I n i p o r t a n z a d e l l a l e g g e di H a l l n e i f e n o m e n i i o n o s f e r i c i (*) A . P o z z i - G . C0NTUB.SI (**) R i c e v u t o il 18 Maggio 1963 R I A S S U N T O . — I11 questo lavoro si s o t t o l i n e a c o m e p e r s t u d i a r e l'in- fluenza della anisotropia della c o n d u t t i v i t a e l e t t r i c a (fenomeno che d a luogo alia legge di Hall) sia necessario risolvere due tipi di p r o b l e m i . II p r i m o tipo di p r o b l e m i r i g u a r d a la f o r m u l a z i o n e di teorie che con- s e n t a n o di esprimere a n a l i t i c a m e n t e la c o n d u t t i v i t a . A t a l i a r g o m e n t i e d e d i c a t a la p r i m a p a r t e di q u e s t a n o t a . Nella seconda p a r t e si analizza l ' a l t r a serie di p r o b l e m i , r i g u a r d a n t i lo studio del moto macroscopico di u n a c o r r e n t e fluida il cui coefficiente di c o n d u t t i v i t a sia anisotropo. SUMMARY. —• This n o t e deals w i t h t w o p r o b l e m s r e l a t e d t o a n i s o t r o p y of t h e electrical c o n d u c t i v i t y . I n t h e first p a r t of t h e p a p e r t h e possibility t o e v a l u a t e t h e a n a l i t i c a l expression of t h e coefficient of electrical c o n d u c t i v i t y h a s been shown, t a k i n g i n t o a c c o u n t some r e s u l t s s t a t e d b y J a n c e l a n d K a h a n . I n t h e second p a r t a s u i t a b l e simplified analysis e n a b l e d us t o discuss t h e macroscopic motion of a n ionospheric flow. 1 . - INTRODTJZIONE. Numerosi autori hanno segnalato l'importanza del cosiddetto effetto Hall per lo studio dei mezzi ionizzati in misura tale quale si riscontra nella ionosfera. (*) N o t a p r e s e n t a t a al 2° Congresso I n t e r n a z i o n a l e Tecnico Scientifico dello Spazio. R o m a , 19-23 Giugno 1962. (**) I s t i t u t o di A e r o n a u t i c a - U n i v e r s i t a di Napoli. 146 A . P O Z Z I - G. C O N T U R S I Tale studio essenzialmente comporta la impostazione e la risolu- zione di due problemi. II primo di questi eonsiste nella determinazione del coefficiente che definisce l'effetto Hall. Tale determinazione di u n a proprieta costitutiva del gas, come sara subito illustrato, va corretta- m e n t e e f f e t t u a t a sulla base di descrizioni statistic-he. Al successivo pa- ragrafo 2 tale impostazione verra e l f e t t u a t a valendosi degli accurati ri- sultati stabiliti da J a n c e l e Kalian (2) ed utilizzando determinazioni sperimentali della distribuzione elettronica nell'atmosfera o t t e n u t e alcuni anni f a m e d i a n t e satelliti (3). II secondo jiroblema eonsiste nella descrizione macroscopica delle proprieta di u n mezzo dotato di conduttivita di Hall. Tale descrizione risulta e s t r e m a m e n t e complessa sta-nte la non linearita che la presenza di campi elettromagnetici aggiunge a quella caratteristica delle equa- zioni fluidodinamiclie. Nel presente lavoro, basandosi su scliematizzazioni semplificatrici, si mettono in evidenza alcune caratteristiclie proprieta derivanti dalla presenza dell'effetto Hall. 2 . - L A C O N D U T T I V I T ! ELETTRICA N E I GAS. U n a delle difficolta coniuni a t u t t e le formulazioni macroscopicbe e quella della determinazione di opportuni coefflcienti che tengano conto di fenomeni che si svolgono su scala microscopica. Cosi nel campo della fluidodinamica per tener conto degli sca-mbi di q u a n t i t a di moto su scala microscopica si introduce il coefficiente di viscosita. Quanto poi alia possibility di valutarlo si deve ricorrere o al- l'esperienza o a teorie del t-ipo statistico. Analoghi problemi si incontrano nello studio del flusso di cariclie elettriche. La formulazione macroscopica postula u n a relazione del tipo J = crE, dove E e l'intensita del campo elettrico e a e il coefficiente di condut- tivita elettrica: vogliamo ora brevemente discutere sulla n a t u r a e sui metodi di calcolo di questo coefficiente. I n condizioni normali, quando cioe il mezzo e isotropo dal p u n t o di vista elettrico, il coefficiente di conduttivita e u n a grandezza scalare; in particolari condizioni invece, come accade nella ionosfera questo coef- ficiente ha c a r a t t e r e tensoriale. La ionosfera e u n mezzo debolmente ionizzato in cui sono presenti tre specie di particelle: ioni, elettroni e molecole neutre. II modo pid I M P O R T A N Z A D E L L A L E G G E D I I I A L L N E I F E N O M E N I I O N O S F E R I C I 1 4 7 corretto di studiarne le proprieta e quello di ricorrere all'equazioue integi-o-differenziale di B o l t z m a n n (J). Alio seopo di effettuare delle valutazioni numeriehe, e il caso di ricordare brevemente la teoria magnetoionica dei gas leggermente ioiiiz- zati, f o n d a t a sull'equazione di Boltzmann, come esposta da J a n c e l e Kalian (2). Questi considerano u n a miscela di due gas, molecole n e u t r e ed elettroni, sotto l'azione di u n campo elettrico oscillante con legge sinu- soidale del tipo E cos w t e di un campo magnetico H0. Si trascura il contribute dovuto agli ioni in quanto nei caso di gas debolmente ioniz- zato questo e trascurabile. Altra ipotesi fondamentale e quella di consi- derare elastici gli u r t i t r a molecole ed elettroni. P e r descrivere le proprieta di questa miscela e allora necessario introdurre due funzioni di distribuzione /L ed /2 rispettivamente per mo- lecole ed elettroni. Indicando inolt-re con Fx e V2 la veloeita delle due specie e con I<\ l'azione eletromagnetica sugli elettroni del campo E H„ le due equazioni di Boltzmann si scrivono: I secondi membri rappresentano i contributi degli u r t i tra- molecole ed elettroni. II gas e considerate Lorenziano; valgono cioe le seguenti due ipotesi: a) la massa delle molecole del primo costituente e grande rispetto a quella del secondo costituente. Questa ipotesi e senz'altro verificata in quanto il rapporto t r a molecole n e u t r e ed elettroni e molto grande. b) l'influenza degli u r t i t r a le particelle del secondo costituente e trascurabile rispetto a quella degli u r t i tra le molecole del primo costi- tuente. Questa ipotesi e accett.abile perche si considera un gas debol- m e n t e ionizzato. Questa ipotesi e molto i m p o r t a n t e perche consente di concludere che come distribuzione di veloeita relativa alle molecole neutre puo es- sere assunta quella Maxwelliana. Si ha cioe: dove ih e il numero di molecole per u n i t a di volume e T e la t e m p e r a t u r a assoluta. 2 [2.1[ [2.2] [ 2 . 3 ] 148 A . P O Z Z I - G. C O N T U R S I II problema e quindi ridotto a quello della risoluzione dell'equa- zione [2.2]. Essendo la forza F 2 che agisce sull'elettrone d a t a d a : J ^ ^ J J c o s w H - («» A H„) [2.4] m2 m2 (dove e2 e la carica dell'elettrone) l'equazione [2.1] si scrive: , „ , [2.5] IU — cos cot + j V2 A Ho • g r a d t , 2 f 2 = j j j J^fif*—/i/2j gbdedv^lb dove f \ ed / ' 2 sono i valori delle funzioni /x ed /2 per i valori v\ e v'2, cioe per i valori che le velocita vY e v2 assumono dopo l'urto, g e la velocita relativa delle due particelle [g = | Vx — V2 | = | V\— V 2 j e b ed e sono i p a r a m e t r i d ' u r t o (*)]. L a funzione di distribuzione /2 non e Maxwelbana per la presenza della forza Lorentziana F2 e quindi lo scostamento da questa e t a n t o quanto piu f o r t i sono i campi elettrici e magnetici. J a n c e l e K a h a n (2) prendono in esame campi eletromagnetici di intensita qualsiasi. II metodo seguito eonsiste nello sviluppo della funzione di distri- buzione in termini delle sue armoniche sferiche, ed e spinto fino alia va- lutazione dell'approssimazione del primo ordine. Si pone cioe la funzione f2 sotto la f o r m a : 'e2E \ / ... . . A . / „ . Ee2 /2 = /(0)2+ — • v2 a ^ c o s f t r f - f / S ^ s e n a r f + \H0 A — th2 J \ r J \ m2 I [2.6] v2Ua^2coso)t + r]W2senc»t]j + Ho A [Ho A — m, v2 cos cot + <5 (1) 2sen cot. I n questa espressione compaiono 7 funzioni incognite: /<•>„ a 2 , ywt, . Queste vengono determinate sostituendo la [2.6] nell'equazione di Boltzmann [2.5] ed eguagbando i due membri. D a questa formulazione appare chiaro come i termini di anisotropia Ee2 _ . Ee2 _ . /_ Ee2 sono: — , H0 A — , H0 A \H„ > —-m2 m2 \ m2 E interessante n o t a r e che nel caso generale, per valori qualsiasi di e E , anche la zero approssimazione /<°> non risulta maxwelliana. Si m2 , e2E ^ riduce a questa se e: — < 1 . m . I M P O R T A N Z A D E L L A L E G G E D I I I A L L N E I F E N O M E N I I O N O S F E R I C I 149 Questa dipende essenzialmente dal libero percorso medio che a sua volta dipende dalla legge di interazione t r a molecole ed elettroni. Si ha cioe: X — v212.n Wx (v2) e: oo ^12 (V2) = I ( 1 — cos x) gbdb o dove x rappresenta la variazione angolare della veloeita relativa du- r a n t e u n a eollisione. D u n q u e per conoscere l'approssimazione di ordine zero e necessario conoscere la legge di interazione t r a molecole ed elettroni. Due tipi di schematizzazioni sono i m p o r t a n t i : a) molecole sferiche e rigide con u r t i elastici; A e allora indi- pendente da V2 b) la forza t r a molecole ed elettroni varia come 1/r5; l a f r e q u e n z a di eollisione v = F2/A c allora indipendente da V2 ed /( 0 ) 2 6 maxwelliana con u n a t e m p e r a t u r a elettronica d a t a d a : r = T + mx (—2)" h(v) 67cTfco2 + ^ ) . \ mi 1 \ 1 U n a volta n o t a la funzione di distribuzione f2 e possibile conoscere la veloeita di diffusione W2 degli elettroni e quindi il flusso di cariche elettriche cioe la corrente I d a t a da: I = n 2 e 2 w 2 . [2.7] Tale grandezza h a c a r a t t e r e vettoriale si pu6 scrivere i n f a t t i : [4c7in2e2\ I = \ 3m2 JtE + J2 [Ho A E + J3Ho A [HO A E [2.8] dove Jx, J2 e J3 sono grandezze scalari definite in termini delle grandezze introdotte nella [2.6]. Come si vede vi e u n contribute parallelo al campo elettrico pro- porzionale ad Jlf uno perpendicolare sia ad E che H0 ed uno perpendi- colare ad H0 ed alia normale ad H0 ed E. Due casi limiti sono interessanti: H0 parallelo ad E in cui la corrente I e parallela E e non risente del campo magnetieo ed H„ perpendicolare ad E. I n questo caso si manifestano nella massima intensita i fenomeni di aniisotropia del coefficiente di conduttivita elettrica. 150 A . P O Z Z I - G. C O N T U R S I I n particolare in questo caso si h a u n a corrente elettrica perpendi- colare al campo elettrico e magnetico. Questo fenomeno costituisce la legge di Hall. II coefficiente di Hall, definito come rapporto t r a campo elettrico applicato e la corrente I e quindi: E y 3 m2 Ho J 2 B = ~ = 4 7i n2 e2 J1 — Ho2 Js Ho2J\ [2.9] per co = 0, per /<°>2 maxwelliana e v\wH < 1, e B = (3tt/8) H0/n2e2 . [2.10] L'interesse per la precedente trattazione risiede nel f a t t o che con- sent® u n a i m m e d i a t a valutazione della conduttivita di Hall, secondo la [2.10], sulla scorta di determinazioni sperimentali russe. Pig. l I n (3) e, in particolare, r i p o r t a t a la legge di distribuzione degli elettroni in quota. I n Pig. 1 si riporta tale legge di distribuzione. Dalla 1 S e n [2.10] si t r a e che la conduttivita a = — = -—~TT 2 e, a p a r t e il f a t t o r e _ K OTI id. o o e di scala — 2 , r a p p r e s e n t a t a dal diagramma di Pig. 1. I M P O R T A N Z A D E L L A L E G G E D I I I A L L N E I F E N O M E N I I O N O S F E R I C I 151 3 . - ALCUNI RISULTATI CIRCA L'INFLUENZA SULLE CARATTERISTICHE DEL MOTO. Alio scopo di effettuare delle valutazioni quantitative, e il caso di prendere in considerazione qualche caso eleinentare analiticamente t r a t - tabile ed atto, quindi, a fornire alcune prime indicazioni. Consideriamo, pertanto, il moto bidimensionale di u n a massa d'aria elettricamente conduttrice in presenza di un campo magnetico (*) invpo- sto, normale alia giacitura caratteristica del moto. Non esistono campi elettrici imposti: quelli esistenti saranno dunque esclusivamente dovuti a fenomeni di induzione. X Sia (Fig. 2) x z il piano del moto. D e t t i , al solito i, j, h, i t r e versori della t e r n a prescelta, la forza ponderomotrice per u n i t a di volume as- sume l'espressione (cfr. formula [2.8]) J A B = Fx + F2 = axB\ (ui + w k) + a2 B2„ ( — u h + w i) [3.1] La bidimensionalita del moto u n i t a all'ipotesi di stazionarieta, com- porta che le proiezioni dell'equazione di equilibrio si riducano alle seguenti: QUUX + QWUZ = — FX — B-0Axu — B'!0(T2W [3.2] QUWX + QWIVZ = — p2 +