Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 37 Діхтярук М.М., Поплавська О.А. Хмельницький національний університет, м. Хмельницький , Україна АНАЛОГ ЗАДАЧІ МЕЛАНА ДЛЯ ПРУЖНОЇ СМУГИ З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ ПІДСИЛЕННОЮ ПРУЖНОЮ НАКЛАДКОЮ УДК 539.3 В даній статті в рамках лінеаризованної теорії пружності досліджується вплив пружних переміщень і на- пружень для пружної смуги з початковим (залишковим) напруженням від дії зосередженої вертикальної сили. Всі дослідження виконані для стисливих і нестисливих тіл у випадку пружних потенціалів довільної структури в загаль- ному вигляді для теорії великих (кінцевих) початкових деформацій. Ключові слова: лінеаризована теорія пружності, початкові (залишкові ) напруження, контактні задачі, інтегральні перетворення Фур’є. Вступ Наявність початкових напружень позначається на всьому напружено деформівному стані тіл, тому може впливати на міцність конструкцій, призводити до внутрішньої втрати стійкості, сприяти лока- льному руйнуванню матеріалу. Врахування залишкових напружень при розрахунках елементів констру- кцій, машин і споруд дає можливість більш ефективно врахувати міцності ресурси матеріалів шляхом правильної оцінки запасів міцності. Дослідження впливу початкових (залишкових) напружень стали ак- тивно проводитися в нашій країні і за кордоном лише в кінці XX століття. Необхідно відзначити, що в загальному випадку, строга постановка таких задач вимагає залучення апарату нелінійної теорії пружно- сті, що сильно ускладнює побудову аналітичних розв'язків. Однак, за умови великих початкових напружень (деформацій) можна обмежитися розглядом лінеаризо- ванної теорії пружності [1]. В дійсній статті в рамках лі- неаризованної теорії пружності викладається постановка і розв`язок задачі про контактну взаємодію пружної смуги з початковими (залишковими) напруженнями з скінченною накладкою (стрингером), в випадку дії на неї горизонтальної зосередженої сили (аналог задачі Мелана). Всі дослідження виконані для стисливих і не- стисливих тіл у випадку пружних потенціалів довільної структури в загальному вигляді для теорії великих (кі- нечних) початкових деформацій. Для переходу до різних варіантів теорії малих початкових деформацій необхідно ввести спрощення, зазначене в [1]. Мета і постановка задачі Метою даної роботи є продовження подальшого розвитку теорії контактної взаємодії пружних накладок з попередньо напруженою смугою. В результаті дії на пружну накладку зосередженої горизон- тальної сили, з’ясувати впливу початкових (залишкових) напружень на закон розподілу контактних зу- силь під підкріплюючими елементами по лінії безпосереднього контакту. У випадку деяких пружних по- тенціалів найпростішої структури провести чисельні розрахунки і побудувати графіки. Виклад матеріалів досліджень Граничні умови і вихідні співвідношення. Нехай на тонку пружну нескінчену накладку діє тільки горизонтальна зосереджена сила    110 δ yQyq  , що є аналогом відомої задачі Мелана [4] для півплощини лінійної теорії пружності. Таким чином, використавши розв’язок задачі про розподіл танге- нціальних контактних напружень, викликаних від дії горизонтальної зосередженої сили P в пружній смузі з початковими (залишковими) напруженнями. Врахувавши закон розподілу компонент вектора пе- реміщення і тензора деформації в внутрішніх точках пружної смуги з початковими (залишковими) на- пруженнями від дії зосередженої тангенціальної сили, прикладеної до пружної смуги. Поклавши в фор- мулах [2, 3] 0,0α 00  n , одержимо наступні вирази для компонент вектора переміщень і тензора деформацій: Рис. 1 – Контактна взаємодія попередньо напруженої смуги з стрингером під дією горизонтальної сил Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 38                                                      `1 1 151 1 0111 α α ζξζ α π2 , zch n t ss n t m i zyu                                        1 12 10 1 2 501111 1 0 α α φ α ξαααζ α z zsh m n t chmzzshzs n t m   ,ααΔαξαξα 1α1115 1 2 2 1 2 0 dezchn t sh n t chm yi                                      (1)                                   1 2 1252 1 2 2 1 1 112 α ξξξ α ξ π2 , n t shs n t ch n m zyu                                1115 1 2 2 1 2 01 2 1015 αααξ α ξ α αφξ zzshz n t sh n t chmzchms   ,ααξαξαξα 1α1115 1 2 2 1 2 0 dezchn t sh n t chm yi                                         (2)                                    smzzshzs n t m lmc zyQ 5 2 101111 1 0 1144 1122 ξφαααζ α α π2 1 ,   ,ααΔαξαξα α αα ξ 1α1115 1 2 2 1 2 0 1 1 1 2 2 dezchn t sh n t chm z zsh n t shs yi                                                    (3)                                                  11 1 2 1 1 2 110 1 144 1121 αα2 1 zshzs n tα shS n tα chzchααξmα nπ mic ,zyQ     .ααξαα α α ξξ α ζα 1α111 1 0 1 1 54 1 11 dezchn t m z zsh n t sz yi                                                 (4) для 21 nn  ,  0α0                                                  32 1 1132 1 10111 ζζ α αζζ α π2 , n t szchs n t ssm i zyu                                        22114 1 11 2 112 φαζ α ζ α 2αα shszsh n t sss n t chszzch   ,ααΔ α α ζζ ααα 1α1 2 1 2 34 1 1 1 2 1 de z zsh n t s n t sch n t yi                                    (5)                                            14 1 11 2 10 1 1 112 αζ α ζ α 2 π2 , zch n t sss n t chsm n m zyu Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 39                                       112134 1 1 1 2 1 22 1 ααζζ ααα φ sszzchs n t s n t sch n t shs    ,ααΔ α α ζζ α αζζ α 1α1 2 1 1 32 1 1132 1 de z zsh s n t szshs n t yi                                     (6)                                                   32 1 1132 1 10 1144 122 ζζ α αζζ α α π2 1 , n t szchs n t ssm lmc zyQ j                                         22114 1 1 2 112 φαζ α ζ α 2αα shszsh n t sss n t chszzsch   ,ααΔ α α ζζ αα 1α1 2 1 1 34 1 1 1 2 de z zsh s n t s n t sch yi                                 (7)                                                14 1 2 2 10 1 144 121 αζ α ζ α 2α π2 1 , zch n t sss n t chsm n mci zyQ j                                                          1 11034 1 1 1 2 1 22 1 α αζζ ααα φ n t sszchs n t s n t sch n t shs    .ααΔ α α ζζ α αζζ 1α12 1 2 032 1 1132 dez zsh s n t szshs yi                            (8) Для конкретних пружних потенціалів: гармонічного, Бартенєва – Хазановича, Трелоара згідно формул [2, 3] проведено розрахунки і побудовано графіки (рис. 2, 3, 4). Рис. 2 – Кконтактна взаємодія під дією горизонтальної сили у випадку гармонійного потенціалу Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 40 Рис. 3 – Контактна взаємодія під дією горизонтальної сили у випадку потенціалу Бартенєва- Хазановича Рис. 4 – Контактна взаємодія під дією горизонтальної сили у випадку потенціалу Трелоара Тут )(tq Q h – безрозмірні контактні тангенціальні напруження. Значення: 1 = 1 (на графіках пунктирна лінія) – відповідають класичній теорії пружності співпадає з ре- зультатам роботи [4]; 1 = 0,7; 0,8; 0,9 – відповідають початковим напруженням стиску; Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 41 1 = 1,1; 1,2; 1,3 – відповідають початковим напруженням розтягу; t – безрозмірна координата початкового напруженого стану в пружних смугах з початковими напруженнями. Висновки Дослідження представлені в статті дають можливість зробити узагальнені висновки, що до впли- ву початкових напружень на закон розподілу контактних зусиль під нескінченним стрингером. 1. В загальному випадку при рівних і нерівних коренях визначального рівняння [1] для розгляду- ваного в рамка лінеаризованої теорії класу задач сформульовано загальний метод їхнього розв’язування, що дає можливість отримати розв’язок поставлених задач, якщо відомий розв’язок аналогічних лінійних (без початкових напружень) задач. 2. Контактні напруження по лінії контакту з стрингером суттєво залежать від початкових напру- жень. Більш суттєвий вплив кількісного характеру початкових напружень проявляється в високо еласти- чних матеріалах порівняно з більш жорсткими матеріалами. Якісний вплив має аналогічний характер. 3. При наближені початкових напружень до значення, що відповідає поверхневої нестійкості, виникають явища « резонансного» характеру, які полягають в тому, що напруження і переміщення в об- ласті контакту різко змінюють свої величини, а пружні смуги з початковими напруженнями перебувають в стані нейтральної рівноваги. Література 1. Гузь А.Н. Контактна взаємодія тіл з початковими напруженнями / А.Н. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б Рудницький // Вища школа. К., 1995. – 305 с. 2. Дихтярук Н.Н. О равновесии полосы с начальными напряжениями, усиленной упругими на- кладками / Н.Н. Дихтярук // Прикладная механика. – 2004. – № 3. – С. 63 – 70. 3. Дихтярук Н.Н. , Рудницкий В.Б. Упругая полоса с начальными напряжениями, усиленная уп- ругими накладками / Н.Н. Дихтярук , В.Б. Рудницкий // Прикл. механика. – 2002. – № 11. – С. 81 – 88. 4. Melan E., Ein Beitrag zur Theorie geschweiss der Verbindungen. Ingenieur Archiv, 1932, Bd.3,Negt 2. s 126-128. Надійшла в редакцію 02.03.2018 П р о б л е м и т р и б о л о г і ї “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” E-mail: tribosenator@gmail.com Аналог задачі мелана для пружної смуги з початковими напруженнями підсиленною пружною накладкою Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 1 42 Dikhtyaruk N.N., Poplavska O.A. Analog of melan problems for elastic mixture with initial influences with di- agnostic lubrication. The article is devoted problems of contact interaction of infinite elastic stringer and clamped along one of pre- stressed strip. The study was performed in the framework of linearized of elasticity theory in a General form for the theory of large (finite) initial deformations and two variants of the theory of small initial deformations with arbitrary structure of elas- tic potential. The study is carried out in the coordinates of the initial strain associated with Lagrangian coordinates (the natu- ral state). In addition, it is assumed that the interaction with the stringer occurs after the bands appeared, the initial tension and the external load caused in the bands small perturbation of the basic stress strain state. Based on the assumption that the stringers are loaded at the same time horizontal forces, a fair model of the bending beam in combination with horizontal tension rod, the problem is formulated mathematically as a system of integral- differential equations relative to the unknown contact stresses. Using Fourier transforms, the system is solved in closed from. Expressions of the stresses are represented by Fourier integrals rather simple structure. The influence of initial stresses on the distribution of the contact stresses and the identified effects of concentrated loads. Key words: linear elasticity theory, initial (residual) stresses, contact problems, integral Fourier transformations. References 1. Huz A.N. Kontaktna vzaiemodiia til z pochatkovymy napruzhenniamy. A.N. Huz, S Iu. Babych, V.B Rudnytskyi. Vyshcha shkola. K., 1995. 305s. 2. Dihtyaruk N.N. O ravnovesii polosyi s nachalnyimi napryazheniyami, usilennoy uprugimi naklad- kami. N.N. Dihtyaruk. Prikladnaya mehanika. 2004. № 3. S. 63 – 70. 3. Dihtyaruk N.N., Rudnitskiy V.B. Uprugaya polosa s nachalnyimi napryazheniyami, usilennaya uprugimi nakladkami. N.N. Dihtyaruk , V.B. Rudnitskiy. Prikladnaya mehanika. 2002. № 11. S. 81 – 88. 4. Melan E., Ein Beitrag zur Theorie geschweiss der Verbindungen. Ingenieur Archiv, 1932, Bd.3, Negt 2. s 126-128.