Sulla d i s p e r s i o n e a n o m a l a d e l l e o n d e m a g n e t o - i d r o d i n a m i c h e P . E . V A L L E I N T R O D U Z I O N E . E noto clie le onde magneto-idrodinamiche hanno una notevole importanza in questioni di fisica cosmica in generale e di geofisica in particolare. La possibile esistenza di tali onde f u posta in evidenza da II. Alfvén nel 1942. In seguito vari autori hanno condotto ricerche sulla propaga- zione delle onde magneto-idrodinamiche, anche nel tentativo di ren- dere meno restrittive le ipotesi fondamentali su cui si basa la teoria di Alfvén. Non sembra peraltro che sia stata p r e s t a t a u n a sufficiente atten- zione al f a t t o che le onde magneto-idrodinamiche presentano il fenomeno della dispersione anomala. Questa nota ha lo scopo di mettere in evidenza l'andamento di questo fenomeno, il quale potrebbe avere, in qualche caso, u n certo interesse. Nessun cambiamento è stato a p p o r t a t o alle ipotesi fondamentali della teoria di Alfvén. È s t a t a soltanto riveduta la trattazione formale per renderla più semplice e rigorosa. % * L E O N D E M A G N E T O - I D R O D I N A M I C H E . I n seno ad u n fluido indefinito, omogeneo ed isotropo, esista un campo magnetico primario costante H0. Si supponga che il fluido sia incompressibile, non viscoso, non ferromagnetico e scarico ed abbia u n a conducibilità elettrica a. Se il fluido viene p e r t u r b a t o , il suo movimento e il campo elettro- magnetico, di cui diverrà sede, si condizioneranno reciprocamente. Ove si prendano in considerazione movimenti sufficientemente lenti da rendere trascurabile la corrente di spostamento nei confronti 3 7 8 P . E . V A L L E della corrente di conduzione, il sistema delle equazioni del campo elet- tromagnetico e del moto del fluido, è, con evidente significato dei simboli ed in u n i t à Giorgi, [1] [2] rot H = J à H rot E — — u J = a (E I / ì v A H ) Q - j ^ = ^ J A H - g r a d (p+gU) a cui devono essere aggiunte le condizioni div H = 0 div E = 0 div J = 0 div v = 0 Posto H = H0 + h [3] tenendo conto della identità dv ì>v ,1 7l t = v A r o t v + grad — v2 e ponendo rot h al posto di J nella q u a r t a equazione del sistema [1], si lia rot h = J i h rot E = — u - ~ì)t J = ( t [ E + / W v A ( H 0 + h)] [1'] a v q — — g v A rot v = — M h A rot h — u H„ A rot h — 3 t • grad [p + g V + y vA Le onde magneto-idrodinamiche di Alfvén si ottengono dalle [1'] imponendo che le forze di massa e di pressione siano equilibrate dalle forze magnetiche, in modo che il moto del fluido sia determinato dal solo campo primario H 0 . Si dovrà p e r t a n t o porre grad (p + e U + — = 0 [4] v - I " h [5] S U L L A D I S P E R S I O N E ANOMALA D E L L E O N D E M A G N E T O - I D R O D I N A M I C H E 3 7 9 ossia grad (p + q U + ^ p l f i j = 0 . [4'] Dalla posizione [5] risulta che le linee di forza di h coincidono con le linee di flusso della velocità del fluido. Il campo magnetico h è, per così dire, congelato nel fluido. Tenendo conto delle [4] e [5] il sistema [1'] diviene rot h = J 3 h rot E = — LI ^ ìt J = a ( E + / i v A H 0 ) 1 J 5 v q — = — H 0 A rot h . U Z Si esegua ora la divergenza di ambo i membri della terza equazione del sistema [1"]. Tenuto conto delle condizioni [2], si ottiene div v A H 0 = 0 ossia H 0 x rot v = 0 . [6] Questa relazione mostra, in v i r t ù della [5], che la densità di cor- rente J è ortogonale al campo primario H0. Se poi si moltiplicano scalarmente per H0 ambo i membri della q u a r t a equazione del sistema [1"], risulta ± ^ ( v x H . ) = 0 [7] e quindi, supposta nulla la componente stazionaria della velocità in direzione del campo primario, anche v ed h sono ortogonali al campo primario H0. P e r ottenere un'equazione contenente la sola incognita h, si esegua la rotazione di ambo i membri della terza equazione del sistema [1"], esprimendo J ed E in funzione di h mediante la prima e la seconda equa- zione. Si ha / ~òh \ rot rot h = /u a ( r o t v A H„ — j . [8] Poiché div h = 0, l'identità rot rot h = — Ah + grad d i v h consente di scrivere la [8] nella forma 1 ò h Ah + rot v A H 0 = — • (J[X ot 3 8 0 P . E . V A L L E P e r eliminare v, si derivi la precedente parzialmente rispetto al tempo e vi si introduca la q u a r t a equazione del sistema [1"]. Risulta 1 ?» - — A h — rot G[l t> « H„ A rot h A H , S2h a<2 [9] D a t o che (H0A r o t h ) A H , = — H„ (H0 x r o t h ) + H0 2 r o t h t e n u t o conto della [5] e della [6], la [9] diviene o/LI s t e [10] Si deve quindi cercare u n a soluzione della [10] soddisfacente aUe condizioni div h = 0 H0 X rot h = 0 H0 x h = 0 . [11] L a velocità, la pressione, la densità di corrente e il campo elettrico, saranno d a t e dalle relazioni V = Po— qU h* J = rot h 1 [12] E = r o t h — ll 1 / — h A H0 . a \ P I n vista dello scopo che si propone di raggiungere questa nota, è sufficiente studiare la propagazione di u n ' o n d a elementare piana. Assunto u n riferimento cartesiano col campo primario H0 in di- rezione dell'asse z, le [11] si scrivono 3 hx ~òhv — + — ~òx iy = 0 c> llv ~òhz ìix ~òy K = 0 . = 0 [11'] SULLA D I S P E R S I O N E ANOMALA D E L L E O N D E M A G N E T O - I D R O D I N A M I C H E 3 8 1 Se ci si limita a considerare un'onda polarizzata nel piano xz, preso l'asse y coincidente con la direzione h, risulta hx = 0 . Le [11'] mostrano poi che hy non dipende dalle coordinate x ed y, per- t a n t o la [10] diviene Ofl Mìz* + Q 0 - • L10J Un'integrale della precedente equazione ha la forma hy = Kyen<»t-iz) [ 1 3 ] con ì i ^ S ^ i — ] = a>>. [14] \ e a" DaUe [12] risulta inoltre vy = e j { u t - f z ) p = Po — QTJ—^Kye / i l ! „ 2 i ( a > t - / s ) 2 ìf .. 1 / V JT \ 7, J{ 3 - [23'] 2 a /x F03 3 8 4 P . E . V A L L E Queste relazioni mostrano che se la conducibilità del mezzo è grande, le onde magneto-idrodinamiche si propagano come previsto da Alfvén. Fig. 2. b) q » 1, ossia co > o/u V02. La [22] e la [23], in questo caso, divengono / 2 a L ( 1 _ l a j ^ L ] [ 2 2 n a [X \ 2 co L a prima dehe precedenti relazioni mostra che, in questo caso, la velocità di fase tende a divenire indipendente dalla densità di massa del mezzo e del campo primario al crescere della frequenza. S U L L A D I S P E R S I O N E A N O M A L A D E L L E O N D E M A G N E T O - I D R O D I N A M I C H E 3 8 5 La possibilità che onde siffatte abbiano un basso coefficiente di assorbimento dipende dada conducibihtà del mezzo, poiché al diminuire della conducibihtà la velocità di fase cresce e il coefficiente di assorbi- mento decresce. Si può quindi concludere che per opportuni valori deha frequenza, delle costanti che caratterizzano il mezzo conduttore e del campo pri- mario, la velocità di fase delle onde magneto-idrodinamiche potrà ri- sultare notevolmente superiore a quella prevista da Alfvén, senza che ciò comporti necessariamente un elevato valore del coefficiente di as- sorbimento. Tale velocità risulterà inoltre praticamente indipendente dal campo primario e dada densità di massa del mezzo. La fig. 1 e la fig. 2 mostrano rispettivamente l'andamento dei va- lori ridotti deda velocità di fase e del coefficiente di assorbimento, in funzione deha frequenza ridotta. Questi valori sono contenuti nella tabella 1. Tabella 1. V k V le 9 Vo K 9 V* h 0,01 1,000 0,00005 2,50 1,982 0,854 0,05 1,001 0,00125 2,75 2,088 0,922 0,10 1,004 0,00497 3,00 2,192 0,986 0,25 1,023 0,0301 3,50 2,390 1,105 0,50 1,086 0,109 4,00 2,576 1,212 0,75 1,178 0,212 4,50 2,752 1,311 1,00 1,287 0,322 5,00 2,920 1,404 1,25 1,404 0,428 6,00 3,232 1,572 1,50 1,523 0,527 8,00 3,787 1,865 1,75 1,641 0,619 10,00 4,276 2,117 2,00 1,758 0,703 20,00 6,21 3,08 2,25 1,871 0,781 100,00 14,2 7,04 3 8 6 P . E . V A L L E L ' a n d a m e n t o della velocità ridotta in funzione del coefficiente di assorbimento ridotto, è illustrato dalla fig. 3. v/ 4 , 5 v/ 4 , 5 / v/ 3 . 5 v/ 3 . 5 / v/ v/ V a l o r i r i d o t t i d e l l a v e l o c i t i d i ' d i r d e l l e o n d e m a g n e r ò - i d r o d i n a s m i c h e in r u n z i o n e d e i v a l o r i r i a o t = t i d e l c o e f f i c i e n t e di a s s o r b i m e n t o - v/ V a l o r i r i d o t t i d e l l a v e l o c i t i d i ' d i r d e l l e o n d e m a g n e r ò - i d r o d i n a s m i c h e in r u n z i o n e d e i v a l o r i r i a o t = t i d e l c o e f f i c i e n t e di a s s o r b i m e n t o - v/ v/ 0 , 1 0 0 , 2 5 0 , 5 0 0 , 7 5 1 1 . 2 5 1 , 5 0 1 , 7 5 2 2 , 2 5 V Fig. 3. Se q » 1, il coefficiente di assorbimento è approssimativamente proporzionale alla velocità di fase, come risulta dalla [22"'] e dalla [23"]. RIASSUNTO Viene valutato l'effetto della dispersione anomala sulla propagazione delle onde magneto-idrodinamiche. Si mostra che, per opportuni valori della frequenza, delle costanti che caratterizzano fisicamente il mezzo con- duttore e del campo primario, la velocità di fase delle onde magneto-idrodi- S U L L A D I S P E R S I O N E ANOMALA D E L L E O N D E M A G N E T O - I D R O D I N A M I C H E 387 namiche può risultare notevolmente superiore a quella prevista da Alfvén, senza che ciò comporti necessariamente un elevato valore del coefficiente di assorbimento. ABSTRACT The effect of an anomalous dispersioni on the propagation of magneto- hydrodynamic waves is discussed in the present article. It is demonstrated that the phase velocity of tlie magneto-hydrodynamic ivaves may be considerably higher than the one envisaged by Alfvén.