Le sesse d e l l a g o di C o m o P a r t e I I (*) OSCILLAZIONI INTERESSANTI L'INTERO LAGO P . CALOI - M . C . S P A D E A ricevuto il 30 settembre 1959 I - STIMA APPROSSIMATIVA D E I PERIODI D I ONDE STAZIONARIE I N U N SISTEMA D I TRE CANALI CHIUSI. Il lago di Como ha una forma caratteristica, che si può approssi- mare a quella di un canale (parte settentrionale), che si biforca all'altezza di Bellagio in due canali, aventi gli estremi l'uno (occidentale) a Como e l'altro a Lecco (di dove esce l'Adda). Indichiamo con blt b2, b3 e hu h2 h3 la larghezza media e la profon- dità media dei tre rispettivi canad presi in considerazione. L'approssi- mazione che così si ottiene è tanto più attendibde quanto più le larghezze bl b2 b3 sono piccole rispetto ada lunghezza dei canali; condizione questa pienamente soddisfatta nel lago di Como. In questa ipotesi, l'innalzamento deda superfìcie, sotto l'azione di un'onda lunga passante per d punto di confluenza dei tre rami, può con- siderarsi identica in tre sezioni (appartenente ognuna ad uno dei tre rami) il più vicino al punto di confluenza. Per la trattazione matematica, le sezioni considerate possono ritenersi attraversare l'origine delle coor- dinate di superfìcie di ogni canale; in tal modo, la sezione 1 può pas- sare attraverso ^ = 0 e la lunghezza ded'intero primo canale viene contata da questa sezione ad'estremità del canale stesso. Il moto di onde lunghe in un canale a sezione uniforme è rappre- sentato dade due equazioni differenziali: 9 (*) Le parti I, II di questo lavoro sono state condotte con contributi del Consiglio Nazionale delle Ricerche. 4 9 0 P . C A L O I - M . C . S P A D E A dove f rappresenta lo spostamento orizzontale delle particelle d'acqua, rj lo spostamento verticale della superfìcie nello stesso punto e h la pro- fondità media della sezione trasversale del canale considerato. 277 Nel caso di movimento armonico semplice di periodo T = a possiamo porre, ( G CO (J (VX A cos + B sin —— j , con c = |' g h [1] ha , ( t . ax „ ax v = - cos at [A sin — B cos c \ c c espressioni che soddisfano le equazioni del moto. Evidentemente c rap- presenta la velocità di propagazione di un'onda libera lungo il canale di profondità li. Le costanti A, B, h, c e la coordinata x si intendono af- fette degli indici 1, 2, 3, a seconda che si riferiscano al pruno canale o alle due ramificazioni, nell'ordine. Per il punto di confluenza, dove = = x3 = 0, si ottiene B1 — = B2 -— = B3 — - . [2] Ci C2 La condizione di incompressibilità richiede che la quantità d'acqua fluente, in un certo tempo, attraverso la sezione 1 verso la confluenza, uguagli la somma delle quantità attraversanti le sezioni 2, 3, oltre la confluenza. Ciò porta come conseguenza che per x1 = x2 = x3 = 0, si ha: V A i b, \ = 0 [3] ì All'estremità dei canali chiusi, avremo poi ti = 0 per set = li. (i = 1, 2, 3) Dalla [1] consegue allora A = _ t g . (i = 1, 2, 3) [4] Bi ci Dalla [1], ricordando la [4], otteniamo T a b e l l a I L E C C O - B E L L A G I O l2 = 1 9 . 0 0 0 m COMO - B E L L A G I O ^ = 2 3 . 3 7 5 M Sez. 8 (x) b (X) h Sez. 8 (a) b (X) h IO2 m 2 IO2 m m IO2 m 2 IO2 m m 0 A 0 0 0 0 0 0 0 LA 5 0 0 8 . 0 0 2 9 . 2 5 1 3 8 2 . 5 0 7 . 0 0 2 3 . 5 6 2A 9 8 5 1 3 . 7 5 5 7 . 6 2 2 9 7 2 . 7 5 1 1 . 2 5 5 9 . 9 2 3 A 1 3 5 5 1 2 . 7 5 7 9 . 2 7 3 1 3 8 3 . 2 5 1 6 . 0 0 8 5 . 2 1 4A 1 3 2 5 1 1 . 7 5 7 7 . 5 1 4 1 5 6 0 . 7 5 1 3 . 2 5 9 6 . 1 4 5 A 1 8 0 5 1 4 . 2 5 1 0 5 . 5 9 5 1 8 7 5 . 0 0 1 6 . 0 0 1 1 5 . 5 0 6 A 1 4 4 0 1 3 . 5 0 8 4 . 2 4 6 1 2 3 0 . 5 0 8 . 2 5 7 5 . 8 0 7 A 1 2 7 5 1 2 . 0 0 7 4 . 5 9 7 1 5 4 9 . 7 5 1 0 . 7 5 9 5 . 4 6 8 A 1 8 7 0 1 6 . 5 0 1 0 9 . 3 9 8 3 7 7 0 . 7 5 1 8 . 0 0 2 3 2 . 2 8 9 A 1 4 2 0 1 6 . 5 0 8 3 . 0 7 9 3 2 4 8 . 7 5 1 7 . 5 0 2 0 0 . 1 2 10A 1 0 6 5 1 4 . 7 5 6 2 . 3 0 1 0 2 6 4 7 . 2 5 1 3 . 2 5 1 6 3 . 0 7 1 LA 1 9 4 5 1 8 . 2 5 1 1 3 . 7 8 11 2 1 6 8 . 7 5 9 . 7 5 1 3 3 . 5 9 12A 2 5 8 5 2 2 . 2 5 1 5 1 . 2 2 12 2 1 8 7 . 0 0 8 . 0 0 1 3 4 . 7 2 13A 2 7 9 0 1 9 . 7 5 1 6 3 . 2 1 1 3 4 3 6 2 . 5 0 1 5 . 0 0 2 6 8 . 7 3 14A 2 8 1 0 2 0 . 0 0 1 6 9 . 3 8 1 4 4 8 9 2 . 5 0 1 7 . 2 5 3 0 1 . 3 8 15A 2 9 2 5 2 3 . 7 5 1 7 1 . 1 1 1 5 4 7 7 0 . 5 0 1 4 . 7 5 2 9 3 . 8 6 16A 4 1 7 0 2 6 . 0 0 2 4 3 . 9 4 16 4 9 8 9 . 5 0 1 7 . 0 0 3 0 7 . 3 5 17A 5 7 1 0 2 4 . 5 0 2 9 8 . 9 3 17 5 6 6 3 . 5 0 2 0 . 5 0 3 4 8 . 8 7 18A 4 1 0 0 1 9 . 5 0 2 3 9 . 8 5 1 8 5 9 9 2 . 7 5 2 0 . 2 5 3 6 9 . 1 5 "6 = M 1 7 1 0 . 0 0 19 5 5 1 0 . 2 5 2 0 . 7 5 3 3 9 . 4 3 "6 = M 1 7 1 0 . 0 0 h = m 1 2 1 . 8 0 2 0 4 9 0 0 . 0 0 2 3 . 5 0 3 0 1 . 8 4 2 1 6 3 0 0 . 0 0 2 3 . 5 0 3 8 8 . 1 0 2 2 4 8 5 0 . 0 0 1 9 . 0 0 2 9 8 . 7 6 2 3 4 8 6 9 . 7 5 2 4 . 5 0 2 9 9 . 9 8 2 4 5 3 5 3 . 5 0 2 5 . 7 5 3 2 9 . 7 8 2 5 2 5 1 1 . 5 0 1 6 . 7 5 1 5 4 . 7 1 2 6 2 3 8 3 . 7 5 1 6 . 0 0 1 4 6 . 8 4 2 7 1 2 6 7 . 7 5 1 8 . 0 9 7 8 . 0 9 ~b = M 1 6 2 3 . 0 0 A = M 2 0 1 . 5 1 R A M O U N I C O l3 = 2 8 . 0 0 0 M Sez. S (x) b (X) h I O 2 M 2 IO2 M m 2 8 4 6 3 7 4 0 . 5 0 1 5 5 . 7 6 2 9 6 1 0 7 4 0 . 0 0 2 0 9 . 3 9 3 0 7 8 1 8 3 7 . 0 0 2 7 4 . 7 0 3 1 8 1 7 0 3 3 . 5 0 2 8 9 . 2 2 3 2 9 5 0 5 3 7 . 5 0 3 3 6 . 4 8 3 3 9 3 3 0 3 4 . 2 5 3 3 0 . 2 8 3 4 9 0 1 0 3 7 . 0 0 3 1 8 . 9 5 3 5 7 4 9 0 3 4 . 5 0 2 6 5 . 1 5 3 6 7 5 3 0 3 3 . 5 0 2 6 6 . 5 6 3 7 2 6 0 5 2 0 . 2 5 9 2 . 2 2 3 8 2 8 0 0 1 8 . 0 0 9 9 . 1 2 3 9 4 3 4 0 2 6 . 5 0 1 5 3 . 6 4 4 0 5 0 7 0 2 8 . 5 0 1 7 9 . 4 8 4 1 5 6 3 5 3 1 . 7 5 1 9 9 . 4 8 4 2 4 7 3 0 2 7 . 5 0 1 6 7 . 4 4 4 3 3 9 9 0 2 2 . 0 0 1 9 1 . 2 5 4 4 3 3 2 5 3 3 . 2 5 1 1 7 . 7 0 4 5 5 3 2 5 4 2 . 5 0 1 8 8 . 5 0 4 6 2 5 9 5 2 0 . 7 5 9 1 . 8 6 4 7 2 6 8 0 2 6 . 2 5 9 4 . 8 7 4 8 2 9 6 5 3 0 . 7 5 1 0 4 . 9 6 4 9 1 5 2 5 2 5 . 5 5 5 3 . 9 8 5 0 2 3 5 1 1 . 0 0 8 . 3 2 5 1 0 0 0 ~b = M 2 8 2 2 . 0 0 H = H 1 1 7 4 . 5 5 T a b el 1 a I I L E C C O - B E L L A G I O l2 = 19.000 m. C O M O - B E L L A G I O k = 23.375 m . Sez. aAx ? 2 lo 2 A rjo 2 rjo Sez. 1 2 l 0 2 A Vo 2 Vo i o - 1 IO9 IO3 c m c m c m IO9 IO3 c m cm cm Oa 7.907 0 0 0 100 0 0 0 0 100 LA » 825 — 1,65 — 1,30 98,70 1 1111,25 — 2,91 — 2,30 97,70 2 a » 2034,07 — 2,06 — 1,63 97,07 2 1931,93 — 1,99 — 1,57 96,13 3 a » 3344,51 — 2,47 — 1,95 95,12 3 3104,72 — 2,24 — 1,77 94,36 4 A » 4533,51 — 3,42 — 2,70 92,42 4 4116,73 — 2,64 — 2,09 92,27 5 a 5804,28 — 3,22 — 2,55 89,87 5 5279,33 — 2,82 — 2,23 90,04 6 a » 7287,13 — 5,06 — 4 , 0 0 85,87 6 6359,81 — 5,17 — 4,09 85,95 7 a » 8424,91 — 6,61 — 5 , 2 3 80,64 7 7172,04 — 4 , 6 3 — 3,66 82,29 8 A » 9715,15 — 5,20 — 4,11 76,53 8 8519,54 — 2,26 — 1,79 80,50 9 A » 11188,35 — 7,88 — 6 , 2 3 70,30 9 10103,38 — 3,11 — 2,46 78,04 10a » 12401,02 —11,64 — 9,20 61,10 10 11422,26 — 4,31 — 3,41 74,63 l l a » 13592,47 — 6,99 — 5 , 5 3 55,57 1 1 12340,21 — 5,69 — 4 , 5 0 70,13 12a » 14828,90 — 5 , 7 4 - 4 4 , 5 51,03 12 12859,17 — 5,88 - 4 , 6 5 65,48 13a » 15977,07 — 5 , 7 3 - 4,58 46,50 13 13612,19 — 3,12 — 2,47 63,01 14a » 16965,19 — 6,04 — 4 , 7 3 41,72 14 14710,14 — 3,01 — 2,38 60,63 15a » 17914,32 — 6,12 — 4 , 8 4 36,88 15 15655,97 — 3,28 — 2,59 58,04 16a » 18928,52 — 4 , 5 4 — 3,59 33,29 16 16518,59 — 3,31 — 2,62 55,42 17a » 19744,12 — 3,46 — 2,74 30,55 17 17633,92 — 3,11 — 2,46 52,96 18a » 20500,23 — 5,00 — 3,95 26,60 18 18746,08 — 3 , 1 3 — 2,47 50,49 19a » 21072,13 — 4,79 — 3,79 22,81 19 19806,37 — 3,59 — 2,84 47,65 20 20832,04 — 4 , 2 5 — 3,36 44,29 21 21971,40 — 3,49 — 2,76 41,53 22 22926,59 — 4 , 7 3 — 3,74 37,79 23 23662,55 — 4,86 — 3,84 33,95 24 24490,08 — 4,57 — 3,61 30,34 25 25142,39 —10,01 — 7,91 22,43 26 25533,23 —10,71 — 8,47 13,96 27 25799,52 —20,35 —16,09 — 2,13 R A M O U N I C O l3 = 28.000 m Sez. 2 2 l„ 2 A Vo 2 no IO9 IO3 cm cm c m 23772,00 0 0 2,13 28 23687,55 — 5,11 4,04 — 6,17 29 23466,23 — 3,84 3,04 — 9,21 30 23067,44 — 2,95 - 2 , 3 3 — 11,54 31 22609,65 — 2,77 2,19 — - 13,73 32 22046,72 — 2,32 — 1,83 — 15,56 33 21397,09 — 2,29 — 1,81 — 17,37 34 20789,14 — 2,31 — 1 ,83 — 19,20 35 20073,94 — 2,68 — 2,12 — 21,32 36 19274,44 — 2,56 — 2,02 — 23,34 37 18550,90 — 7,12 — 5 , 6 3 — 28,97 38 18029,44 — 6,44 — 5,09 — 34,06 39 17177,94 — 3,96 — 3,13 — 37,19 40 16193,11 — 3,19 — 2,52 — 39,71 41 14882,68 — 2,64 — 2,09 — 41,80 42 13388,33 — 2 , 8 3 — 2,24 — 44,04 43 11890,97 — 2,98 — 2,36 — 46,40 44 10487,37 — 3,15 — 2,49 — 48,99 45 8409,55 — 1,58 — 1,25 — 50,14 46 6529,30 — 2,52 — 1,99 — 52,13 47 5239,08 — 1,95 — 1,54 — 53,67 48 3374,05 — 1,14 — 0,90 — 54,57 49 1586,88 — 1,04 — 0,82 — 55,39 50 396,00 — 1,69 — 1,34 — 56,73 51 112,35 494 P . CALOI - M. C. S P A D E A mentre dalla [3] consegue, nel caso dei tre canad chiusi, Ì , Bl bx \ tang — = 0 oppure (v. [2]) £ b, et tang - ^ L = o . 1 Ci [5] È questa l'equazione di Zeilon ('). Ci siamo proposti di applicare, neda determinazione del periodo, approssimativo ded'oscidazione libera uninodale del lago di Como, la formula [5]. Le lunghezze dei tre rami, dei quali questo lago consiste, sono rispet- tivamente ll = 23.375 m. (Como-Bedagio), l2 — 19.000 m. (Lecco- Bellagio), l3 — 28.000 m. (Bedaio-riva) ; le rispettive larghezze medie sono bi = 2822 m., b2 = 1710 m., b3 — 1623 m., come risulta dada Tabel- la I. La stessa Tabeda fornisce anche le profondità medie, le quah per- mettono di calcolare i valori dede c(: si è ottenuto c± — 41,36 m/sec., c2 = 34,75 m/sec., c3 = 44,44 m/sec. Con questi dati morfometrici, risolvendo la [5] con d metodo delle approssimazioni successive, si è ot- tenuto come periodo dell'uninodale dell'intero lago. Si tratta, naturalmente di un valore approssimativo, che — come vedremo — non ddì'erisce molto da quello ottenuto con altro metodo. I I - Il metodo di Defant è stato già esposto in lavori precedenti (2). L'applicazione di tale metodo ad un lago ramificato, comporta alcuni accorgimenti da tener presenti per la zona del lago dove avviene la saldatura dei tre rami. Siano, per esempio, % il numero dede sezioni del ramo più corto (Lecco), n2 il numero dede sezioni dell'altro ramo (Como). Siano inoltre a e j S i valori di 2 r;0, corrispondenti alle sezioni di % ed n2 rispettivamente e siano, inoltre A e B i relativi valori di q. Per determinare il valore di q corrispondente ada sezione nt, quale sarebbe se 2 rj0 fosse uguale a fi, A va moltipdcato per /3/a. Pertanto d calcolo relativo al ramo nord inizierà con la sezione + «2, dove q avrà d valore espresso da R + A • fifa e 2 rj0 avrà d valore fi. Per le successive sezioni, d calcolo procederà nel modo abituale. T = 40m, 6 [6] L E S E S S E D E L LAGO D I COMO 4 9 5 Applicato il metodo di Defant con gli avvertimenti sopra detti, dopo alcuni tentativi si è pervenuti ai valori riportati nella Tabella II, corrispondenti ad un periodo T = 37m, 6 [7] per l'uninodale dell'intero Lago. I l i - U periodo dell'oscillazione uninodale interessante l'intero lago di Como, dovrebbe cadere f r a i 38m e i 40m. È interessante osservare che l'applicazione del metodo di Hidaka, f a t t a al lago prescindendo dal ramo di Como-Bellagio ha condotto, come si è visto nel lavoro precedente (3), ad un valore di 39m circa. Data la lieve differenza che passa fra il valore dell'uninodale interessante l'intero lago e quello della stessa oscillazione da Gera e Lecco, dal punto di vista idrodinamico possono realizzarsi entrambe le oscillazioni; fatto che non si sarebbe potuto verificare qualora il lago incompleto avesse avuto un periodo dell'uninodale decisamente maggiore di quello del- l'intero lago. Soltanto le osservazioni potranno confermare o meno questi valori ottenuti per via teorica. RIASSUNTO Applicando all'intero lago due metodi diversi abbiamo ottenuto per l'uninodale valori varianti fra 38m e 40»i. Poiché l'oscillazione da Gera a Lecco (vedi parte I) ha un valore di 39m ca., dal punto di vista idrodinamico possono valorizzarsi entrambe le oscillazioni, cioè sia quella interessante l'intero lago che quella limitata al ramo di Lecco e al suo prolungamento. ABSTRACT Applying to the whole LaJce two different methods, we have obtained for the uninodal, figures ranging from 38»i to 40»». As the oscillation from Gera to Lecco (see part I) has reached about 39m, speaMng from hydrodynamic point of view, both oscillations can take place, i.e. the one that concerns the whole lake and the other that is limited to the Lecco branch and its extension. 4 9 6 P . C A L O I - M . C. S P A D E A B I B L I O G R A F I A ( 1 ) Z E I L O N N . , On the Seiches of the Gullmar Fjord. G o t e b o r g ( 1 9 1 3 ) . (2) CALOI P . , Le sesse del Lago di Garda; P a r t e I I , « A n n a l i di Geofisica » (1948). (3) CALOI P.-SPADEA M. C., Le sesse del Lago di Como, P a r t e I, « A n n a l i di Geofisica», (1958).