Sulla trasformazione delle curve di sondaggio di resistività differenziale trasversa in curve di Schlumberger (On the transformation of transverse differential resistivity to Schlumberger sounding curves) D . P A T E L L A ( * ) - D . SCHIAVONE ( * * ) R i c e v u t o il 22 Dicembre, 1973 RIASSUNTO. — Si descrive un metodo per trasformare una curva di sondaggio differenziale trasverso, ottenuta con un dispositivo elettrodico differenziale, nella curva Schlumberger relativa alla stessa situazione strati- grafica. P a r t e n d o dall'espressione generale che lega la resistività apparente differenziale a quella Schlumberger, è possibile, con alcune approssimazioni, derivare un facile procedimento numerico per poter compiere la trasforma- zione. V e n g o n o inoltre f a t t e alcuno considerazioni sull'applicabilità del m e t o d o . SUMMARY. -— A method is described to transform a transverse dif- ferential sounding curve to the f o r m of a Schlumberger sounding curve. Starting f r o m the general expression which relates the transverse differential apparent resistivity to the Schlumberger apparent resistivity, it is possible, with some approximations, to derive an easy numerical procedure in order to carry out the transformation. Some considerations are g i v e n about the applicability of the method. 1. - INTRODUZIONE I l d i s p o s i t i v o d i f f e r e n z i a l e p u ò essere e f f i c a c e m e n t e a d o p e r a t o q u a n d o s o n o r i c h i e s t i , i n p r o b l e m i d i p r o s p e z i o n e g e o e l e t t r i c a , u n m a g g i o r e p o t e r e r i s o l u t i v o e d u n a m a g g i o r e p r o f o n d i t à d ' i n d a g i n e ri- s p e t t o a i c o n v e n z i o n a l i d i s p o s i t i v i e l e t t r o d i c i . ( * ) Osservatorio di Geofisica e Fisica Cosmica - Università di Bari. ( * * ) Istituto di Geodesia e Geofisica - Università di Bari. 70 I). PATELLA - D. SCIIIAVONE A questo scopo sono stati proposti due metodi di sondaggio dif- ferenziale: a) il sondaggio differenziale longitudinale (LDS - longitudinal differential sounding) (3); b) il sondaggio differenziale trasverso (TDS - transverse dif- ferential sounding) (4). I l dispositivo elettrodico in entrambi i metodi è lo stesso (fig. 1), ma è differente la tecnica di misura per ottenere le corrispondenti resistività apparenti. L e relazioni che definiscono le resistività apparenti longitudinale q e trasversa + LÌ>qsI~Ì>L. QS = 6 - I Ì L I L ( I etdL/L ÙLJL CY Affinché sia sempre soddisfatta la condizione lim qs ^ oo, l-> o [3.1] [3.2] S U I . L A T R A S F O R M A Z I O N E D E L L E C U R V E D I S O N D A G G I O E T C . 73 a) dividiamo l'intero intervallo 0 < L < oo in una serie di in- tervalli parziali contigui, di ampiezze in generale differenti tra di loro, del tipo h < L < lni [3.3] con j = 1, 2, 3, ,n — 1; b) interpoliamo in ogni intervallo parziale la funzione con l'espressione algebrica Quj (L) = a,Lbi [3.4] che, in scala logaritmica, rappresenta l'equazione di una retta. Imponiamo ora la seguente condizione: in ogni punto lj sull'asse positivo L il valore q (lj) sia noto. Tale condizione è, in campagna, ovviamente soddisfatta qualunque sia il numero di punti lj, poiché gt | (lj) è la resistività apparente misurata ad ogni predeterminata spa- ziatura lj. Nessuna condizione restrittiva viene invece imposta sulla scelta degli intervalli parziali del tipo [3.3]; è, comunque, consigliabile sce- glierli i più piccoli possibili, compatibilmente con le difficoltà di cam- pagna, in modo da migliorare l'approssimazione data dalla [3.4]. Ponendo la [3.4] nella [3.2] ed integrando, si ottiene in ogni in- tervallo parziale è' = ( J 1 bj ) aj Lb' + aikjL [3.5] dove li è una nuova costante derivante dall'integrazione e necessaria a soddisfare la condizione che in ogni punto comune a due intervalli parziali contigui qs deve essere continua. Se poniamo Cj = djk [3.6] si ottiene = ( i + b , ) a i L b l + C l l L [ 3 , 7 ] che più concisamente può essere riscritta = ? A t + Cj/L [3.8] valida per lj < L < lj+i e con j = 1, 2 , . . . ., n — 1. Nel punto lj si ha Qs(lj) = C 1 ^ b] ] etA (h) + Cj/lj [3.9] 72 I). PATELLA - D. SCIIIAVONE Nella [3.9] li e gt (lj) sono entrambe quantità note; per ottenere, quindi, il valore di Q,(II) basta determinare bj e CJ. Riferendoci a bi, è sufficiente considerare che, dalle ipotesi di partenza, risulta log o M (h) = log ai + bi log l, [3.10] log otA (h+1) = log ai + bj log h+i Risolvendo il sistema [3.10] nelle incognite log ai e bh si ottiene Qn (h+0 log b, = e,A ( l l ) log l, [3.11] Riferendoci ora a ci, procediamo come segue: consideriamo l'in- tervallo li-1 < L < li, contiguo e precedente lj < L ^ lj+i, dove è [3.12] Per la condizione di continuità di q, in li segue che ( - 1 + J a ' l ' b J + c'll> = ( , l ' b 1 1 + ^ Da quest'ultima si ottiene la seguente formula di ricorrenza a = Cj-i — y i + (Si-1 [3.14] dove >" - = ( t w ) ^ [3.15] [3.16] Mediante la [3.14] è possibile ottenere ci conoscendo ci-1 e così via di seguito, essendo fti-1 e yi quantità note per ogni j. In pratica è sufficiente trovare il primo valore c0 per ottenere tutti i successivi Cj. 4. - D E T E R M I N A Z I O N E DELLE COSTANTI C] Poiché è lini Q. (L) = gì. [4.1] S U I . L A T R A S F O R M A Z I O N E D E L L E C U R V E D I S O N D A G G I O E T C . 7 5 con qi la resistività del terreno superficiale, è sempre possibile trovare un punto h, sufficientemente piccolo, per cui si possa ritenere e t A (M - pi- [4.2] Ne consegue che QtA ( L ) ^ Qi [4.3] nell'intero intervallo 0 ^ L ^ H. Ponendo la [4.3] nella [3.2] ed integrando, si ha QS(L) = Q L + c„/i [4.4] per 0 < L < h. Dalla [4.4] segue che lim Q,(L) — GÌ [4.5] se e solo se Co = 0. [4.6] Perciò, partendo dalla [4.6] è possibile ottenere tutti i successivi Cj usando la formula di ricorrenza [3.14]. In pratica, per ottenere una curva di campagna di trasfor- mabile nell'equivalente in gs, è necessario determinare direttamente in campagna l'andamento asintotico a sinistra della curva, o, quando ciò è difficoltoso, eseguire un'estrapolazione a sinistra della curva che rappresenti il più probabile andamento asintotico. 5 . - E S E M P I T E O R I C I D I T R A S F O R M A Z I O N E Mostriamo ora alcuni esempi di trasformazioni eseguite su curve teoriche di . riportate da Zohdy (4) e tutte riferite a modelli di ter- reni a tre strati orizzontali e lateralmente omogenei. a) Sezione geoelettrica di tifo H La lig. 2 riporta la trasformazione della curva teorica di . per una sezione di tipo H con i seguenti parametri qì = 1 , 02 = 0.4, £>3 = 1; ^ = !> ^ = 1 5- 7 6 I>. P A T E L L A - D . S C I I I A V O N E T A B E L L A I ( * ) h QtA (h) b, Pi n c¡ Q, (l¡) 0.3 1.000 0.0000 0.4000 0.3000 0.0000 1.000 0.4 1.000 —0.2299 0.6168 0.5194 —0.1194 1.000 0.5 0.950 —0.2965 0.7676 0.6752 —0.1778 0.995 0.6 0.900 —0.2815 0.9241 0.7516 —0.1618 0.983 0.8 0.830 —0.5144 1.5239 1.3674 —0.6051 0.953 1 0.740 —0.8827 6.4450 6.3086 —5.3898 0.919 1.2 0.630 — 1.2477 —2.8421 —3.0521 4.1073 0.879 1.6 0.440 — 1.3576 — 1.8177 — 1.9687 3.2339 0.791 2 0.325 — 1.0870 —7.3276 —7.4713 8.8875 0.708 2.5 0.255 —0.3325 1.0787 0.9551 0.6048 0.624 3 0.240 0.4478 0.7542 0.4973 1.1862 0.561 4 0.273 0.5696 0.9875 0.6957 1.2447 0.500 5 0.310 0.5867 1.3046 0.9769 1.2553 0.446 6 0.345 0.4262 2.1876 1.4514 1.1085 0.427 8 0.390 0.4376 2.9911 2.1703 1.1258 0.412 10 0.430 0.3699 4.0295 3.1389 0.9780 0.412 12 0.460 0.4262 5.8337 3.8704 1.1371 0.417 16 0.520 0.5660 7.5351 5.3129 1.6579 0.436 20 0.590 0.5698 10.6701 7.5169 1.6761 0.460 25 0.670 0.5450 14.3689 10.8414 1.5048 0.494 30 0.740 0.4817 22.9466 14.9828 0.8909 0.529 40 0.850 0.3546 33.9584 25.0997 —1.2622 0.596 50 0.920 0.4573 41.1720 31.5652 1.1310 0.654 60 1.000 0.1027 74.7257 54.4119 — 12.1089 0.705 80 1.030 0.0862 96.6673 75.8608 — 13.2440 0.783 100 1.050 —0.1322 141.7377 120.9956 —37.5723 0.834 120 1.025 —0.0341 168.1333 127.3424 —23.1770 0.868 160 1.015 —0.0221 206.5651 166.0702 —21.1 139 0.906 200 1.010 —0.0446 261.6705 211.4298 —25.9786 0.927 ( * ) Esempio numerico di trasformazione di una curva teorica di resi- stività differenziale trasversa nella corrispondente curva di Sehlumbergcr. L e colonne riportano i valori di (l¡) in corrispondenza di prefissati va- lori l) della spaziatura L-, quindi i dati di b¡, fij, y¡, c¡ e qs (l¡) ottenuti rispet- tivamente dalle relazioni [3.11], [3.16], [3.15], [3.14] e [3.9]. S U I . L A T R A S F O R M A Z I O N E D E L L E C U R V E D I S O N D A G G I O E T C . 75 I dati di g,(li), ottenuti dalla trasformazione e riportati nella Tab. 1, sono visibili nella stessa fig. 2 congiuntamente alla curva teo- rica di Schlumberger, relativa allo stesso modello e prelevata da Orel- lana e Mooney f1). Come si può notare, i punti trasformati si dispongono perfetta- mente su quest'ultima. L i . t A Fig. 2 - Esempio di trasformazione per una sezione di tipo E . ( • ) valori di ô ̂ ; ( • ) valori di Qs ottenuti dalla trasformazione; ( ) curva teorica di Schlumberger. b) Sezione geoelettrica di tipo E La fig. 3 mostra la trasformazione della curva teorica di g ^ per la situazione Qi — 1, Qa = 5, Q3 = 1; hi = 1, 7(2 = 25. c) Sezione geoelettrica di tipo A La fig. -1 mostra la trasformazione della curva teorica di gf ì per la situazione o! = 1, g, = 5, g3 = 20; hi = 1, h = 25. Fig. 3 - Esempio di trasformazione per una sezione di tipo K. Per il signi- ficato dei simboli v. fig. 2. In più ( - • ) rappresenta valori negativi di Qf j. Ps Fig. 4 - Esempio di trasformazione per una sezione di tipo A . Per il signi- ficato dei simboli v. fig. 2. S U I . L A T R A S F O R M A Z I O N E D E L L E C U R V E DI S O N D A G G I O E T C . 79 d) Sezione geoelettrica di tipo Q Infine la iig. 5 mostra la trasformazione della curva teorica di Qt/i con parametri OI = 1 , Q2 = 0 . 4 , o3 = 0 . 2 ; hi = 1 , h2 — 1 5 . L o . i - i - Fig. 5 - Esempio di trasformazione per una sezione di tipo Q. P e r il signi- ficato dei simboli v . fìg. 2. 6. - CONCLUSIONI a) Da quanto si è detto, risulta che la trasformazione di una curva di ¡5 nella forma che si sarebbe ottenuta con il dispositivo di Schlumberger, è sempre possibile purché si faccia una determina- zione accurata della resistività vera dello strato superficiale. Per il suo elevato potere risolutivo, un sondaggio di resistività differenziale trasverso dà la possibilità di ottenere una buona ed esau- riente interpretazione qualitativa della struttura del sottosuolo. La susseguente trasformazione in curva di Schlumberger permette di compiere, senza dover costruire apposite curve teoriche di /() quella interpretazione quantitativa che meglio è in accordo con la precedente analisi qualitativa. 80 I ) . P A T E L L A - D. S C I I I A V O N E b) Rispetto al dispositivo di Schlumberger, quello differenziale ha lo svantaggio (4) di richiedere una maggiore energia, a parità di stendimento, per ottenere un valore misurabile di A(AV). Ciò può provocare serie difficoltà durante un intero sondaggio. Se, comunque, la necessità di ottenere informazioni dettagliate è ristretta a strutture non molto profonde, questo metodo di trasformazione permette di iniziare un sondaggio col dispositivo differenziale e di finirlo con lo Schlumberger. La trasformazione della prima parte del grafico è an- cora possibile con il risultato di ottenere un'unica curva di Schlum- berger. A P P E N D I C E Se il rapporto L ì j L i (v. fig. 1) è sufficientemente prossimo ad uno, allora le relazioni [1.1] e [1.2] possono essere approssimate come segue - = 1_ „ I n - I n ^LA A{LIQs) L2Iqs2-—LI/QH AL-+o ò.. = lim A (osL)IAL ~ (os2£2— QsiLi)l(Lo— Li) [A.2] dove Qa e qs2 sono le resistività apparenti Schlumberger per le confi- gurazioni A M N B e B'MISTA' rispettivamente (v. fig. 1) e date da 7J.I = EiA Vi Ih [A. 3] 0 , 2 = A V J V2II2 [ A . 4 ] Sostituendo le [A.3] e [A.4] nelle [ A . l ] e [A.2] si ottiene Ki(L2 — LI) AV1AV2 " " ~Ldi I2 L2K1 AV — [A"5] - r „ AV1—AV2 h L1K2 K1L1 / K2L2 h m i " - ™ ) ^ {L2—L1) Il \ KiLi I2 Quando il rapporto delle correnti h e I2 è scelto in maniera tale che per l ' L D R sia h ¡li = L2K1IL1K2 [ A . 7 ] SUI.LA T R A S F O R M A Z I O N E D E L L E C U R V E D I S O N D A G G I O E T C . 81 e per il T D R hjU = LJÛILzEz [A.8] le [A.5] e [A.6] diventano Kx(L2 — Li) 1 A Vi A Fa e LA- Ly h A F i — A F 2 [ A . 9 ] 0 ~ K i L l 1 'lA - jJ2 _ Li L 1 (A Vi. — A F i ) h [A.10] Ponendo, infine, KL = Ki(Li — L,)jLì Kt = KiLII(L2 — i i ) [A. 11] [A. 12] si ottengono dalle [A.9] e [A. 10] le [1.3] e [1.4] riportate precedente- mente. 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