15.doc Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 95 Матняк С.В. м. Хмельницький, Україна РОЗВ'ЯЗОК БІНАРНОЇ ПРОБЛЕМИ ГОЛЬДБАХА УДК 511.3 Методом тригонометричних сум розв’язана бінарна проблема Гольдбаха. Знайдена асимптотична форму- ла розподілу парних чисел, утворених сумою двох простих непарних чисел, для кожного парного числа із множини натуральних чисел N. Ключові слова: бінарна проблема Гольдбаха, асимптотична формула, прості непарні числа, парні числа, метод тригонометричних сум. Вступ В роботі розглядається відома нерозв’язана проблема Гольдбаха. Ця проблема являє собою гі- потезу, відповідно до якої будь-яке парне число, не менше шести, представляється сумою двох простих непарних чисел – бінарна проблема Гольдбаха.Гольдбах прийшов до цієї гіпотези експериментально. В теперішній час ЕОМ дає можливість експериментально перевірити цю гіпотезу. Але до цих пір не знай- дено ні одного протирічного прикладу до гіпотези Гольдбаха. Великий прогрес в її доведені були досягнуті І.M. Виноградовим і Л.Г. Шпірельманом. В 1937 році Виноградаву вдалося показати, що будь-яке достатньо велике непарне число є сумою трьох простих непарних чисел. На основі роботи асимптотична формула розподілу сум двох простих непарних чисел. Знайдена асимптотична формула дає розв'язок бінарної проблеми Гольбаха. Постановка задачі. Знайти асимптотичну формулу розподілу парних чисел більших 6, утворених із сум двох простих непарних чисел. Розв'язання У поданому тут доведені використовується метод І.М. Виноградова, запропонований для дове- дення тернарної проблеми Гольдбаха. Означення та теореми для нагадування. Означення 1. Парним числом називається натуральне число, якщо серед його простих множників є число 2. Означення 2. Непарним числом називається натуральне число, якщо серед його простих множників числа 2 немає. Означення 3 [1, cт. 119]. Ціле число р називається простим коли воно відмінне від 0 і 1± і має дільники тільки 1± і p± Ціле число a, відмінне від 0 і 1± і має крім 1± і a± ще інші дільники, називається складеним. Теорема 1 [1, cт. 120]. Будь-яке ціле додатнє число, відмінне від 1, можна представити у вигляді добутку додатніх простих чисел. Це представлення з точністю до порядку множників єдине. Теорема 2 [1, cт. 120]. Множина додатніх простих чисел нескінчена. Теорема 3 [1, cт. 120] (Закон Адамара і Валлє-Пуссена). Відношення ( ) x x x ln :π прямує до 1 при необмеженому зростанні x , тобто: ( ) 1 ln lim = ⋅π ∞→ x xx x , де функція ( ) x x x ln =π – визначає кількість простих непарних чисел в множині натуральних чисел N при ∞→x . Наслідок (теорема Ейлера) [1, cт. 408]. Кожне додатнє просте непарне число a можна подати у вигляді: 12 +⋅= qa , де q – ціле додатнє число із множини натуральних чисел N . · Теорема 4. Сума будь-яких двох простих непарних чисел є парне число: 21 ppN += , де N – парне число; 1p , 2p – прості непарні числа. Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 96 Доведення. Виходячи з наслідку теореми Ейлера можна кожне непарне просте число 1p і 2p подати у вигляді: 12 11111 +=+⋅= qrqbp , 12 22222 +⋅=+⋅= qrqbp . де 1q і 2q – цілі додатні числа з множини натуральних чисел N . Тоді ( ) ( ) ).12(224 1212 2121 2122211121 ++⋅⋅=++⋅= =+⋅++⋅=+⋅++⋅=+= qqqq qqrqbrqbppN Розкладаємо число N на прості множники: ( )( ) sspppqqmN ααα ⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅=⋅= ...21222 21 2121 , де числа sppp ,...,, 21 – різні додатні прості числа, а 0>αi для si ,...,3,2,1= . Тому число N є парним, бо має серед своїх простих множників число 2 . Лема 1. (Пейдж). Нехай для заданого 0ε задані довільно великі 1c і c . Тоді число ( )lqN ,,π простих чисел, не перевищує N , які містяться в арифметичній прогресії lxq +⋅ , crq ≤<0 , crq <<0 , ( ) 1, =lq , ql <<0 , Nr ln= , виражається формулою: ( ) ∫ +=π N H x dx q lqN 2 ln 1 ,, , ( )qq ϕ=1 , де для всіх q , крім ряду відмінних, кратних будь-якому 0qq = , які задовольняють вимогу: 02 ε−≥ rq , маємо нерівність . 1 rq rN H c ⋅ ⋅ << − Доведення. Ця лема є наслідком відомої теореми англійського математика Пейджа [2, cт. 95]. Лема 2. Нехай 2≥N , Nr ln= , z –дійсне: ( ) dz r e zI N izx ∫ π = 2 2 2 , ( ) ∫ π = N izx dx x e zJ 2 2 , ln тоді маємо: ( ) ,ZzI << ( ) ,ZzJ <<     ≤<⋅ ≤⋅ = −−−− −− .коли, ;коли, 5,0111 11 NzNrz NZrN Z Доведення. Ця лема доведена І.М. Виноградовим [2, cт. 95]. Лема 3. Нехай crN −⋅=τ , де 2≥c , і нехай ( )( )∫ − − τ τ− π−⋅= 1 1 ,22 dzezJR izN де ( )zJ має значення, вказане в лемі 2. Тоді маємо:       += 32 r N O r N R . Доведення. Застосуємо позначення леми 2. Інтеграл R порівняємо з інтегралом: ( ) ( )( )∫ − π−⋅= 5,0 5,0 22 dzezIzI iz . Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 97 Знаходимо: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )∫ ∫ − − − − τ τ− τ τ− π−π−         −⋅+⋅−=− 1 1 1 1 0 22222 0 RdzezIdzezIzJRR izNizN . Тут перший доданок правої частини, відповідно до леми 2 і нерівності: ( ) ( ) ,1 ln 1 2 2 r N dx rx zIzJ N <<⋅      −<− ∫ тому маємо: ∫ ∫∫ − − − − − ττ τ− <<+<<⋅<< 1 1 1 1 1 0 333 2 2 . N N r N dz r N dz r N dx r N Z Другий доданок правої частини, відповідно до леми 2 буде: 3 5,0 5,0 22 2 1 1 r N rz dz dzZ << ⋅ <<<< ∫ ∫ − −τ τ . Тому, 30 r N RR <<− . Вважаючи: ( )( )∫ − π−⋅=′ 5,0 5,0 22 ,dzezSR izN ( ) , 2 2 ∑ = π = N x izx r e zS відповідно до леми 2 [1, cт. 41], будемо мати ( ) ( ) r zSzI 1 <<− , r Z 1 >> . Тоді: 2 5,0 0 0 5,0 22 2 0 1 1 11 r N dz zr dz r N dz r ZRR N N ≈ ⋅ +=⋅<<′− ∫ ∫ ∫ − − . Отже, 2r N RR <<′− . Вираз Rr ′⋅2 виражає число представлень числа N у вигляді: 21 xxN += з цілими 1x , 2x , які більші числа 2. Кількість комбінацій по два числа з 2−N буде дорівнювати: ( ) ( ) 2 65 2 32 22 2 +− = −⋅− = − NNNN C N . Тому кожне число ряду натуральних чисел N можна представити: ( )1 2 652 2 22 O N N NN N C Rr N += +− ==′⋅ − , раз, а кожне парне число ряду натуральних чисел N можна представити у вигляді: ( ) ( )1 2 6522 2 2 22 ON N NN N C Rr N += +−⋅ = ⋅ =′⋅ − , раз. Звідки і переконуємося в справедливості леми. Теорема 5. Число ( )NI представлень парного додатного числа N у вигляді суми: 21 ppN += простими непарними числами 1p і 2p виражається формулою: ( ) ( )       +⋅= ε−32 r N ONS r N NI , Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 98 де ( ) ( )       + −′′⋅      +⋅= = 1 2 1 1 13 2/21, p П p ПNS NpNp , причому NpП /′′ поширюється на всі прості числа, які ділять N , а ( ) 1, =NpП – на прості дільники, які не ділять числа N і Np < . При цьому маємо ( ) 0,1>NS . Наслідок (бінарна проблема Гольдбаха). Існує 0c з умовою що будь-яке парне число N не менше ніж 0c , є сумою двох простих непарних чисел. Доведення. Покладаючи 7−⋅=τ rN , маємо: ( ) ∫ +τ− τ− απ− α − − α⋅= 1 22 1 1 deSNI Ni , ∑ ≤< απ α = Np pieS 2 2 , інтервал інтегрування інтегралу ( )NI розіб'ємо на інтервали першого і другого класів. Інтервали пер- шого класу ми назвемо інтервали, які включають всі значення α виду: z q a +=α , ( ) 1, =qa , 11 −− τ<<τ− z , 20 rq << . Очевидно, ( 0c достатньо велике), інтервали першого класу один на одного не налягають. Інтервали другого класу називаються інтервали, які залишилися після виділення інтервалів першого кла- су. Будь-яке α , яке належить інтервалу другого класу можна представити у вигляді: z q a +=α , ( ) 1, =qa , 11 11 −− τ ≤≤ τ − q z q , τ≤< qr 2 . Відповідно до вказаного розподілу інтервалів інтегрування інтеграл ( )NI розбивається на два доданки: ( ) ( ) ( )NININI 21 += . 1. Оцінка ( )NI 2 . Відповідно до теореми 1 розділу 4 [2, cт. 63] при 7rq ≥ маємо: 15,2 5,01ln ε− − α <<        ⋅++⋅⋅⋅<< r N er N qr q rrNS r . А відповідно до теореми 2 розділу 4 [2, cт. 66] при 72 rqr ≤< справедливим є співвідношення: 15,2 ε+− α ⋅<< rNS , [ ]12r N A = . Тому ( ) ( ) 1 1 3 2 1 1 0 2 2 25,2 2 ε− ≤′< << −′απε+− ≤α        ⋅⋅<< ∫ ∑ ∑ r N derNNI Np Np ppi . 2. Інтервали першого класу, що відповідають значенню q, яке не є відмінним. Нехай qaI , – час- тина інтегралу ( )NI1 , що відповідає інтервалу першого класу, який включає дріб q a з значенням q , і не є відмінним. Взявши будь-яке z q a +=α , цього інтервалу, суму αS розіб'ємо на [ ]12 1 r доданки виду: ∑ ≤<−       +π α = 11 1 2 , NpAN pz q a i N eS , [ ]12r N A = . Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 99 Для доданків суми 1,N S α маємо AzpzNz ⋅≤⋅−⋅ 1 . Число цих доданків 1−⋅<< rA . Тому: 6 12 2 2 , 11 1 1 r A rAzeeS NpAN pz q a i izN N <<⋅⋅<<− − ≤<−       +π π α ∑ , але (лема 1 [2, cт. 65] с = 17) при заданому l з умовою ql <≤0 , ( ) 1, =ql , число простих чисел ви- ду lxq +⋅ , яка лежить в інтервалі 11 NpAN ≤<− виражається формулою: ∫ − −       ⋅ + 1 1 1 17 1 ln 1 N AN rq rN O x dx q . Тому ∫∑ − ππ α       += 1 1 1 1 6 2 1 2 , ln 1 N AN iN l l q a i N r A O x dxe q eS . Далі знаходимо (позначення леми 2): ( )∑ µ= π l l q a i qe 2 , AzpzNz ⋅≤⋅−⋅ 1 , ∫ − << 1 1 6ln N AN r A x zAdx , ( ) ∫ − π α       + µ = 1 1 1 6 2 1 , ln N AN izx N r A O x dxe q q S , ( ) ( )      + µ =α 6 1 r A OzJ q q S , ( ) 11 q z q zJ << , ( ) ( )( ) 1226 1 2 1 2 −− α ⋅+<< µ − rNNr q z zJ q q S . Позначимо 21 r N =τ і оскільки інтервал ( )1111 , −− ττ− входить в інтервал ( )11, ττ− ,то 1 1 1 1 −− τ<<τ− z і тоді: ( ) ( )( ) <<      +<<⋅ µ − ∫∫ −− − τ −−       +πτ τ− α dzrq N Nr q Z dzezJ q q I Nz q a i q 1 1 1 1 1 1 0 8 1 2 6 1 2 2 2 1 , 1 1 5 2 8 1 22 6 1 qr N N r r q N N r rN q z ⋅ <<⋅⋅+⋅⋅<< −− . Заставляємо a пробігати приведену систему лишків по модулю q , звідки одержимо: ( ) ( )113, −− ⋅⋅+⋅=∑ qrNORqGI a qa , ( ) ( ) ∑ πµ = a N q a i e q q qG 2 2 1 , відповідно до леми 3 і нерівності ( ) 11−<< qqG , запишемо: ( )       ⋅ +=∑ 1 32, qr N OqG r N I a qa . 3. Основні інтервали , які відповідають відмінним значенням q . Нехай q належить до числа відмінних. Тоді kqq ⋅= 0 , де −k ціле з умовою 0 10 ε+≤< rk (оскільки 2rq ≤ і 010 ε−≥ rq ). Покладаючи: z q a +=α , τ≤≤τ− z , Nz ⋅=δ , Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 100 ( ) 1 0,5,S q N r q− + ε −δ = ⋅ ⋅ , коли 1≤δ , ( ) 5,05,01, δ⋅⋅⋅=δ −ε+− qrNqS , коли 1≥δ , відповідно до теореми 2 розділу 4 [2], будемо мати ( )δ<< ,qSS a . Тому одержимо: ( )( ) ( )( )∫∫ ⋅<<δδ⋅<<δ<< ε− τ− 1 0 0 22 2 0 2 . , 1 , 1 kqr N dqS N dzqSI qa . Заставляючи a пробігати приведену систему лишок по модулю q , одержимо: 0 22, qr N I qa ⋅ << ε− . або, оскільки порядок першого члену нижче порядку другого, то: ( )∑       += ε− a qa rr N OqG r N I 32, . 4. Попередні формули для ( )NI . Відповідно до обчислень (1, 2, 3) знаходимо: ( ) ( ) ∑∑ ∑ ε+≤ ε ε− ≤ ≤ ⋅ << ⋅⋅ +<<⋅− 1 1 2 2 32311 01 321 клrq rq r rN rkq N qr N qG r N NI , ( ) 3 2 122 2 2 r N q r N qG r N rq rq <<⋅<<⋅ − > > ∑ ∑ , ( ) ( )       +⋅= ε−32 r N ONS r N NI , ( ) ( )∑ ∞ = = 1q qGNS . (4.1) 5. Дослідження ( )NS . Очевидно, ( )qG може бути відмінним від нуля лише у випадку, коли канонічний розклад числа q має вигляд kpppq ⋅⋅⋅= ...21 (і у випадку, коли 1=q ). При цьому буде справедлива також тотожність: ( ) ( ) ( )kk ppGpGpG ...... 11 = . Дійсно, у випадку k = 2 справедливість цієї тотожності випливає з рівності: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ + π <<<<ϕ =⋅ 21 1221 2111 2 00 21 21 1 pp Npapa i papa epp pGpG , де 1221 papa + пробігає приведену систему лишок по модулю 21 pp . Узагальнення цієї тотож- ності на випадок 2>k тривіальне. Розглянемо вираз (2.1), якщо N ділиться на q , то qe a N q a i =∑ π2 . Підставимо це значення в (2.1) і одержимо: ( ) ( ) ( ) 22 1 22 1 2 11... 1 1 1 1... 1 1       −⋅⋅      −⋅ µ =       −⋅⋅      −⋅ ⋅µ = kk pp q q pp q qq qG , де ( )qϕ є функція Ейлера, яка дорівнює ( )       −⋅⋅      −⋅      −⋅=ϕ kppp qq 1 1... 1 1 1 1 21 [4, ст. 30]. Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 101 Підставимо значення ( )qG у вираз ( ) ( )∑= Np qGNS / і одержимо: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∑ = µ ⋅ − ⋅⋅ − =       −⋅⋅      −⋅ µ == Nqk k Nq k Nq q q p p p p pp q q qGNS / 2 2 2 1 2 1 / 22 1 / 1 ... 11 1... 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ... 11 1 1... 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 1 1 21 2 2 2 1 2 1 > − ⋅⋅ − ⋅ − =      −⋅⋅      −⋅      −⋅ − ⋅⋅ − = k k kk k p p p p p p pppp p p p , тому що 1 11 1 > −p p , 1 12 2 > −p p ,..., 1 1 > −k k p p і де ( )       −⋅⋅      −⋅      −= µ ∑ kNq pppq q 1 1... 1 1 1 1 21/ [4, ст. 29]. Тоді відповідно до формули 3.14 [5, cт. 39]: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )nqq qnqq ncq ,/ ,/ ϕ ϕ⋅µ = . І 3.26 [5,ст.42] )(NS буде дорівнювати: ( ) ( ) ( )        − +⋅      − −′= = 1 1 1 1 1 1 /21, p П p ПNS NpNp . І при N парному ( ) 1>>NS , а при N непарному ( ) 0=NS . Теорема доведена. Література 1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559с. 2. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. – М.: УРСС. 2004. – 120 с. 3. Чандрасекхаран К.. Введение в аналитическую теоию чисел. М.: Мир, 1974. – 187 с. 4. Виноградов И. М. Основы теории чисел : учеб. пособие. – Изд. 11-е, стер. – СПб. : Лань, 2006. – 176 с. 5. Вон. Р. Метод Харди - Литтлвуда. – М.: Мир, 1985. – 182 с. Поступила в редакцію 12.02.2014 Розв'язок бінарної проблеми Гольдбаха Проблеми трибології (Problems of Tribology) 2014, № 1 102 Matnyak S.V. The solution of the binary problem of the Gol'dbachs. The binary problem of Goldbach is solved by the method of the trigonometrical sums . The asymptotic formula of distribution of the even numbers formed by the sum of two simple uneven numbers is found for each even number from the set of natural numbers N. Key words: binary problem of Goldbach, asymptotic formulae, simple uneven numbers, even numbers, method of the trigonometrical sums. References 1. Kulikov L.Ja. Algebra i teorija chisel. Uchebnoe posobie dlja pedagogicheskih institutov. M.: Vysshaja shkola, 1979. 559s. 2. Vinogradov I.M. Osobye varianty metoda trigonometricheskih summ. M.: URSS. 2004. 120 s. 3. Chandrasekharan K. Vvedenie v analiticheskuju teoiju chisel. M.: Mir, 1974. 187 s. 4. Vinogradov I. M. Osnovy teorii chisel : ucheb. posobie. – Izd. 11-e, ster.– SPb. : Lan', 2006. 176 s. 5. Von R. Metod Hardi - Littlvuda. M.: Mir, 1985. 182 s.