Das skalare, d u r c h einen rechteckigen Iinpuls 

in einem h o m o g e n e n m e d i u m erzeugte Potential 

(Erste Naherungsrechnuiif») 

A . B E L L U I G I 

Wir wollen vorerst das Problem der Erregung des Erdbodens mit 
Impuls-Stròmen grundlich untersuchen, um die Messung der « Luecken-
Potentiale », (praktische Anwendung des Elflex), durchfuhren zu konnen. 
Die Autoren, die sich in der Vergangenheit mit dieser Methode beschàf-
tigt haben, weisen zwar auf die Anwendung der Impuls-Stròme hin 
oline sie jedoch in ihren Theorien iiberhaupt zu berucksichtigen. Dies 
bedeutet gleich von Anfang an eine schwerwiegende Unzulangliclikeit, 
da dadurch die « Periodizitàt der Lùcken » ausfallt. 

Es seien: R die Ladungsdichte, <Z> das skalare Potential, /LI die 
magnetische Permeabilitat, le die Dielektrizitàtskonstante, a die Leit-
fàhigkeit. 

Dies vorausgestellt, erfiillt die Ladungsdichte (Z1), wie wir bereits 
gesehen haben, in einem homogenen Boden, folgende Gleichung: 

mit der Ladungsdichte y fur t = 0; fùr t = T ist F = y/2,718. 
Andererseits genùgt das « skalare Potential » folgender Gleichung: 

b i n a T = 0 , 
ì>t 

[1] 

wobei a = ajk , 1/a = r 

und somit: 

r = ye-faa(== ye~intlT [2] 

[3] 

die infolge GÌ. [2] und wenn man die Beziehung v — I/I7ih (Signal-



1 5 0 A . B E L L U I G I 

Geschiwndigkeit) berucksichtigen will, folgende Form (ftìr t > 0) 
annimmt: 

1 W ^TTCt -ina! A 0 _ _ = — y e . [3 ] 
v2 a*2 v2 -òt h y L J 

Setzt man: 

0 : rpe~2 7 l a t [4] 

so verwandelt sicli GÌ. [3'] in folgende: 

. 1 52w 4 ti2 a- in _ 9 w 
zJ w — H — w — — — y e ZnaX . [5] 

r "2 M2 v2 y A: L J 

Wenn man annimmt, das (a = ajh) genùgend klein ist, sodass 
die Gròssen (a2)-ter Ordnung vernaclilàssigt werden kónnen, so redu-
ziert sich GÌ. [5] auf nachstehende Beziehung: 

^ 1 ^V> —9rrni rr-f-, 

die dieseble Form der « Wellengleichung »: 

- 2 y ) = — 4jif [6] 
r v2 ì<2 ' 

besitzt und aus der man die Losung mit Hilfe der « verzogerten Po-
tentiale » erhàlt. 

W i r heben sofort hervor, dass es nicht immer gestattet ist, die Gròs-
sen (a2)-ter Ordnung zu vernachlàssigen. In einer zweiten Nàlierungs-
rechnung wird hiervon Eechnung getragen werden. 

Ini Falle eines unendlich ausgedehnten homogenen Mediums nimmt 
die Losung folgende Form (Formel von Kirehhoff) an: 

+ ce 

y> = [ [ [ e - 1 [/ di dVdC . [7] 
JJ.Ì ht-v/e) 

Der weggelassene Flàchenintegral-Summand ist in identischer 
Weise gleich Nuli, was man erkennt, wenn die Flàche S vom Sender 
des einzelnen z. B. recheckigen Impulses so weit entfernt ist, dass zur 
Zeit (t) noch kein Punkt derselben erreicht worden ist; das Symbol [ ] 
bezeichnet « verzogerte Werte ». 

Die Entfernung: 

Q = [(:x-i)2 + ( y - v ) 2 + ( z - C ) 2 ] 1 ' 2 

ausserdem muss (t) in (/) durch (t = qjv) ersetzt werden. 



D A S S K A L A R E , D U R C H E I N E N R E C H T E C K I G E N I M P U L S , TJSW. 151 

Nelimen wir rum eine « punktfòrmige Elektrode » im Nullpunkt 
an, die ini Zeitpunkt (t = 0) eine momentane Ladung (q) liefert. Dies 
bedeutet, dass die Ladungsdichte gleich: 

y = g • S ( i ) ó(v) d(C) [8] 

gesetzt wird, wobei ó(£) die Funktion von Dirac bezeichnet, welche be-
kanntlich liberali gleich Nuli und fiir f = 0 gleich unendlich ist, sodass: 

+ CO 

f m ò(o cu = /(o) 
— co 

G(x,y,z; £,v,0 ò(0 ò(ri) d(0 d£ drj dC = q (x,y,0; 0 , 0 , 0 ) . 

Da ferner, fùr t < 0, das Feld gleich Nuli ist, muss man fur (/) 
in GÌ. [6] folgenden Ausdruck setzen: 

/ = 0 , fiir t < 0 

f = -j^ò(Oà(ri)ò(Oe-
[9] 

Mit diesem W e r t von (/), infolge der vorherigen Deflnition der Funk-
tion von <( Dirac », liefert GÌ. [7] sofort: 

y> = 0 , fùr t < rjv ; r2 (x2 + y2 - f z2) \ 

y> = - ® - . e x p . ( l — 2 j z a ( t — r/v)] , fiir t>r/v. \ ^ ^ 
T li ) 

Aus den GÌ. [10] und [4] erhàlt man unmittelbar fùr die 0: 

0 = 0 , fùr t < rjv 

0 = exp [—2na(2t — r/vj] , fùr t>rjv. ' ^ 
V li 

Wenn der Impuls liingegen ini Zeitpunkt ( r ) anstatt im Zeitpunkt 
(< = 0) erzeugt wird, dann genùgt es in die GÌ. [11], (t — r ) an Stelle 
von (t) zu setzen und man erhàlt: 

0 = 0 , fùr t — r < r/v | 

0 = - q, exp [ — 2na(2t — 2 r — r/v)] , fùr t — x > rjv . ì [11 ] 
T li J 

Nelnnen wir an, dass der rechseckige Impuls die Dauer ( T ) habe 
und dass somit ini Zeitintervall (0 < r < T) v o m Stroni J = Q/T die 
Ladung (Q) gehefert werde. Uni dio diesem Zustande entsprechenden 
Formeln zu erhalten, genùgt es offensichtlich die Wirkungen der ein-



1 5 2 A . BELLTJIGI 

zelnen Impulse zu integrieren. Man gelangt auf diese Weise zum fol-
genden Ausdruck fiir das Potential (<p): 

T 

<p = j 0(T) dr [12] 
d 

wobei (&) durch GÌ. [11'] gegeben ist und an Stelle von GÌ. [9] die Be-
ziehung J = Q/T eingesetzt wurde. 

Auf Grund der doppelten Definition von (0) siehe GÌ. [11'] muss 
man drei Falle unterscheiden: 

a) t < r/v, d. h. vor Ankunft des Impulses in der Entfernung (r). 
b) r/v < t < r/v + T d. li. die der Ankunft des Impuls-Beginnes 

folgende jedoch seinem Ende vorstehende Augenblicke. 
c) t > r/v T d. h. Augenblicke die der Ankunft des gesamten 

Impulses folgen. 
I m Falle a) ist die 0 (T) = 0 im gesamten Intervalle (0 < T < T) 

und somit ist (cp = 0). 
Ini Falle b) ist 0 (r) = 0 fuer r > t — r/v und verschieden von 

Nuli fuer (0 < r < t — r/v < T) sodass die (cp) siehe GÌ. [11'] und [12] 
aus folgender Beziehung berechnet wird: 

t—r/v 

cp = I" exp [ — 2na (2t — 2 r — r/v)] dr 

o 

I m Falle c) ist & (r) 0 im gesamten Intervalle (0, T) und wird 
infolgedessen die Integration auf das gesamte Intervall ausgedehnt. 
Die (cp) wird somit durch folgende Beziehung: 

T 

<p = I exp [ — 2jza (2t — 2r — r/v)] dr 
T K ! 

0 
berechnet. Nach Durchfiihrung der angegebenen Integrationen, gelangt 
man fiir die (9?) zu folgenden Ausdriicken: 

<p = 0 , fiir t < r/v 

= -J—\e-2narlv_e-2na{2t-r/v)} = 
2tzar l > | 

J »' ' , m ì M 

9 

sin h 2 ti a (t—rlv) e-Zjtal , fiir — < < < — + T 
2nar v v 

— sin/i 2na T • e-2na(2t-T-r/v) fùr- t > — + T 
2:zar v 

Gap Potential 



D A S S K A L A R E , D U R C H E I N E N R E C H T E C K I G E N I M P U L S , U S W . 1 5 3 

Man beachte, dass fiir einen festen Wert von (r) die ( $ ) den Wert (0) 
bis zum Zeitpunkt rjv (Ankunft des Impuls Beginnes) annimmt, bis zum 
Zeitpunkt (r/v + T) (Ankunft des Impuls-Endes) bis zum Hòchstwert: 

J rn e — 
w,n = — sin A, 2na T e~2naT • [141 

2 no r 

anwàchst und nachher rapid bis Nuli abnimmt. 
Fiir t = T + rjv nimmt das « Gap-Potential » folgende Form an : 

<P = 

<P 

7 = 

2 nar 

J 

r r 
2T + 2 T— — 

v v 

2nar 

J 

2nar 

sinfe 2naTe~2jla 

h2naT e-2na(T-r!v\ oderfur t = T+ — +r [13'] — sin 

m\h 2naT e~2na T + 2 r 
v 

ABSTRACT 

The theory exposed in tliis paper gives an approximative evaluation 

of the « electric scalar potential » in a low conductivity undefinite homoge-

neous medium, generated by an electrode ivhich supplies a « unit current 

pulse », with velocity of propagation v. 

The case of a « square » pulse of duration T is examined, obviously it 

is sufjficient to integrate the effects of each pulse. 

Therefore the « direct scalar potential » and the « gap potential » are 

approximatively evaluated. 

RIASSUNTO 

La teoria qui data comporta una valutazione approssimativa del « po-

tenziale elettrico scalare » in un mezzo indefinito omogeneo a bassa condut-

tività, generato da un elettrodo che fornisce un « impulso unitario » di cor-

rente, propagantesi con velocità v. 

È esaminato anche il caso di un « impulso rettangolare » di corrente di 

durata T, integrando gli effetti d'ogni singolo impulso unitario. Pertanto 

si calcola approssimativamente sia il potenziale diretto che il gap potential.