O r g a n i z z a z i o n e e u t i l i z z a z i o n e d i u n p r o g r a m m a di a n a l i s i s p e t t r a l e (Organisation anil une of a program of spectral analysis) F . M A T T I O L I ( * ) R i c e v u t o il 10 S e t t e m b r e , 1975 RIASSUNTO. — Si r i a s s u m o n o d i v e r s i p r o b l e m i , sia t e o r i c i c h e p r a t i c i , i n e r e n t i l ' a n a l i s i a u t o e c r o s s s p e t t r a l e d e l l e s e r i e t e m p o r a l i , p e r p o r r e i n e v i d e n z a lo s p i r i t o con il q u a l e t a l i t e c n i c h e v a n n o i m p i e g a t e . Si r a g g i u n g o n o p o i c o n c l u s i o n i c i r c a i c r i t e r i s e c o n d o i q u a l i un p r o g r a m - m a d i a n a l i s i s p e t t r a l e d o v r e b b e e s s e r e o r g a n i z z a t o ed u t i l i z z a t o . SUMMARY. - S e v e r a l t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l p r o b l e m s on s p e c t r a l a n d c r o s s s p e c t r a l a n a l y s i s of t i m e s e r i e s a r e s u m m a r i z e d in o r d e r t o p o i n t o u t t h e w a y in w h i c h t h e s e t e c h n i q u e s a r e t o b e e m p l o y e d . C o n c l u s i o n s a r e d r o w n a b o u t t h e c r i t e r i o n s t o b e f o l l o w e d in t h e o r g a - n i z a t i o n a n d u s e of a p r o g r a m of s p e c t r a l a n a l y s i s . 1 . - I N T R O D U Z I O N E I programmi di analisi spettrale che si trovano in commercio non sono, di solito, ampiamente utilizzati. I n genere u n u t e n t e o si costruisce da sé il suo programma, oppure utilizza un programma costruito da altri, continuando però ad applicarlo alla stessa r i s t r e t t a categoria di problemi per i quali questo era stato originariamente pensato. La ragione di questo stato di cose risiede nella convinzione, comu- nemente accettata, che l'analisi spettrale sia un ben preciso susseguirsi di d e t e i m i n a t e operazioni che, applicate alla serie da esaminare, pro- (*) A s s e g n i s t a M i n i s t e r i a l e p r e s s o l ' I s t i t u t o d i F i s i c a " A . R i g h i " , (li B o l o g n a . 3 2 2 F. MATTIOLI duce come risultato le funzioni s p e t t r a l i desiderate. Questa erronea visione delle cose lia i n d o t t o molti p r o g r a m m a t o r i a costruire dei pro- g r a m m i e s t r e m a m e n t e rigidi e, di conseguenza, difficilmente a d a t t a b i l i alle esigenze dei diversi u t e n t i . P e r chiarire meglio la n a t u r a del problema proposto facciamo u n esempio in cui esso, al contrario, non esiste. Se si vuole invertire u n a m a t r i c e è facile usare il s o t t o p r o g r a m m a relativo: b a s t a i n f a t t i definire pochi p a r a m e t r i e riservare u n ' o p p o r t u n a area di memoria. Poiché l'operazione che si vuole eseguire è u n i v o c a m e n t e d e t e r m i n a t a , ne segue che l'applicazione del p r o g r a m m a è del t u t t o a u t o m a t i c a : l ' u t e n t e non deve, né può, f o r m u l a r e alcuna decisione su di essa. P e r l'analisi s p e t t r a l e invece la situazione è differente: ci sono i n f a t t i diverse ragioni che impediscono di utilizzare u n q u a l u n q u e p r o g r a m m a di analisi s p e t t r a l e senza u n a p r e v i a discussione ed u n a susseguente c o n t i n u a interazione con esso da p a r t e d e l l ' u t e n t e . Cerchiamo di riassumere i diversi problemi che p o r t a n o a questa i m p o r t a n t e conclusione. 2 . - P R O B L E M I C O N N E S S I A L L ' A N A L I S I S P E T T R A L E 2.1. - D a u n p u n t o di v i s t a statistico u n a q u a l u n q u e funzione s p e t t r a l e è c a r a t t e r i z z a t a d a u n a certa stabilità ed u n a c e r t a risolu- zione in f r e q u e n z a , d i p e n d e n t i a m b e d u e da u n o stesso p a r a m e t r o , il n u m e r o di gradi di libertà del sistema ( B l a c k m a n and Tuckey, 1958; J e n k i n s and W a t t s , 1969) (^2). Se gli s p e t t r i sono « smootli », allora è conveniente t e n e r e alto tale p a r a m e t r o , o t t e n e n d o così u n ' a l t r a stabilità, u n i t a però ad u n a bassa risoluzione in f r e q u e n z a ; se invece negli s p e t t r i compaiono diversi picchi s t r e t t i e vicini, è conveniente u s a r e u n basso n u m e r o di gradi di libertà, per essere in grado di risolverli in m a n i e r a soddisfacente, anche a scapito della valutazione della loro ampiezza, resa difficile dalla bassa stabilità così o t t e n u t a (2). Come si vede, la definizione di questo p a r a m e t r o d i p e n d e dal r i s u l t a t o finale che si o t t e r r à . Sarà quindi necessario stabilirlo d a p p r i m a in base alle considerazioni teoriche che di v o l t a in v o l t a si p o t r a n n o p o r t a r e , e poi ricorregerlo in base alle indicazioni s p e t t r a l i r i c a v a t e dal primo t e n t a t i v o . I n generale u n calcolo s p e t t r a l e deve essere f a t t o con 2-3 diversi n u m e r i di gradi di libertà, per poter stabilire, dall'evoluzione O R G A N I Z Z A Z I O N E E U T I L I Z Z A Z I O N E D I U N PROGRAMMA D I A N A L I S I 3 2 3 delle stime da un numero di gradi di libertà all'altro, la f o r m a v e r a degli s p e t t r i da v a l u t a r e (2). I n alcuni casi la procedura p u ò anche essere più complessa. Se si sospetta che nelle serie originali siano c o n t e n u t e delle componenti periodiche di frequenza fissa, oppure delle componenti stocastiche di larghezza d i b a n d a molto r i s t r e t t a , è necessario eseguire il calcolo degli s p e t t r i con 2 gradi di libertà. I n conseguenza del risultato o t t e n u t o si p u ò decidere di eliminare quelle eventuali componenti, per esempio m e d i a n t e filtraggio, oppure di lasciarle, tenendone però conto nell'in- terpretazione degli s p e t t r i finali. Analogamente, quando uno s p e t t r o p r e s e n t a u n a n d a m e n t o molto complesso, può essere conveniente filtrare le serie originali in più p a r t i , in modo che la loro somma dia ancora le serie originali, ed eseguire l'analisi spettrale di ogni p a r t e s e p a r a t a m e n t e dalle altre, con dei numeri di gradi di libertà di volta in v o l t a differenti (2). I n alcuni casi, quando gli s p e t t r i h a n n o delle f o r m e molto regolari, può essere preferibile usare la cosiddetta tecnica del « prewhitening », che consiste nell'elaborare le serie originali o p p o r t u n a m e n t e filtrate, in modo che gli s p e t t r i risultanti abbiano u n a n d a m e n t o per q u a n t o possibile costante; conoscendo poi la funzione di risposta del filtro usato, si p u ò risalire alla f o r m a degli s p e t t r i delle serie originali, compiendo errori di calcolo di minor e n t i t à I n definitiva possiamo affermare che u n a valutazione spettrale viene r a g g i u n t a a t t r a v e r s o u n processo iterativo, che p u ò richiedere in alcuni casi delle operazioni intermedie di filtraggio. 2.2. - Esiste inoltre u n ' a l t r a categoria di problemi, legata alla possibilità di v a l u t a r e le stime spettrali passando a t t r a v e r s o il calcolo delle funzioni di covarianza o, più d i r e t t a m e n t e , a t t r a v e r s o il calcolo della t r a s f o r m a t a di Fourier (veloce) delle serie originali. L ' u t e n t e deve quindi v a l u t a r e p r e v e n t i v a m e n t e quale delle due vie si a d a t t a meglio al suo problema. I n genere si sceglie la p r i m a via t u t t e le volte che 11011 sia indispen- sabile seguire la seconda. I n f a t t i le funzioni di covarianza h a n n o di per sé u n loro significato che si richiama d i r e t t a m e n t e alla teoria in base alla quale le funzioni spettrali sono s t a t e i n t r o d o t t e . Esse permet- t o n o di individuare e v e n t u a l i r i t a r d i f r a u n a serie e l'altra, nonché la presenza o meno di spiccanti a n d a m e n t i periodici. Dalla valutazione del massimo dei r i t a r d i per cui esse sono signi- ficativamente diverse da zero si può anche ricavare la risoluzione in 3 2 4 F. MATTIOLI f r e q u e n z a più o p p o r t u n a (la tenere nel calcolo s p e t t r a l e seguente. Qualora poi u n a funzione di ci-oss covarianza presenti un picco in pros- simità dell'origine, traslarla in modo che il picco sia c e n t r a t o nell'origine p r i m a di e f f e t t u a r n e la t r a s f o r m a t a di Fourier, p r o d u c e delle stime spet- trali migliori (2). Bisogna ricordare che le operazioni che richiedono il maggior t e m p o di calcolo sono in p r i m o luogo le funzioni di covarianza, calco- late col m e t o d o diretto, e in secondo la t r a s f o r m a t e di Fourier, qualora non si impieghi u n m e t o d o di F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m (F.F.T.). Nel caso però in cui, p u r a v e n d o scelto la seconda s t r a d a , si sia c o m u n q u e interessati alle funzioni di covarianza bisogna ricordare che queste possono essere calcolate come a n t i t r a s f o r m a t e di Fourier delle funzioni spettrali, anche se i risultati così o t t e n u t i non sono molto buoni. Le funzioni di covarianza d ' a l t r a p a r t e possono essere o t t e n u t e d i r e t t a m e n t e dalle serie originali a t t r a v e r s o l'uso r i p e t u t o di u n pro- g r a m m a di F . F . T . : anzi, se si è interessati alla loro valutazione per r i t a r d i molto grandi, q u e s t a è l'unica soluzione possibile. Gli s p e t t r i a loro volta p o t r e b b e r o essere calcolati anche a p a r t i r e dalle funzioni di covarianza così o t t e n u t e . Bisogna però n o t a r e che questo metodo, anche se non richiede t e m p i di calcolo eccessivi, esige l'impiego di u n a notevole q u a n t i t à di m e m o r i a ausiliare. 2.3. - Accanto ai problemi citati che sono s t r e t t a m e n t e legati, i primi alla stessa n a t u r a teorica dell'analisi spettrale, e i secondi ai diversi m e t o d i di calcolo numerico esistenti, ne esistono altri ancora, legati più alle esigenze specifiche dei diversi u t e n t i , che riguardo preva- l e n t e m e n t e le operazioni di l e t t u i a e di p r i m a t r a t t a z i o n e dei dati, nonché i diversi modi in cui i r i s u l t a t i finali possono essere p r e s e n t a t i in uscita. Le operazioni di l e t t u r a si diversificheranno a seconda clie i dati si trovino su scheda, su n a s t r o o altro. P u ò darsi poi il caso che nelle serie originali m a n c h i u n a certa q u a n t i t à di dati, in intervalli di v a r i a lunghezza e v a r i a m e n t e disposti. Questo problema p u ò essere a f f r o n t a t o seguendo u n a delle due seguenti vie: o si sostituiscono ai d a t i m a n c a n t i dei valori calcolati in base ai d a t i a disposizione, m e d i a n t e o p p o r t u n e formule interpolatorie, oppure si a d o t t a n o per il calcolo delle funzioni di covarianza formule particolari, che tengono conto solo dei d a t i presenti. L a p r i m a soluzione è indispensabile se si deve applicare d i r e t t a m e n t e alle serie in esame u n p r o g r a m m a di F . F . T . , ed è da evitare per q u a n t o possibile, poiché ORGANIZZAZIONE E U T I L I Z Z A Z I O N E D I U N PROGRAMMA D I A N A L I S I 3 2 5 q u a l u n q u e sia l'operazione di interpolazione a d o t t a t a , si i n t r o d u c e nelle serie un'informazione arbitraria, i cui effetti sono difficilmente prevedibili. L a seconda soluzione consiste nel calcolare le funzioni (li covarianza mediando soltanto sui p r o d o t t i eseguibili f r a le serie origi- nali e le serie r i t a r d a t e (qui per p r o d o t t o eseguibile si intende u n pro- d o t t o in cui a m b e d u e i termini siano d a t i noti). Le stime che così si ottengono a v r a n n o un minore n u m e r o di gradi di libertà, rispetto al caso in cui t u t t i i d a t i fossero noti, vista l'inevitabile perdita di informa- zione, e saranno f r a di loro maggiormente correlate; esse però saranno « unbiased », come conseguenza del f a t t o che non è s t a t a immessa alcuna informazione aggiuntiva (Mattioli; Mattioli, Tibaldi and Pelliz- zardi) (3^4). Mentre la scala su cui porre le funzioni di covarianza 11011 p u ò altro che essere lineare, non così si p u ò dire pei le funzioni spettrali. Poiché i logaritmi delle funzioni a u t o s p e t t r a l i e le a r c o t a n g e n t i iper- boliche delle coerenze q u a d r a t e possiedono intervalli di confidenza costanti, spesso si possono t r o v a r e quelle grandezze in queste scale. T u t t e le volte che le più f o r t i variazioni spettrali avvengono nel campo delle basse frequenze, p u ò essere o p p o r t u n o a d o t t a r e u n a scala logarit- mica in ascisse, così come la scala doppio logaritmica è p a r t i c o l a r m e n t e a d a t t a per rivelare degli a n d a m e n t i di potenza. U n a scala caratteri- stica delle stime a u t o s p e t t r a l i è poi quella che dispone in ascissa il logaritmo della f r e q u e n z a e in o r d i n a t a il p r o d o t t o della funzione spet- trale per la f r e q u e n z a : u n a tale scala p e r m e t t e di avere u n grafico in cui l'area sottesa dalla c u r v a con l'asse delle ascisse m a n t i e n e , come nel caso di scala doppio lineare, il significato di potenza relativa a quel campo di frequenza. A questo p u n t o però è bene osservare che gli s p e t t r i possono essere posti con u n a scala logaritmica nella f r e q u e n z a , solo nell'ipotesi che siano s t a t i calcolati con il m e t o d o della F . F . T . I n o l t r e possono rendersi necessarie t a n t e operazioni preliminari dei dati, come istogrammi, medie progressive, normalizzazioni, ecc.. . . . , che, se p u r non indispensabili, f a però molto comodo t r o v a r e accanto ad u n p r o g r a m m a di analisi spettrale. 2.4. - Esiste insomma u n a notevole q u a n t i t à di problemi che non p e r m e t t o n o né di pensare all'analisi s p e t t r a l e come ad un susseguirsi ben d e t e r m i n a t o di operazioni, né di utilizzare u n p r o g r a m m a di analisi s p e t t r a l e come u n sistema che da u n ingresso costituito dalle serie ori- ginali, fornisce u n a o più uscite, in un ordine sequenziale prefissato a priori, corrispondenti ai risultati voluti. 3 2 6 F. MATTIOLI 3 . - O R G A N I Z Z A Z I O N E D I U N P R O G R A M M A D I A N A L I S I S P E T T R A L E Se la b o n t à di un generico p r o g r a m m a , come quello per l'inversione di u n a m a t r i c e viene solitamente v a l u t a t a in base al t e m p o di calcolo e alla memoria richiesti per eseguile le operazioni volute, questi f a t t o r i risultano di secondaria i m p o r t a n z a in u n p r o g r a m m a di analisi spet- trale. Le differenze di t e m p o di calcolo e di m e m o r i a u s a t i dipendono p r e v a l e n t e m e n t e dal m e t o d o scelto, e t u t t e le possibili v a r i a n t i dello stesso m e t o d o introducono c a m b i a m e n t i di b e n scarso rilievo. Il f a t t o r e d e t e r m i n a n t e che p u ò i n d u r r e u n u t e n t e ad a d o t t a r e u n certo pro- g r a m m a di biblioteca è la possibilità di r i t r o v a r e in esso f r a t u t t e le operazioni che a b b i a m o p r e c e d e n t e m e n t e citato, quelle che gli servono per il suo problema particolare. Quindi ciò che bisogna fornire a l l ' u t e n t e non è u n unico p r o g r a m m a , m a u n complesso di s o t t o p r o g r a m m i , ciascuno dei quali esegua u n insieme elementare di operazioni, costruiti in modo da p o t e r essere semplicemente connessi l'uno all'altro secondo la necessità. U n a possibile suddivisione in blocchi e l e m e n t a r i delle diverse ope- razioni che intervengono nell'analisi s p e t t r a l e è la seguente: 1) L e t t u r a dei dati. 2) Operazioni preliminari (interpolazioni di d a t i m a n c a n t i , normalizzazioni, ecc. . . . ) . 3) Filtraggio dei d a t i . 1) Calcolo delle funzioni di covarianza. 5) Calcolo delle funzioni di covarianza a t t r a v e r s o l'uso r i p e t u t o della F . F . T . 6) Calcolo delle funzioni a u t o , co- e q-spettrali come t r a s f o r m a t e di Fourier delle funzioni di covarianza. 7) Calcolo delle funzioni, auto, co- e q-spettrali col m e t o d o F . F . T . 8) Calcolo delle funzioni cross spettrali d e r i v a t e (guadagno, rumore, coerenza e fase) a p a r t i r e dalle funzioni cross spettrali semplici (auto s p e t t r i , co- e q-spettri). 9) Messa in scala o p p o r t u n a delle grandezze di uscita, con relativo calcolo degli intervalli di confidenza. 10) S t a m p a . Nella figura 1 poniamo in rilievo i più comuni tipi di connessione di questi blocchi elementari. O R G A N I Z Z A Z I O N E E U T I L I Z Z A Z I O N E D I U N PROGRAMMA D I A N A L I S I 3 2 7 P i g . 1 - S c h e m a a b l o c c h i delle p r i n c i p a l i o p e r a z i o n i r e l a t i v e a l l ' a n a l i s i s p e t t r a l e . 3 2 8 F. MATTIOLI N a t u r a l m e n t e esistono anche altri tipi di connessioni possibili ed altri t i p i di operazioni utili, m a un insieme di s o t t o p r o g r a m m i che eseguisse t u t t e le operazioni elencate lasciarebbe ben poco lavoro al- l ' u t e n t e che esigesse qualcosa di più. I n p r a t i c a il suo compito consi- sterebbe nello scrivere u n p r o g r a m m a principale per chiamare, nell'or- dine voluto i s o t t o p r o g r a m m i in grado di eseguire le operazioni neces- sarie al particolare problema in esame. P e r r e n d e r n e p i ù facile la c h i a m a t a , poiché gli stessi p a r a m e t r i compaiono molto spesso in più d ' u n o di essi, si possono trasferire in « common » t u t t i i p a r a m e t r i scalari esistenti in t u t t i i s o t t o p r o g r a m m i . I n questo modo la loro c h i a m a t a avverrebbe esplicitando come p a r a m e t r i formali le sole grandezze v e t - toriali, che all'interno di ogni s o t t o p r o g r a m m a dovrebbero avere u n dimensionamento fittizio p a r i a 1. P e r agevolare poi il calcolo del dimensionamento dei vettori nel p r o g r a m m a principale, visto che esso cambia n o t e v o l m e n t e al v a r i a r e del procedimento usato anche per raggiungere lo stesso r i s u l t a t o , è sempre possibile costriúre u n s o t t o p r o g r a m m a che, in base ai p a r a m e t r i scalari, sempre trasferiti in « common » e definiti p r e c e d e n t e m e n t e , sia in grado di dare come risposta i dimensionamenti da a t t r i b u i r e ai diversi v e t t o r i , al variare dei singoli s o t t o p r o g r a m m i in cui essi p o t r e b b e r o apparire. Infine, poiché molti p a r a m e t r i vengono per lo più u s a t i con u n certo d e t e r m i n a t o valore, e anche per evitare errori di esecuzione deri- v a n t i dalla m a n c a t a definizione di uno di essi, si p u ò costruire u n sotto- p r o g r a m m a d a chiamare prima di ogni altra operazione, per inizializ- zare t u t t i i p a r a m e t r i col loro valore p i ù comune. Con questi s t r u m e n t i il compito d e l l ' u t e n t e sarebbe g r a n d e m e n t e facilitato e, in definitiva, consisterebbe nella stesura di poche decine di istruzioni, salvo esigenze molto particolari. 4 . - C O N C L U S I O N I L a costruzione di u n p r o g r a m m a di analisi s p e t t r a l e siffatto non p r e s e n t a particolari difficoltà e d ' a l t r a p a r t e dipende dalla sensibilità dell'autore aggiungere o togliere alcuni blocchi, sviluppare o meno certi settori: ciò che è i m p o r t a n t e , ed è q u a n t o si è voluto porre in evidenza in questa sede, sono soltanto le ragioni ed i modi a t t r a v e r s o i quali si deve e si p u ò salvaguardare in u n p r o g r a m m a di analisi spettrale u n a s t r u t t u r a che p e r m e t t a a l l ' u t e n t e un « dialogo » con esso. O R G A N I Z Z A Z I O N E E U T I L I Z Z A Z I O N E D I U N P R O G R A M M A D I A N A L I S I 3 2 9 B I B L I O G R A F I A F1) BLACKMAN R . B . , T U C K E Y J . 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