S u l l ' i n t e r a z i o n e f r a l e p a r t i c e l l e d e l s o l i d o i d e a l e P . E . V A L L E R i c e v u t o il 18 M a g g i o 19(53 RIASSUNTO. — V i e n e m o s t r a t o c h e l ' i n t e r a z i o n e t r a le p a r t i c e l l e d e l s o l i d o i d e a l e p u ò e s s e r e v a l u t a t a s e n z a u s c i r e d a l q u a d r o d e l l a t e o r i a d e l c a l o r e s p e c i f i c o . Q u e s t a v a l u t a z i o n e r i c h i e d e il c a l c o l o d i u n ' i n t e g r a l e , d a c u i v i e n e r i p o r - t a t a u n a t a b u l a z i o n e . S u m m a k y . - - T h e i n t e r n a i p r e s s u r e d u e t o t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e p a r t i c l e s of t h e s i m p l e s t f o r n i of s o l i d is e v a l u a t e d . INTRODUZIONE. L a teoria del solido ideale conduce a d un'equazione (li s t a t o secondo la quale la pressione i n t e r n a , che equilibra u n a pressione esterna di tipo idrostatico, può essere divisa in d u e p a r t i . U n a p a r t e è costituita dalla pressione di radiazione delle onde elastiche di agitazicne t e r m i c a , m e n t r e l ' a l t r a è d o v u t a all'interazione t r a le particelle del solido. La pressione di radiazione delle onde elastiche di agitazione t e r m i c a è facilmente valutabile, specialmente p e r t e m p e r a t u r e superiori alle tem- p e r a t u r e caratteristiche, m a il p r o b l e m a della valutazione della pressione d o v u t a all'interazione t r a le particelle del solido p r e s e n t a notevoli dif- ficoltà. Si può mostrare p e r a l t r o f1) come sia possibile risolvere questo pro- b l e m a senza uscire d a l quadro della teoria del solido ideale, la quale, se non altro, h a il merito di aver c o n d o t t o ad u n a valutazione del calore specifico a volume costante conforme ai r i s u l t a t i sperimentali. 0 8 2 P . E . V A L L E T E O R I A . O v e si i n d i c h i con p la pressione t o t a l e , con o l a d e n s i t à di m a s s a , con Ui e Ut le energie i n t e r n e di agitazione t e r m i c a , a s s o c i a t e r i s p e t t i - v a m e n t e alle o n d e l o n g i t u d i n a l i e trasversali, con f(o) la pressione in- t e r n a d o v u t a a l l ' i n t e r a z i o n e f r a le particelle del solido, l ' e q u a z i o n e di s t a t o del solido ideale, s o t t o p o s t o a pressione di t i p o i d r o s t a t i c o , si scrive V — /(?) + Q 2 V'" U" [1] (m l, t, t) . Il secondo t e r m i n e a secondo m e m b r o di q u e s t a e q u a z i o n e r a p p r e - s e n t a l a pressione d i radiazione delle onde di a g i t a z i o n e t e r m i c a e con- t i e n e l ' e n e r g i a Ut d u e v o l t e , in relazione ai d u e possibili p i a n i di pola- rizzazione delle o n d e t r a s v e r s a l i . Le f r e q u e n z e m a s s i m e delle onde di a g i t a z i o n e t e r m i c a sono d a t e d a ' 3 I W A , j \ \ 4 7 1 A [2] (TO = l, t) nella q u a l e con vt e vt sono s t a t e i n d i c a t e r i s p e t t i v a m e n t e le velocità delle onde l o n g i t u d i n a l i e t r a s v e r s a l i , con N il n u m e r o di A v o g a d r o e con A il peso a t o m i c o . Il p a r a m e t r o ym è d a t o poi dalla relazione 3 log (flmg1/3) ì> log p [ 3 ] O r a , i n q u e s t a t e o r i a , le c o s t a n t i elastiche, che d e t e r m i n a n o le f r e - quenze delle onde d i agitazione t e r m i c a , d i p e n d o n o s o l t a n t o dalle forze i n t e r a t o m i c h e . P e r t a n t o q u e s t e c o s t a n t i d o v r a n n o essere v a l u t a t e in m o d o d a n o n i m p l i c a r e v a r i a z i o n i delle energie di a g i t a z i o n e t e r m i c a e d o v r a n n o i n o l t r e r i s u l t a r e i n d i p e n d e n t i dalle energie t e r m i c h e stesse. D a t o che l ' e q u a z i o n e di s t a t o [1] è v a l i d a p e r v a r i a z i o n i isotrope ed omogenee di v o l u m e , è c o n v e n i e n t e i n t r o d u r r e il m o d u l o di compres- sibilità K, il q u a l e è legato alle velocità delle onde elastiche longitudinali e trasversali della n o t a relazione K P 4 = vP — - Vt" [ 4 ] s u l l ' i n t e r a z i o n e f r a l e p a r t i c e l l e d e l s o l i d o i d e a l e 0 8 3 L a v a l u t a z i o n e d i K d o v r à essere e f f e t t u a t a m e d i a n t e la relazione e d o v r a n n o essere s o d d i s f a t t e le condizioni / 2>2T\ „ / ì>K \ («4 u r ' [6] Dall'equazione di s t a t o [1], dalla [5] e dalla [6] si o t t i e n e f a c i l m e n t e df K = do 7] gym = Qoyo,, (m = l, t) nelle quali g0 e y„m sono certi valori iniziali di queste grandezze. I n t r o d u c e n d o le [8] nella [31 r i s u l t a Vm — Vom lpo\U Vomii - e \ g) (m = l, t) [8] [9] Queste espressioni m o s t r a n o che le velocità delle onde di agitazione t e r m i c a longitudinali e t r a s v e r s a l i d i p e n d o n o s o l t a n t o dalla d i s t a n z a m e d i a t r a le particelle del solido. È facile verificare poi che le f r e q u e n z e m a s s i m e r i s u l t a n o d a t e dalla semplice relazione 11 yom 11 — Vm — Vom e \ gì [10] La pressione i n t e r n a f(g) d o v u t a a l l ' i n t e r a z i o n e t r a le particelle del solido ideale si o t t i e n e ora f a c i l m e n t e . Dalla [71 si h a --f = — e q u i n d i t e n u t o conto delle [1] e [9] do o risulta df _ do " \ p) 2U Voi e \ o / V-nt e yot 1 — Oo [ 1 1 ] 6 8 4 1>. K. VALLE Se si p o n e Ìm(g) fm{Qo) = V2om I (QOYU d g [ 1 2 ] Qo (m = l, t) si a v r a KQ) - f(eo) = //(e) - Meo) - Me) — f'(Qo) [ 1 3 ] T e n u t o c o n t o c h e yai e yot sono assai prossimi, è s t a t o m o s t r a t o (') c h e la p r e c e d e n t e p u ò essere s c r i t t a , con b u o n a a p p r o s s i m a z i o n e , nella f o r m a Po ' \ O I Qo nella quale [14] r = yoi + — - (yoi — yot) [15] con a 4 v*0 3 v-0 [10] CALCOLI N U M E R I C I . L ' u t i l i z z a z i o n e della [13] o della [14] p e r la v a l u t a z i o n e della pres- sione d o v u t a a l l ' i n t e r a z i o n e t r a le particelle del solido ideale, richiede il calcolo di u n ' i n t e g r a l e del t i p o x F(x) = / 3 e ~ ì dì; [17] o c o m e r i s u l t a d a u n a facile t r a s f o r m a z i o n e della [12] o della [14]. P . E . V A L L E F i g . 1 s u l l ' i n t e r a z i o n e f r a l e p a r t i c e l l e d e l s o l i d o i d e a l e GS7 I l calcolo n u m e r i c o d e l l a f u n z i o n e F(x) è s t a t o e f f e t t u a t o d a l l ' a u t o r e in occasione d i p r e c e d e n t i l a v o r i (*), (2), i q u a l i p e r ò c o n t e n g o n o sol- t a n t o d i a g r a m m i p a r t i c o l a r i , m e n t r e è c o n v e n i e n t e a v e r e a disposizione u n ' a d e g u a t a serie d i v a l o r i d i q u e s t a f u n z i o n e , p e r l ' u t i l i z z a z i o n e del- l ' e q u a z i o n e di s t a t o [1]. Si r i p o r t a p e r t a n t o i n q u e s t a n o t a , u n a t a b u l a z i o n e della F(x) ese- g u i t a d a l l ' I s t i t u t o p e r le A p p l i c a z i o n i del Calcolo, con l a c a l c o l a t r i c e e l e t t r o n i c a F . I . N . A . C . , la q u a l e è d a r i t e n e r e sufficiente p e r m o l t e ap- p l i c a z i o n i . L e F i g g . .1 e 2 i l l u s t r a n o l ' a n d a m e n t o della f u n z i o n e F(.r). B I B L I O G R A F I A P ) P . E . V a l l e , Un'equazione di stato per i soliili. « A n n a l i ili G e o f i s i c a », 6. 1 8 3 - 1 9 7 ( 1 9 5 3 ) . (2) P . E . V a l l e , Una stima del punto di fusione del ferro sotto alte pressioni. « A n n a l i d i G e o f i s i c a » . 8 . 1 8 9 - 2 0 0 , ( 1 9 5 5 ) .