Studio preliminare sulle oscillazioni libere del Lago di Sauris a due diverse quote (*) G . ROMUALDI - M . C. SPADEA R i c e v u t o il 30 Maggio 1966 RIASSUNTO. — I n questa prima parte, viene applicato al L a g o di Sauris il m e t o d o di H i d a k a — opportunamente esteso — allo scopo di stu- diarne le oscillazioni libere. L a ricerca è stata particolarmente interessante per i due seguenti m o t i v i : 1. - Si t r a t t a di un bacino artificiale f o r m a t o dallo sbarramento del torrente L u m i e i ( D i g a del Luiniei alta 130 m). 2. - Si è potuto studiare il L a g o a due diverse quote (980 m, invaso pieno — e 939 m, quota allegerimento), f a t t o che è pressoché impossibile riscontrare in un lago naturale. Sono stati così determinati i periodi, la posizione dei nodi e le ampiezze corrispondenti alla sessa uni- e bi-nodale alle due diverse quote. N e l l a seconda parte, di prossima pubblicazione, lo studio sarà esteso al confronto f r a i dati qui ottenuti per via teorica e quelli ottenuti per v i a sperimentale mediante registrazioni liinnografiche. SUMMARY. — I n the first stage concerning the f r e e oscillations of the Sauris' L a k e , w e limited ourselves to the periods, knots and amplitudes determination of the uni and bi-nodal seiche, making use of the H i d a k a ' s method. T h e investigation is particularly interesting due to t w o parti- cular reasons: 1. - I t is an artificial reservoir, f o r m e d barring the L u m i e i torrent. ( L u m i e i D a m , high 130 m). 2. - T h e L a k e has been studied at t w o different altitudes (whole basin, 980 m- and 939 m ) , matter which in a natural lake is almost impossible t o find. I n the second part, the research will be exended to the comparison of the theoretical results- here achieved- w i t h the experimental results obtained b y limnographic records. ( * ) Questo l a v o r o è stato compiuto con contributi del C . N . R . 368 a . K 0 M U A L I 1 I - M. C. S P A D E A P A R T E I PREMESSA. L'accordo fra teoria (applicazione di vari metodi matematici di Chrystal, Defant, Hidaka, Goldberg, alcuni dei quali opportunamente estesi) e osservazione (registrazioni ottenute con limnografi nello studio delle oscillazioni libere di laghi naturali, golfi, e t c . . . ) è stato più volte confermato, come risulta dai numerosi lavori già pubblicati. I l lavoro è stato diviso in due parti. Nella prima, che concerne questa nota, il lago artificiale di Sauris viene studiato dal punto di vista teorico; nella seconda parte - di prossima pubblicazione - lo scopo sarà quello di dimostrare che l'accordo sopra menzionato viene rispettato, anche nel caso di laghi artificiali quale è quello del Lumiei, formatosi quest'ultimo dopo la costruzione della diga sul torrente omo- nimo, uno dei tanti affluenti del Tagliamento. 1. - L a diga del Lumiei è sita in località Maina di Sauris (Carnia) a 1000 m. di altezza s.m., del tipo ad arco-cupola (arco a doppia cur- vatura); essa è alta 136 m, con imo spessore di 16 ni alla base e di 3,5 m al coronamento (sezione maestra), ed ha creato un serbatoio della ca- pacità utile di 70 milioni di m3. I l lago di Sauris dopo un'ansa piuttosto larga a monte della diga, si restringe notevolmente assumendo ima forma molto allungata. L a profondità massima si ha appunto in corrispondenza di questa ansa, ed essa decresce rapidamente in concomitanza al diminuire della larghezza, tanto da essere minima all'estremo opposto. N e l caso specifico vanno sottolineati tre aspetti del lago: a) è un bacino artificiale; b) di forma irregolare (vedi curva normale: P i g g . 1-2); c) è soggetto a forti variazioni di livello. Quest'ultima caratteristica ci ha permesso di studiare il lago di Sauris in due diverse situazioni di invaso: a invaso pieno (m. 980) e ad ima quota di alleggerimento (m 939), quasi si trattasse di due laghi diversi, tali risultando dal punto di vista morfometrico. A nostro avviso il punto e) è il più significativo, dato che non è possibile usufruire in natura di un lago che, in epoche diverse, presenti differenze di quota di oltre 40 metri. STUDIO P R E L I M I N A R I ; S U L L E O S C l L L A Z r O N I LIBERI-; D E L LAGO 1)1 S A U R I S 3 6 9 L a prima jmrte di questa nota si riferisce appunto allo studio delle oscillazioni libere del lago di Sauris a invaso pieno e a quota di alleggerimento (41 m e t r i sotto il livello normale). V a ancora messo in evidenza che la b a t i m e t r i a del lago è p e r f e t - t a m e n t e conosciuta, a causa del rigoroso r i l e v a m e n t o topografico cui il bacino è stato sottoposto p r i m a della costruzione della diga; ciò che o v - v i a m e n t e non a v v i e n e per i laghi naturali la cui batimetria è sovente inesatta, in ogni caso ottenuta con un t r o p p o l i m i t a t o numero di son- daggi, ripetuti soltanto a lunghi intervalli di t e m p o . L A G O D I SAURIS A QUOTA 980. 2. - I principali elementi m o r f o m e t r i c i del lago di Sauris a bacino pieno sono: altezza m . 980 s.m. superficie km 2 1 . 7 6 5 . 1 2 2 p r o f o n d i t à massima m 140 . 3. - D a t o il particolare t i p o di lago, abbiamo ritenuto opportuno applicare il m e t o d o di H i d a k a (2), il più idoneo per laghi irregolari, la cui curva normale risulti complicata ( F i g . 2). N e l caso in esame per ottenere i dati necessari alla determinazione di d e t t a curva ci siamo serviti di una carta b a t i m e t r i c a del lago 1 : 2000 (disegno f o r n i t o a suo t e m p o dalla S A D E ) . 370 <;. KOMUAr.m - M. c. SPADKA L'estensione del metodo (3), non solo consente di determinare i periodi delle oscillazioni libere, ma anche la posizione delle linee nodali, nonché l'ampiezza degli spostamenti verticali nelle singole sezioni tra- sversali, tracciate perpendicolarmente alla linea di valle dall'estremo 0 alla diga; dette sezioni distano una dall'altra 100 m (Fig. 3). Tutti i dati numerici necessari all'applicazione del metodo sono riportati nella Tabella I . 4. - Metodo di Hidaka. Senza sollerrnarsi sulla teoria, già più volte ampiamente esposta e opport unamente ampliata (3), richiamiamo solo le formule fondamentali, necessarie a fornire i dati numerici per il no- stro lavoro. D e t t o f lo spostamento orizzontale delle particelle liquide di ima X stessa sezione trasversale S(x) e posto u — i-S(x)-, v = f b(x)dx, dove ó b(x) rappresenta la larghezza variabile del bacino misurata alla super- fìcie libera, l'equazione sul moto libero dei laghi (equazione di Chrystal) (*) assume la forma: d2u 4TI2 I n essa, valgono le condizioni ai limiti u(o) — u(a) = 0 (a = su- perfìcie totale del lago). Nella [1] + = 0 • Eliminando le i costanti, si annulla il determinante dei coeffi- cienti di A0, Alt A2 , la cui soluzione dà l'equazione dei periodi. I n questa equazione si ha: ~ I cT(z) dS- [8] ò Poiché la soluzione diviene tanto più difficoltosa quanto maggiore è il valore di m, Hidaka fornisce le soluzioni per m = 1 ed m = 2, solu- zioni più che sufficienti per il nostro problema. Per m = 1, dalla [6] risulta u = s (1 — z) ( + A^z), l'equazione del periodo della sessa uninodale si ottiene annullando il determinante formato dai coefficienti di J.„ e nelle prime due equazioni della [7]: I - / . A ) ( l - A A 0 ! 372 itoMUALni - \r. c. M'\:T. \ sviluppando il quale si ha: ( z 0 J2 — j ^ ) — [ 9 ] Sostituendo ad I 0 , L i valori numerici ricusati dalla Tabella I , si ha un'equazione di 2° in A le cui radici sono: = 0,00952 R i c o r d a n d o la [4], d o v e 1\ = = 0,06171 . TI a T2 = TI a , siamo final- V i / A ' V f f i ^ m e n t e arrivati alla determinazione dei periodi della sessa uni e bi- nodale: T1 = 6">03» = 2m 22s . [10] P e r m = 2, sempre dalla [6], si ha m = z (1 — z) {Aa -r Atz -j- A2 z-) . L ' e q u a z i o n e dei periodi si ottiene sviluppando e annullando il determinante f o r m a t o dai coefficienti di A0, Alt J.2> nelle prime tre equazioni del sistema [7]: •70A i o • i 2 A 1_ 6 15 1_ 10 - I 2 A 73A 1 i o 1 10 3 35 — 72 A — h i — 7 4 A = 0 ( i l i — 7 7 — 7 7 4 - 2 1 1 I — 1 P \ 0 2 4 0 x3 1 4 ~ A1 x2 3 2 ] 7 1 7 2 + 7 1 7 3 — 7 0 rs 15 35 « V , - A Ì 0 Ì 4 + I . I . + I . Z . - I ^ - j ; [11] + 53 \700 ——J 1 — — r Q.-.n i • 2100 " 350 30 60 A U 10500 = 0 . S T U D I O P R E L I M I N A R I ; S U L L E O S C l L L A Z r O N I L I B E R I - ; D E L LAGO 1)1 S A U R I S 3 7 3 Dalla Tabella I , sostituiti ad I 0 , I l t I 2 , I 3 , Z4 i loro valori numerici I 0 = 27,91089 ; = 9,05917 ; I 2 = 3,95690 ; I 3 = 2,11514 ; I 4 = 1,30720 , abbiamo un'equazione di 3° in X: 188972 P — 34583 )? + 1337 / — 9,52381 = 0 . [12] Mediante l'applicazione del metodo di N e w t o n per successive ap- prossimazioni otteniamo la prima radice corretta di X = 0,00920): dividendo poi la [12] per la radice trovata si ha un'equazione di 2° in X, risolvendo la quale abbiamo i valori di 2X2 e 2/3: = 0,00920 , 2A2 = 0,04134 , 2A3 = 0,13247 . Sostituendo nella [4] rispettivamente le tre radici trovate, si rica- vano i periodi corrispondenti alla sessa uni-bi e tri-nodale: Tx = 6® 09s T2 = 2™ 54s Ts = l m 376 . [13] 5. - Nodi. P e r la determinazione dei nodi ci rifacciamo alla [6] li- mitandoci al caso m = 2. P e r m — 2, u = A0 z (1 —z) (l + z + da cui derivando rispetto a 0 e ricordando che nei nodi du dz = ° ^ otteniamo Per risolvere la [15], ci serviamo ancora una volta della [7], rica- vando —• da una qualunque coppia di equazioni del sistema — i ,valori numerici dei rapporti e ''j 2 ; ~ = —1,56949 ~ = + 0,85246 . Sostituiti questi valori nella [15], otteniamo un'equazione di 3° in z, che risolveremo ricorrendo al metodo di N e w t o n e rammentando la condizione ai limiti 0 < z < 1 : 3,40984 s3 — 7,26585 s2 + 5,13898 s — 1 = 0 . [16] 374 G. K O M U A L D I - M . C. S P A I } E A R i s o l v e n d o la [16], v e d i a m o elle l'unica radice possibile, delle tre ottenute, è & = 0,31223 , la quale rappresenta il valore dell'uninodo. L ' u n i n o d o cade quindi f r a le sezioni 21 e 22 a ca k m 2,14 dall'e- stremo 0 del l a g o ( v . T a b . I , F i g . 1). A A Sostituendo nella [15] ai rapporti e —? i valori numerici otte- nuti e servendoci del v a l o r e della radice 2A2r dalla [7] si ha: 16,25872 z3 — 27,76689 s2 + 12,38190 » — 1 = 0 . [17] L e radici utili, comprese cioè f r a 0 ed 1 sono: & = 0,10320 , 2z2 = 0,58381 . I due nodi, quindi, cadono rispettivamente f r a le sezioni 10 e 11 a d una distanza di k m 1,05 dall'estremo 0 del lago, e f r a le sezioni 29 e 30 a circa 1 k m dalla diga ( T a b . I e F i g . 1). 6 . - Ampiezze. P e r determinare le ampiezze, la formula rj = — ^ a (a = superficie totale del l a g o ) CLZ in particolare per il caso m = 2, si può scrivere: LAGO .SAVRIS Curve ampiezze (q. 980) 0.60 O.'W 0 . 2 0 -0.20 -0.40 -0.60 - o.eo - 1.00 z 4 6 6 » li 14 16 16 . • Zi Z4 26 28 « iZ 34 36 38 * • ' x * F i n . 4 S T U D I O P R E L I M I N A R I ; S U L L E O S C l L L A Z r O N I L I B E R I - ; D E L L A G O 1)1 S A U R I S 3 7 5 T a b e l l a I I Sezioni Ax 102m <9 r 0 0 — 1 — i 1 1 — 0,98807 — 0,97130 2 2 — 0,95317 — 0,88807 3 3 — 0,91840 — 0,79209 4 4 — 0,87962 — 0,71589 5 5 — 0,83618 — 0,61645 6 6 — 0,77915 — 0,48867 7 7 — 0,72741 — 0,37576 8 8 — 0,67509 — 0,26460 9 9 — 0,62624 — 0,16380 10 10 — 0,57328 — 0,05807 11 11 — 0,51583 + 0,05197 12 12 - 0,45910 + 0,15518 13 13 — 0,39637 i- 0,26254 14 14 — 0,33874 + 0,35382 15 15 — 0,28168 0,43606 16 16 — 0,22583 + 0,50756 17 17 — 0,18292 + 0,55513 18 18 0,13974 f- 0,59562 19 19 — 0,09181 + 0,62997 20 20 — 0,04618 f 0,65002 21 21 — 0,00306 i 0,65437 22 22 | 0,03462 + 0,64297 23 23 + 0,06911 + 0,61585 24 24 + 0,10125 + 0,57035 25 25 I- 0,12826 + 0,50973 26 26 + 0,15040 -f 0,43694 27 27 + 0,17004 + 0,34217 28 28 •h 0,18524 + 0,23325 29 29 + 0,19643 + 0,10667 30 30 f- 0,20417 — 0,05472 31 31 + 0,20706 — 0,26929 32 32 |- 0,20591 — 0,43875 33 33 + 0,20603 — 0,52217 34 34 + 0,20857 — 0,55308 35 35 + 0,21362 — 0,54943 36 36 f 0,22301 — 0,50833 37 37 + 0,25171 — 0,33369 38 38 + 0,27049 — 0,20990 39 39 + 0,27863 — 0,15540 40 39,7 + 0,28297 — 0,12627 370 l i . li' i M L'ATEI >1 - M. C. S P A I I E A R i p r e n d i a m o i v a l o r i 2/kl e 2/2, corrispondenti alla sessa uni e bi- nodale, rispettivamente, la [19] diviene: C = 3,10984 z3 — 7,26585 s2 -f- 5.13898 z — 1 [20] = 16,25872 s3 — 27,76689 s2 + 12,38190 g — \ . Servendoci ora dei valori numerici di s dati dalla Tabella I e sosti- tuendoli nella [20], si ha l ' a n d a m e n t o delle ampiezze p e r le due sesse considerate. L a F i g . 4 dà una rappresentazione grafica di detto anda- mento, mentre i risultati del calcolo sono contenuti nella T a b e l l a I I . L A G O NI S A U R I « A QUOTA 939. 7. - L a possibilità di eseguire registrazioni nei periodi di svaso di un lago art iliciale, ci ha permesso di studiare il lagoj di Sauris a q. 939 (quota di alleggerimento della diga), applicando lo stesso m e - t o d o usato per il lago ad invaso pieno, allo scopo di determinarne i periodi, i nodi e le ampiezze della sessa uni- e binodale. V a premesso che la diminuzione del livello del bacino, e quindi della superficie libera del lago, lascia al di fuori dell'acqua t u t t a la zona compresa precedentemente fra le sezioni 0 . . . 13 ( F i g . 1). L a sezione 0 del lago a quota 939, coincide pertanto con la sezione 13 del lago a quota 980. I l grafico in F i g . 5 rappresenta la curva normale, quello in F i g . 6 l ' a n d a m e n t o delle sezioni verticali alla quota in esame. I dati e,he caratterizzano la forma del lago sono contenuti nella Tabella I I I , dalla quale si traggono anche i v a l o r i numerici per l'appli- cazione del m e t o d o di ITidaka: I 0 = 8 0 , 5 0 6 5 7 I J = 2 8 , 6 2 1 6 9 / 2 = 1 3 , 6 0 6 4 0 I 3 = 7 , 8 1 6 0 7 [21] I 4 = 5 , 1 2 8 6 6 , valori necessari al calcolo dei periodi, dei nodi e delle ampiezze. 8. - Periodi. Trascurando il caso m = 0, per m = 1 l'equazione di 2° grado in X risulta: 2 7 6 , 2 0 3 4 5 6 X~ — 5 , 7 2 9 0 9 0 X + 0 , 0 1 6 6 6 7 = 0 , le cui radici sono: ÌAJ = 0 , 0 0 3 5 0 ^ = 0 , 0 1 7 2 4 . [ 2 2 ] Suzioni Virheuh Fig. G 378 G. B O M l ' A L D I - M. C. S l ' A l l E A Sostituendo nella [4], i valori della [22], si hanno i periodi corri- spondenti rispettivamente alla sessa uni- e bi-nodale: = 4m52s 1\ = 2ra12s . [23] Per m ~~ 2, si ha la seguente equazione di 3° grado in /: 67,073751» /? — 3,212071 A2 + 0,038071 A — 0,0000952381 = 0 , risolvendo la quale si hanno le tre radici: 2/i = 0,003416 . ,À2 = 0,013361 , 2A3 = 0,031111 . [24] Introdotti i valori della [24] nella [4], si ottengono i valori dei periodi per la sessa uni- bi- e trinodale del lago: T i = 4m 56s (uninodale) T2 -- 2m 29s (binodale) [25] rJ\ = T » 38s (trinodale) . 9. - Nodi. S e i caso m - 2, sostituendo nell'equazione dei nodi [15] il valore ^ = 0,003416, si ha un'equazione di 3° grado in z: 3,02960 s3 — 6,57654 z* -f 4.86956 z — 1 = 0 . [26] L'unica radice possibile (0 < z < 1) è quella minore dell'unità: 2Si = 0,33021 . [27] che rappresenta il valore corrispondente all'uninodo; questo viene dun- que a trovarsi fra le sezioni 25-26 e dista 1,24 km circa dall'estremo 0 del lago (v. Fig. 1, Tabella I I I ) . Sostituendo poi nella [15] la radice 2x.> == 0,013361, si ha: 14,11492 s» — 24,92157 s* + 11,55692 — 1 = 0 , [28] le cui soluzioni valide sono: jSì = 0,11175 2z2 = 0,60362 . [29] I due binodi cadono, pertanto, fra le sezioni 19-20 e 30-31 e di- stano rispettivamente circa 0,6 km dall'estremo 0 del lago, e circa 0,9 km dalla diga (v. F i g . 1. Tabella I I I ) . STUDIO P R E L I M I N A R I ; S U L L E OSClLLAZrONI LIBERI-; DEL LAGO 1)1 S A U R I S 3 7 9 10. - Ampiezze. P e r m — 2, le equazioni delle ampiezze relative alle oscillazioni dell'uninodale e della binodale sono [6], [7]: C = 3,02960 z3 — 6,57654 z2 -f 4,86956 z — 1 £ " = 14,11492 z3 — 24,92157 z2 + 11,55691 z — 1 . Sostituendo nella [30] i valori numerici di 0 dati dalla T a b . I l i , si ottengono le ampiezze delle oscillazioni in corrispondenza delle v a r i e T a b e l l a I V Sezioni Ax 102m r r 0 = 13 0 — i — i 1 = 14 1 — 0,95758 — 0,90005 2 = 15 2 — 0,88617 — 0,73515 3 = 16 3 — 0,79925 — 0,54087 4 = 17 4 — 0,72408 — 0,37897 5 = 18 5 — 0,63356 — 0,19268 6 = 19 6 — 0,53474 — 0,00192 7 = 20 7 — 0,42914 + 0,18456 8 = 21 8 — 0,33014 + 0,33899 9 = 22 9 — 0,23202 + 0,46720 10 = 23 10 — 0,14677 + 0,55187 11 = 24 11 — 0,08042 + 0,59438 12 = 25 12 — 0,02446 + 0,60882 13 = 26 13 + 0,03317 + 0,59467 14 = 27 14 + 0,08269 + 0,54842 15 = 28 15 + 0,12936 + 0,45756 16 = 29 16 + 0,16204 + 0,34627 17 = 30 17 + 0,18704 + 0,20961 18 = 31 18 + 0,21264 — 0,04301 19 = 32 19 + 0,22649 — 0,30613 20 = 33 20 + 0,23403 — 0,44033 21 = 34 21 + 0,24267 — 0,50290 22 = 35 22 + 0,25696 — 0,51025 23 = 38 23 + 0,28275 — 0,43331 24 = 37 24 + 0,29897 — 0,36042 25 = 38 25 + 0,31081 — 0,30807 26 = 39 26 + 0,31807 — 0,27256 27 = 40 26,7 + 0,32262 — 0,24973 380 ( i . H O M U A L ' D I - M. C. S P A I ) ICA sezioni del lago; i valori ottenuti — riportati nella Tabella I V — ci hanno permesso di costruire graficamente le curve delle ampiezze (Fig. 7). 0.60 0.40 0 . 2 0 0- L A 6 0 -SAVRIS Curve ampiezza ( q . 9 3 9 ) * H 1 1 '—t- 0 2 4 6 8 10 o.zo 0.40 f — 0.60 j. V - 0 . 6 0 - 1.00 A ^ 14 16 18 20 22 24 26 Fig. 7 CONCLUSIONI. I n questa prima parte del lavoro sulle oscillazioni libere di un lago1 artificiale, quale è il lago di Sauris, ci siamo limitati a determinare i periodi della sessa uni e bi-nodale nei casi m = 1 ed m = 2, la posi- zione dei nodi e l'andamento delle ampiezze, alle [quote 980 (invaso pieno) e 939 (quota alleggerimento diga). D a i valori numerici si sono potuti ricavare i grafici relativi. L a seconda parte, che è in fase di compimento, sarà dedicata al; confronto fra i dati ottenuti per via teorica e quelli ottenuti per v i a sperimentale. , Ringraziamo il Prof. P. Galoi per l'assistenza e per i preziosi consigli fornitici, i quili ci hmny permesso di portare a termine questa prima parte dello studio del lago di Sauris. STUDIO PJUOLIMIXAKK S U L L E O S C I I . L A Z I O M L I B E R E DEL LAOO 1)1 SAUUIS 3 8 1 B I B L I O G R A F I A f 1 ) CI-IRYSTAL G., On the hydrodyuaniical Theory of Seiches. Transactions of the R o y a l Society of Edinburg. X L I (1905), X L V (1906), X L V I (1907-8). ( 2 ) HIDAKA K . , Application of Bite's Variation to the Determination of Seiches in a Lake. T h e Memoirs of the Imperial Marine Observatory, V I , 2, (1960). ( 3 ) CALOI P . , Le sesse del Layo di Garda. P a r t e I , « Annali di Geofisica », I , 1, (1948). ( 4 ) CALOI P . , Le sesse del Lago di Garda. P a r t e I I , « A n n a l i di Geofisica», I , 2, (1948).