F r o m the S o m i g l i a n a waves to the e v a n e s c e n t waves 

P . C A L O I ( * ) 

R e c e i v e d on M a y 1 0 t h , 1972 

SUMMARY. — T h e R a y l e i g h e q u a t i o n h a s r e a l c o e f f i c i e n t s ; t h e r e f o r e , 
a l s o t h e c a s e of c o m p l e x c o n j u g a t e d r o o t s m a y b e e x p l a i n e d p h y s i c a l l y . 
T h e A u t h o r p r o v e s t h a t t h e S o m i g l i a n a w a v e s m a y b e f o r m e d f o r P o i s s o n 
r a t i o v a l u e s u n t i l 0 . 3 0 5 4 3 ; f o r g r a d u a l l y less r i g i d m e d i a , t h e y a r e m i s s i n g 
a l t o g e t h e r a n d d e g e n e r a t e i n t o e v a n e s c e n t w a v e s . 

RIASSUNTO. — A c a u s a d e l l ' o m o g e n e i t à d e l l e e q u a z i o n i d e l m o t o e d 
e s s e n d o l ' e q u a z i o n e d i R a y l e i g h a c o e f f i c i e n t i r e a l i , a n c h e il c a s o d e l l e r a d i c i 
c o m p l e s s e c o n i u g a t e p u ò e s s e r e fisicamente i n t e r p r e t a t o . V i e n e p r o v a t o c h e 
le o n d e d i S o m i g l i a n a p o s s o n o i n s o r g e r e p e r v a l o r i d e l r a p p o r t o d i P o i s s o n 
fino a 0 . 3 0 5 4 3 ; m e n t r e n e l c a m p o di v a r i a b i l i t à 

0 . 3 0 5 4 3 < a < 0.5, 

c i o è i n m e z z i s e m p r e p i ù i n c o m p r e s s i b i l i , le o n d e d i S o m i g l i a n a ( p o s s i b i l i 
solo p e r i n c i d e n z a t r a s v e r s a l e ) d e g e n e r a n o i n o n d e e v a n e s c e n t i . 

1. I n s o m e p r e v i o u s n o t e s 3' 4) I h a v e d e a l t w i t h t h e p h y s i c a l 
i n t e r p r e t a t i o n of t h e r o o t s of t h e R a y l e i g l i e q u a t i o n w h i c h a r e a b o v e 
t h e u n i t , f o r t h e v a l u e s of t h e a coefficient of P o i s s o n t o w h i c h cor-
r e s p o n d t h r e e r e a l r o o t s f o r t h e R a y l e i g h e q u a t i o n . A n d I h a v e p r o v e d 
t h a t t h o s e r o o t s h a v e a n e x a c t p h y s i c a l m e a n i n g : t h e y p e r m i t t h e 
t h e o r e t i c a l i n t e r p r e t a t i o n of sizable g r o u p s of seismic oscillations w h i c h 
I n a m e d w a v e s of S o m i g l i a n a . I f o u n d t h e n t h e l i m i t s w i t h i n w h i c h 
t h e S o m i g l i a n a w a v e s o r i g i n a t e , w i t h i n t h e r e a l r o o t s a b o v e t h e u n i t , 
a n d I e m p h a s i z e d h o w i n t e r e s t i n g i t w a s t o i n c l u d e t h e s t u d y of such 
w a v e s i n t o t h e r e s e a r c h of s t r a t i f i c a t i o n s b u i l d i n g u p t h e E a r t h ' s c r u s t . 

(*) I s t i t u t o N a z i o n a l e di G e o f i s i c a . R o m a . 



H o w e v e r , as w a s a l r e a d y n o t e d b y S o m i g l i a n a i n t h i s t h i r d con-
t r i b u t i o n t o t h e p r o p a g a t i o n of seismic w a v e s (6), d u e t o t h e h o m o -
g e n e i t y of e q u a t i o n s of m o t i o n a n d t o t h e f a c t t h a t t h e E a y l e i g h e q u a -
t i o n h a s r e a l coefficients, also t h e case of c o m p l e x , c o n j u g a t e d r o o t s 
m a y b e e x p l a i n e d p h y s i c a l l y w i t h t h e s e p a r a t i o n of t h e r e a l f r o m t h e 
i m a g i n a r y p a r t of r o o t s . 

T h i s is w h a t I a m u n d e r t a k i n g as follows. 

2. F i r s t of all, l e t u s t r y t o f i n d a n a l y t i c a l l y t h e v a l u e of a sepa-
r a t i n g t h e r e a l field f r o m t h e c o m p l e x field f o r r o o t s a b o v e t h e u n i t . 
This v a l u e h a s a l r e a d y b e e n o b t a i n e d e m p i r i c a l l y in t h e p r e v i o u s 
n o t e (4). 

As is k n o w n , t h e E a y l e i g h e q u a t i o n is e x p r e s s e d in i t s m o s t k n o w n 
f o r m w i t h t h e u s u a l m e a n i n g of s y m b o l s (J): 

f r o m w h i c h , a f t e r h a v i n g m a d e f1) 

v32 = x 
follows 

Vi2 i — 2 a 
R e m e m b e r i n g t h a t — = , we p u t 

* 2 ( 1 — a) 1 

1 — — - 1 6 - ~~ 2 (1 — a) ' 

w h e n c e [1] b e c o m e s 

X3 — 8 Z2 + 8 ( ! + 2 e) 1 — 1 6 6 = 0 • [2] 

L e t us see h o w t h e r o o t s of t h i s e q u a t i o n v a r y w h e n a v a r i e s b e t w e e n 

0 a n d , t h a t is f o r 

N o w we f r e e [2] f r o m t h e second d e g r e e t e r m i n y. T o t h i s e n d we p u t 



F R O M T H E S O M I G L I AN A W A V E S TO T I I E E V A N E S C E N T W A V E S 4 7 3 

E q u a t i o n [2] c h a n g e s t h e n i n t o 

8 _ c 16 ( 28 \ ¿ 3 + y (6 e - 5 ) 6 + — ( 5 e — - y ) = 0 . 

W e m a k e 

8 „ 16 / , 28 \ 
y ( b e - 5 ) = p , 

t h u s o b t a i n i n g 
d3 + p d + q = 0. 

If p a n d q a r e real, we k n o w f r o m t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s t h a t 
t h e c o n d i t i o n f o r t h e t h r e e r o o t s of [3] t o b e r e a l is e x p r e s s e d i n t h e 
r e l a t i o n 

q- p3 
- - + J — < 0 . 
4 27 

C o n s i d e r i n g t h e v a l u e s of p a n d q, we h a v e in o u r case 

(45 E — 28)2 + (12 B — 1 0 ) 3 j . 

F o r t h e r o o t s t o b e real, we m u s t h a v e 

, = 1 1 
4 27 3 6 

A(e) = (45 E — 28)2 + (12 £ — 10)3 < 0 . [3] 

I t is easily f o u n d t h a t t h e v a l u e of e which a n n u l l s zl(£) is 

£ = 0,6785. 
A n d since 

1 1 
a = 1 o £ 

i t follows 
a = 0,26308, 

w h i c h p r a c t i c a l l y coincides w i t h t h e v a l u e p r e v i o u s l y o b t a i n e d 
(<j = 0,26305). I t is i n c o r r e s p o n d e n c e t o t h i s v a l u e t h a t t h e t w o 
r o o t s a b o v e t h e u n i t of t h e R a y l e i g h e q u a t i o n coincide; in f a c t o n e 
o b t a i n s = 3,5754 (4). 

T h e r e f o r e , i n o r d e r t o h a v e a r e a l r o o t a b o v e t h e u n i t a n d t w o 
c o m p l e x c o n j u g a t e d r o o t s , i t m u s t b e 



4 7 4 P . C A L O I 

t o w h i c h c o r r e s p o n d s f o r a t h e field of v a r i a b i l i t y : 

0,26305 < a < 0,5 . 

3. T h e r e r e m a i n e d n o w t o c a l c u l a t e a series of c o m p l e x , c o n j u g a t e d 
r o o t couples f o r a v a l u e s w i t h i n t h e a b o v e l i m i t s . 

C a l c u l a t i o n s h a v e b e e n m a d e f o r t h e f o l l o w i n g a v a l u e s : 0,265; 
0,27; 0,30; 0,305; 0,35; 0,40; 0,50. 

T h e E a y l e i g h e q u a t i o n s p e r t i n e n t t o t h e a b o v e a v a l u e s a r e : 

f o r a = 0,265 3,1277 x3 — 25,022 x2 + 59,065 x — 34,043 = 0, 
f o r a = 0,27 3,1739 x3 — 25,391 X* + 60,174 x — 31,782 = 0, 
f o r a = 0,3 3,50 x3 ~ 2 8 > ° X2 + 68;° X ~ 40>° = °> 
f o r a = 0,305 3,564 x 3 — 28,512 X

2 + 69,536 x — 41,024 = 0, 
f o r a = 0,35 4,333 x3 ~ 34,66 x2 + 8 8 > ° X ~~ 33>33 = °> 
f o r or = 0,4 3 X3 ~ 2 4 Z2 + 64 x — 40 = 0, 
f o r a = 0,5 Z3 — 8 X2 + 24 X ~ 1 6 = 

T h e c o r r e s p o n d i n g r o o t s a r e : 

T A B L E 1 

a X I 

0 , 2 6 5 0 , 8 4 9 8 3 , 5 7 5 2 ± i 0 , 1 6 2 2 1 
0 , 2 7 0 , 8 5 1 2 5 3 , 5 7 4 3 ± i 0 , 3 1 2 0 
0 , 3 0 , 8 6 0 0 9 3 , 5 7 1 4 ± i 0 , 7 2 8 4 
0 , 3 0 5 0 , 8 6 1 5 4 3 , 5 6 9 0 ± i 0 , 7 8 9 6 
0 , 3 5 0 , 8 7 4 0 3 , 5 6 2 5 ± i 1 , 1 7 9 1 
0 , 4 0 , 8 8 7 7 3 , 5 5 6 2 ± i 1 , 5 4 0 6 
0 , 5 0 , 9 1 2 8 3 , 5 4 3 6 ± i 2 , 2 3 0 2 

4. I a s k e d myself w h e t h e r all a v a l u e s i n t h e i n t e r v a l 0,26305 0,5, 
w e r e l e a d i n g t o r o o t s t o w h i c h c o r r e s p o n d S o m i g l i a n a w a v e s . 
T h o s e r o o t s a r e c o m p l e x a n d c o n j u g a t e d a n d s o m e of t h e i r v a l u e s 
h a v e b e e n g i v e n u n d e r 3. T h e y a r e c o m p l e x , h e n c e also t h e v a l u e s 
of (i. 2), 

/ — Vr-
v3 = V2 V X , t a n g 2 ei = — X — 1 , t a n g 2 e2 = X — 1 . [4] 

Vi~ 

L e t u s i n d i c a t e a g e n e r a l c o m p l e x r o o t as follows 

7.2.3 = r + ic . 



F R O M T H E S O M I G L I AN A W A V E S TO T I I E E V A N E S C E N T W A V E S 4 7 5 

T h e f o r m u l a s [10J will t h e n b e w r i t t e n 

V22 . V22 . 1 — 
t a n g 2 ei = r —- — 1 -(-1 c — , t a n g - e2 = r — 1 + i c, v3 = V2 v r + i c . 

Vi' Vi~ 

T h e r e l a t i o n 

R + iC=\Jr-\-ic, 

allows t o o b t a i n 

R = u j j * + c2 + r y / g c = | V r2 + c2 — r W , 

A f t e r t h e v a l u e of a, i n c l u d e d in t h e a b o v e i n t e r v a l , h a s b e e n 
a s s i g n e d , t h e R a y l e i g h e q u a t i o n f u r n i s h e s t h e c o r r e s p o n d i n g c o u p l e 
of c o m p l e x , c o n j u g a t e d r o o t s . T h u s r a n d c a r e o b t a i n e d a n d t h e n c e 
t a n g ci, t a n g e2 a n d va p e r t a i n i n g t o t h e c h o s e n a v a l u e . 

A f t e r s e p a r a t i n g t h e r e a l p a r t f r o m t h e i m a g i n a r y one, we can 
t h u s a r r i v e a t t h e real v a l u e s of ei (if e x i s t i n g ) , of e2 a n d of v3. L e t u s 

i n d i c a t e t h e l a t t e r 
Va = Vi R 

while p u t t i n g 
V3 = t'2 C , 

w h e r e t h e n e g a t i v e v a l u e f o r C is b e i n g t a k e n . 
O n t h e b a s i s of t h e r a n d c v a l u e s t a k e n f r o m t h e p r e v i o u s t a b l e 1 

we o b t a i n b y v a r y i n g a as follows: 

T A B L E 2 

a V^/Vj* t a n g 2 e1 ei t a n g
2 e2 «2 R 

0 , 2 6 5 0 , 3 1 9 7 3 0 , 1 4 3 1 0 2 0 ° 4 5 ' , 2 5 2 , 5 7 5 2 5 8 ° 0 4 ' , 2 5 1 , 8 9 1 3 
0,27 0 , 3 1 5 0 7 0 , 1 2 6 1 5 19°33' 2 . 5 7 4 3 5 8 ° 0 4 ' 1,8924 
0 , 3 0,2857 0 , 0 2 0 3 5 8 ° 0 7 ' 2 , 5 7 1 4 5 8 ° 0 3 ' 1,8995 
0 , 3 0 5 0 , 2 8 0 5 0 , 0 0 1 1 0 4 5 1°51' 2 , 5 6 9 0 5 8 ° 0 2 ' 1,9006 
0 , 3 5 0 . 2 3 0 7 7 — 0 , 1 7 7 9 — 2 , 5 6 2 5 5 8 ° 0 0 ' 1,9125 
0,4 0 , 1 6 6 6 7 — 0 , 4 0 7 3 — 2,5562 5 7 ° 5 8 ' , 5 1,9277 
0,5 0 — 1 — 2 , 5 4 3 6 5 7 ° 5 5 ' 1,99605 

I t follows f r o m t h e a n a l y s i s of t h e t a b l e 2 t h a t t h e S o m i g l i a n a 
w a v e s m a y v a r y f o r a v a l u e s u n t i l 0,31; f o r g r a d u a l l y less rigid m e d i u m 



P . C A L O I 

t h e y a r e m i s s i n g a l t o g e t h e r a n d d e g e n e r a t e i n t o o r d i n a r y t r a n s v e r s a l 
w a v e s . T h e v a l u e s of efficient angles, f o r l o n g i t u d i n a l i n c i d e n c e , p r e -
s u p p o s e i n c i d e n c e s n e a r i n g r a p i d l y t h e r i g h t a n g l e . So f a r as t r a n s -
v e r s a l i n c i d e n c e is c o n c e r n e d , t h e efficient angles i n c r e a s e s l i g h t l y 
as t h e r i g i d i t y of t h e m e d i u m d e c r e a s e s a n d r e a c h a l i m i t a n g l e of 
i n c i d e n c e of a b o u t 32° t o w h i c h c o r r e s p o n d s t h e t o t a l r e f l e c t i o n . 

C o n s i d e r i n g as well t h e c o m p l e x c o n j u g a t e d r o o t s of t h e R a y l e i g h 
e q u a t i o n , t h e efficient angles b r i n g i n g a b o u t S o m i g l i a n a w a v e s a r e 
t h e ones c o r r e s p o n d i n g t o t h e r o o t s f o r t h e f o l l o w i n g field of v a r i a b i l i t y 
of a : 

0 < a < 0,31 , 

a l t h o u g h , p r a c t i c a l l y (4), t h i s is r e d u c i n g t o 

0,25 < a < 0,31 . 

A n y h o w , t h e use of c o m p l e x c o n j u g a t e d r o o t s i n d i c a t e s a n en-
l a r g e m e n t a n d t h e l i m i t of t h e field of v a r i a b i l i t y of t h e P o i s s o n coef-
ficient. 

C o n c e r n i n g t h e p r o p a g a t i o n v e l o c i t y of t h e S o m i g l i a n a w a v e s (if 
e x i s t i n g ) , it is n o t e d t h a t i t increases as a i n c r e a s e s ( t h a t is as r i g i d i t y 
decreases) a n d r e a c h e s t h e m a x i m u m v a l u e 

v'3 = 1,9006 -v2 

f o r t h e l i m i t v a l u e of a = 0,305. 
If in t h e e x p r e s s i o n s of Mi, u2, wi, w2 (4) we p u t @ (x — v31) u n d e r 

p o w e r f o r m 
(p (e—v31) = fl<P(*—V), 

a n d o b s e r v i n g t h a t v3 = v'3 + i v3, we will h a v e 

<t>[x — {v3 + iv„) t] = e<P<*—®'»t) •«?"»*, 

w h e r e p i n d i c a t e s t h e p u l s a t i o n of t h e oscillation a n d v3 is a n e g a t i v e 
c o n s t a n t w h i c h m a y b e c o n s i d e r e d as t h e e x t i n c t i o n coefficient of 
t h e oscillation i n t i m e . 

F o r a = 0,265, f o r i n s t a n c e , v3 = — 0,043012 - v2, a n d f o r a = 0,27, 
v3 = -— 0,08277-V2-, w h e r e a s f o r a — 0,305, we h a v e v3 = — 0,2076-» 2 . 
T h e r e f o r e , a t e q u a l f r e q u e n c i e s t h e p r o p a g a t i o n of t h e S o m i g l i a n a 
w a v e is e x t i n g u i s h e d m o r e q u i c k l y as r i g i d i t y decreases. 



F R O M T H E S O M I G L I AN A W A V E S TO T I I E E V A N E S C E N T W A V E S 4 7 7 

5. Let. u s h a v e a closer look h o w t h e S o m i g l i a n a w a v e s c h a n g e 
w h e n t h e i r p r o p a g a t i o n is in elastic m e d i a w h o s e a coefficient s h o w s 
a t r e n d t o w a r d t h e v a l u e of 0,30543. 

L e t u s consider t h e case of t r a n s v e r s a l i n c i d e n c e , w h e r e w e h a v e 

t a n g ei = — (y - - — 1 j 2 , t a n g e2 = [y_ — 1 j ^. 

If 0 { x — v31) is n o t p e r i o d i c a l , h e r e a p p l i e s t h e r e l a t i o n (••) 

J t + i / U - i f 
1 Wo / »I2 I ,0 . 

ai = — a2 (2 — X ) . 
— + z - i r 
Wo \ J 

X a l w a y s differs f r o m 2. 
T h e f o l l o w i n g t a b l e 3 is v a l i d : 

T A B L E 3 

a 
( ' v 4 ~ t 

0 , 2 6 3 0 5 0 , 3 8 6 8 1,6048 
0 , 2 6 5 0 , 3 7 8 3 1 , 6 0 4 7 5 
0,27 0 , 3 5 5 2 1,60445 
0,3 0 , 1 4 2 6 5 1 , 6 0 3 5 5 
0 , 3 0 5 0 , 0 3 3 2 3 5 1,6028 
0 , 3 0 5 4 3 0,0 1,6028 
0, 4 i m a g i n a r y 1,5988 

As a t e n d s t o w a r d t h e v a l u e 0,30543, ai is t h u s t e n d i n g t o w a r d t h e 
i n f i n i t e . N o w , i n t h e e x p r e s s i o n s of u0, w„ [see [1] of (4)], e^, t h e q u a n -
t i t y c h a r a c t e r i z i n g t h e l o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t , a c t s as a d e n o m i n a t o r 
in t h e r e l a t i v e t e r m s . T h e r e f o r e , t h e s e a n n u l l each o t h e r , n a m e l y 
t h e c o n t r i b u t i o n of t h e l o n g i t u d i n a l w a v e in t h e f o r m a t i o n of t h e 
S o m i g l i a n a w a v e falls a w a y , a n d t h i s d e g e n e r a t e s i n t o a t r a s v e r s a l w a v e . 

H o w e v e r f o r a = 0,30543, t h e efficient a n g l e of i n c i d e n c e of t h e 
t r a n s v e r s a l w a v e s , is 31°57',4, w h i c h coincides w i t h t h e a n g l e of total 
reflection of t h e i n c i d e n t t r a n s v e r s a l w a v e . I n f a c t is: 



4 7 8 P . CALO I 

so t h a t 

sin ¿2 = — = 0,52927 , 
Vi 

w h i c h gives f o r i2 t h e a b o v e v a l u e . 
T h e r e f o r e , t h e efficient a n g l e f o r t r a n s v e r s a l w a v e s i n c i d e n t a t 

t h e i n t e r s u r f a c e w i t h t h e o u t e r s t r a t i f i c a t i o n , a p p r o x i m a t e s in less 
rigid m e d i a t h e a n g l e of i n c i d e n c e t o which c o r r e s p o n d s t h e t o t a l 
reflection, w h i c h is r e a c h e d , as could b e seen, f o r a = 0,30543. H e n c e , 
in t h e field w h e r e a v a r i e s f r o m 0,30543 t o 0,5 t h e r e a r e n o S o m i g l i a n a 
w a v e s , since f o r t h e m t h e t o t a l reflection of t h e i n c i d e n t t r a n s v e r s a l 
w a v e s t a k e s p l a c e . 

T h e f o r m a t i o n of S o m i g l i a n a w a v e s r e q u i r e s a p h y s i c a l l y finite 
m e d i u m b e y o n d t h e s u r f a c e w h i c h is h i t b y I h e w a v e c o m i n g f r o m 
a n i n d e f i n i t e m e d i u m (3). W h e n t h e l o n g i t u d i n a l r e f l e c t e d w a v e v a n i -
shes as p r o g r e s s i v e o r d i n a r y w a v e , f o r s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s a t 
t h e i n t e r s u r f a c e it is n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e a n e v a n e s c e n t w a v e . If 
we i n d i c a t e t h e t r a n s v e r s a l r e f l e c t e d w a v e (oscillating, of course, in 
t h e p r i n c i p a l p l a n e ) b y 

y> = ekz sin (cot — ax) 

we will h a v e 

Dm 7)w ... 
u = — = — a e cos(co t — a x) : w = = A- e sin(a>i — a x) , 

' 1 t>z " 

w h e r e u a n d w a r e t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l m o t i o n c o m p o n e n t s . 
T h e r e s u l t a n t of t h e s e m o v e m e n t s , h o w e v e r , is t h e socalled eva-

nescent wave w h i c h — as t h e R a y l e i g h w a v e s — forces t h e r e a c h e d 
p a r t i c l e t o d e s c r i b e a n elliptical m o t i o n [(5) p a g e s 300-304], I n t h e 
v a r i a b i l i t y field 

,-i 0,30543 < a < 0,5 , 

w h i c h m e a n s t h a t in a l w a y s m o r e i n c o m p r e s s i b l e m e d i a t h e Somi-
gliana waves (possible o n l y b y t r a n s v e r s a l incidence) degenerate into 
evanescent waves. 

I n c o n f o r m i t y t o w h a t h a p p e n s i n t h e p r o p a g a t i o n of t h e l i g h t , 
t h e v e l o c i t y of e v a n e s c e n t w a v e s i n t h e s e c o n d m e d i u m is t>2/sin¿2, 
w h e r e ¿2 is t h e a n g l e of i n c i d e n c e . P r a c t i c a l l y i t coincides, t h e r e f o r e , 
w i t h Bv2 w h e r e R is t o b e t a k e n f r o m t h e t a b l e 2. I n case of t h e 
l i m i t a n g l e of i n c i d e n c e (¿2 = 31°58'), is i n f a c t VífsinU = 1,8894 vo, 
e q u a l — a t l o w e r t h a n 1/1000 — t o t h e v a l u e of v'3. 



I 

F i g . 1 - E x a m p l e s of C 0 ,i (T = 6 8 s a b . ) , C i , 2 (T = 3 4 s a b . ) a n d C2,3 (71 = 23 s a b . ) w a v e s - b y t h e a u t h o r g e n e r i c a l l y i n d i c a t e a s 
Somigliana waves — r e c o r d a t S o m p l a g o (011 t h e C a v a z z o L a k e ) b y a s e i s m o g r a p h , w i t h f r e e p e r i o d of a b o u t 120s a n d o p t i c a l 
m a g n i f i c a t i o n , in o c c a s i o n of A l a s k a e a r t h q u a k e of J u l y 30, 1972 ( 5 7 ° , O N - 135",9\V: H = 2 1 . 4 5 . 1 1 , 1 G M T : li = 10 k m : 
M = 7,8) a t a n e p i c e n t r a l d i s t a n c e of a b o u t 8 3 5 0 k i n s . F o r l a r g e e a r t h q u a k e ( a s t h i s A l a s k a e a r t h q u a k e ) C 0 .i w a v e s c a n 
a f f e c t t h e o u t e r l a y e r of m a n t l e , f r o m t h e t o p of t h e a s t e n o s p h e r e ( l o w - v e l o c i t y c h a n n e l ) t o t h e E a r t h ' s s u r f a c e ( t h i c k n e s s 

of a b o u t 70 k m s ) . 



4 8 ( 1 

R E F E R E N C E S 

(') CALCI P . , 1966. - L'equazione di Rayleigh e le onde di Somigliana. I : La 
teoria delle onde di Rayleigh. " A t t i Aoc. N a z . d e i L i n c e i " , Classe S c i e n z e 
fis., m a t . e n a t . , X L I , s e r . V I I I , 1-2 F e r i e . 

(2) CALOI P . , 1966. - L'equazione di Rayleigh e le onde di Somigliana. I I : La 
teoria di Somigliana: rettifiche, conseguenze. " A t t i A c c . N a z . d e i Lin-
c e i " , Classe S c i e n z e fis., m a t . e n a t . , X L I , s e r . V i l i , 5. 

(3) CALOI P . , 1967. - 1/equazione di Rayleigh e le onde di Somigliana. I l i : Le 
Ci,j sono onde di Somigliana. Loro importanza per lo studio della crosta 
terrestre. " A t t i A c c . N a z . d e i L i n c e i " , Classe S c i e n z e fis., m a t . e n a t . , 
X L I I I , s e r . V i l i , 6 . 

(*) CALOI P . , 1969. - L'equazione di Rayleigh e le onde di Somigliana. I V : Li-
miti d'insorgenza delle onde di Somigliana: loro esclusiva formazione 
nel piano principale. " A t t i A c c . N a z . dei L i n c e i " , Classe S c i e n z e 
fis., m a t . e n a t . , X L V I , s e r . V I I I , 1. 

(5) CALOI P . , 1955. - Ci,j. " A n n a l i d i G e o f i s i c a " , V I I I , 3, p p . 2 9 3 - 3 1 3 . 

(6) SOMIGLIANA C., 1918. - Sulla propagazione delle onde sismiche. Nota I I I . 
" A t t i A c c . N a z . dei L i n c e i " , Classe S c i e n z e fis., m a t . e n a t . , X X V I I , 
s e r . V, 1.