E S P R E S S I O N E F O R M A L E P E R F U N Z I O N I A P I C C O SILVIO D E F R A N C E S C O C i p r o p o n i a m o di m o s t r a r e c o m e s i a p o s s i b i l e g i u n g e r e a d u n a f o r m a m a t e m a t i c a c h e e s p r i m a u n a f u n z i o n e di d u r a t a i s t a n t a n e a e di v a l o r e finito o m e n o , ( p i a l e l i m i t e di u n a f u n z i o n e r e t t a n g o l a r e d i d u r a t a s , q u a n d o s t e n d a a 0. fi il c a s o d e l l e f u n z i o n i a p i c c o ( d i t e n s i o n e , di c o r r e n t e , chia- m a t e d a g l i A n g l o - a m e r i c a n i « t r i g g e r » e d u s a l e l a r g a m e n t e nei r a d a r , n e l l a t e l e v i s i o n e e n e i c a l c o l a t o r i e l e t t r o n i c i ) . S i a : ( 1 per I i n t e r n o a (T, T + z) r ( f ; T j T + s) = 1 I 0 » » e s t e r n o » » e c o n c e p i a m o r f o r m a t a d a l l a s o m m a d e l l e d u e f u n z i o n i a g r a d i n o ( s t e p - f u n c t i o n ) : ( 1 per t > t ( — 1 per t>~ + s g(t~ T) = J ' — — g{t — T — £ = 6 ( 0 >. / < T I 0 » ' < - + £ r ( f ; T . T + e ) = g(t — T ) — g(t — T — e ) [ 1 ] P e r r a g i o n i c h e d i v e r r a n n o e v i d e n t i in s e g u i t o , r i c o r r i a m o a l l o a r t i f i c i o di p r e n d e r e p e r f u n z i o n i a g r a d i n o le s e g u e n t i : , _ P E R ' < T h ( lini = 1 [ìer 1 > t , o s s i a ; ( 0 per t — glt — T — £ = 1 i _ l i m e — r ( ' — 0 = _ 1 per l ] c o n y r e a l e e p o s i t i v o ( c f r . G u i l l e m i n , loc. cit., p a g . 531Ì. P r e n d i a m o o r a la t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l l a [ 1 ] : F)r\ = F ) g ( t - z ) \ - F ) g ( t - T - z ) \ [ 2 ] 41(1 s i l v i o l ) k f r a n c e s c o e r i c o r d a n d o c h e : = Um — I Y — > - o 2 7T J F ) g ( t — t ) | = Uni— / e - V ( t - x ) e - j o > t ( U i g v* 1 Y — > - o ~ 7C T l i m — I e - ( r + i « > ) ' d l = lim- F \ g ( t — ; — * ) [ = lim Y + 7 w c Y ( T + e ) e - ( r + j « o ) ( x + s ) 2 — T + 7 t , j e q u i n d i a n t i t r a s f o r m a n d o la [ 2 ] o t t e n i a m o : ( - + s ) r _ ( y + ] „ ) ( , + , ) F - ' . F ) r \ = r ( f , T , T + s) = Ztm — — I \ —V-1) £ TU ' Y + 7 <'-> e " 0 1 d c o + X + / / , „ I gjwt d w M a Y—>- o 2 re _ ' y + 7 c o ( e r < " + s l — y : — j w i — - f a — j M S + j t o t I K m 11 d J = Y + 7 t » ) i r l l i f > H - i ; = « u n -, / : (/ coi Y + 7 y — > - o / (0 e d a n a l o g a m e n t e : a a / i m i I . — c ' " , { d co [ = K m ! - - / co ) < " i , — i r - r j o v - . , J ( p J " » . 1 ^ i m - - . — t J M t d co : = / i m - _ .„ ( 2 - J v + ) , (2 - J Y + 7 1 d a cui : a a [ | j ' p j < o ( t — T — s ) j p j c j ( - x ) j r ( / ; T , + s ) = l i m — - - - / 7 d u + — / r — d 0 , o s s i a = — D t , A„ = / ) „ , c o n D ] , Do q u a n t i t à p o s i t i v e . A v r e m o a l l o r a : — i D , a D [ a = Z t / » i — — : — / d w D , • r _ J 2 - J y Dt + j OJ L>4 j r ^ 0 | 2 7 r J y D l + j < * D l a - s - o o + l D i — a D , ( 1 / • " > D e ) 3 = = Zini ' -— / — 7 - d w P ,im -, - — i —— : —- o w / ' „ r aD., d a l l e q i i a l i : a D , ' a D , a = B J J - f c o s « D < d c P - ~ L ! s i ™ D < d c ó D ) y - > " > ( 2 n j y D l - \ - j u > D l 2 - J y D l -\-j co D , ) u->CO — a D i — a D , [6] a l ) . . a l ) 2 P = / i m | J - f C O S " D ° - d o > D ì + - Ì - i S Ì n i ù D ° - d c o D . j Y ^ o ( 2 7 t J y D „ + 7 w D „ " 2TT 7 Y D S + J ) a ^ x — a D - , — a l ) o [ 7 ] L a s o m m a a + (3 è u g u a l e a l l ' u n i t à , m a a n c h e Zim (x + [3) = 1. I n f a t t i p e r s—>-o , D ] t e n d e a Do e q u i n d i i s e c o n d i t e r m i n i d e i se- c o n d i m e m b r i di [ 6 ] e [ 7 ] si e l i d o n o , m e n t r e i d u e p r i m i v a l e n d o c i a s c u n o 1 / 2 , d a n n o l ' u n i t à ( * ) . B e n c h é o v v i o i n r e l a z i o n e a l t i p o di f u n z i o n e a s s u n t a fin d a l l ' i n i - z i o , si p u ò v e r i f i c a r e a g e v o l m e n t e c h e p e r t e s t e r n o a ( T , T + E) e d .. 41(1 s i l v i o l)k f r a n c e s c o a s i n i s t r a d i T , l a s o m m a x + d e l l e [ 4 ] e [ 5 ] è n u l l a c o m e p u r e lini ( « + P ) = 0 . £—>0 I n t a l c a s o i n f a t t i A t = — D^ , A j = — D^ p e r c u i : a i ) , a l ) ) ( 1 f COSlùD j f S i n o / ) j a = l i n i — / — d c c D , — 1 5 — d w D , «, ( 2 — / + j w D , 2 t u . / y l > l + j t * O l l \ a—>- x — a I ) i — a l > £ [8] a l ) » a l ) 2 I r , J f ì M - d o D..+ ì- f S Ì n " D > d c o p j r -->-» ( 2 TU J Y /)„ + j co />., " 2 - J y />., + y co /">., " } a - V V - a l ) » ' " " — à i ) . , [ 9 ] P e r z finito, i s e c o n d i t e r m i n i d e i s e c o n d i m e m b r i «li [ 8 ] e [ 9 ] s o n o e n t r a m b i e g u a l i i n v a l o r e a s s o l u t o a d I 2 e si e l i d o n o e lo s t e s s o a v v i e n e p e r i d u e p r i m i . P e r E—>• o , Dt t e n d e a D-i c h e t e n d e a z e r o ; i s e c o n d i t e r m i n i d e i s e c o n d i m e m b r i si a n n u l l a n o , m e n t r e i d u e p r i m i si e l i d o n o c o s i c c h é lini ( a + p) -..- 0 . S—V— o I n m o d o a n a l o g o p e r t e s t e r n o a ( T , T + S) e d a d e s t r a di T + z, a + p = 0 , lini ( a + P ) = 0 . s — > - o S i c o n c l u d e c h e ; lini ( 1 f e j « > ( ' - - ) _ , X ' - - - 0 l ^ 1 p e r I = T R R : m J ~ — R + J » ) = ? 0 1 > E R / ^ T S i v e d e p u r e c h e : j J . ( t — ~) \ x. p e r / - T 1 — a (J — T) j1 0 jier t =f= T ( * ) I n f a t t i : a l ) ( 1 r cos co D , ) ( 1 / ' c o s co , / i r a — — d co D [ = / , ' , „ . — c / c o Y—>-o ( 2 n J Y D + j o > D J y + y c o 1 O ^ D . - v l - V u — a l ) l ) - > - o a e s p r e s s i o n e f o r m a l e p e r f u n z i o n i a p i c c o 4 1 3 È v e r o clic se y = 0 l ' i n t e g r a l e d i v e n t a i m p r o p r i o p e r c h é l'inte- g r a n d o d i v i e n e i n f i n i t o por co = 0. T u t t a v i a se y = 0, l ' i n t e g r a n d o è una f u n z i o n e d i s p a r i di co: e p o i c h é i l i m i t i di i n t e g r a z i o n e s o n o sim- m e t r i c i , il v a l o r e d e l l ' i n t e g r a l e , e c c e t t u a n d o il c o n t r i b u t o c r i t i c o del- l ' i n t o r n o di OJ = 0, d o v r e b b e e s s e r e n u l l o ; q u i n d i il v a l o r e d e l l ' i n t e - g r a l o ( q u a l u n q u e esso s i a | è p e r ù c e r t a m e n t e d e t e r m i n a t o dal contri- b u t o ili t a l e i n t o r n o . D e n o t a n d o q u e s t o i n t o r n o con ( — p , p | si p u ò p o r r e cos co D = 1 p e r c h é p e r piccoli i n c r e m e n t i d a co = 0, cos OJ D d i f f e r i s c e d a l l ' u n i t à p e r u n a p i c c o l a q u a n t i t à d i s e c o n d o o r d i n e ( a m a g g i o r r a g i o n e è cos OJ D = 1 se D = 0 | e q u i n d i l ' i n t e g r a l e a l se- c o n d o m e m b r o d i v i e n e : p l i n i -— I —— = l i m •(—>• o 2 — ' y + / co 2 7 - j I n (y + j co) 1 \ l n ' ( + j p 1 " 2 7 Z ] . Y — j P . 2 L ' a m b i g u i t à r e l a t i v a a ln(—1) = j ( 2 / i + 1 ) —, s p a r i s c e se si t i e n e c o n t o del c a m m i n o d e l l ' i n t e g r a l e o b b l i g a t o d a y — j p a y + J ? • ' i n t e g r a l e [ a m e n o di I n f a t t i p o s t o 1 2 - j p r e n d e l a = Y T j O ) , r + i p / d z l o r m a : / , o s s i a e una p u r a q u a n t i t à i m m a g i n a r i a p a r i in R — Ì P g r a n d e z z a a l l ' a n g o l o l'ormato d a l l e c o n g i u n g e n t i l ' o r i g i n e del p i a n o z con i p u n t i y + y p , y — j p , c h e t e n d e a — q u a n d o y t e n d e a z e r o . P e r ipiesta a n a l i s i c f r . G u i l l e m i n . T h e m a t h e m a t i c s of c i r c u i t a n a l v s i s . .). W i l e y . N . Y . E d . 1919, p a g . 535-36. V Clic, u n i n t e g r a l e d e l t i p o I < o s % d y e g u a g l i y ( 2 « + l)— si p u ò . y — v ( ( a n c h e m o s t r a r e r i c o r r e n d o a d u n a n o t a f o r m u l a r e l a t i v a a l c o s e n o i n t e g r a l e c h e r i p r e n d i a m o da J a h n k e - E n d e - D o v e r E d . o v v e r o l a : f cos t , , i" 1 — cof I , Ci (.v) = — I — d I = I n (x y) — j d I d o v e y è la c o s t a n t e di E u l e r - M a s c h e r o n i . 41(1 s i l v i o l)k f r a n c e s c o I n f a t t i : y „ b > o b b ' cos y /' cos y f cos y dy f cos ydy y V. V > w /' cos y d y , /' c o s y d y , , , f i — cos y , = — -—- + = >n(y „ y ) — = ^ d y + / V ' y J y y „ — y -In _ J o Y ) + j J—Z£^ll.dy=ln ( — 1) — d y = J l 2 n + l ) * , J y J y i n q u a n t o l ' i n t e g r a n d o è u n a f u n z i o n e d i s p a r i c l i c s ' a n n u l l a p e r y = 0. T a l e m e t o d o è s t a t o s u g g e r i t o d a l D r . D . C . B o r g h i . RIASSUNTO Viene ricercata tin espressione formale per le funzioni di durata istantanea (picco), considerate quali limite di una funzione rettan- golare. La validità della formula poggia su quella di espressioni date da E. A. Guillemin (loco cit. nel testo). SU M MARY An expression for trigger functions is given as a limiting forni of a rectangular function. The vididity of the formula lies on that of an expression given someuhere bv E. A. Guillemin (see reference in te thext).