Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 68 Сорокатий Р.В.,* Писаренко В.Г.,** Диха О.В.,* Бабак О.П.* *Хмельницький національний університет, м. Хмельницький, Україна, **КНВО "Форт" МВС України, м. Вінниця, Україна E-mail: tribosenator@gmail.com МОДЕЛІ НАКОПИЧЕННЯ ТРИБОПОШКОДЖЕНЬ У ЦИЛІНДРИЧНИХ ТРИБОСИСТЕМАХ КОВЗАННЯ УДК 621.891 Для побудови траєкторій інтенсивних трибопошкоджень по точкам ліній рівня функції трибопошкодженос- ті запропоновано використовувати кубічну сплайн - апроксимацію. Шляхом оцінки похибки сплайн - апроксимації, визначено мінімально необхідну кількість ізоліній функцій пошкодженості для досягнення визначеної точності за мінімального обсягу обчислювальної роботи. Ключові слова: трибосистема, пошкоджуємість, інтерполяція, сплайн-апроксимація. Вступ та постановка проблеми доследжень Враховуючи особливості процесів зношування, матеріали і умови функціонування трибоспря- жень, в більшості випадків можна вважати, що миттєве поле напружень впливає на траєкторію розвитку тріщини менше, ніж властивості пошкодженого матеріалу, а характерний час розвитку тріщини менше характерного часу накопичення пошкоджуваності. Побудувавши лінії рівнів функції накопичення пошкоджень, за допомогою імовірнісної моделі, [1] можна визначити найбільш імовірні напрями траєкторій руху поширення тріщин, та оцінити тип руй- нування і характер процесу зношування. При моделюванні процесів зношування найбільш важливим і складним завданням є дослідження причин, механізмів і кінетики формування поверхневого шару під час тертя. Вирішення цього завдання дозволить керувати процесами, що відбуваються на контакті, а разом з ними фрикційними характеристи- ками і зносостійкістю, відкриє нові можливості в розробці технологій, що дозволять формувати поверх- неві шари з необхідними характеристиками. Варто враховувати, що зношування це специфічний вид руйнування, за якого з макроскопічної точки зору формозміну поверхонь за рахунок руйнування можна вважати безперервним і не можна розг- лядати як одноразовий катастрофічний процес. Для розробки нових технологій обробки поверхонь і методів моніторингу роботи вузлів тертя машин необхідною є побудова моделей, що описують багаторазове руйнування, що дозволяють проана- лізувати зміни мікрорельєфу під час зносу. Труднощі побудови моделей такого типу пов’язані з необхід- ністю розгляду контактних задач для тіл складної форми, моделювання елементарних актів руйнування й відділення частинок. Враховуючи необхідність цієї проблеми для трибології, в окремих роботах [1 - 8] відображено можливість побудови таких моделей показана стосовно до процесів втомного руйнування внаслідок зно- шування. У [9] розглядалось накопичення пошкоджень в шарі за трибоконтактної взаємодії. Авторами [9] прийнято, що при досягненні пошкодженості деякого критичного значення відбувається руйнування і ві- докремлення шару матеріалу, якщо критичні значення знаходяться на певній глибині, і відокремленню матеріалу з поверхні, якщо критичні значення пошкодженості досягнуті на поверхні. У роботі [9] про- аналізовано вплив зовнішнього навантаження і закону накопичення пошкодженості на перебіг процесу, а також співвідношення процесів поверхневого руйнування і відшаровування, за якого можливе виник- нення стаціонарного режиму зношування. Більш загальна модель процесу побудована у роботі [10]. Розглянутий механізм накопичення пошкодженості оснований на використанні термокінетичної теорії руйнування твердих тіл. Враховуючи, що миттєве поле напружень має менший вплив на траєкторію розвитку тріщини, ніж властивості пошкодженого матеріалу, а характерний час розвитку тріщин значно менший характер- ного часу накопичення пошкодженості, бралось, що тріщини розповсюджуються миттєво, а напрямок їх розвитку в кожній точці визначається напрямком мінімального зменшення накопиченої пошкодженості. Параметрами, якими визначається хід процесу в цій моделі, є механічні і теплофізичні характе- ристики контактуючих тіл, умови навантаження, коефіцієнт тертя і вихідна макро- і мікроформа контак- туючих тіл. Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 69 Однак, побудувати модель зношування пари тертя реального вузла, що адекватно описує процес накопичення пошкоджень, тип і характер можливих триборуйнувань, базуючись на розгляді взаємодії окремо взятих мікронерівностей, на цьому етапі розвитку трибології є досить проблематичним. Для практичного керування процесами, що відбуваються при трибоконтактній взаємодії, важли- во знати не стільки траєкторію розвитку окремої мікротріщини, скільки найбільш імовірні траєкторії, в межах яких буде відбуватись процес розвитку і формування мікротріщин в поверхневому шарі, що до- зволить оцінити тип і характер можливих триборуйнувань. Для побудови адекватних моделей і вирішення спряжених завдань з визначення характеристик полів напружень і температур в реальних вузлах тертя необхідно звернутися до методів комп’ютерного моделювання. У свою чергу специфіка комп’ютерного аналізу потребує чіткої математичної формалізації моделей та алгоритмів. Досліджуючи кінетику формування поверхневого шару для визначення типу і характеру трибо- руйнувань методами комп’ютерного аналізу, необхідно формалізувати завдання побудови ліній, що ви- значають напрямок найбільш інтенсивного накопичення трибопошкоджень по точкам ліній рівня функції трибопошкодженості. Враховуючи енергетичну умову А. Гриффітса для побудови траєкторій, що визначають напря- мок найбільш інтенсивного накопичення трибопошкоджень, утворення і розповсюдження мікротріщин, а також припущення, що напрямок розвитку триборуйнувань у кожній точці визначається напрямком мі- німального зменшення накопиченої пошкодженості, найбільш доцільно скористатися кубічними сплай- нами, які забезпечують мінімум потенційної енергії поверхні, що описується. Основний матеріал Для апроксимації траєкторії найбільш інтенсивного накопичення трибопошкоджень по точках ізоліній функції пошкодженості скористаємося кубічним сплайном виду [11]:     , 6 )( 6 )( 66 )( 22 1 1 3 1 3 1 h xxhm xQ h xxhm xQ h xx m h xx mxS nn n nn n n n n n                          (1) де 1 , nn xx – значення аргументу функції, відповідно в точках 1 , nn ; )( ),( 1nn xQxQ – значення функції пошкодженості в точках 1 , nn ; )( );( 11   nnnn xQmxQm – значення інших похідних функцій пошкодженості; 1 nn xxh – крок інтервалу  nn xx ;1 . Враховуючи, що точки )( ixQ знаходяться на ізолініях функції пошкодженості, визначимо міні- мально необхідну кількість ізоліній функцій пошкодженості для досягнення визначеної точності при мі- німальному обсязі обчислювальної роботи, шляхом оцінки похибок сплайн - апроксимації. Похибки сплайн - апроксимації на відрізку  nn xx ;1 визначаються як абсолютна величина різ- ниці між значеннями сплайна і функції пошкодженості: )()()( xRxQxS  . (2) Завдання полягає у визначенні оцінки )(xR . Спростимо вираз (1) шляхом заміни: h xx t n 1   , h xx t n  1 . (3) Тоді (1) набере вигляду: Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 70       . 6 )(1 6 )1)(( 66 1 )( 22 1 1 3333 1 t hm txQt hm txQ h ht m h th mxS n n n nnn       . (4) Виконавши перетворення, отримаємо:       .)()1)(( 6 23 6 )( 1 3 2 132 2 1 txQtxQ tt hm ttt hm xS nn nn     . (5) Функцію пошкодженості )( xQ , яка входить до виразу (2) розкладемо в ряд Тейлора з залишко- вим членом у формі Лагранжа [12], роблячи припущення, що )( xQ має похідні до третього порядку включно:       . !3 )( !2 )( !1 )( )()( 3 1 2 1 1 1 1 1             nn n n n n xx Q xx xQ xx xQ xQxQ (6) Із урахуванням заміни (3) вираз (6) набуде вигляду: 6 )( 2 )()()()( 3322 111 ht Q ht xQhtxQxQxQ nnn   . (7) Похідні в (6) виразимо через кінцеві різниці першого (8), другого (9) і третього (10) порядків: h xQxQ xQ h xQxQ xQ nnn nn n )()( )( ; )()( )( 111      ; (8) 2 2 2 1 2 1 )( )( ; )( )( h xQ xQ h xQ xQ nn n n      ; (9) 3 3 )( )( h Q Q   . (10) Із урахуванням заміни (8) вираз (9) набуде вигляду: 2 11 1 )()(2)( )( h xQxQxQ xQ nnnn     . (11) Вираз (10) через значення других похідних 1 , nn mm можна записати: h mm Q nn 1)(    . (12) Із урахуванням виразів (7) - (12) залежність (8) набуде вигляду: Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 71 )3( 66 )()1)(()( 32 2 1 23 1 tt hmhtm txQtxQxQ nnnn    . (13) Підставимо (5) і (13) у вираз (12) після перетворення, отримаємо: )( 6 )2( 6 )()()( 22 1 t hm t hm xQxSxR nn   . (14) Перепишемо (14) наступним чином:    2 6 )( 1 2 tmmt h xR nn   . (15) Аналіз (15) показує, що )(xR набуває максимального значення за 1t , оскільки 10  t , і однакових других похідних 1, nn mm . Тоді, оцінка похибки інтерполяції:   2 6 )( 1 2 nn mm h xR   . (16) Оцінка похибки інтерполяції дає можливість визначити величину максимального кроку для за- безпечення [13]. Для інтерполяції із заданою точністю  , можна записати:    2 6 1 2 nn mm h . (17) Звідси крок інтерполяції h , який забезпечує задану точність  :  nn mm h    12 6 . (18) Таким чином, можна вважати, що крок інтерполяції, який забезпечує задану точність (18), ви- значає оптимальну кількість ізоліній. Це дає можливість оптимізувати обчислювальні алгоритми. Виходячи з вище сказаного, в обчислювальний алгоритм необхідно включити блок визначення оптимальної кількості ізоліній, який забезпечує задану точність інтерполяції. Алгоритм блоку полягає в проведенні попереднього обчислення виразу (18) максимального кроку h , який забезпечує необхідну точність інтерполяції. Додавання оптимізаційного блоку в загальний алгоритм програм не впливає на об- сяг обчислювальної роботи, якщо врахувати, що крок і відповідно оптимальна кількість ізоліній в залеж- ності (18) обчислюються через другі похідні nn mm ,1 , які визначаються під час побудови кубічного сплайну. Висновок Для оцінки типу і характеру макроруйнувань при зносоконтактній взаємодії пар тертя запропо- новано використовувати траєкторії найбільш інтенсивного накопичення трибопошкоджень, що будують- ся у напрямку мінімального зменшення накопиченої пошкодженості. Для побудови траєкторій інтенсив- них трибопошкоджень по точкам ліній рівня функції трибопошкодженості використовується кубічна сплайн - апроксимація. Шляхом оцінки похибки сплайн - апроксимації, визначено мінімально необхідну кількість ізоліній функцій пошкодженості для досягнення визначеної точності за мінімального обсягу обчислювальної роботи. Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 72 Література 1. Сорокатый, Р. В. Метод трибоэлементов : монография. [Текст] / Р. В. Сорокатый. – Хмель- ницкий : ХНУ, 2009. – 242 с. 2. Венцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст] / Е. С. Вен- цель, Л. А. Овчаров – М. : Наука, 1991. – 384 с. 3. Богданофф, Дж. Вероятностные модели накопления повреждений [Текст] / Дж. Богданофф, Ф. Козин ; пер. с англ. – М. : Мир, 1989. – 344 с. 4. Регель, Р. В. Кинетическая природа прочности твёрдых тел [Текст] / Р. В. Регель, А. И. Слуц- кер, Э. Е. Томашевский. – М.: Наука, 1974. – 560 с. 5. Бетехтин, В. И. Эволюция микроскопических трещин и пор в нагруженных твердых телах [Текст] / В. И. Бетехтин, А. Г. Кадомцев // Физика твердого тела. – 2005. – Т. 47, № 5 – С. 801-807. 6. Иванова, В. С. Разрушение металлов [Текст] / В. С. Иванова. – М. : Металлургия, 1979. – 168 с. 7. Пластическая деформация и разрушение кристаллических тел. Сообщение 1. Деформация и развитие микротрещин [Текст] / В. И. Бетехтин, В. И. Владимиров, А. Г. Кадомцев, А. И. Петров // Проблемы прочности. – 1979. – № 7. – C. 38-45. 8. Пластическая деформация и разрушение кристаллических тел. Сообщение 2. Деформация и развитие микротрещин [Текст] / В. И. Бетехтин, В. И. Владимиров, А. Г. Кадомцев, А. И. Петров // Про- блемы прочности. – 1979. – № 8. – C. 51-57. 9. Горячева, И. Г. Модель усталостного разрушения поверхностей [Текст] / И. Г. Горячева, О. Г. Чекина // Трение и износ. – 1990. – Т. 11, № 3. – С. 389-400. 10. Горячева, И. Г. Механика фрикционного взаимодействия [Текст] / И. Г. Горячева. – М. : Наука, 2001. – 478 с. 11. Бахвалов, Н. С. Численные методы : учеб. пособ. [Текст] / Н. С. Бах-валов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : Наука, 1987. – 600 с. 12. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М. Я. Выгодский. – М. : Нау- ка, 1972. – 872 с. 13. Завялов, Ю. С. Методы сплайн - функций [Текст] / Ю. С. Завялов, Б. И. Квасов, В. Л. Ми- рошниченко. – М.: Наука, 1980. – 352 с. Надійшла в редакцію 20.06.2018 П р о б л е м и т р и б о л о г і ї “P r o b l e m s o f T r i b o l o g y” E-mail: tribosenator@gmail.com Моделі накопичення трибопошкоджень у циліндричних трибосистемах ковзання Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2018, № 2 73 Pisarenko V.G., Sorokatiy R.V., Dykha O.V., Babak O.P. Models of accumulation of tribodamages in cylindrical sliding tribosystems. Taking into account the peculiarities of wear processes, materials and conditions of the tribo conjugation, in most cases it is assumed that the instantaneous stress field affects the cracks development trajectory: less than the properties of the damaged material, and the characteristic development time of the crack is less than the characteristic time of accumulation of damage. The constructed lines of levels of the function of accumulation of damage, using probabilistic model, determined the most probable directions of trajectories of the propagation of cracks, estimated the type of destruction and the nature of the wear process. In modeling of wear processes, the most important and difficult task is to study the causes, mechanisms and kinetics of the formation of the surface layer during friction. Solving this problem allows you to manage the processes occurring on the contact. Together with the friction characteristics and durability, it opens up new opportunities in developing technologies that allow the formation of surface layers with the required characteristics. In order to estimate the type and nature of the fractures during wear-contact interaction of friction pairs, it is proposed to use the trajectories of the most intense accumulation of tribological damages. They are built in the direction of minimizing the accumulated damage. To construct trajectories of intense tribo damage along the points of the lines of the level of the tribological damage function, a cubic spline approximation is used. By estimating the spline error approximation, the minimum required number of isolation functions of the damage is determined to achieve a certain accuracy with a minimum amount of computational work. Key words: tribosystem, damaging, interpolation, spline approximation. References 1. Sorokatyj, R. V. Metod triboelementov monografiya. [Tekst]. R. V. Sorokatyj. Hmel-nickij HNU, 2009. 242 p. 2. Vencel, E. P. Teoriya sluchajnyh processov i ee inzhenernye prilozheniya [Tekst] . E. P. Vencel, L. A. Ovcharov M. Nauka, 1991. 384 p. 3. Bogdanoff, Dzh. Veroyatnostnye modeli nakopleniya povrezhdenij [Tekst] . Dzh. Bogdanoff, F. Kozin ; per. s angl. M. Mir, 1989. 344 p. 4. Regel, R. V. Kineticheskaya priroda prochnosti tvyordyh tel [Tekst] . R. V. Regel, A. I. Sluc-ker, E. E. Tomashevskij. M. Nauka, 1974. 560 p. 5. Betehtin, V. I. Evolyuciya mikroskopicheskih treshin i por v nagruzhennyh tverdyh telah [Tekst] .V. I. Betehtin, A. G. Kadomcev /.Fizika tverdogo tela. 2005. T. 47, № 5 P. 801-807. 6. Ivanova, V. P. Razrushenie metallov [Tekst] .V. P. Ivanova. M. Metallurgiya, 1979. 168 p. 7. Plasticheskaya deformaciya i razrushenie kristallicheskih tel. Soobshenie 1. Deformaciya i razvitie mikrotreshin [Tekst] .V. I. Betehtin, V. I. Vladimirov, A. G. Kadomcev, A. I. Petrov /.Problemy prochnosti. 1979. № 7. C. 38-45. 8. Plasticheskaya deformaciya i razrushenie kristallicheskih tel. Soobshenie 2. Deformaciya i razvitie mikrotreshin [Tekst] . V. I. Betehtin, V. I. Vladimirov, A. G. Kadomcev, A. I. Petrov /.Pro-blemy prochnosti. 1979. № 8. C. 51-57. 9. Goryacheva, I. G. Model ustalostnogo razrusheniya poverhnostej [Tekst] .I. G. Goryacheva, O. G. Chekina /.Trenie i iznop. 1990. T. 11, № 3. P. 389-400. 10. Goryacheva, I. G. Mehanika frikcionnogo vzaimodejstviya [Tekst]. I. G. Goryacheva. M. Nauka, 2001. 478 p. 11. Bahvalov, N. P. Chislennye metody ucheb. posob. [Tekst] .N. P. Bah-valov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. M. Nauka, 1987. 600 p. 12. Vygodskij, M. Ya. Spravochnik po vysshej matematike [Tekst] . M. Ya. Vygodskij. M. Nau-ka, 1972. 872 p. 13. Zavyalov, Yu. P. Metody splajn - funkcij [Tekst] .Yu. P. Zavyalov, B. I. Kvasov, V. L. Mi- roshnichenko. M. Nauka, 1980. 352 p.