I l t e o r e m a d e l v i r i a l e e l ' e q u i l i b r i o d i u n s i s t e m a a u t o g r a v i t a n t e i s o l a t o P . E . V A L L E R i c e v u t o il 2 Luglio 1960 RIASSUNTO. — Si stabilisce il t e o r e m a del viriale per i sistemi continui. M e d i a n t e questo t e o r e m a , si cerca di o t t e n e r e qualche informazione sull'equilibrio di un s i s t e m a a u t o g r a v i t a t i te isolato. L a teorìa, a v a n z a t a d a alcuni Geologi, secondo la quale la T e r r a a v r e b b e a u m e n t a t o n o t e v o l m e n t e le sue dimensioni, nel corso delle ere geologiche, n o n è in c o n t r a s t o con le conclusioni cui si perviene. SUMMARY. — The viriale t h e o r e m for c o n t i n u o u s systems, is here e s t a b l i s h e d . T h e A., t h r o u g h t h i s t h e o r e m , tries to achieve some i n f o r m a t i o n a b o u t t h e e q u i l i b r i u m of t h e i n s u l a t e d a u t o g r a v i t i n g s y s t e m . A c c o r d i n g to t h e t h e o r y of some Geologists, t h e E a r t h — d u r i n g t h e geologic E r a s — m a y be increased r e m a r k a b l y its own dimensions. T h e r e s u l t s a t t a i n e d in t h i s p a p e r are n o t clashing w i t h above men- t i o n e d t h e o r y . P R E M E S S A . Sembra che hi nozione di viriale, che ha il vantaggio di implicare globalmente le forze esterne ed interne agenti su un sistema, sia desti- n a t a ad avere una funzione prevalentemente in meccanica statistica. Questa nota costituisce un tentativo di richiamare l'attenzione sul f a t t o che questa grandezza può essere utilmente introdotta in altre questioni, in particolare in talune questioni che riguardano la geofìsica. I L T E O R E M A D E L V I R I A L E P E R I S I S T E M I C O N T I N U I . Si consideri un sistema continuo riferito, per semplicità, ad una terna assoluta 0 Sia C la sua configurazione attuale, c una parte qualunque di G. 2 la superfìcie che costituisce il contorno di 0 e a la superfìcie che co- stituisce il contorno di c. 3 6 2 P . JO. V A L L E II m o m e n t o (l'inerzia polare lagraugiano di c, r i s p e t t o al polo 0 , è definito dalla relazione Io = ioOPxOPdC dove o è la densità di massa nell'intorno del generico p u n t o P di c. U n sistema continuo si dirà in equilibrio se, almeno in m e d i a , il valore di I 0 n o n v a r i a nel t e m p o . È questa u n a ovvia estensione della nozione di equilibrio. D a l l a p r e c e d e n t e si ottiene subito 1 (PIO 2 d t 2 2 T + j oOP x adC dove T è l'energia cinetica di c ed a l'accelerazione. Se con F si indica il campo delle forze di massa e con & t j il tensore dello sforzo, r i s u l t a n o t o r i a m e n t e 3 o a = o F — S t —— ! a Xi Si h a p e r t a n t o \ =2 T + j ' ( h x i F i ) e d C - 3 lI>i X OP\ dC il Xi Ora si può scrivere 3 ö 3 ò S I ^ ^ X O P = S I - R — < xOP) — h 1 ì>Xi i t) ¿Ci dove l 1 è l ' i n v a r i a n t e lineare del tensore dello sforzo, ossia IL = Si 0n ì D ' a l t r a p a r t e se n è la n o r m a l e i n t e r n a a a e Q u n suo generico p u n t o , con qualche passaggio, si ha Si " T " d ' I X O P) 1 O Xi de = — OQ x da I L T E O R E M A D E L V I R I A L E , E C C . 3 6 3 Ove si i n t r o d u c a il viriate delle forze di massa V = J XÌ F^J Q A G c risulta in definitiva 1 d2I0 /' f 7T - j j = 2 T + V +1 Ix dC + I OQ X®n da c a Sebbene questa relazione sia suscettibile di notevoli applicazioni, qui verrà m o s t r a t o s o l t a n t o come sia possibile ottenere da essa qualche informazione sull'equilibrio di u n sistema a u t o g r a v i t a n t e isolato. I L V I R I A L E D E L L E F O R Z E D I .MASSA P E R UN SISTEMA A U T o GII AVITA N T E I S O L A T O . Siano fjdG e o' d C' due masse elementari, poste r i s p e t t i v a m e n t e nei p u n t i P e P ' di un sistema continuo e soggette a m u t u a azione gravita- zionale. I l viriale di t a l e azione, calcolato rispetto al polo 0 , sarà dV =:= M ' i C d C ' (P' p x 0 P' + P P' x 0 P) ri dove si è posto r = P P ' e con y si è i n d i c a t a la costante di gravitazione universale. Ora P ' P x OP' + P P ' x OP = — r2 consegue qq' dG dC' d V = — y r Se con U si indica il potenziale, si h a quindi V = — I UgdC la quale m o s t r a che il viriale delle forze di m a s s a di un sistema auto- g r a v i t a n t e isolato, coincide con l'energia gravitazionale E del sistema stesso. 364: P . E . V A L L E I L T E O R E M A D E L V I R I ALE P E R U . \ S I S T E M A A U T O G R A V I T A N T E I S O L A T O . Tenuto conto di quanto si è esposto nei paragrafi precedenti, dato che il sistema si suppone isolato e quindi si deve porre tjjn = 0 su risulta subito c La relazione C mostra che un caso interessante di equilibrio si verifica se è nulla la componente radiale, rispetto al polo 0, della velocità di ogni punto. Comunque, se il sistema è in equilibrio, si ha necessariamente 0 = 2 T + E + j I1d G c Conviene introdurre il valor medio di in G e scrivere 0 = 2 T + E + I , V la quale rappresenta una condizione necessaria per l'equilibrio di un sistema continuo autogravitante isolato. Se l'equilibrio del sistema, è di tipo idrostatico, i! valor medio di 7X coincide col triplo del valor medio della pressione. La condizione stabilita pone in evidenza, t r a l'altro, il ruolo essen- ziale del valor medio dell'invarianti' lineare del tensore dello sforzo, nel caso di equilibrio di tipo non idrostatico, e del valor medio della pres- sione, nel caso di equilibrio idrostatico. Se in un certo istanti' essa non fosse più. soddisfatta, si verificilerebbe un fenomeno assai simile ad un'esplosione oppure ad un collasso. Si osservi però che la condizione in questione, non è sufficiente per assicurare l'equilibrio. Si potrebbe verificare una variazione uniforme di I 0 , con conseguente possibile aumento o diminuzione delle dimensioni del sistema, A prescindere dalle cause di u n a simile eventualità, è interessante t u t t a v i a rilevare che la teoria, a v a n z a t a da alcuni geologi, secondo la quale la Terra avrebbe a u m e n t a t o notevolmente le sue dimensioni, nel corso delle ere geologiche, non è in contrasto con queste considerazioni.