U N E L T R A N S L O G S C H L U M B E R G E R 

A . BELLUIGI 

1. — C o n s i d e r i a m o il c.e.111. ( c a m p o e l e t t r o m a g n e t i c o ) di una sor-

gente p u n t i f o r m e d i c o r r e n t e : 0, e l e t t r o d o di d i m e n s i o n i t r a s c u r a b i l i 

rispetto alla distanza dei p u n t i di misura di t a l e c a m p o , in un m e z z o 

terrestre o m o g e n e o . 

Si s u p p o n e c o n c i ò c h e i l r i t o r n o della c o r r e n t e a v v e n g a a g r a n d e 

distanza dalla s o r g e n t e 0, d i m o d o c h é d i p a r t e n d o s i r a d i a l m e n t e l e l i n e e 

di flusso da essa, l e r e l a t i v e s u p e r f i c i di l i v e l l o 

si p o t r a n n o c o n s i d e r a r e s f e r i c h e c o n c e n t r i c h e , 

di c e n t r o 0. CdVO 

P o s t o l ' e l e t t r o d o 0 ( m o b i l e ) in un f o r o di 

sonda, un s e c o n d o fisso alla s u p e r f i c i e d e l suolo, 

le prese d i t e n s i o n e m o b i l i c o l l i n e a r i ad 0 lun-

go l'asse v e r t i c a l e d e l f o r o c i l i n d r i c o , si rea-

lizza il classico d i s p o s i t i v o e l e t t r o d i c o di caro-

taggio e l e t t r i c o S c h l u m b e r g e r . 

A l i m e n t a n d o s i f f a t t o c i r c u i t o a c.c. ( c o r - B(Z^)[ 
rente c o n t i n u a ) d'intensità /, se (_> è la resisti-

vità d e l t e r r e n o , si ha, ( v . F i g . 1), tra i p u n t i 

A e B la caduta di t e n s i o n e : 

\ V = I Q I A 1 [1] 

M è il c o e f f i c i e n t e di f o r m a ( o g e o m e t r i c o ) : 
4 i 2, l o / l z » — 2 ] ) d e l d i s p o s i t i v o . 

L a [ 1 ] è v a l i d a , p r e s c i n d e n d o dalla resi-

stività Qm dei f a n g h i ( o c o n s i d e r a n d o pnl = p), 

e dal d i a m e t r o d e l f o r o ( o r i t e n e n d o l o trascu-

r a b i l e r i s p e t t o a z1 ? z2). 
M e n t r e p e r i r e g i m i s t a z i o n a r i il c a m p o 

e l e t t r i c o v a l e : 

E.. = — grad V [ 2 ] 

per q u e l l i quasi-stazionari ( v . [ 1 ] ) , detta « h » -
f o n d i t à di p e n e t r a z i o n e della c o r r e n t e nel s u o l o : 

E„,s. = — e - < < + * « • . g r a d V 

che p e r a)—->-o, i m p o r t a o v v i a m e n t e : Eq,s. = Ee, 

P A t f O 

G 
0 

Fig. 1 

( 2 / a co (Vi la pro-

[ 3 ] 



126 A . B E L L V 1 C I 

2.— Inseriamo ora una step-funetion di correlile nel precedente 

circuito tellurico, il campo elettrico s'esprimerà c o n : 

F.(/) = / ( « ) • //4 jict 2 S ; a = q ~ 1 [ 4 ] 

dove f(t) è una cosidetta « funzione transitoria » (v. [ 2 ] ) , 
E7,(t) la componente verticale del campo elettrico. 

Introducendo il t e m p o : T = 4 5t az~ : IO'9, (che dipende dalla strut-
tura fisica del terreno e dalla distanza dei punti di osservazione, e 

assume Io stesso valore su ciascuna delle superfici sferiche potenziali 

concentriche intorno ad 0), la [ 4 ] diviene, esplicitando f(t): 

E, (t) = I • (1 — erj f W /4 * " [ 5 ] 

È evidente elle: Ez(0) = 0, E z ( c o ) = / 4it a s 2 , qualunque siano z 
e la costante di t e m p o : T(c!,z). 

La caduta di tensione trans tra i punti sulla verticale, asse del 

p o z z o : A(zj) e B ( z 2 ) sarà p e r t a n t o : 

AV [ 6 ] 

dove l'integrale indefinito in [ 6 ] vale, ( p e r l'addendo in « erf » ) : 

c —z * erj „ 1 / jc a \ , J-n + Va/t /gì • e 
J I I S - I 

; c = cost. arbitraria, 

da cui, posto — ] jt a/t : 

A V - ^ 2 (z-
4 xj 

' - * , - ' ) + *TlerJ ?za-zr*erf fa 

ì Ig, e ^ — Ig, e 

I valori estremi di A V(t) risultano: 

A V\OO) = (ZÌ-3 — Zs-*)IQI2IZ 

A F(o) = {z~* — *,-» + z„~< _ S( -i) I p/4 

[ 7 ] 

[ 8 ] 



U N E L T R A N S L O C S C H L U M B E R C . E R 127 

L a derivata prima rispetto al tempo d i A F U l potendosi s c r i v e r e : 

A v(t) = — / < » lg-,[- ' ' ) — lgi(e j j /4 jt ty ]j jt 

[ 9 ] 

tenendo conto c l i e : — fi > 0, il segno di Af'(t) dipenderà dalla dif-
ferenza dei l o g a r i t m i integrali. 

Posto ora cp(t.) = / g i ( e j , <p (o) = I g , ( 1 ) < ' o ( n e l l ' i n t e r v a l l o : 0, 1, 

/ £ i t < 0 | , ((' (oo)-lgi (o) = o, fp1(;) = 2|"_i e l>0, <p (?) così è crescente. 
D i s t i n g u i a m o ora 2 casi ( i l che ha un o v v i o significato fisico): 

Z , < Z 2 , 2 , > Z 2 . 

S e : z, < z«, ?,<?,, — À V(t) > o 
A V ( t ) è crescente. 

I n o l t r e : z,":l — z-_. ' > 0, z2 1 — z f 1 < 0, q u i n d i : 

/(0) = — — (z, 3 - z . -' + S, z , - ' ) —^— ( z , = • 
4 it a 4 jt a 

[10] 

S e : z , > z 2 , ziH — zz3 < 0, z/1 — z,1 > 0, e q u i n d i : 

/(0l > / ( o o ) [11] 

I n o l t r e essendo: 

t, > , lg, ( e _ - Ig, ( « " " j < 0 5 À v (t) < 0 ; A F ( t ) 

è decrescente. 

N e l l a fig. 2 è riassunto quanto sopra considerando sia f ( 0 ) > 0, 

che / ( 0 ) < 0. 

3. — Occorre, a questo punto, riconoscere i valori di /(0), / ( c o ) , é 0 , 

in f u n z i o n e della distribuzione t r i p o l a r e verticale. E ciò ai fini della 

scelta più c o n v e n i e n t e d e l l e g e o m e t r i e polari che si r i p e r c u o t o n o sul 

m a g g i o r e o m i n o r e evidenziarnento d e l l e caratteristiche t e m p o r a l i dei 

geoeltrans così attivati. 



128 A. B E L L U I G I 

a ) I n d i c h i a m o : f(0)-4>xa/I = q p ( z i , zo), ed e s a m i n i a m o i l s e g n o ditp 

a cui sono l e g a t i gli e v e n t i di fig. 2 : 

( p ( Z ) , z,) = z,-»(h — l)(h* + h + l—za*)i h = z2zl [12] 

A v ( t ) a ) f A V ( t ) C) 

D a t o zo > 0 , h > 0, il segno di qp(zi,Zo), d i p e n d e r à da q u e l l o d e l 
p r o d o t t o a 2" m e m b r o d e l l a [ 1 2 ] , e q u e s t o dai segni di (7t — 1) e d e l 

t r i n o m i o i|> (h) — (.hr - f li -J- 1 — z o 2 ) r i v a r i a r e di li > 0. 
I l d i s c r i m i n a n t e di t|> (li) = 0 , è : A = 4 z.r — 3 . 

O r a se A < < 0 , ( 0 < so < | 3 2), il t r i n o m i o t|>(/i) n o n si a n n u l l a 

p e r v a l o r i r e a l i di h, ed è s e m p r e p o s i t i v o ( p e r li = 0 v a l e : 
1 - — z o 2 > 0 ) ; i | i ( 7 i ) > 0 s e A = 0, ( z 2 = )'3 2), in q u a n t o si r i d u c e a : 

' ' 1 V2)2 e d è positÌAro p e r v a l o r i p o s i t i v i di li. 

Se i n v e c e A > 0, ( } ' 3/2 < =0) o c c o r r e d i s t i n g u e r e 2 c a s i : 

1 3/2 < z 2 < 1; 1 < zo. N e l I " , 1 — z , 2 > 0, l e r a d i c i h a n n o lo stesso 

segno, e d essendo la l o r o s o m m a n e g a t i v a : = ( — 1 ) , sono e n t r a m b e ne-

g a t i v e , e p e r v a l o r i p o s i t i v i di li il t r i n o m i o è a n c o r a p o s i t i v o . Se in-

v e c e zo > 1, esiste una r a d i c e p o s i t i v a : h — 0,5 ( — 1 - f | 4zo2 — 3 ) , 
e p e r : 0 < li < li, t ( / i ) è n e g a t i v o , p e r li = h v a l e z e r o , p e r 
h < h è p o s i t i v o . 

P r o s p e t t i a m o t a l i e v e n t u a l i t à c o m e segue n e l q u a d r e t t o sotto-
stante : 



U N E L T R A N S L O G S C H L U M B E R G E R 1 2 9 

| 3/2 < 

1 

]/3/2 

z s = 1/3/2 

A < 0 

A = 0 

A > 0 

A < 0 

V (h) > 0 

i|> (h) > 0 

V ( h ) > 0 

\|.(/i)<0, h < J i 

i | . ( f c ) > 0 , 

N e i p r i m i 3 casi il segno di «(> ( z i , ZL>) dipende evidentemente da 

quello di (li — 11, ed è negativo per li < 1, (cioè se z2 < ZI), e posi-
tivo per h > 0 (cioè se z 2 > z,). 

N e l 4" caso, distinguiamo 3 sottocasi: 

1") / i < l • A l l o r a se h < h, li - 1 < 0 , \ | > ( f t ) < 0 , cp (a,, z „ ) > 0 ; 

s - T i < I i < L , h— I < 0 , , * , ) < 0 ; 

se 1 < / T . / i — 1 > 0 , c p ( / i ) > 0 , cp ( z t , z 3 ) > 0 . 

2°) li = 1 - Se /i < 7 < 1 , Zi — 1 < 0 , H > ( f e ) < 0 , cp(z,, z 2 ) > 0 ; 

se fc—1>0, i p O ) > 0 , <p ( z t , z 2 ) > 0 . 

3") / i > l • Se h < 1 < / ( , ft - 1 < 0 , H ' ( / H < 0 , <p(z,, z „ ) > 0 ; 

se h < / i , fc — 1 > 0 , M'(/i)>0, q>(*,, z 2 ) > 0 . 

Riassumiamo quanto sopra nel seguente quadro, che permette di 

poter stabilire le condizioni, ( v . fig. 2), per c u i : / ( 0 ) ^ 0 . . 

/ . < / i , < r ( z 1 ( z 2 ) > 0 

7 T < 1 h<h< 1 , cp (z4 , - 2 ) < 0 

1 < / I , cp(z t , z „ ) > 0 

/t = 1 <p(z,, Z2) > 0 

fc<i , « p K , * i i > ° 

h> 1 i<h<h, c p ^ z . x o 



130 A. B E L L U I G I 

b) L a : j ( 0 ) 2 n o / / = c p (m), con m = zjzs = h~l si s c r i v e : 

< p ( m ) = [ l -m> + z*(m — l)U2z* , <p(±oo)=+'x>, q>(0) = 
2 z r 

D o p o discusso e s a u r i e n l e i n e n t e in a I il segno d e l l a f u n z i o n e ini-

z i a l e /CO), A'ediamo c o m e p u ò v a r i a r e il m o d u l o di / ( 0 ) , con la distri-

b u z i o n e e l e t t r o d i c a . 

P o i c h é : cf)'(m) = ( — 3 m2 + Zi2)/2 Zi3 tale d e r i v a t a si a n n u l l a in-
t a n t o p e r : m = + z\ / ) 3 , risultando positiva se / m i < zi / | 3 , 
n e g a t i v a se | m | > z j / y 3. 

Se ne d e d u c e c h e : cp ( m ) è decrescente n e l l ' i n t e r v a l l o ( — 

— - z i / )'3), crescente n e l l ' i n t e r v a l l o ( — z / ]' 3, z i / |'3), d e c r e s c e n t e nel-

l ' i n t e r v a l l o ( z , / y 3 , - f - o o ) , ed è dotata di m i n i m o r e l a t i v o n e l p u n t o 

— - Z i / y S j d i m a s s i m o r e l a t i v o nel punto z\/ ] 3. I n o l t r e la ip i m ) si 

a n n u l l a p e r : m = 1; — l / 2 — ) / z t 2 — % : — V i + V z i 2 — 
Zi > I' 3/2 p e r la realtà d e l l e r a d i c i ) . 

C i ò posto d i s t i n g u i a m o le seguenti s i t u a z i o n i : 

0 < = , < V ' 3 / 2 , j / 3 / 2 < z , < l , l < z , < | 3 . =, > 

1°) 0 < z, < \ 3 2. O s s e r v i a m o c h e z, < 1 , zi < y 3, si ha 

cp ( 0 ) > 0, z i / }' 3 < 1„ z i 2 — % < 0, q u i n d i <p(m) = 0 ha la r a d i c e 
r e a l e m = 1 e la f u n z i o n e <p ( m ) consegue il m a s s i m o r e l a t i v o p e r un 

v a l o r e d i m < 1. I l v a l o r e m i n i m o r e l a t i v o ( c o n s e g u i t o per m — — z i / / 3 

è n e c e s s a r i a m e n t e p o s i t i v o , non p o t e n d o la f u n z i o n e a n n u l l a r s i f u o r c h é 

p e r m = 1. 

2°) j ' 3 / 2 < z i < 1 - Si Ita: <p ( 0 ) > 0, z , } T < 1, z , 2 — % > 0, 
o n d e le 3 r a d i c i di cp ( m i = •() sono r e a l i ; anzi esclusa la r a d i c e m = 1, 
l e a l t r e 2 sono n e g a t i v e . 

3») 1 < Zi < y ' I . Si I l a : <p (0| < 0, z, 1 1 < 1, z , 2 — % > 0, tutte 
e tre le r a d i c i di c p ( m ) = 0 reali. I l caso d i f f e r i s c e dal p r e c e d e n t e 

p e r c h é q u i 2 radici reali sono p o s i t i v e e l'altra n e g a t i v a . 

4"| Zi > 3. Si h a : c, ( 0 ) < 0, z, > f3, zr — % > 0 : tre r a d i c i 
r e a l i , di cui una m a g g i o r e d e l l ' u n i t à . 

Si osservi che, in tutti i casi, m a s s i m o e m i n i m o r e l a t i v i v a l g o n o : 

cp ( z j y T ) = u ( * , ) _ „ = ( 1 + 2 V / 3 / T - z , * ) 2z* [ 1 2 a ] 

<1 (- - z j i F j = u (z,) m i „ = (1 _ 2 z , 3 /3 T — z*) /2 z , 3 [121,] 



U N E L T I I A N S L O G S C H L U M B E R G E R 131 

I l luogo (li massimi ( F i g . 3| p e r m e t t e r à la scelta più f a v o r e v o l e 

delle Zi, per Zi < < }'3, m e n t r e n e l l ' i n t o r n o (li z, = ] 3 si trovano l e 

situazioni più s f a v o r e v o l i , 

P e r v a l o r i (li Z\ > > } 3 la i i ( z , | rimane invariata per quanto si 

aumenti z i : 

i n f a t t i : [i ( . « ) = 1 3 | 3, u ( 0 ) = o , \i'(z)=(z12— 3 ) / ' 6 z i 4 , che si 

annulla per z\ = ^3, è positiva se z, > ]' 3, negativa se z i < / 3, o n d e 

u ( z i ) decresce tra 0 e y 3 , cresce da | 3 a + oc, ha un m i n i m o per 

zi = )' 3, per c u i : |i(( 31 = 0. 

c| P o s t o : z i / z ' 2 — r n , 

f(0) 7 ( o o ) = (l K z,) = 0 , 5 [ 1 — a t * / ( , n ! + m + l ì ] 

che varia al v a r i a r e di m, ( z i , parametro). 

G l i estremi v a l g o n o : i|> (0, z, I = 0,5 1 1 — Z ] 2 ) ; ( c o , z i ) = 0,5, 

mentre iti' ( m i = zt- {2 ni + 11 2 (ni2 -f- ni 4- l ì 2 , s'annulla se 

m = — y 2 , è positiva 

se ni > —1/2, negativa 

se ni < — '/2, o n d e 

per ili = — Y2, la fun-

zione presenta un mi-

nimo r e l a t i v o che è 

anche assoluto: 

Ma : \ji l m l = m- + 1 + z12)/2(m'- + ni + 11, si annulla altresì per 

m — 0,5 ( — 1 + ]/4ri2'-—3), radici reali se / zl J | 3/2, ( > , " - % > 0 ) , 

complesse se / zx / < | 3/2, ( z i 2 — % < 0). N e l 1" caso si v e d e subito 

che si h a : iji ( — z ' 1 < n e l 2"> — X/2> « 0 > 0 : l ' a n d a m e n t o della 

f u n z i o n e è d e l t i p o : 



132 A. BF.LLUIGI 

Si conclude che quest'« Eltranslog S c h l u m b e r g e r » rientra in una 

categoria già da noi illustrata di geoeltrans ( x ) di « m e d i o r e n d i , 

m e n t o » agli effetti indicativi del parametro resistività elettrica. 

A parte la nota comune a tutti gli Elmatranslog, di un decorso 

t e m p o r a l e di misura « tensione trans » , in questo p r o c e d i m e n t o appare 

particolarmente caratteristico, l ' i n i z i o del decorso t e m p o r a l e , f u n z i o n e 

0) del valore di regime, della resistività del m e z z o e della geome-

tria del dispositivo tripolare. 

Ciò trova stretta analogia con ciò che a b b i a m o c h i a m a t o « prima 

r e l a z i o n e f o n d a m e n t a l e » dei geoeltrans ( 2 ) , e con un t i p o p a r t i c o l a r e 

di Matranslog ( 3 ) , particolarmente da noi illustrato. 

Cagliari — Facoltà d'Ingegneria — Novembre 1953. 

RIASSUNTO 

L'Autore si è proposto il calcolo d'un Eltranslog nelle condizioni 
quadripolari, d'un classico carotaggio resistivo Schlumberger. 

Gli Elmatranslog finora esaminati sono a• carattere induttivo o gal-
vanico-induttivo. 

Il « rendimento indicativo » di tale Eltranslog è ben caratteristico, 
e s'inserisce nella classifica fatta dell'autore dei « rendimenti medi », 
dei carotaggi transitori, col vantaggio di una maggior semplicità rea-
lizzatrice della corrispondente apparecchiatura. 

SU M MARY 

The author proposes a calculation of an Eltranslog under quadri-
polar conditions of a classica! Schlumberger resistence ivell log. 

The Elmatranslogs thus far exarnined are of the induttive or 
galva-inductive types. 

The « indicated beliavior » of such an Eltranslog is very characte-
ristic and is inserted in the classification given by the autlior of the 
« meati results » of the transitory measurements, with the advantage 
of greater simplicity of tlie corresponding apparatila. 



U N KI,TI)ANSI.OC S C I I L I MIIKHGER 133 

B I B L I O G R A F I A 

( ! ) J. KOENIGSBERGEU, Das magnetische Feld einer stromquelle in Raum I L'Iiy-
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M i n e r a r i a S a r d a , 1948. 

( 2 ) A . BELLUIGI, Fondamenti teorici dei Geoeltrans. B o l l , d e l s e r v . G e o l . d Ita-

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( 3 ) A . BELLUIGI, Lineamenti teorici di nuovi m. di carotaggio fisico: Matranslog. 

Phaselog. G e o f i s i c a P u r a e A p p i . , V . 25, 1953.