S U L L ' O M O G E N E I T À E S U L L O S T A T O D I E Q U I L I B R I O 

D E L M A N T E L L O I N T E R N O D E L L A T E R R A 

P . E. VALLE 

Introduzione. — I n una nota p r e c e d e n t e ( * ) è stato posto in evi-
denza che le velocità d e l l e o n d e elastiche di agitazione termica di un 

solido isotropo, o m o g e n e o , di t i p o m o n o a t o m i c o , sono date dalle re-

l a z i o n i 

n e l l e quali p è la densità, y o m un p a r a m e t r o e gli i n d i c i 1 e t si 
r i f e r i s c o n o alle o n d e l o n g i t u d i n a l i e trasversali r i s p e t t i v a m e n t e . 

Queste velocità sono d e t e r m i n a t e dai m o d u l i valutati ad e n e r g i e 

t e r m i c h e costanti, ma se la temperatura del s o l i d o è superiore alle 

t e m p e r a t u r e caratteristiche, c o i n c i d o n o con le velocità isoterme. 

I n questa nota si studiano alcuni p a r t i c o l a r i d e l l ' a n d a m e n t o di 

tali velocità in uno strato o m o g e n e o , in e q u i l i b r i o idrostatico, in re-

l a z i o n e al g r a d i e n t e di temperatura e n e l l ' i p o t e s i che la t e m p e r a t u r a 

stessa sia s u p e r i o r e alle t e m p e r a t u r e caratteristiche. 

C o m e a p p l i c a z i o n e v i e n e tentata una v e r i f i c a , per il m a n t e l l o in-

t e r n o della T e r r a , d e l l e ipotesi su cui poggia il calcolo del m o d e l l o A 

di K . E. B u l l e n . 

Si p r e m e t t o n o alcune c o n s i d e r a z i o n i sulle t r a s f o r m a z i o n i adiaba-

tiche r e v e r s i b i l i . 

Trasformazioni adiabatiche. —• Se la temperatura è superiore alle 
t e m p e r a t u r e caratteristiche, l ' e n t r o p i a di un solido può essere espres-

sa, con sufficiente approssimazione, dalla r e l a z i o n e (M 

S = - S W — (m = L t, l) 
A T 

R 0, 'ni [2] 

n e l l a q u a l e jR è la costante dei gas, A il peso a t o m i c o , 0„, sono l e 

t e m p e r a t u r e caratteristiche e T la temperatura assoluta. 



* 

3 4 P . E. V A L L E 

Se si indica con l ' i n d i c e z e r o un certo stalo i n i z i a l e si ha dalla [ 2 ] 

A I 3 G„i 0 - „ , 
— (S — 5„) - log —— L3] 

R e t „ 3 e, e,2 

o anche, tenendo presente che le t e m p e r a t u r e caratteristiche sono pro-

p o r z i o n a l i alle f r e q u e n z e massime di v i b r a z i o n e , 

4 T s v , v2 , 
— ( S — S „ ) = log —— 

R T „ ; ì vi v , 2 

Ora nella nota già citata ( r ) è stalo d i m o s t r a t o che 

V 0 „ , ( l -
v,„ = v m e \ " / 

e q u i n d i risulta 

r - r . . ^ - * ) ^ M 

nella quale y n è il p a r a m e t r o di Griineisen, dato da 

v , 4 - 2 v 
Y „ = Y < " ^ T < " [ 5 ] 

e cy è il v a l o r e classico del c a l o r e specifico a v o l u m e costante, ossia 

Ò R r n c v — —— [ 6 ] 

Se si considera una t r a s f o r m a z i o n e adiabatica r e v e r s i b i l e ch e porti 

il solido dalla densità p„ alla densità p, la [ 4 ] d i v i e n e 

T = T e''" ( l ~ f ) [ ? ] 

Questa r e l a z i o n e si trova già accennata in p r e c e d e n t i l a v o r i del-

l ' A u t o r e e può essere scritta anche nella f o r m a 

T s 
= costante [ 8 ] 

p l'i I V 



S U L L ' O M O G E N E I T À E S U L L O S T A T O DI E Q U I L I B R I O DEL M A N T E L L O D E L L A T E R R A 3 5 

Si può v e d e r e f a c i l m e n t e che se la temperatura i n i z i a l e T„ soddisfa 
la c o n d i z i o n e 

7',, > 0 e Y " [ 9 ] 

una compressione adiabatica mantiene la t e m p e r a t u r a sempre al diso-

pra d e l l e t e m p e r a t u r e caratteristiche. 

Gradienti di temperatura. — Si consideri uno strato o m o g e n e o , 
isotropo, nel q u a l e la v a r i a z i o n e della velocità v,n con la p r o f o n d i t à li 
è determinata soltanto dalla v a r i a z i o n e della densità p e non dai va-

lori i n i z i a l i dei p a r a m e t r i che c o m p a i o n o nella [ 1 ] . Si avrà 

dvm _ 3 v,„ d p 

d li 3 p d li 
[10] 

L a densità p può essere pensata f u n z i o n e della t e m p e r a t u r a T e della 

pressione p attraverso l ' e q u a z i o n e di stato, e q u i n d i 

_ ' i p _ dr\ 

dh S p \ K t dh dh) 

nella quale K. è il m o d u l o di compressibilità isoterma e a la dilata-
z i o n e t e r m i c a . 

Se l ' e q u i l i b r i o è idrostatico la [ 1 1 ] si scrive 

d vn, _ $ vm p L dT\ p 2 - | 

dh 3 p KY d h 

d o v e g è il c a m p o g r a v i t a z i o n a l e . 

C o n v i e n e i n t r o d u r n e il g r a d i e n t e di temperatura T,. per cui la 

velocità r i m a n e costante al v a r i a r e di li e che v e r r à c h i a m a t o gra-
diente critico. Si avrà 

n or 
[ 1 3 ] 

a Kr 

o anche, r i c o r d a n d o c he a K t = y p cy = y„ p„ i\ , 

[ M ] 
y „ c v p „ 



3 6 P . E, V A L L E 

I n d i c a n d o con T il g r a d i e n t e attuale dT/dh, dato che dalla [ I ] risulta 

3 

a log vm 1 
— — = — i r -

9 p p 

p e r c h é y,„ p = y„„, p„ , l ' e q u a z i o n e [ 1 2 ] d i v e n t a 

L ni "111 

d h KT 
1 — - [15] 

Questa r e l a z i o n e p u ò essere u l t e r i o r m e n t e trasformata i n t r o d u c e n d o il 

g r a d i e n t e a d i a b a t i c o 

t s . = l ì * [ 1 6 ] 

Con q u a l c h e passaggio dalla [ 1 3 ] e dalla [ 1 6 ] risulta 

= a Y T 

Tc 1 + a y T 
[17] 

Dato c he in g e n e r a l e a > 0, Tc è sempre m a g g i o r e di T s . 

Ora i n d i c a n d o con K s il m o d u l o di c o m p r e s s i b i l i t à adiabatica 

si ha 

K , 1 
[18] 

e q u i n d i la [ 1 5 ] si può scrivere nella f o r m a 

= v p « L — J l \ — 
d li Ks\ 3 ) ì _ 

[19] 

o p p u r e 

d t'„, _ / 1 

^ dh~S iTm "3 

1 — 

1 — 

d o v e si è posto 

— 

( « . s ) s — 3 - f . 1 

[20] 

[ 2 1 ] 



S U L L ' O M O G E N E I T À E S U L L O S T A T O DI E Q U I L I B R I O BEL M A N T E L L O D E L L A T E R R A 3 7 

Si osservi c h e la [ 2 0 ] m o s t r a c h e l e v e l o c i t à i s o t e r m e s o n o s t a z i o n a r i e 

al c e n t r o d e l l a T e r r a p e r c h é i v i è g = 0. 
E f f e t t i v a m e n t e la v e l o c i t à d e l l e o n d e s i s m i c h e l o n g i t u d i n a l i , la 

q u a l e p e r ò è la v e l o c i t à a d i a b a t i c a , presenta un a n d a m e n t o d e l g e n e r e 

v e r s o i l c e n t r o d e l l a T e r r a . 

P o s t o o r a 

= 
d i 

/ 1 \ dh 
glY."- " T glY."-

3 / 
[22] 

n e l l ' i p o t e s i c h e la densità p si m a n t e n g a s e m p r e m i n o r e d i 3 y o m p„ , 

ossia n e l l ' i p o t e s i c h e r i s u l t i y m > r i c o r d a n d o c h e - S < Tc, si h a n n o 

i casi n o t e v o l i i n d i c a t i n e l l a T a b e l l a I . 

T A B E L L A I 

V a l o r e d i Rm V a l o r e d i T 

Rm < 0 T > -
lini — : 0 TT = Te 
Rm < 1 T > 
Rm - 1 T = 

Rm > 1 T < T s 

P u ò essere i n t e r e s s a n t e t a l v o l t a c o n s i d e r a r e a n c h e il g r a d i e n t e d i 

t e m p e r a t u r a - „ > n e c e s s a r i o p e r c h é si f o r m i una z o n a d ' o m b r a p e r la 

p r o p a g a z i o n e d e l l e onde, e l a s t i c h e . 

C o m ' è n o t o la f o r m a z i o n e d e l l a z o n a d ' o m b r a si ha q u a n d o 

d v„, 

dh 

1 

r„ — li 
[ 2 3 ] 

i n cui r„ i n d i c a il r a g g i o d e l l a T e r r a . 

I n t r o d u c e n d o questa c o n d i z i o n e n e l l a [ 2 0 ] si ha 

r„ -

1 

[ 2 4 ] 



•WiBBfc 

34 P . E. V A L L E 

m e d i a n t e la «jiiale si p u ò v a l u t a r e T„. Questo g r a d i e n t e , n e l l ' i p o t e s i 

y m > y^ è superiore al g r a d i e n t e critico. 

Tentativo di verifica delle ipotesi sulle quali è stato costruito il 
Modello A di K. E. Bullen per il mantello interno della Terra. — I.e 
p i ù r e c e n t i discussioni sulle p r o p r i e t à elastiche, t e m p e r a t u r a e com-

p o s i z i o n e d e l m a n t e l l o i n t e r n o della T e r r a , sono p r o b a b i l m e n t e q u e l l e 

c he si sono sviluppate sulla base dei l a v o r i presentati da F . B i r c h ( 2 ) 

e J. V e r b o o g e n ( : ì ) alla 34" r i u n i o n e annuale d e l l ' A m e r i c a n G e o p b y -

sical U n i o n . 

P e r a l t r o , allo stato d e l l e attuali conoscenze, sembra o p p o r t u n o 

c o n t r o l l a r e se le note ipotesi sulle q u a l i è stato costruito il m o d e l l o A 
di K . E. B u l l e n sono v e r i f i c a t e . 

U n tale c o n t r o l l o p u ò essere tentato m e d i a n t e la r e l a z i o n e [ 2 0 ] 

del p a r a g r a f o p r e c e d e n t e , p r e n d e n d o in c o n s i d e r a z i o n e le o n d e sismi-

che di t i p o S, p e r c h é la v e l o c i t à isoterma di queste o n d e c o i n c i d e con 

la v e l o c i t à adiabatica. 

L ' a p p l i c a b i l i t à della teoria dei solidi a l l ' i n t e r n o della T e r r a è stata 

discussa in p r e c e d e n t i l a v o r i ( 4 ' 5 ) . 

Se l o strato D è o m o g e n e o , in e q u i l i b r i o idrostatico e a d i a b a t i c o 
dovrà risultare 

11 p r i m o m e m b r o della p r e c e d e n t e r e l a z i o n e p u ò essere diretta-

m e n t e calcolato dai v a l o r i d e l l e v e l o c i t à d e l l e o n d e sismiche, m e n t r e 

il secondo m e m b r o può essere valutato soltanto in base ad un m o d e l l o 

p e r c h é contiene g e y t . 
N e l l a T a b e l l a I I sono contenute l e v e l o c i t à d e l l e o n d e sismiche 

c al c ol ate da H . J e f f r e y s e le g r a n d e z z e r e l a t i v e al m o d e l l o A di 
K . E . B u l l e n | 7 S j. 

D a t o che si presenta q u a l c h e difficoltà p e r il c a l c o l o di dv,/dh, 
la velocità i>t è stata approssimata, m e d i a n t e il m e t o d o dei m i n i m i 

q u a d r a t i , con una curva di t i p o p a r a b o l i c o . 

RT = 1 [ 2 5 ] 

ossia 

[26] 



S U L L ' O M O G E N E I T À E S U L L O S T A T O III E Q U I L I B R I O DEL M A N T E L L O D E L L A T E R R A 3 9 

T A B E L L A L I 

h ( ' V s <t (Ì g 

k m k m / s e c k m / s e c g / c m 3 c m / s e c -

100(1 11,42 6,36 4,68 995 
1200 11,71 6,50 4,80 991 
1400 11,99 6,62 4,91 988 
1600 12,26 6,73 5,03 986 
1800 12,53 6,83 5,13 985 
2000 12,79 6,93 5,24 986 
2200 13,03 7,02 5,31 990 
2400 13,27 7,12 5,44 998 
2600 13,50 7,21 5.54 1009 
2800 13,61 7.30 5,63 1026 

C o n i v a l o r i della T a b e l l a 11 si è ottenuto : 

1 = (0,101747 + 0,001862) li' — 
vt, 

[ 2 7 ] 

— (0,011346 + 0,001270) h'-' 

d o v e 

li' = IO " ( h — 1 0 0 0 ) 

e eon l ' i n d i c e 1 si è i n d i c a t o il v a l o r e della v e l o c i t à alla sommità 

d e l l o strato D, ossia alla p r o f o n d i t à di 1000 km. 
L a derivata risulta q u i n d i 

= 6,36103 [(0,101747 + 0,001862) — 
dlt 

[28] 

— 0,022692 + 0,0025-10) h ' ] 

S o n o stati r i t e n u t i esatti i v a l o r i d e l l e velocità (li Jeffreys. L ' e r -

r o r e m e d i o preso in c o n s i d e r a z i o n e è soltanto l ' e r r o r e m e d i o della 

derivata. In questo m o d o è stato calcolato il p r i m o m e m b r o della re-

l a z i o n e [ 2 6 ] e i risultati sono contenuti nella seconda colonna della 

T a b e l l a I I I . 



T A B E L L A I I I 

h 
. du. 

' ' db 

km 
e in /sec-

c m / s e c -

1(10(1 778 + 14 8 3 1 + 4 0 . 9 3 6 ± 0 , 0 1 7 
1200 768 + 15 799 + 4 0,961 ± 0 , 0 1 9 
1100 760 + 17 771 + 4 0,986 + 0,023 
1600 749 + 20 744 + 4 1,007 ± 0 , 0 2 7 
1800 738 + 24 722 + 3 1,022 ± 0 , 0 3 3 
2000 722 + 29 701 + 3 1,030±0,042 
2200 703 + 34 684 + 3 1,028 ± 0 , 0 5 0 
2400 678 + 39 671 + 3 1,010 ± 0 , 0 5 8 
2600 6 5 2 + 4 4 660 + 3 0,988 + 0,067 
2800 610 + 49 655 + 3 0,931 ± 0 , 0 7 5 

M e d i a 0 , 9 7 5 ± 0 , 0 1 1 
( p o n d e r a t a ) 

I n un p r e c e d e n t e l a v o r o ( 5 ) è stato d e d o t t o d a l l e v e l o c i t à di Jef-

freys e d a l l e densità del m o d e l l o A di B u l l e n , il v a l o r e del para-

m e t r o y, alla sommità d e l l o strato D, cioè alla p r o f o n d i t à di 1000 k m . 
T a l e v a l o r e , considerato con quattro c i f r e d e c i m a l i , è il s e g u e n t e : 

y u = 1,1689 + 0,0039 [ 2 9 ] 

R i c o r d a n d o che 

Y« = Y , . — [ 3 0 ] 
p 

si possono c a l c o l a r e f a c i l m e n t e i v a l o r i di y, alle v a r i e p r o f o n d i t à , 

m e d i a n t e i v a l o r i della densità della T a b e l l a I I . 

L a terza colonna della T a b e l l a I I I c o n t i e n e il p r o d o t t o g ( y t — % I. 

L ' e r r o r e m e d i o indicato è soltanto q u e l l o che deriva d a l l ' e r r o r e me-

d i o di y t . 

L ' u l t i m a colonna della T a b e l l a I I I c o n t i e n e i n f i n e il r a p p o r t o R t , 

il cui e r r o r e m e d i o i n d i c a l o è stato c a l c o l a t o a p p r o s s i m a t i v a m e n t e con 

gli e r r o r i m e d i a t t r i b u i t i al d i v i d e n d o e al divisore. Questo r a p p o r t o 

è r i p o r t a t o in f u n z i o n e della p r o f o n d i t à nella fig. 1. 

P r i m a di t r a r r e q u a l c h e conclusione dai risultati n u m e r i c i con-

tenuti nella T a b e l l a I I I , è necessario eseguire una stima del g r a d i e n t e 

c r i t i c o TV. 



S U L L ' O M O G E N E I T À E S U L L O STATO DI E Q U I L I B R I O DEL M A N T E L L O DELLA TERRA 4 1 

Se si s u p p o n e , a t i t o l o d i o r i e n t a m e n t o , c h e il p e s o a t o m i c o m e -

d i o d e i m a t e r i a l i c h e c o s t i t u i s c o n o l o strato V sia u g u a l e a 20, la 

r e l a z i o n e 

f V f i 

A ' P I 

n e l l a q u a l e l ' i n d i c e 1 si r i f e r i s c e alla s o m m i t à d e l l o strato, c o n s e n t e 

di c a l c o l a r e T,., i n f u n z i o n e d e l l a p r o f o n d i t à , c o n i d a t i d e l l a T a -

[ 3 1 ] 

A • W -
- 7 - R . 

i 7 - r/Km 

- T = 2 ' / K m 

Velocità di J e f f r e y s 
• Modello A d i B u t t e r i 

V a l o r e m e d i o 
T e 

gradiente critico m e d i o 

7 ° / K M 

7 = 7 C 

1000 1500 2 0 0 0 2 5 0 0 

Fig. 1 

3000 h K m 

b e l l a 11. A y j si p u ò a t t r i b u i r e il v a l o r e 1,253, o t t e n u t o i n un p r e c e -

d e n t e l a v o r o (~'l. 

L a T a b e l l a I V m o s t r a c h e - . è c o m p r e s o tra 6,4 g r a d i k m e 7,9 

g r a d i k m . I n m e d i a T(. si p u ò assumere p a r i a 7 g r a d i k m . O r a , tra-

s c u r a n d o T s r i s p e t t o o TC, si ha 

[32] 



» " « K 

34 
P. E. VALLE 

T A B E L L A I V 

Se si attribuiscono a T i v a l o r i 1; 1,5; 2 « r a d i k m , Rt risulta pari 
a circa 0.86: 0,79; 0,71 r i s p e t t i v a m e n t e . 

Queste c i f r e , pur essendo p u r a m e n -

te i n d i c a t i v e , d a n n o una idea della di-

m i n u z i o n e d e l r a p p o r t o Rt con l ' a u m e n -
tare di T. 

D a l l ' e s a m e della T a b e l l a 111 risul-

ta in p r i m o l u o g o che il g r a d i e n t e at-

tuale T è m o l t o m i n o r e del g r a d i e n t e 

c r i t i c o Tc. A n z i il v a l o r e m e d i o di Rt 
induce a r i t e n e r e clic il m a n t e l l o in-

t e r n o della T e r r a sia, con buona ap-

prossimazione, o m o g e n e o , in e q u i l i b r i o 

idrostatico e a d i a b a t i c o . P e r a l t r o il pro-

c e d i m e n t o di c a l c o l o usato non consen-

te di dare un peso d e t e r m i n a n t e alla 

precisione dei risultati. 

L ' i n c r e m e n t o a d i a b a t i c o della t e m p e r a t u r a 1000 e 2800 k m di 

p r o f o n d i t à è piuttosto p i c c o l o . D a l l a r e l a z i o n e [ 7 ] del secondo para-

•iragrafo si ha 

h T e 

k m g r a d i / k m 

1000 6,4 
1200 6,5 
1400 6,6 
1600 6,8 
1800 6,9 
2000 7,1 
2200 7,2 
2400 7,4 
2600 7.6 
28(10 7,9 

7 ' 
[ 3 3 ] 

nella q u a l e pt e pn i n d i c a n o la densità alla p r o f o n d i t à di 1000 e 
2800 k m . r i s p e t t i v a m e n t e . Con i dati della T a b e l l a l i . a t t r i b u e n d o a 

Yi i l v a l o r e 1,253, si ottiene 

J j * 0 0 _ 2 2 3 5 
[ 3 4 ] 

Questa c i f r a è assai prossima a q u e l l a d i e si può d e d u r r e dalla 

T a b e l l a I I I di un l a v o r o ( " ) eseguito q u a l c h e anno fa d a l l ' A u t o r e . 

Da detta T a b e l l a risulta 

^ "800 LJ62G 

T„ 1 , 3 1 , 
= 1,24 135] 

Si può q u i n d i c o n c l u d e r e che se l ' e q u i l i b r i o del m a n t e l l o i n t e r n o 

della T e r r a è prossimo a l l ' e q u i l i b r i o a d i a b a t i c o , c o m e sembra mostrare 



SULL'OMOGENEITÀ E SULLO STATO DI EQUILIBRIO DEL MANTELLO DELLA TERRA 35 

la presente ricerca, i l g r a d i e n t e di t e m p e r a t u r a n e l suo i n t e r n o è pic-

colo, p r o b a b i l m e n t e pari ad alcuni d e c i m i di g r a d o per k m , anche 

a m m e t t e n d o che la t e m p e r a t u r a a 1000 k m di p r o f o n d i t à sia pari a 

q u a l c h e m i g l i a i o di gradi. 

Roma — Istituto Nazionale di Geofìsica — Marzo 1954. 

RIASSUNTO 

Si studiano alcuni particolari dell'andamento della velocità delle 
onde elastiche in uno strato solido, omogeneo, in equilibrio idrosta-
tico. che si trovi ad una temperatura superiore alle temperature ca-
ratteristiche. 

Come applicazione viene tentata una verifica, per il mantello in-
terno della Terra, delle ipotesi in base alle quali è stato costruito il 
modello A di K E. Bull-ai. La iteri fica fornisce, entro certi limiti, un 
risidtato positivo. 

SUMMARY 

Ari equation is derived for the rate of cliange of the isotermaI 
velocities of elastic ivaves, in a homogeneous gravitating layer ni ili an 
arbitrary gradient of temperature. An attempi is iliade to test the 
uniformity and adiabaticity of the layer D of the Earth's mimile on 
the basis of this equation. 

B I B L I O G R A F I A 

( ! ) VALLE I ' . E., Unii equazione ili stalo per i solidi. A n n a l i (li G e o f i s i c a , 6, 

183-197 ( 1 9 5 3 ) . 

( - ' ) B I R C H F „ The Earth's Mimile - Elasticitv and Constitution. T r a n s . A n i . 

G e o p h y s . U n i o n , 35, 79-85 ( 1 9 5 4 ) . 

( : ! ) VERHOOCEN J., Petrological evidence on temperature distribution in the 

maiale of the Earth. T r a n s . A n i . G e o p h y s . U n i o n , 35, 85-92 ( 1 9 5 4 ) . 

( 4 ) BIRCH F., Elasticity and constitution of Earth's interior. J. G e o p h y s . R e s . , 

57, 227-286 ( 1 9 5 2 ) . 



34 P. E. VALLE 

(R>) VALLE P . E , Sulle proprietà elastiche del mantello della Terra. A n n a l i di 

G e o f i s i c a , 6, 373-380 ( 1 9 5 3 ) . 

( ° ) JEFFREYS H , The tinte of P. S and SKS and the velocieties of P and S. 

G e o p h y s . S u p p l . 4, 498-533 ( 1 9 3 9 ) . 

( " ) BULLEN K . E , The probleni of the Earth's densitv variations. B u l l . S e i s m . 

S o c . A m , 32, 19-29 ( 1 9 4 2 ) . 

( 8 ) B U L L E N K . E , Introduction to the theory of Seismology. C a m b r i d g e , U n i -

v e r s i t y P r e s s ( 1 9 4 7 ) . 

( ° ) VALLE P . E , Sul gradiente adiabatico di temperatura nell'interno della 

Terra. A n n a l i di G e o f i s i c a , 5, 41-53 ( 1 9 5 2 ) .