Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 67 Костогриз С.Г., Мисліборський В.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: mvovka13@gmail.com МОДЕЛЮВАННЯ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАЛЬНИХ СИСТЕМ УДК 621.891:620.194 В роботі розглянуті загальні підходи і принципи побудови розрахункових моделей механічних коливаль- них систем, а також методика їх спрощення та визначення зведених мас і крутильних жорсткостей. Ключові слова: коливальні параметри об’єкта, фактори, збуджуючі коливання, структурні елементи системи, пружні та непружні зв’язки, динамічна модель механічної системи, спрощена модель коливальної системи. Вступ Для дослідження механічних коливань в реальних технічних об’єктах їх замінюють відповідними моделями, абстрагуючись від другорядних процесів та структурних елементів реального об’єкта і виділяю- чи в ньому тільки ті процеси і елементи, які визначають і характеризують явища, що досліджуються. Мета і постановка задачі Робота виконується з метою обґрунтування використання загальних підходів і принципів побудови розрахункових моделей механічних коливальних систем, а також методика їх спрощення та визначення зведених мас і крутильних жорсткостей. 1. Принципи побудови моделей механічних коливальних систем Розглянемо для прикладу автомобіль як об’єкт, в якому відбувається цілий комплекс коливаль- них процесів різних за своєю природою і характером [1]. Як правило,ці процеси взаємозв’язані. Однак серед них можна виділити: коливання маси автомобіля на ресорах і шинах коліс; вібрації рами, кузова та інших конструктивних елементів. Побудувати і дослідити модель, яка враховувала б всі коливальні про- цеси такого роду складальних системах практично не можливо і не доцільно. Тому до моделювання ко- ливальних процесів в механічних системах підходять таким чином і в такій послідовності: 1) визначаються з тим, які коливальні параметри об’єкта потрібно досліджувати; 2) встановлюють збуджуючі коливання фактори (силові, кінематичні та інші); 3) виділяють основні структурні елементи системи, які беруть участь в коливальному процесі, у вигляді зосереджених або розподілених мас; 4) виявляють пружні та непружні зв’язки між структурними елементами системи, які беруть участь в коливаннях; 5) будують динамічну модель механічної системи, яка відображає її основні, відповідно до об’єкта дослідження, властивості; 6) при необхідності спрощують модель коливальної системи. Ці принципи повністю відповідають загальному підходу до дослідження коливань в механічних системах, який викладений нижче. Дійсно, першим пунктом встановлюються вихідні функції, а пункти третій, четвертий і п’ятий безпосередньо відносяться до динамічних властивостей коливальної системи, які визначає її внутрішня структура. Повернемось, однак, до побудови моделі коливальної системи автомобіля для дослідження пи- тання про коливання його мас при русі по нерівностях дороги. На основі цього можна давати оцінку так званій плавності руху автомобіля і його комфортними властивостями, а також вирішувати і інші задачі, як наприклад, про режим навантаження елементів ходової системи. Основними коливальними парамет- рами тут будуть: вертикальні коливання центра мас автомобіля ( )Z t на ресорах підвіски; кутові коли- вання кузова на ресорах ( )Q t відносно осі, що проходить через центр мас і перпендикулярній поздовж- ній площині, що проходить через центр мас; поперечно-кутові коливання ( )t кузова відносні повздов- жньої осі, що проходить через центр мас; вертикальні коливання коліс на пружних шинах 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )Z t Z t Z t Z t . Таким чином, маємо сім коливальних вихідних параметрів системи, які потрі- бно дослідити. Основним фактором, що збуджує коливання є нерівності дороги. Тут маємо змушуючи функції. Функцію зміни висоти нерівностей дороги  Z t під правими колесами і відповідну функцію ( )Z t , – під лівими колесами. Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 68 Структурними елементами моделі є маса тієї частини автомобіля, яка знаходиться на підвісці 1m і задніх коліс 2m . Між цими структурними елементами є пружні і дисипативні зв’язки. Маса кузова m зв’язана з масою кожного з передніх коліс 1m умовною пружиною з характеристикою відповідно з масами задніх коліс вона зв’язана пружиною з характеристикою 1 2, c c . Маси передніх 1 2, m m задніх коліс мають пружній зв’язок з дорогою через шини з характеристиками 1 2, c c . Кожному з пружних зв’язків відповідає непружний зв’язок через передні і задні амортизатори підвіски з характеристиками 1 2, k k непружний зв’язок коліс через шини з дорогою з характеристиками ' ' 1 2, k k . Про пружні і дисипа- тивні характеристики механічних коливальних систем нижче буде сказано більш детально. Виходячи з цього динамічну модель коливальної системи автомобіля можна подати у вигляді, як це показано на рис. 1. Рис. 1 – Просторова динамічна модель автомобіля, який рухається по нерівностях дороги Складаючи цю модель, ми абстрагувались від деяких факторів, які в певній мірі не слід вважати головними при розгляді цього питання. По перше, не враховуємо коливання відносно поздовжньої і по- перечної осі автомобіля. По друге, не враховуємо вплив обертових мас автомобіля (двигуна, деталей си- лової передачі) на коливання по вибраних координатах. По третє, не враховуємо те, що обертовий мо- мент на колесах може бути змінним і збуджувати коливання маси автомобіля. Показана на рис. 1 модель може спрощуватись по мірі того, від яких факторів ми абстрагуємось і які робимо припущення. Наприклад, припустимо, що під лівими і правими колесами функція зміни висот нерівностей дороги буде однакова. В цьому разі система стане симетричною відносно осі x і не будуть виникати поперечно - кутові коливання ( )t навколо цієї осі. Наслідком цього є те,що від просторової коливальної системи (рис. 1) перейдемо до плоскої коливальної системи (рис. 2) Рис. 2 – Плоска динамічна модель автомобіля, який рухається по нерівностях дороги Якщо в моделі, зображеній на рис. 1, сім вихідних коливальних параметрів, то в цій моделі тіль- ки чотири. Можливе також і подальше спрощення моделі. Введемо припущення, що коливання маси ав- томобіля, що приходиться на передню підвіску nm не зв’язані з коливаннями його маси, що приходить- ся на задню підвіску 3m . Це приводить до більш простої моделі, якщо ми будемо розглядати коливання передньої частини автомобіля (рис. 3, а). Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 69 а б Рис. 3 – Спрощені динамічні моделі автомобіля (а і б), який рухається по нерівній дорозі Внаслідок спрощення в динамічній моделі (рис. 3, а) маємо тільки два вихідних незалежних ко- ливальних параметри. Якщо припустити, що маса коліс незначна у порівнянні з масою передньої частини автомобіля, то динамічна модель прийме ще біль простий вигляд (рис. 3, б), і в ній буде тільки один вихідний пара- метр, що характеризує вертикальні коливання передньої частини автомобіля. 2. Особливості моделювання крутильних механічних коливальних систем Розглянемо побудову динамічних моделей механічних систем, в яких мають місце так звані кру- тильні коливання. До них відносяться силові передачі від двигунів до робочих органів різного технологі- чного обладнання, верстатів, транспортних машин, тощо. В цих системах основні їх деталі – вали з роз- міщеними на них обертовими масами здійснюють обертовий рух, закручуються і навантажуються при цьому змінними навантаженнями коливального характеру. Для прикладу візьмемо механізм головного руху токарно - револьверного верстата мод. 1336М, кінематична схема якого зображена на рис. 4 [2]. Рис. 4 – Кінематична схема проводу головного руху токарно - револьверного верстата мод.1336М При заданій схемі ввімкнення зубчатих коліс потік енергії від двигуна 1 до планшайби 3 йде че- рез пасову передачу 2, вал І, зубчату пару ( 1 2,z z ), вал ІІ, зубчату пару ( ' 2 3,z z ), вал ІІІ, зубчату пару ( '3 4,z z ) на вал IV із планшайбою 3 та закріпленою в ній деталлю 4. Для такої системи вихідними коливальними параметрами є кути повороту обертових мас валів I, II, III, IV з посадженими на них деталями – відповідно 1 2 3, , ,... n        , а вхідною, збуджуючою коли- вання функцією є змінний в часі момент сил різання на шпинделі – ( )PM t . Основними структурними інерційними елементами системи тут є обертові маси двигуна, пасової передачі, валів із зубчастими ко- лесами та планшайби з деталлю. Між ними є пружні зв’язки, які вмикають завдяки пружним властивос- тям валів та зубчастих зачеплень. Знехтуємо розсіюванням енергії у валах та передачах при коливальних, а також коливаннями в пасовій передачі. З врахуванням цього динамічну модель для дослідження коли- вань у приводі верстата (рис. 4) подамо у такому вигляді (рис. 5) [1]. Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 70 Рис. 5 – Динамічна модель для розрахунку коливань в приводі головного руху верстата мод. 1336М Особливістю складання динамічних моделей крутильних систем є те, що в них рухомі маси, кути повороту та крутильні жорсткості зводяться до одного з валів передаточного механізму. Символ (*) в по- значеннях цих величин означає зведення. Найчастіше ланкою зведення бувають вихідний та вхідний пе- редачі. На рис. 5 позначені: *1I – зведений до вала І момент інерції, що враховує маси ротора електродви- гуна, шківів пасової передачі і половини маси вала І; *2I – зведений до вала І момент інерції половини маси вала І, шестерні 1z , шестерні 2z і половини маси вала між шестернями 2z i ' 2z з вільною шестер- нею; *3I – зведений до вала І момент інерції, що враховує масу половини проміжка вала між шестернями 2z i ' 2z , масу шестерень 2z i ' 2z та половини маси вала ІІІ в проміжку між шестернями 3z i ' 3z та масу вільного лівого кінця вала ІІІ; *4I – зведений до валу І момент інерції мас половина вала ІІІ у проміжку між шестернями '33 zz  , правого вільного кінця ІІІ, шестерні ' 3z , шестерні 4z , лівого вільного кінця вала IV і половини ділянки вала, що розміщений між шестернею 4z і планшайбою 3; 5I – зведений до ва- лу І момент інерції мас планшайби 3, деталі 4 і половини проміжку між шестернею 4z і планшайбою 3. * 1C  – зведена жорсткість валу І, що враховує пружні властивості валу І та зачеплення зубчастих коліс 21 zz  ; * 1C  – зведена до валу І жорсткість валу ІІ у проміжку між шестернями ' 22 zz  із врахуванням пружних властивостей пар шестерень 21 zz  та 3 ' 2 zz  ; * 3C  – зведена до валу І жорсткість вала ІІІ на проміжку між шестернями '33 zz  із врахуванням пружних властивостей пар шестерень ' 23 zz  та ' 34 zz  ; * 4C  – зведена до вала І жорсткість вала VI на проміжку між шестернею 4z та планшайбою 3 із врахуванням пружних властивостей пари шестерень '34 zz  . Показану на рис. 5 динамічну модель крутильних коливань при потребі можна спрощувати. На- приклад, якщо нас не цікавлять коливання проміжних валів і зубчастих коліс привода, а цікавить колива- льний процес на валу І при дії змінних моментів збоку двигуна та планшайби, то систему можна звести до двохмасової. При цьому маси, момент сил і жорсткості зводяться до вала І, а весь передаточний меха- нізм замінюється умовним валопроводом з еквівалентною (зведеною) жорсткістю (рис. 6). Рис. 6 – Спрощена модель для розрахунку крутильних коливань в приводі головного руху верстата мод. 1336М Нижче для розглянутої нам динамічної схеми приводу головного руху токарного - револьверного верстата подано приклад зведення мас та жорсткостей з використанням принципів, наве- дених у розділі 2. Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 71 3. Зведення мас в крутильних коливальних схемах При вирішені цього питання виходять з відомого в теорії механізмів і машин принципу, що кіне- тична енергія зведеної маси дорівнює сумі кінетичних енергій всіх рухомих мас системи , в якій прово- дять зведення мас. Розглянемо зведення мас валу I реальної схеми приводу (рис. 4) відповідно до його динамічної моделі (рис. 5). Кінетична енергія маси з моментом інерції 1I : 2 1 1 2 I   1 2 2 1( ) 2 д ш nI I u   2 1 2 10, 5 ) 2 ш bI I  , звідки: 1 2 1 2 1 0, 5 ( )b ш д ш nI I I I I u    , де дI , 1шI , 2шI , 1bI – відповідно моменти інерції: ротора двигуна, ведучого шківа пасової пере- дачі, веденого шківа пасової передачі, вала 1; 1 – кутова швидкість вала 1; nu – передаточне число пасової передачі. Кінетична енергія маси з моментом інерції 2I : 1 1 2 2 2 ' 22 1 12 1 2 21 ( 0, 5 ) ( 0, 5 ) 2 2 2 z b z bI I I II u        , звідки: 2 2 1 1 ' 2 2 21 0, 5 0, 5 z bb z I I I I I u     , де 1z I , та 2z I – відповідно моменту інерції зубчастих коліс 1z та 2z ; 2 ' bI – момент інерції ділянки вала II на проміжку між шестернями 1z і 2z з врахування проміж- ної шестерні між ними; 21 1 2/u z z  – передаточне відношення шестерень 2z і 1z . Кінетична енергія маси з моментом інерції 3I : 332 2 2 ' 2' '' 22 113 1 2 2 2 21 21 32 ( )( / 2 ) 2 2 2 z bz b b I II I II u u u        . З цього виразу знаходимо момент інерції: 3 32 2 2 ''' ' 3 2 2 2 21 21 32 0, 5 z bz b b I II I II u u u       , де 2z I , та 3z I – відповідно моменту інерції шестерень; 2 '' bI – момент інерції ділянки вала II між шестернею та лінією опору з врахуванням маси проміж- ної шестерні; 2 ' bI – момент інерції частини вала III, що лежить між лівою опорою та серединою проміжку між шестернями 3z та ' 3z . ' 32 3 2/u z z  - передаточне відношення між шестернями 3z та ' 2z . Кінетична енергія маси з моментом інерції 4I . 3 3 4 4 '' 2 ' 22 ' 1 14 1 2 2 2 2 2 21 32 42 32 12 ( ) ( ) 2 2 z b z bI I I II u u u u u        , відповідно: 3 3 4 4 '' ' 4 2 2 2 2 2 21 32 21 32 43 z b z bI I I II u u u u u      , де 2'z I та 4z I – відповідно моменти інерції зубчастих коліс 3z ; 3 '' bI – момент інерції вала III на ділянки від правої опори до середини проміжку між шестернями ' 3z та 3z ; 4 ' bI момент інерції вала IV на проміжкуі від лівої опори до середини проміжку між шестернею 4z та планшайбою 3; ' 43 4 3/u z z  – передаточне відношення між шестернями ' 3z та 4z . Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 72 Аналогічно знаходимо момент інерції 5I : 4 '' 22 15 1 2 2 2 21 32 43 ( ) 2 2 b пшI II u u u     , звідки: 4 '' 5 2 2 2 21 32 21 b пшI II u u u    , де 4 '' bI та пшI – відповідно момент інерції проміжку вала IV між шестернею і планшайбою 4z та момент інерції планшайби 3 з деталлю 4. У випадку спрощеної динамічної моделі (рис. 6) момент інерції 1I визначається за формулою 1, а момент інерції зведеної маси *2I визначається по наведеній вище методиці і описується виразом: 32 4 1 12 2 2 2 2 2 2 21 21 32 21 32 43 0, 5 bb b пшb ш II I I I I I u u u u u u        де 2 3 4 , ,b b bI I I – відповідно моменти інерції валів II, III, IV разом із посадженими на них шестернями. 4. Зведення крутильних жорсткостей Зведена жорсткість в крутильних коливальних системах визначається як відношення зведеного моменту сил до зведеного кута закручування умовного валопроводу Покажемо , як визначається зведені жорсткості для елементів умовного валопроводу динамічної моделі крутильних коливань, зображеної на рис. 5 і еквівалентній системі приводу, зображеного на рис. 4. За ланку зведення приймаємо вал I, а витратами на тертя в зубчастих парах, підшипниках та валах знехтуємо. Зведена крутильна жорсткість участка умовного валопроводу, що знаходиться між масами 1I та 2I буде дорівнювати жорсткості вала I, тобто 1C   та 1C . Індекс * далі означає, що ним позначена саме зведена жорсткість. Зведена жорсткість вала II на проміжку між шестернями 2z і ' 2z (рис. 4), або жорст- кість умовного валопроводу, що розміщений між масами 2I та 3I . 2 21 21 21 M C C    , де 21M – зведений до валу I момент, діючий на валу II; 21 – зведений до валу I кут закручування вала II. Якщо позначити через 2M обертовий момент, прикладений до валу II, а через 2 – викликаний цим моментом кут закручування вала, то: 2 2 2M C  , де 2C – крутильна жорсткість валу II на ділянці між шестернями 1z і ' 2z (рис. 4) неважко по- казати, що 21 2 21u   , а 2 21 21 M M u  , де 21u – передаточне відношення від шестерні 2z до шестерні 1z . Підставляючи ці співвідношення у формулу для розрахунку 2 C  , отримаємо: 2 2 2 21 C C u    . Зведена до валу I жорсткість валу III на проміжку між шестернями 3z і ' 2z , що відповідає жорст- кості ділянки умовного валопроводу (рис. 5), розміщені між масами 3I та 4I , визначають із співвідно- шення: Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 73 3 31 31 31 M C C    , де 331 21 32 M M u u  – зведений до валу I момент,діючий на валу III; 31 3 21 32u u   – зведений кут закручування цього вала. Оскільки моменту на валу III 33 3M C  , де 3 C – крутильна жорсткість вала III, а 3 – його кут закручування,то виходячи з виразу 3C   , отрима- ємо що: 3 3 2 2 21 32 C C u u    , де 43u – передаточне відношення від шестерні 4z до шестерні ' 3z . 3C – крутильна жорсткість вала на вказаному вище проміжку. Аналогічним чином визначаємо зведену до валу I крутильну жорсткість вала IV на проміжку між шестернею 4z та планшайбою (рис. 4), що відповідає жорсткості умовного валопроводу на ділянці між масами 4I та 5I (рис. 5): 4 4 2 2 2 21 32 43 C C u u u    , де 43u – передаточне відношення від шестерні 4z до шестерні ' 3z ; 4C – крутильна жорсткість валу на вказаному вище проміжку. У випадку спрощеної двох масової крутильної динамічної моделі приводу (рис. 6) зведена до ва- лу I крутильна жорсткість умовного валопроводу C буде враховувати жорсткість всіх пружних елемен- тів, розміщених між масами 1I та 5I (рис. 6). При її визначенні виходимо з того, що зведена податливість умовного валопроводу буде дорівнювати сумі податливостей його елементів, а саме: 1 2 3 4 1 1 1 1 1 C C C C C            Підставляючи у формулу для C наведені вище вирази для крутильних жорсткостей окремих ділянок умовного валопроводу (рис. 5) одержимо, що: 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 2 2 2 2 2 2 21 21 32 21 32 34 C C C C C C C C u C C C u u C C C u u u C C C                                      Висновки 1. Розглянуті загальні підходи і принципи до визначення структурних елементів розрахункових моделей механічних коливальних систем і їх побудови. 2. На двох прикладах складних механічних коливальних систем ілюструється процес послідов- ного переходу від складних до простих коливальних систем. 3. Подані аналітичні залежності для розрахунку зведених мас та зведених жорсткостей в крути- льних коливальних системах. Література 1. Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля // Изд. 3-е, переработ. и доп. М.: «Машиностроение». – 1972. – С. 392. 2. Кучер А. М. Металлорежущие станки (альбом общих видов, кинематических схем и узлов) / Кучер А. М., Киватицкий М. М., Покровский А. А. // Изд-во «Машиностроение». – 1972. – С. 308. 3. Комаров М. С. Динамика механизмов и машин. – М.: «Машиностроение», 1972, – С. 296. Поступила в редакцію 18.12.2017 Моделювання механічних коливальних систем Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 74 Kostogruz S.G., Misliborskij V.V.. Mechanical modeling oscillating systems. The paper considers general approaches and principles of constructing calculation models of mechanical vibrational systems, as well as a method for their simplification and determination of consolidated masses and torsional stiffnesses. Key words: oscillatory parameters of the object, factors, excitatory oscillations, structural elements of the system, elastic and inelastic ties, dynamic model of the mechanical system, simplified model of the oscillatory system. References 1. Rothenberg R.V. Suspension of the car. Izd. 3rd, rework. and add M., "Mechanical Engineering", 1972, p. 392. 2. Kucher A.M. Metal-working machines (an album of common types, kinematic schemes and nodes). A. Kucher, M. M. Kiviatsky, A. Pokrovsky. Publishing house "Mechanical Engineering", 1972, C 308. 3. Komarov M.S. Dynamics of Mechanisms and Machines., M., "Mechanical Engineering", 1972, p. 296.