O s s e r v a z i o n i su u n a f o r m u l a d e l c a m p o g r a v i t a z i o n a l e 

d e l S o m i g l i a n a 

G I O V A N N I BOAGA ( * ) 

C. Somigliarla dapprima in due Note separate e poi nella memoria 
fondamentale sulla « Teoria generale del campo gravitazionale ellissoi-
dieo » (2) ha reso nota la formula: 

g1 (cos2 <p2 —• cos2 9?3) j/ 1 + i2 cos2 9?! + 

+ g2 (cos2 cp3 — cos2 9^) )/ 1 + i2 cos2 cp„ + [1] 

+ g3 (cos2 cpl — cos2 cp2) j/ 1 + i2 cos2 cp3 = 0 

con glf g2, g3 gravità alle latitudini cpx, (p2, <p3 ed i2 quadrato della 
eccentricità aggiunta (**). 

Su questa formula il chiaro Autore osserva che, « se si considera in-
cognita la eccentricità aggiunta i e note le tre gravità (h, g2, g3 e le cor-
rispondenti tre latitudini <px, <p2, <p3 si otterrà una equazione in i che 
risoluta rispetto i ci permetterà di calcolare lo schiacciamento a del 
geoide ellissoidico ( * * * ) e quindi la sua forma, per mezzo di tre gravità 
e senza la preventiva conoscenza della grandezza degli assi dell'ellis-
soire terrestre ». 

L'equazione cui fa cenno il Somigliana, senza però scrivere in forma 
esplicita i rispettivi coefficienti, è la seguente: 

L-i* + M-i2 + N = 0 [2] 

ottenuta razionalizzando la [1]. 

(*) Direttore dell'Istituto di Geodesia e Topografia della Facoltà di 
Ingegneria dell'Università di Roma. 

( * * ) Ossia i2 = (a2 — b2): b2 con a, b semidiametri equatoriale e polare 
dell'ellisoide rotazionale terrestre. 

( * * * ) 1 due parametri a ed t2 risultano tra loro legati dalla relazione: 
(1 + i2) (1 — a)2 = 1. 



1 5 6 G. B O A G A 

Fatte le posizioni 

i A = gt (cos2 (pi — cos2 953) 

B = g2 (cos2 cp3 — cos2 ipj) [3] 

' C- — 9* (cos2 9?! — cos2 <p2) 

i coefficienti L, M e N della [2] risaltano cosi definiti: 

/ L = (A'+B' + C) (—A'+B' + C) (A'—B' + C) (A'+B'—W) 

] M = A'2 (—A2+B2 + G2) + B'2 (A2—B2+C2) + C'2 (A2+B2—C2) [5] 

' N = (A+B + C) (—A+B+G) (A—B + G) (A+B—C) . 

A = A • cos cp,, 

B' = B-cos 9?2 [4] 

C' = G-cos 9?3 

Facciamo presente che la [2] fornisce il valore della eccentricità ag-
giunta i2 proveniente dalle misurazioni geodetiche (triangolazioni) nel 
solo caso in cui al posto delle tre gravità che figurano nelle posizioni [3], 
e quindi nei coefficienti L, M, N, siano sostituite gravità ellissoidiche 
normali ossia gravità teoriche e non gravità osservate, in quanto queste 
ultime risultano generalmente affette dal disturbo del campo gravitazio-
nale normale, provocato dalla diversa distribuzione delle masse interne 
terrestri, disturbo che altera talvolta in maniera sensibile le gravità 
osservate, ridotte come d'uso al livello medio del mare per l'effetto del-
l'altezza del punto di osservazione sul livello marino e per la topografia 
circostante il punto di osservazione. Queste alterazioni delle gravità 
prendono il nome di anomalie gravimetriche-, e sono appunto queste ano-
malie che influiscono sensibilmente sul calcolo di i2; esse d'altronde non 
si possono separare dalle gravità osservate, se non confrontandole con le 
gravità normali, provenienti dalla [1] e quindi ammettendo a priori il 
valore normale del quadrato della eccentricità aggiunta che si vuole 
determinare. 

Scopo del presente studio è appunto quello di mettere in rilievo 
l'influenza delle anomalie della gravità sulla determinazione dello 
schiacciamento terrestre. 

Ciò premesso, se nella [1] — per maggior semplicità di successivi 
conteggi — si assumono per g2 e g3 i valori (noti) delle gravità equato-
riale (gc = 978,049 gal) e polare (gP = 983,221 gal) per cui cos e/)., = 1 
e cos <p:ì = 0, rimane una sola gravità arbitraria, la <h, che ora indiche-
remo semplicemente con g, e intenderemo con la 9? la corrispondente 
latitudine. 



O S S E R V A Z . SU U N A F O R M U L A D E L C A M P O G R A V I T A Z I O N A L E D E L S O M I G L I A N A 157 

Con questa limitazione la formula [1] diviene: 

g \ 1 + i2 cos2 cp — ge cos2 cp \ 1 + i2 — gp sen2 cp = 0 [6] 

e le posizioni [3] e [4] assumono le nuove forme: 

A = g 

B = — ge cos2 cp [7] 

C = — gp sen2 cp 

A' = g cos cp 

B' — — gc cos2 cp [8] 

C" = 0 

e successivamente 

Ì
L = — cos4 cp (g2 — ge2 cos2 cp)2 

M = — cos295 \(g2—ge2 cos2<p) (g2—gi2cos4cp)—gP2se]ii<p{g2+g2co&2cp)\ [9] 

N = 4 ge2 gp2 cos4 cp sen4 cp — (g2 — ge2 cos4 cp — gp sen4 cp)2 

Assumendo per gravità g quella alla latitudine cp = 45° con che: 
sen29? = cos2 cp = sen4 cp = cos4 cp = sen8 cp — cos8 cp = 1/16, 
le [9] assumono le forme: 

Allorché varia il valore della gravità g per effetto di una anomalia 
Ag, variano i coefficienti [10], generando in base alla [2] una variazione 
zìi2 di i2 legata alle variazioni AL, AM, AN dei coefficienti, dalla: 

L = : - y4 u/ - y2 g/r 

M = - y2 \(g2 - y2 g2) (g2 - % g2) - % gp2 (g2 + % [10] 

N = y4 g/ gp2 - (g2 - % gè1 ~ 2/4 gP2)2 

dove g = <7J5. = 980,629 gal. 

Ai2 = 
i*-AL + i2-AM + AN 

~ 2 i* L + M 
[11] 

con 

AL 

AM 

AN 

[12] 



1 5 8 G. B O A G A 

Introducendo per ge, gp i valori dianzi richiamati si giunge 
con la [11] alla: 

Ai2 = 0,000949 • zl£r<msaI) [13] 

dove Ag[msaX) indica che la anomalia va espressa in milligal. 
Indicando con m l'inverso dello schiacciamento a (m = 297), la va-

riazione Ai1 è legata alla variazione Am di m dalla relazione 

2m . Am r ,„ 
2 = { m ^ l j 3 ' = 4366CT [ 1 4 ] 

eppertanto eliminando dalle [13] e [14] il Ai2 si perviene alla: 

Am = 41,3 • [ l o ] 

atta ad esprimere la variazione dello schiacciamento della Terra in funzione 

della anomalia gravimetrica Ag. Eppertanto se Ag = + 1 milligal la [1] e 
conseguentemente la [2] fornisce per i2 un valore tale che rispetto a quello 
attualmente accettato dalla Unione Geodetica e Geofisica Internazionale, 
produce una variazione di 41 unità sull'inverso dello schiacciamento. 
E poiché non si possono utilizzare gravità osservate prive di anomalie, 
se non si vogliono effettuare dei semplici controlli numerisi (*), cosi 

(*) A proposito di controlli numerici osserviamo clie introducendo nel-
la [6] al posto di ge il valore consaputo 978,049 gal ed al posto di Qp e 945» 
rispettivamente i valori 983,221 3143 gal, 980,629 3867 gal e per i2 il valore 
proveniente dalle misurazioni geodetiche, che fornisce lo schiacciamento 

a = ' , ossia i2 = 0,006768170197186374 la [6] stessa non risulta identi-
297 

camente soddisfatta, ma presenta il residuo: + 0,00001545 gal che viene an-
nullato lasciando inalterati i valori gravimetrici sopra scritti, se si altera il 
valore di i2 della quantità 

0,00007466205 

il che produce una variazione nel denominatore dello schiacciamento del-
l'importo 0,6 cioè minore di una unità. Si vede pertanto che i valori gravi-
metrici da introdurre nella [1] debbono essere considerati con sette cifre 
decimali del gal, ed i2 con ben diciotto cifre decimali data la sensibilità della 
formula considerata, se si vuole condurre il calcolo con cifre esatte fino al 
centesimo di milligal ossia fino al milionesimo di gal, ordine di grandezza 
talvolta raggiungibile oggi con i gravimetri per le determinazioni delle gravità 
relative. 

Il Somigliana che ha eseguito tali calcoli con gravità limitate a sole 
tre cifre decimali del gal ha ottenuto, data la grande sensibilità della formula 
per la i2 una variazione che ha portato lo schiacciamento da 1/297 a 1/256! 



O S S E R V A Z . SU U N A F O R M U L A D E L CAMPO G R A V I T A Z I O N A L E D E L S O M I G L I A N A 1 5 9 

dobbiamo concludere, dal punto di vista geodetico, e senza diminuire 
la grande importanza teorica della formula [1] di C. Somigliana, che essa 
non si presta alla determinazione dello schiacciamento, oppure del rap-
porto dei semi assi equatoriale (a) e polare (b) dell'ellissoide terrestre (*), 
in funzione delle gravità osservate, causa appunto la presenza in queste 
delle anomalie gravimetriche, che influiscono, in maniera assai rilevante, 
sulla determinazione del quadrato della eccentricità aggiunta. 

RIASSUNTO 

L'Autore mette in evidenza l'alto grado di sensibilità numerica della 

formula del Somigliana, che lega i valori di tre gravità, a tre latitu-

dini diverse, al valore della eccentricità terrestre. 

ABSTRACT 

The Autlior puts in evidence the high degree of numerical sensi-

bility of Somigliana's formula that unites the vàlues of three gravities, 

at three different latitudes, to the value of Earth eccentricity. 

B I B L I O G R A F I A 

( 1 ) S O M I G L I A N A , C . , Sulla determinazione delle costanti del geoide mediante 
misure di gravità. « Atti dell'Aco. delle Scienze » di Torino, Voi XVII, 
Rendiconti del « Seminario Matem. e Fisico » di Milano, Anno I, Voi. 1. 
Si veda pure in detto Seminario, ecc. la Nota di E. B I A N C H I dal titolo: 
Osservazioni sulla Comunicazione del Prof. SOMIGLIANA, ecc. stesso 
volume. 

(2) « Memorie della Società astronomica Italiana », IV. 

(*) Si osservi che tale rapporto è legato al quadrato della eccentricità 
aggiunta dalla relazione a : b = ]/ 1 i2.