Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 75 Диха О.В. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна E-mail: tribosenator@gmail.com НАБЛИЖЕНА ЗНОСОКОНТАКТНА ЗАДАЧА ДЛЯ ЦИЛІНДРИЧНОГО ПІДШИПНИКА З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ КОВЗАННЯ УДК 621.891 Запропонований наближений метод визначення розподілу контактного тиску в циліндричному підшипнику ковзання. В розв`язку додатково використовується експериментальна залежність розмірів дуги контакту в підшип- нику від зовнішнього навантаження. Функціонал задачі отриманий на основі методу найменших квадратів як відхи- лення експериментальної функції від інтегральної умови рівноваги. Для отримання розрахункових значень кінетики зносу і контактних параметрів запропонована ітераційна процедура. Для більш точного розв`язку контактної задачі наведений алгоритм врахування дотичних напружень від тертя. Ключові слова: підшипник ковзання, зносоконтактна задача, контактний тиск, діаграма вдавлювання, ітераційна процедура, тертя Вступ. Основи варіаційно-експериментального способу вирішення зносоконтактних задач Підшипники ковзання є одним з найважливіших структурних елементів машин та приладів та складають основну частку вузлів тертя. Відмови техніки, як правило, відбуваються внаслідок відмов під- шипників (наряду з відмовами інших вузлів) і, таким чином, обмежують довговічність машини в цілому. Підшипники ковзання в залежності від виду мащення працюють в умовах граничного та рідинного тертя. При граничному змащуванні поверхні вала та підшипника торкаються повністю або на ділянках великої протяжності. Масляний шар, який розділяє поверхні, відсутній. Мастило знаходиться на металічних по- верхнях лише у вигляді адсорбованої плівки. На практиці використовують методики розрахунку таких підшипників при переважному зношуванні підшипникової втулки (пряма пара), переважному зношуван- ні вала (обернена пара) та при одночасному зношуванні вала та підшипника (змішана пара). При ство- ренні надійних вузлів тертя машин виникає необхідність в розрахунках контактних тисків і напружень в зоні контакту. Розрахунки - це чисельні реалізації математичних моделей, відповідних процесів і станів. Математичні моделі контактної взаємодії складаються з розрахункових схем, рівнянь стану і граничних умов. Основою розрахункової оцінки зносу підшипників ковзання (ПК) є рішення знососконтактних задач [1 - 5]. В даній роботі для визначення контактного тиску в підшипнику ковзання використаний ва- ріаційно-експериментальний підхід. Варіаційно - експериментальний підхід [1] характеризується введенням в функціонал головної експериментальної залежності. Мінімізуючи функціонал знаходимо рішення відповідне цього експери- менту. Контактна задача теорії пружності зводиться до спільного вирішення системи з двох рівнянь: су- цільності і рівноваги: σ( ) ( ) ( ) в a s k x s ds f x  , σ( , )Q x y dxdy  . Традиційний шлях вирішення в основній частині полягає у вирішенні інтегрального рівняння суцільності, при використанні умови рівноваги як обмеження. При цьому функція )(xf передбачається відомою з геометрії контактуючих тіл. Основа варіаційного підходу полягає в тому, щоб в якості основ- ного рівняння для вирішення контактної задачі взяти не інтегральне рівняння суцільності, а умову рівно- ваги. По суті, це теж інтегральне рівняння, так як невідома функція знаходиться під законом інтеграла. Але це інтегральне рівняння особливого типу. Далі процедура полягає в перетворенні лівої частини рівняння рівноваги з константи в функцію. З цією метою приймається, що з експерименту можна знайти функцію: 0 nQ cu , де 0u  максимальні нормальні переміщення в контакті. Ця функція відображає весь процес навантаження, а не тільки одну точку процесу. Після підста- новки: 0 σ( , ) ncu x y dxdy  , отримують умову рівноваги в будь - який момент навантаження. Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 76 В умовах, коли функція тисків σ( , )x y невідома і може бути взята наближеною, вираз: 0ε σ( , ) ncu x y dxdy   , що відображає неузгодженість експерименту і шуканої функції. В результаті отримують квадратичний функціонал контактної задачі: 0 0 2 0 0 0 σ( , ) u u nF cu x y dxdy du            . Традиційна постановка контактної задачі містить два рівняння-суцільності і рівноваги і дві неві- домі функції тисків і розмірів площадки контакту ( )a Q . При наявності експериментальної залежності типу, розміри площадки контакту відомі і умови суцільності задовольняються автоматично. Процедура мінімізації функціоналу задачі виконується традиційно за допомогою методу Рітца. Шукана функція представляється у вигляді усіченого ряду, взятого з ряду, що володіє властивістю пов- ноти. Для простоти шукану функцію можна представити у вигляді: σ( ) Σ φ ( )i ix c x . Після підстановки, маємо функцію багатьох змінних ic : 0 0 2 0 0 0 ( ) Σ φ ( ) u u n i i iF c cu c x dx dx           . З умови мінімуму функції: 0 ( )i j F c c    . Розрахунково - експериментальний спосіб оцінки зносу підшипника ковзання Розглянемо застосування варіаційно-експериментального методу [1] до розрахунку контактних параметрів циліндричного підшипника ковзання. Розглядається контактна взаємодія суцільного циліндра радіуса 1R (вала) і полого циліндра (ко- рпусу опори ковзання), радіуса 2R , що сполучаються з зазором 2 1R R   . Стиснення силою Q призводить до пластичних деформацій в контакті, при цьому з експеримен- ту відома залежність кута контакту 02 від навантаження у вигляді степеневої функції: 0 nQ c  , (1) де ',c n  параметри залежності: nQQ в  . де nQ  повне навантаження на вал; в  розмір валу по твірній. Q R u  2 1 0  0 R = +  0 1<< R 1 R 2 <  R 2 Рис. 1 – Розрахункова схема підшипника ковзання Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 77 Другою основною умовою задачі є умова рівноваги зовнішнього навантаження і контактних тис- ків ( )  для вала: 0 0 2 ( ) cosQ R d       . (2) Узагальненням умови рівноваги є вимога виконання умови рівноваги протягом усього процесу навантаження. Ця вимога призводить до квадратичного функціоналу: 0 0 2 0 0 0 0 2( ) ( ) cosF Q R d d                  . (3) Для зручності рішення в якості шуканої візьмемо функцію проекції тиску на напрямок сили Q : 1( ) ( ) cos      , (4) Тоді функціонал приймає вигляд: 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2( ) ( )F Q R d d                 , (5) або з урахуванням (1): 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 ( )nF c R d d                 . (6) Рішення задачі визначення функції контактного тиску ( )  будемо шукати в формі степеневого ряду виду: 1 0( ) ( ) k k k k       , (7) де 1, 2, 3,....k  Після підстановки (7) функціонал (6) перетворюється на в функцію багатьох змінних: 0 2 1 0 0 0 0 2( ) ( )n k kk k k F c R d d                  . (8) Після взяття внутрішнього інтеграла (8) перетворюється до виду: 0 2 1 1 0 0 0 0 2 1 ( ) n kk k k k F c R d k                . (9) Мінімізація функції (9) багатьох змінних k реалізується за допомогою системи рівнянь: 1 0 ( )k k F    . (10) Після зведення (9) в квадрат, інтегрування по 0d і диференціювання приходимо до системи рі- внянь: При малому числі членів ряду система (11) щодо коефіцієнтів k вирішується аналітично, при великій кількості членів ряду – чисельне за допомогою комп'ютера. Після визначення k функція розпо- ділу тисків 1( )  визначається по (7). 0 0 1 1 3 2 1, 2, 3; 2 ; ( )( ) , , ; . k k k k k k k k p n p k p Q R                       (11) Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 78 Під час зносу кут контакту 0 валу та втулки збільшується. Якщо не враховувати пружне дефо- рмування втулки, то залежність між кутом контакту 0 та лінійним зносом wu (з геометрії контакту) має вигляд: 0 cos arccos wu         . (12) Знос будемо визначати за відомою алгебраїчною формою:   tau mw  0 . (13) Таким чином, для отримання даних, характеризуючих кінетику зношування підшипника ков- зання необхідно використати покрокову процедуру. Ця процедура полягає у слідуючому. Весь процес зношування розбивають на невеликі відрізки часу nt...tttt 320  .Далі визначають контактний тиск з системи (11) та знос по виразу (13) за перший проміжок часу 0t . Далі визначають нове значення кута контакту 0 (12) з урахування приросту зносу ww uu  . За новим значенням 0 визначають ко- нтактний тиск  0 (4). Дають приріст часу  10 tt  і процедуру повторюють. Таким чином, за ре- зультатами чисельного розрахунку можна отримати зміну основних параметрів підшипника ковзання в процесі зношування -      tu,t,t w 0 . Приклад застосування методики та аналізу розрахунків На першому етапі виконані випробування на вдавлення вала у втулку з визначенням експериме- нтальної діаграми вдавлювання [2]. За результатами випробувань були визначені параметри c і n діаграми вдавлювання в формі: 0 тQ с в    . Результати визначення параметрів приведені в табл. 1. Таблиця 1 Значення параметрів характеристик жорсткості підшипника ковзання Сполучення матеріалів Параметри жорсткістної характеристики вал втулка c , МПа n Сталь 45 HRC 38 – 43 Сталь 40Х HRC 43 – 47 Сталь 20Х (Ц) HRC 60 СЧ 21 – 40 Бр. ОФ10 – 1 Бр. АЖ9 – 4 Бр. ОЦС5 – 5 2,93.105 3,02.105 3,36.105 2,36.105 2,26.105 2,15.105 3,05 3,50 4,35 3,95 3,63 3,74 Розрахунки виконувалися при наступних вихідних даних: 45R  мм, довжина валу по твірній 15в  мм; 0 1,  мм, матеріал вала – сталь 45; матеріал втулки - Бр. ОФ10-1; c = 2,36,105 МПа; n = 3,95. Результати розрахунків кута контакту і тисків за запропонованою методикою представлені на рис. 2 і рис. 3. Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 79 0.1 0.2 0.3 0.4  МПа Q=10 H 4 Q=6 10 H3. . 3Q=5 10 H 25 20 15 10 5 _  0.25 1.0 0.75 1.25 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4   Рис. 2 – Розподіл контактних тисків по куту контакту при рі- зних значеннях навантаження Рис. 3 – Зіставлення розподілу контактних тисків за пропонованою методикою (1) і за методикою Александрова В. М. (2) Порівняння результатів цих розрахунків контактних тисків з розрахунками по точній методиці Александрова В. М. [3] (рис. 3), показує достатню точність запропонованої методики. Контакт вала і підшипника з урахуванням сил тертя Розглядається взаємодія вала і втулки по великій площадці контакту в умовах повного зчеплення без прослизання в кожній точці контакту. Функціонал задачі на основі мінімізації відхилення роботи зо- внішньої сили на шляху зближення від робіт нормальних і дотичних напружень на контактних перемі- щеннях приймався у вигляді [5]: 0 0 0 2ˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2( ) ( ) ( ) u v F Q d в u duRd в v dvRd d                       . З геометрії контакту для нормальних переміщень слідує: 0 1 cos ( ) cos u          , або приблизно, розкладаючи в ряд: 2 4 22 4 0 0 01 2 2 24 24 2 ( )u                                , для малих першого порядку: ( )du d    . Для дотичних переміщень відповідно: ( )tgv u   , 2 4 22 4 3 0 0 01 2 2 24 24 2 3 ( )v                                      , 2 20 3 2 2 ( )dv d            . Рішення задачі будемо шукали у формі рядів: 0( ) ( ) k k kd       , 0( ) ( ) e e e       , 1, 2, 3,k l  . Залежність зовнішнього навантаження Q від кута контакту 0 приймалася у формі: 0 nQ   ; ( ) Q Q вс   . Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 80 Після підстановки останніх виразів функціонал приводиться до вигляду: 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 3 2 2 ( ) ( )( ) ( ) . v k k k e e e R F Q d d Rd c R d c                                    Параметри k і e знаходились з умови мінімізації функціонала: 0( , ) /k k kF     . Після інтегрування і диференціювання приходили до системи рівнянь: 1 1 0 1 2 0 0 1 3 7 3 4 3 9 8 5 1 , ( ) ( ) ( )( ) k l n l k l a ak l k p k l l p l p n p n                          1 2 110 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 2 2 1 0 12 2 2 3 9 8 3 3 2 2 19 2 9 2 3 17 7 6 ( ) ( ) ( ) , ( ) k m l k l k l в вk l k k m k m l a в a в а в вa в в m l m l m l n m n m                                          де 1, 2, 3.., , , ...k p l m  k k    , e e    , 02( ) Q вR    , 1 5 3 2( ) l a l    , 2 7 2 4( ) l a l    , 1 5 3 2( ) m в m    , 2 7 2 4( ) m в m    . Отримане рішення потребує складної обчислювальної процедури з використання комп`ютерних програм, зокрема MathCad. Висновок Використаний варіаційно-експериментальний метод для визначення розподілу контактного тис- ку в циліндричному підшипнику ковзання з урахуванням тертя і без нього. В розв`язку використовуєть- ся експериментальна залежність розмірів дуги контакту в підшипнику від зовнішнього навантаження. Функціонал задачі отриманий на основі методу найменших квадратів як відхилення експериментальної функції від інтегральної умови рівноваги. Для отримання розрахункових значень кінетики зносу і конта- ктних параметрів запропонована ітераційна процедура. Література 1. Кузьменко А.Г. Пластический контакт. Вариационно - экспериментальный метод. – Хмель- ницкий: ХНУ, 2009. 2. Kuzmenko, A.G., Kuzmenko, G.A., Sorokatyi, R.V., Dykha, A.V. (1992). Calculating and experimental method for solving contact problems. Trenie i iznos, 13(2), 257−264. 3. Справочник по триботехнике / под общ. Ред. М. Хебды, А.В. Чичинадзе. В 3-х т. Т.1. Теорети- ческие основы. – М.: Машиностроение, 1989. – 400 с. 4. Диха О.В. Зносоконтактна задача для циліндричної опори ковзання при граничному терті / О.В. Диха // Проблеми трибології (Problems of Tribology). – 2016. – № 2. – С. 83-88. 5. Кузьменко А.Г. Подшипники скольжения:прочность, износ, надежность, методы расчетов и испытаний: монография / А.Г. Кузьменко // Хмельницкий : ХНУ, 2014. – 251 с. Поступила в редакцію 19.12.2017 Наближена зносоконтактна задача для циліндричного підшипника з урахуванням тертя ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2017, № 4 81 Dykha O.V. Approximate wear contact problem for cylindrical bearing with allowance for slip friction. An approximate method of determining the distribution of contact pressure in a cylindrical bearing of a slide is proposed. In the solution, the experimental dependence of the dimensions of the contact arc in the bearing on external immittence is additionally used. The functional problem is obtained on the basis of the least squares method as a deviation of the experimental function from the integral equilibrium condition. An iteration procedure is proposed to obtain the estimated values of kinetics of wear and contact parameters. For a more precise solution of the contact problem, an algorithm for taking into account tangential stresses from friction is given. Keywords: sliding bearing, contact contact task, contact pressure, intake diagram, itetionary procedure, friction. References 1. Kuzmenko A.G. Plasticheskiy kontakt. Variatsionno-eksperimentalnyiy metod. – Hmelnits-kiy: HNU, 2009. 2. Kuzmenko, A.G., Kuzmenko, G.A., Sorokatyi, R.V., Dykha, A.V. (1992). Calculating and experimental method for solving contact problemp. Trenie i iznos, 13(2), 257−264. 3. Spravochnik po tribotehnike / pod obsch. Red. M. Hebdyi, A.V. CHichinadze. V 3-h t. T.1. Teoreti- cheskie osnovyi. – M.: Mashinostroenie, 1989. – 400 p. 4. Diha O.V. Znosokontaktna zadacha dlya tsilіndrichnoї opori kovzannya pri granichnomu tertі / O.V. Diha // Problemi tribologії (Problems of Tribology). – 2016. – № 2. – P. 83-88. 5. Kuzmenko A.G. Podshipniki skoljeniya:prochnost, iznos, nadejnost, metodyi raschetov i ispyitaniy: monografiya / A.G. Kuzmenko // Hmelnitskiy : HNU, 2014. – 251 p.