Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 18 Войтов В.А., Бекиров А.Ш. Харьковский национальный технический университет с/х им. П.Василенко, г. Харьков, Украина E-mail: vavoitovva@gmail.com МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРИБОСИСТЕМАХ И РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК 621.891 В работе разработана математическая модель динамики переходных процессов скорости изнашивания и коэффициента трения в трибосистемах. Получены уравнения динамики переходных процессов в виде дифференци- альных уравнений из решений которых следует, что переходный процесс в трибосистеме описывается колебатель- ными звеньями второго порядка. Установлено, что характер протекания переходного процесса после приложения к трибосистеме входного воздействия зависит от коэффициентов усиления и постоянных времени, а также значений декремента затухания. Экспериментальным путем выполнена оценка адекватности результатов моделирования эксперименталь- ным данным. Получены значения ошибки моделирования при изменении основных факторов, влияющих на пере- ходный процесс: трибологических свойств смазочной среды; реологических свойств структуры сопряженных мате- риалов; коэффициента формы; шероховатости поверхностей; нагрузки и скорости скольжения. Установлено, что максимальная ошибка моделирования скорости изнашивания не превышает значений eI = 11,9…16,6 %, а коэффици- ента трения ef = 13,0 … 18,5 %. При этом, максимальное значение ошибки соответствует фактору шероховатости по- верхности. Ключевые слова: трибосистема, моделирование, переходные процессы, приработка, скорость изнашивания, коэффициент трения, адекватность математической модели. Актуальность проблемы Практика проектирования машин и механизмов показывает, что в конструкторских бюро методы расчета на износостойкость и прогнозирования ресурса используются ограничено и имеют значительное отставание от методов расчета на прочность и надежность. Отсутствие специальных методик расчета на износостойкость затрудняет выбор оптимальных вариантов конструкций трибосистем и тем более определения рациональные режимов приработки и эксплуатации. В результате трибосистемы проектируется с «запасом по износостойкости», либо имеют недостаточный ресурс, что приводит к простоям и ремонту в процессе эксплуатации. Тем более отсутст- вуют методики и математические модели моделирования переходных процессов в трибосистемах. Процесс приработки трибосистем является динамическим процессом т.к. связан с большим раз- нообразием сложных по своей природе явлений, протекающих на поверхностях трения трибоэлементов и влиянием на эти процессы большого количества факторов. Поэтому вид математической динамической модели необходимо искать в виде дифференциальных уравнений, которые с точностью до коэффициен- тов будут описывать переходный процесс. Получение таких уравнений и их решений носит название структурной идентификации. Задача параметрической идентификации получить выражения для определения коэффициентов и постоянных времени, которые входят в дифференциальные уравнения и будут описывать переходный процесс. Исходя из вышеизложенного, в данной статье будут рассмотрены вопросы структурной и пара- метрической идентификации динамической модели процессов приработки трибосистем и оценка адек- ватности модели условиям эксперимента. Анализ публикаций, посвященных данной проблеме Модели переходных процессов в трибосистемах, обзор которых представлен в работе 1, стро- ятся в основном на вероятностных подходах. Вероятностный подход также применяется при построении моделей, которые базируются на расчетах характеристик контакта и методах описания шероховатости поверхности 2 - 4. Автор работы 5 приводит анализ методов расчета износа и прогнозирования ресурса на осно- вании которого делается вывод о перспективности применения численных методов. В работе 6 пред- ложено описывать износ массивом векторов вероятностей величин износа дискретных точек поверхно- сти, называемых «трибоэлементами». Трибоэлемент моделируется нестационарными случайными функ- циями марковского типа, а износ оценивается математическим ожиданием вероятности нахождения три- боэлементов в некотором состоянии. Форма изношенной поверхности определяется с помощью кубиче- ской сплайн-аппроксимации математических ожиданий износа в точках расположения трибоэлементов. Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 19 Авторами работ 7 - 9 разработана методика математического моделирования переходных про- цессов в трибосистемах, в основу которой положен математический аппарат теории автоматического ре- гулирования и теории идентификации динамических объектов. Авторами указанных выше работ по- строены структурно-динамические схемы для моделирования скорости изнашивания и силы трения на переходных режимах. Дальнейшее развитие динамических моделей переходных процессов в трибосистемах получило в работах 10, 11. После проведения структурной 10 и параметрической 11 идентификации трибоси- стемы, получены дифференциальные уравнения и их решения, для моделирования переходных процес- сов. Однако полученные модели требуют экспериментальной проверки на адекватность с оценкой точно- сти моделирования. Цель исследований Выполнить экспериментальную проверку адекватности математической модели переходных процессов в трибосистемах с оценкой точности моделирования. Методический подход в проведении исследований После проведения структурной идентификации в работе 10 получены уравнения динамики пе- реходного процесса для моделирования скорости изнашивания: dt dW К dt Wd ТККI dt dI Тd dt Id Т III 12 2 2132 2 2 2  , (1) и динамики переходного процесса для моделирования коэффициента трения: 22 2 21 2 2 2 2 K W dt dW K T KK f f dt df Тd dt fd Т fff  . (2) Решением для приведенного выше дифференциального уравнения (1) является выражение:           )sin(cos)( 1 tAtеКItI II t T d уст I I I +Iуст, (3) где t – время моделирования (работы трибосистемы), с; Iуст – установившееся значение скорости изнашивания трибосистемы после завершения прира- ботки, определяется согласно работы 10; dI – декремент затухания колебаний после завершения приработки: I I T ККTТ d    2 )( 2121 , (4) TI – постоянная времени трибосистемы для моделирования скорости изнашивания: 21 ТТТ I  , (5) υI – частота колебаний скорости изнашивания после завершения приработки; I I Т d I 21  . (6) Величина отклонения скорости изнашивания от текущего значения во время колебательного процесса: . 1 2I I I d d A   (7) Выражения для определения постоянных времени 1T и 2T , а также коэффициентов усиления 1K и 2K , входящих в выражение (4), будут представлены ниже. Решением для приведенного выше дифференциального уравнения (2) является выражение: Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 20           )sin(cos1)( tAtеftf fff f f t T d уст , (8) где fуст – установившееся значение коэффициента трения трибосистемы после завершения при- работки, определяется по выражению, приведенному в работе 10. Постоянная времени трибосистемы для моделирования коэффициента трения: 21 21 КК ТТ Т f    . (9) Декремент затухания колебаний после завершения приработки: 21 21 2 )( ККT TТ d f f    , (10) υf – частота колебаний коэффициента трения после завершения приработки; f f Т d f 21  . (11) Величина отклонения коэффициента трения от текущего значения во время колебательного процесса: . 1 2 f f d d A f   (12) Коэффициент усиления 1K , который входит в дифференциальные уравнения и их решения, в теории идентификации динамических объектов называют коэффициентом, который оценивает степень влияния входного сигнала на выходной. Основываясь на таком физическом понятии и используя методы размерностей теории подобия и моделирования, в работе 11 получено выражение: ,1 Q K фпк   (13) где σфпк – напряжение на фактических пятнах контакта, Па, определяется по формулам, пред- ставленным в работах 12, 13; Q – качество трибосистемы, согласно работы 11 определяется по выражению:       нп пр упрф ЕaKQ  2 , Дж/м3, (14) где фK – коэффициента формы трибосистемы, рассчитывается по формуле [11]; апр, Еу, έпр – приведенный коэффициент температуропроводности м2/с, трибологические свойст- ва смазочной среды Дж/м3 и приведенная скорость деформации в подповерхностных слоях материалов трибосистемы 1/с, соответственно [11]; δп δн – реологические свойства структуры материалов подвижного и неподвижного трибоэле- ментов, безразмерная величина, учитывает внутреннее трение структуры материала [11]. Коэффициента 2K – это способность трибосистемы прирабатываться, безразмерная величина, со- гласно [11]: ,2 тр фпкпр W daQ K   (11) где dфпк – диаметр фактического пятна контакта, м; Wтр – скорость работы диссипации в трибосистеме, Дж/с, рассчитывается согласно формул, ко- торые приведены в работе [12]. Диаметр фактического пятна контакта dфпк зависит от нагрузки N, модуля упругости контакти- рующих материалов и величины шероховатости поверхностей трения. Рассчитывается согласно формул, которые приведены в работе [12]. Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 21 Постоянная времени 1T , которая входит в дифференциальные уравнения и определяет время приработки:   пр пр пр пр a V a V Т 666,0 2 3 1     , с, (18) где Vпр – приведенный объем материала трибосистемы, определяется согласно работы [11]. Постоянная времени 2T , характеризует время, за которое происходит перестройка поверхност- ных и подповерхностных слоев при изменении внешних условий: пр дпрф hКТ    2 , с, (19) где hдпр – приведенная глубина распространения деформации в подповерхностных слоях под- вижного и неподвижного трибоэлементов, м, определяется по выражениям, приведенным в работе [11]. Скорость изнашивания на установившемся режиме после завершения приработки, согласно ра- ботам [12, 13], определяется по выражению:  тр Hny уст WE I      1 10795,0exp106 1610 , м3 / час, (20) W W f труст  , (21) где Iуст и устf – объемная скорость изнашивания, м 3/час и коэффициент трения трибосистемы после завершения приработки; W – мощность, которая подводится к трибосистеме, определяется по выражению: Вт с м Н  склNW , (22) где N – нагрузка на трибосистему, Н; скл – скорость скольжения, м/с. Структурная схема оценки точности моделирования по результатам лабораторных эксперимен- тальных исследований трибосистем представлена на рис. 1. Рис. 1 – Структурная схема оценки точности моделирования по результатам лабораторных экспериментальных исследований: u(t) – входное воздействие на трибосистему; η(t) – неконтролируемое случайное воздействие; yэкс(t) – выходной сигнал (результаты эксперимента); yм(t) – выходной сигнал (результаты моделирования); e(t) – разность (ошибка) между результатами эксперимента и моделирования При оценке точности моделирования, т.е. адекватности модели экспериментальным данным на вход системы подавался входной сигнал )(tu , который учитывал конструкцию трибосистемы, триболо- Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 22 гические свойства смазочной среды, материалы из которых изготовлены трибоэлементы, их температу- ропроводность, реологические свойства, а также нагрузка и скорость скольжения. Полученные экспери- ментальные результаты в виде выходного сигнала  tyэкс , сравнивались с результатами моделирования  tyм . По результатам сравнения рассчитывалась разность (ошибка) моделирования:          n i n i мэкс ten tyty n 1 2 1 2 11 , (23) где n – количество экспериментов (повторов); )(te – ошибка моделирования. Среднеквадратичное отклонение ошибки моделирования в любой точке процесса выразим фор- мулой:    n i e n e 1 21 . (24) Относительную ошибку моделирования в любой точке переходного процесса определим по вы- ражениям: %100   экс мэкс I I II e , (25) %100   экс мэкс f f ff e , (26) где эксI , мI , эксf , мf – значение скорости изнашивания и коэффициента трения, которые из- мерены в процессе эксперимента и получены при моделировании. Относительную ошибку времени завершения приработки определяем по выражению: %100 , ,,    экспр мпрэкспр t t tt e , (27) где экспрt , , мпрt , – время завершения приработки по результатам эксперимента и моделирования. Результаты исследований Результаты моделирования процесса приработки трибосистемы: сталь 40Х+Бр.АЖ 9-4 представ- лены на рис.2 и рис.3. Параметры трибосистемы: коэффициент форы фk = 12,5 1/м; начальная шерохова- тость поверхностей трения Ra = 0,2 мкм; нагрузка N =600 Н; скорость скольжения склv = 0,5 м/с. В качестве варьируемого фактора выступала смазочная среда: - гидравлическое масло МГП – 10 ( yE = 1,8·10 14 Дж/м3); - моторное масло М – 10Г2к ( yE = 3,6·10 14 Дж/м3); - моторное масло ESSO ULTRON SL/CF ( yE = 7,2·10 14 Дж/м3). Как следует из полученных зависимостей переходный процесс для скорости изнашивания про- ходит без колебаний ( Id = 0,75…1,02), а для коэффициента трения характерны колебания после завер- шения приработки ( fd = 0,42…0,54). Увеличение трибологических свойств смазочной среды от yE = 1,8·1014 Дж/м3 до yE = 7,2·10 14 Дж/м3 способствует снижению максимальных значений скорости изна- шивания и коэффициента трения, а также уменьшению времени приработки npt . Представленные зависимости позволяют сделать вывод, что применение масел с большими зна- чениями yE приводит к снижению максимальных значений maxI и maxf , а также к снижению времени приработки. При этом, по параметру скорости изнашивания трибосистема прирабатывается за меньшее Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 23 время npt = 900 … 1100 с, чем по коэффициенту трения npt = 1000 … 1400 с. Процесс изменения коэф- фициента трения во время приработки является более инерционным. Полученные зависимости процесса приработки трибосистемы были проверены эксперименталь- но. В процессе эксперимента через каждые 100 секунд, с помощью метода акустической эмиссии, опре- делялись значения скорости изнашивания и коэффициента трения, а также время завершения приработ- ки. По результатам трех повторов определяли среднее значение параметров, ошибку моделирования по формулам (25) - (27), среднеквадратичное отклонение ошибки, формула (24). Рис. 2 – Зависимости изменения скорости изнашивания в процессе приработки трибосистемы сталь 40Х + Бр.АЖ 9-4 при изменении трибологических свойств смазочной среды Ey Рис. 3 – Зависимости изменения коэффициента трения в процессе приработки трибосистемы сталь 40Х + Бр.АЖ 9-4 при изменении трибологических свойств смазочной среды Ey Сравнения экспериментальных результатов с результатами моделирования, представлены в табл. 1, а экспериментальные точки нанесены на рис. 2 и рис. 3. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что ошибка моделирования при изме- нении скорости изнашивания находится в пределах Ie =14,8 … 12,8 %. При этом большее значение отно- сится к смазочной среде с yE = 1,8 · 10 14 Дж/м3, а меньшее значение к смазочной среде с yE = 7,2·10 14 Дж/м3. При изменении коэффициента трения ошибка моделирования находится в пределах fe = 16,6 … 13,3 %, при этом большие значения ошибки характерны для смазочной среды с меньшими трибологическими свой- ствами. Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 24 Необходимо также отметить, в начале процесса приработки экспериментальные значения скоро- сти изнашивания и коэффициента трения больше, чем полученные путем моделирования, а в конце про- цесса, наоборот, экспериментальные значения меньше значений, полученных путем моделирования. Ошибка моделирования времени завершения приработки составляет te = 15,5 … 16,0 %. Такое большое значение можно объяснить колебательностью измеряемых параметров в процессе эксперимента. Таблица 1 Сравнение результатов моделирования и эксперимента для трибосистемы сталь 40Х + Бр.АЖ 9-4 в смазочной среде yE = 3,6·10 14 Дж/м3 Время процесса приработки t ,с мI ·10 -10, м3/час эксI ·10 -10, м3/час (среднее значение) Ie , % мf эксf (среднее значение) fe , % 100 24,1 27,7 12,9 0,0056 0,005 12,0 200 20,0 22,6 11,5 0,018 0,02 10,0 300 17,0 15,0 13,3 0,033 0,038 13,1 400 13,8 12,63 9,2 0,047 0,055 14,5 500 11,4 10,2 11,7 0,057 0,062 8,0 600 9,7 8,6 12,7 0,063 0,068 7,3 700 8,6 7,6 13,1 0,065 0,07 7,1 800 7,9 7,0 12,8 0,064 0,068 5,8 900 7,54 6,8 10,8 0,061 0,067 8,9 1000 7,35 6,7 9,7 0,058 0,055 5,4 1100 7,27 6,6 10,1 0,055 0,05 10,0 1200 7,26 6,7 8,3 0,053 0,049 8,1 1300 7,27 6,8 6,9 0,052 0,05 4,0 1400 7,3 6,6 10,6 0,051 0,054 5,5 1500 7,3 6,8 7,3 0,052 0,056 7,1 Таблица 2 Сравнение результатов моделирования и эксперимента для трибосистемы сталь 40Х + СЧ в смазочной среде yE = 3,6·10 14 Дж/м3 Время процесса приработки t , с мI ·10 -10, м3/час эксI ·10 -10, м3/час (среднее значение) Ie , % мf эксf (среднее значение) fe , % 100 34,6 40,5 14,5 0,005 0,0055 9,0 200 29,9 34,5 13,3 0,017 0,0188 9,5 300 24,7 28,5 13,3 0,031 0,035 11,4 400 20,0 23,2 13,7 0,045 0,053 15,0 500 16,2 18,5 12,4 0,056 0,066 15,1 600 13,3 15,3 13,0 0,063 0,073 13,6 700 11,2 13,0 13,8 0,067 0,075 10,6 800 9,85 10,8 8,7 0,068 0,077 11,6 900 8,9 8,0 11,7 0,067 0,075 10,6 1000 8,3 8,0 3,7 0,065 0,073 10,9 1100 7,92 7,5 5,6 0,062 0,065 4,6 1200 7,71 8,0 3,6 0,06 0,058 3,4 1300 7,59 8,0 5,1 0,058 0,055 5,4 1400 7,54 8,0 5,7 0,057 0,052 9,6 1500 7,51 8,0 6,1 0,056 0,05 12,0 1600 7,51 8,0 6,1 0,056 0,05 12,0 1700 7,52 8,0 6,0 0,057 0,053 7,5 1800 7,52 8,0 6,0 0,057 0,055 7,5 Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 25 Сравнение результатов моделирования и эксперимента для трибосистемы сталь 40Х+СЧ пред- ставлено в табл. 2. В разработанных моделях сочетание материалов учитывается параметром  /нп . Параметры, которые не изменялись в процессе эксперимента и моделирования: смазочная среда yE = 3,6 · 10 14 Дж/м3; aR = 0,2мкм; N = 600 Н; склv = 0,5 м/с; фk = 12,5 1/м. Как следует из анализа таблиц, максимальная ошибка моделирования процесса приработки при изменении материалов трибоэлементов составляет: для скорости изнашивания Ie =14,5 … 15,0 %, для коэффициента трения fe = 15,1 … 16,6 %. Ошибка моделирования времени завершения приработки со- ставляет te = 15,4 … 16,2 %. Время приработки для скорости изнашивания составляет npt = 1000 … 1200 с, а для коэффици- ента трения npt = 1100 … 1400 с. Моделирование процесса приработки, а также экспериментальная проверка ошибки моделиро- вания для различных конструкций трибосистем, которые оцениваются коэффициентом формы фk ,1/м, представлено в таблице 3. Результаты представлены для трибосистемы сталь 40Х+Бр.АЖ9-4, смазочная среда yE = 3,6·10 14 Дж/м3, нагрузка N = 600 Н, скорость скольжения склv = 0,5 м/с, шероховатость по- верхностей трения Rа = 0,2 мкм. В процессе эксперимента варьировались значения коэффициента фор- мы фk = 6,06 … 23,6 1/м. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что максимальная ошибка моделиро- вания скорости изнашивания не превышает значений Ie =13,3 … 15,3 %, а коэффициента трения fe = 14,5 … 16,6 %. Как следует из полученных результатов увеличение коэффициента формы приводит к увеличению ошибки моделирования. Таблица 3 Сравнение результатов моделирования и эксперимента для трибосистемы сталь 40Х + Бр.АЖ 9-4, yE = 3,6 · 10 14 Дж/м3, Кф = 6,06 1/м Время процесса приработки t ,с мI ·10 -10, м3/час эксI ·10 -10, м3/час (среднее значение) Ie , % мf эксf (среднее значение) fe , % 100 59,2 68,0 12,9 0,012 0,013 7,6 200 38,0 44,0 13,6 0,037 0,041 9,7 300 21,3 24,5 13,06 0,058 0,065 10,7 400 11,5 12,8 10,1 0,068 0,08 15,0 500 7,14 8,0 10,7 0,068 0,08 15,0 600 5,8 6,0 13,3 0,062 0,07 11,4 700 5,9 5,5 7,2 0,056 0,055 1,8 800 6,5 6,0 8,3 0,052 0,05 4,0 900 6,97 6,5 7,2 0,051 0,048 6,2 1000 7,26 7,5 3,2 0,052 0,05 6,0 1100 7,41 8,0 7,3 0,054 0,05 8,0 1200 7,46 8,5 12,2 0,055 0,05 10,0 1300 7,45 8,5 12,3 0,056 0,05 12,0 1400 7,45 8,5 12,3 0,056 0,05 12,0 Время приработки значительно зависит от фk . Для фk = 6,06 1/м среднее время приработки по значению скорости изнашивания составляет npt = 500 с, а для коэффициента трения npt = 700 с. Ошибка моделирования te = 14,0…15,2 %. Аналогичные результаты получены при изменении шероховатости поверхностей трения, на- грузки на трибосистему и скорости скольжения. Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 26 Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что максимальная ошибка моделиро- вания скорости изнашивания не превышает значений Ie =11,9 … 16,6 %, а коэффициента трения fe = 13,0 … 18,5 %. Максимальное значение ошибки соответствует фактору шероховатости поверхности. Увеличение шероховатости поверхности приводит к увеличению ошибки моделирования. Ми- нимальная ошибка характерна для трибосистем с шероховатостью Ra = 0,1 мкм. Выводы 1. Разработана математическая модель динамики переходных процессов скорости изнашивания и коэффициента трения в трибосистемах. Получены уравнения динамики переходных процессов в виде дифференциальных уравнений из решений которых следует, что переходный процесс в трибосистеме описывается колебательными звеньями второго порядка. Установлено, что характер протекания пере- ходного процесса после приложения к трибосистеме входного воздействия зависит от коэффициентов усиления и постоянных времени, а также значений декремента затухания. 2. Экспериментальным путем выполнена оценка адекватности результатов моделирования экс- периментальным данным. Получены значения ошибки моделирования при изменении основных факто- ров, влияющих на переходный процесс: трибологических свойств смазочной среды; реологических свойств структуры сопряженных материалов; коэффициента формы; шероховатости поверхностей; на- грузки и скорости скольжения. Установлено, что максимальная ошибка моделирования скорости изна- шивания не превышает значений Ie =11,9 … 16,6 %, а коэффициента трения fe = 13,0 … 18,5 %. При этом, максимальное значение ошибки соответствует фактору шероховатости поверхности. 3. Полученные решения дифференциальных уравнений для скорости изнашивания и коэффици- ента трения, позволяют выполнять моделирование переходного процесса в трибосистемах и разрабаты- вать режимы приработки (обкатки) с учетом конструкции, технологии изготовления и режимов эксплуатации. Литература 1. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 344 с. 2. Семенюк Н.Ф. Средняя высота микровыступов шероховатой поверхности и плотность пятен контакта при контактировании шероховатой поверхности с гладкой // Трение и износ. – 1986. – Т.7, №1. – С. 85-91. 3. Terletzka, Semenjuk, Deierich. Modellierung des Kontaktes zweier rauher Körper/ Wissenschaftliche Berichte Hochschule Zittau/Görlitz Nr/ 1551 (1996), Heft 45. – S. 151 – 165. 4. Semenjuk N. Entwicklung von Berechnungsverfahren der Reibungs- und Verschleißtheorie mit Hilfe des Modells stochastischer Felder: Diss. B an der Technischen Hochschule Zittau. Zittau, 1991. 5. Сорокатый Р.В. Анализ современного состояния методов расчета износа и прогнозирования ресурса // Проблеми трибології. – 2007. – №1. – С. 23-36. 6. Сорокатый Р.В. Метод трибоэлементов. – Хмельницкий: ХНУ, 2009. – 242 с. 7. Войтов В.А., Исаков Д.И. Моделирование граничного трения в трибосистемах. І. Методика физического моделирования // Трение и износ. – 1996. – Т.17, №3. – С. 298-306. 8. Войтов В.А., Исаков Д.И. Моделирование граничного трения в трибосистемах. ІІ. Методика математического моделирования стационарных процессов при граничном трении // Трение и износ. – 1996. – Т.17, №4. – С. 456-462. 9. Войтов В.А., Исаков Д.И. Моделирование граничного трения в трибосистемах. ІІІ. Математи- ческое моделирование нестационарных процессов при граничном трении // Трение и износ. – 1996. – Т.17, №5. – С. 598-605. 10. Бекиров А.Ш. Структурная идентификация математической модели переходных процессов в трибосистемах / Технічний сервіс агропромислового, лісового і транспортного комплексів, 2017, № 7. – С. 109-120. 11. Бекиров А.Ш. Параметрическая идентификация математической модели переходных про- цессов в трибосистемах / Технічний сервіс агропромислового, лісового і транспортного комплексів, 2017, № 8. –С. 167-177. 12. Войтов В.А., Захарченко М.Б. Моделирование процессов трения изнашивания в трибосисте- мах в условиях граничной смазки. Часть 1. Расчет скорости работы диссипации в трибосистемах // Про- блеми трибології. – 2015. – № 1. – С. 49-57. 13. Войтов В.А., Захарченко М.Б. Моделирование процессов трения изнашивания в трибосисте- мах в условиях граничной смазки. Часть 2. Результаты моделирования // Проблеми трибології. – 2015. – № 2. – С. 36-45. Поступила в редакцію 14.02.2018 Математическая модель переходных процессов в трибосистемах и результаты моделирования Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 27 Vojtov V.A., Bekirov A.SH. Mathematical model of transition processes in tribosystems and results of modeling. A mathematical model of the dynamics of the transient processes of the wear rate and the coefficient of friction in tribosystems is developed. The equations of the dynamics of transient processes in the form of differential equations from the solutions of which it follows that the transient process in the tribosystem is described by second-order vibrational links. It is established that the nature of the transient process after application to the tribosystem of the input action depends on the gain factors and time constants, as well as the damping decrement values. Experimental evaluation of the adequacy of simulation results to experimental data was carried out. The values of the simulation error are obtained when the main factors affecting the transient process are changed: the tribological properties of the lubricating medium; rheological properties of the structure of conjugate materials; form factor; surface roughness; load and slip speed. It was found that the maximum error in modeling the wear rate does not exceed the values eI = 11.9 ... 16.6 %, and the coefficient of friction ef = 13.0 ... 18.5 %. In this case, the maximum error value corresponds to the surface roughness factor. Key words: tribosystem, modeling, transient processes, running-in, wear rate, coefficient of friction, adequacy of the mathematical model. References 1. Bogdanoff Dzh., Kozin F. Veroyatnostnyye modeli nakopleniya povrezhdeniy. Per. s angl. M.Mir, 1989. 344 s. 2. Semenyuk N.F. Srednyaya vysota mikrovystupov sherokhovatoy poverkhnosti i plotnost' pyaten kontakta pri kontaktirovanii sherokhovatoy poverkhnosti s gladkoy. Treniye i iznos. 1986. T.7, №1. S. 85-91. 3. Terletzka, Semenjuk, Deierich. Modellierung des Kontaktes zweier rauher Körper. Wissenschaftliche Berichte Hochschule Zittau/Görlitz Nr. 1551 (1996), Heft 45. S. 151 – 165. 4. Semenjuk N. Entwicklung von Berechnungsverfahren der Reibungs- und Verschleißtheorie mit Hilfe des Modells stochastischer Felder: Diss. B an der Technischen Hochschule Zittau. Zittau, 1991. 5. Sorokatyy R.V. Analiz sovremennogo sostoyaniya metodov rascheta iznosa i prognozirovaniya resursa. Problemi tribologíí̈. 2007. №1. S. 23-36. 6. Sorokatyy R.V. Metod triboelementov. Khmel'nitskiy: KHNU, 2009. 242 s. 7. Voytov V.A., Isakov D.I. Modelirovaniye granichnogo treniya v tribosistemakh. Í. Metodika fizicheskogo modelirovaniya. Treniye i iznos. 1996. T.17, №3. S. 298-306. 8. Voytov V.A., Isakov D.I. Modelirovaniye granichnogo treniya v tribosistemakh. ÍÍ. Metodika matematicheskogo modelirovaniya statsionarnykh protsessov pri granichnom trenii. Treniye i iznos. 1996. T.17, №4. S. 456-462. 9. Voytov V.A., Isakov D.I. Modelirovaniye granichnogo treniya v tribosistemakh. ÍÍÍ. Matematicheskoye modelirovaniye nestatsionarnykh protsessov pri granichnom trenii. Treniye i iznos. 1996. T.17, №5. –S. 598-605. 10. Bekirov A.SH. Strukturnaya identifikatsiya matematicheskoy modeli perekhodnykh protsessov v tribosistemakh. Tekhníchniy servís agropromislovogo, lísovogo í transportnogo kompleksív, 2017, № 7. S. 109-120. 11. Bekirov A.SH. Parametricheskaya identifikatsiya matematicheskoy modeli perekhodnykh protsessov v tribosistemakh. Tekhníchniy servís agropromislovogo, lísovogo í transportnogo kompleksív, 2017, № 8. –S. 167-177. 12. Voytov V.A., Zakharchenko M.B. Modelirovaniye protsessov treniya iznashivaniya v tribosistemakh v usloviyakh granichnoy smazki. Chast' 1. Raschet skorosti raboty dissipatsii v tribosistemakh // Problemi tribologíí̈. 2015. № 1. S. 49-57. 13. Voytov V.A., Zakharchenko M.B. Modelirovaniye protsessov treniya iznashivaniya v tribosistemakh v usloviyakh granichnoy smazki. Chast' 2. Rezul'taty modelirovaniya. Problemi tribologíí̈. 2015. № 2. S. 36-45.