНИПУ: Механика – 2013. – № 1 – С. 235 – 259. 3. Войтов В. А. Моделирование процессов трения и изнашивания в трибосистемах в условиях граничной смазки. Часть 1. Расчет скорости работы диссипации в трибосистемах / В. А. Войтов, М.Б. Захарченко // Проблеми трибології. – 2015. – №1. – С. 49 – 57. 4. Войтов В. А. Моделирование процессов трения и изнашивания в трибосистемах в условиях граничной смазки. Часть 2. Результаты моделирования / В. А. Войтов, М.Б. Захарченко // Проблеми трибології. – 2015. – №2. – С. 36 – 45. 5. Базаров И.П. Термодинамика / И.П. Базаров. – М.: Высш. Школа, 1991. – 376 с. 6. Лысиков Е.Н. Надмолекулярные структуры жидких смазочных сред и их влияние на износ технических систем / Е.Н. Лысиков, В. Б. Косолапов, С.В. Воронин. – Харьков: ЭДЭНА, 2009. – 274 с. 7. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / пер. с англ.– М.: Наука, 1978. – 522 с. 8. Борисов В.С. Особенности состояния термодинамического равновесия тонкой водной пленки, находящейся в электрическом поле активных центров поверхности кристалла слюды / В.С. Борисов, Л.А. Щербаченко // Физика твердого тела. – 2009. – Т.51. – Вип.12.– С. 2394 – 2399. Поступила в редакцію 25.09.2017 Разработка математической модели взаимодействия электрически активных гетерогенных мелкодисперсных систем… Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 3 99 Kravtsov А.G. Development of a mathematical model for the interaction of electrically active het- erogeneous fine-dispersed systems at the interface between the friction surface and the lubricating me- dium Theoretical studies of the formation of an oil film on a friction surface in the presence of solutions of fullerenes in a lubricant are performed in the article. The mathematical model is developed on the basis of the interaction of electrically ac- tive heterogeneous fine-dispersed systems on the interface between the friction surface and the lubricating medium and is de- scribed by the differential Poisson equation. The relationship between the electrostatic field of the friction surface and the electric field in the bulk of the liquid is shown. It has been theoretically established that the use of "solvents" of fullerenes, which may be highly oleic vegetable oils, can be "confused" with the process of micelle formation, where the core of the micelle is a fullerene molecule sur- rounded by molecules, for example, oleic or stearic acid. It is shown that under the action of the stress-strain state of surface layers, the friction surface acts as an "electro- static force field generator", which influences the formation of an electric field in the volume of the oil film. Expressions are obtained for calculating the strength of the total electric field of the "friction surface + lubricant" system. Keywords: electrostatic field strength, clustering, micellization, fullerenes, tribosystems, lubricating medium References 1. Bezmel'nicyn V.N. fullereny v rastvorah / V. N. Bezmel'nicyn, A.V. Eleckij, M.V. Okun' // Uspehi fizicheskih nauk. – 1998. – T. 168, № 11. – S. 1195 – 1220. 2. Frolenkova L.Ju. Metod vychislenija poverhnostnoj jenergii i jenergii adgezii uprugih tel / L.Ju. Frolenkova, V.S. Shorkin // Vestnik PNIPU: Mehanika – 2013. – № 1 – S. 235 – 259. 3. Vojtov V. A. Modelirovanie processov trenija i iznashivanija v tribosistemah v uslovijah granichnoj smazki. Chast' 1. Raschet skorosti raboty dissipacii v tribosistemah / V. A. Vojtov, M.B. Zaharchenko // Prob- lemi tribologії. – 2015. – №1. – S. 49 – 57. 4. Vojtov V. A. Modelirovanie processov trenija i iznashivanija v tribosistemah v uslovijah granichnoj smazki. Chast' 2. Rezul'taty modelirovanija / V. A. Vojtov, M.B. Zaharchenko // Problemi tribologії. – 2015. – №2. – S. 36 – 45. 5. Bazarov I.P. Termodinamika / I.P. Bazarov. – M.: Vyssh. Shkola, 1991. – 376 s. 6. Lysikov E.N. Nadmolekuljarnye struktury zhidkih smazochnyh sred i ih vlijanie na iznos tehnicheskih sistem / E.N. Lysikov, V. B. Kosolapov, S.V. Voronin. – Har'kov: JeDJeNA, 2009. – 274 s. 7. Kittel' Ch. Vvedenie v fiziku tverdogo tela / per. s angl.– M.: Nauka, 1978. – 522 s. 8. Borisov V.S. Osobennosti sostojanija termodinamicheskogo ravnovesija tonkoj vodnoj plenki, na- hodjashhejsja v jelektricheskom pole aktivnyh centrov poverhnosti kristalla sljudy / V.S. Borisov, L.A. Shherba- chenko // Fizika tverdogo tela. – 2009. – T.51. – Vip.12.– S. 2394 – 2399.